流体的平衡流体力学
流体力学液体的相对平衡
流体力学液体的相对平衡流体力学中，液体的相对平衡是指液体在运动坐标系中保持相对静止的状态。
除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。
在相对平衡流体力学中，我们主要关注的是液体在相对坐标系中的平衡状态，而不是在绝对坐标系中的运动状态。
例如，当一个容器绕铅垂轴旋转时，液体在旋转坐标系中保持相对静止，而在绝对坐标系中却有运动。
在相对平衡流体力学中，我们通常假设液体是均质的，没有自由表面，且没有热量交换。
在这些条件下，我们可以使用流体静力学的基本方程来描述液体的平衡状态。
总的来说，流体力学中的液体相对平衡是指液体在相对坐标系中保持静止或匀速直线运动的状态。
这种平衡状态可以通过求解流体静力学方程来得到。
《流体静力平衡方程》课件
挑战
尽管流体静力平衡方程已经有了广泛的应用 和深入的研究，但仍存在一些挑战和问题。 例如，如何处理非线性项、如何提高数值模 拟的精度和效率、如何将该方程应用于更复 杂的工程问题等。
展望流体静力平衡方程在未来的应用前景和发展趋势
应用前景
随着科技的进步和工程需求的增加，流体静 力平衡方程的应用前景将更加广阔。例如， 在新能源领域，研究者可能会利用该方程来 优化风力发电设备的性能；在环保领域，该 方程可能会被用来预测和控制水体流动和污 染物扩散等。
区别
比较流体静力平衡方程与其他物理方 程的适用范围和限制条件，明确它们 在描述不同物理现象时的区别和特点 。
05
总结与展望
总结流体静力平衡方程的重要性和应用价值
重要性
流体静力平衡方程是流体力学中的基本 方程之一，它描述了流体在静止或相对 静止状态下的受力平衡情况。这个方程 在许多工程领域中都有广泛的应用，如 航空航天、船舶、石油化工等。
流体静力平衡方程在物理问题中的应用
地球物理学研究
地球物理学研究地球内部和地表的物理性质和过程。流体静 力平衡方程在研究地球内部流体（如地幔中的熔岩）的平衡 状态和流动行为中具有重要应用。
天文学中的行星大气研究
在天文学中，行星大气的研究涉及到流体的平衡和流动问题 。流体静力平衡方程用于分析行星大气的压力分布、温度梯 度以及重力对大气的效应等。
流体静力平衡方程在流体力学中的应用
流体的平衡分析
流体静力平衡方程是流体力学中用于分析流体平衡状态的基本工具。通过该方 程，可以确定流体的压力分布、重力场对流体的作用以及流体的稳定性等。
流体静力学的应用
流体静力学是流体力学的一个重要分支，主要研究流体在静止或相对静止状态 下的力学性质。流体静力平衡方程在解决与流体静力学相关的问题中具有广泛 的应用。
流体力学(2章)
IC y D yC yC A
作用点——解析法
IC y D yC yC A
xD xc
注意:坐标系及原点的选择
I xyc yc A
•
利用解析法解题过程
1）选择坐标系，注意坐标原点在受压面或受 压面的延长面与自由液面的交点 2）求力的大小 P＝受压面形心处的压强×受压面的面积 3）求力的作用点
(11 z 25km)
压强的度量
绝对压强是以没有气体 分子存在的完全真空为 基准起算的压强，以符 号pabs表示。
相对压强是以当地大气 压为基准起算的压强， 以符号p表示。 相对压强和绝对压强的关系
p pabs pa
压强的度量
若绝对压强小于当地大 气压，相对压强便是负 值，又称负压。所谓真 空值（真空度）是指绝 对压强不足当地大气压 的差值，即相对压强的 负值，以符号pv表示。 相对压强和真空值的关系
h
z z B z A
( p )hp pA pB ( z A ) ( zB ) 12.6hp g g
文丘里流量计
pM p N
p1 gx
p2 g ( x z hp ) p ghp
p1 p2 ( p g g )hp gz
z
压力体
实压力体 ——压力体和液面在曲面AB的同侧，Pz方向向下
虚压力体 ——压力体和液面在曲面AB的异侧，Pz方向向上 压力体叠加 ——对于水平投影重叠的曲面，分开界定压力体， 然后相叠加，虚、实压力体重叠的部分相抵消。
问题：如果液面不是自由液面呢？
流体力学中的浮力平衡分析
流体力学中的浮力平衡分析引言流体力学是物理学的一个重要分支，研究流体的运动和性质。
其中，浮力平衡是流体力学中的一个重要概念。
浮力是指物体浸入流体中时所受到的向上的力，是由于流体对物体的压强差而产生的。
本文将从流体力学的角度出发，详细分析浮力平衡的原理和相关计算方法。
浮力平衡原理浮力平衡原理是指当物体部分或完全浸入流体中时，物体所受到的浮力等于物体所受到的重力，即F b=F g其中，F b表示浮力，F g表示重力。
浮力的计算浮力的计算方法取决于物体浸入流体的深度、流体的密度以及物体的体积等因素。
完全浸入流体的情况当物体完全浸入流体中时，浮力的计算方法如下：$$F_b = \\rho_f \\cdot V \\cdot g$$其中，$\\rho_f$表示流体的密度，V表示物体的体积，g表示重力加速度。
部分浸入流体的情况当物体只部分浸入流体中时，浮力的计算方法要考虑物体浸没深度的影响。
假设物体浸没深度为ℎ，浸没体积为Vℎ，总体积为V，则浮力的计算方法如下：$$F_b = \\rho_f \\cdot V_h \\cdot g$$其中，$\\rho_f$表示流体的密度。
浮力平衡实例分析为了更好地理解浮力平衡的原理和计算方法，下面将通过实例分析来详细阐述。
示例1：物体在液体中的浮力平衡假设有一个密度为$\\rho_o$的物体浸入密度为$\\rho_f$的液体中，且部分浸入的深度为ℎ，物体体积为V。
根据上述浮力的计算方法，可以得到以下计算公式：$$F_g = \\rho_o \\cdot V \\cdot g$$$$F_b = \\rho_f \\cdot V_h \\cdot g$$当物体处于浮力平衡状态时，F b=F g，代入上述公式可得：$$\\rho_f \\cdot V_h \\cdot g = \\rho_o \\cdot V \\cdot g$$化简后得到：$$\\frac{V_h}{V} = \\frac{\\rho_o}{\\rho_f}$$通过上述公式，可以得到物体浸没的深度与物体和液体的密度之间的关系。
第一章流体力学基本概念
分别运动至A’,B’,C’,D’点，则有
A
B
A'
B'
udt
E D D D A A (u d)d u u t d dtudt
图1-2 速度梯度
由于
du ED
dt
因此得速度梯度 duED tgd d
dy dydt dt dt
可以看出dθ为矩形ABCD在dt时间后剪切变形角度，这就表明速度梯度实质上就 是流体运动时剪切变形角速度
•第一章流体力学基本概念
随着科学技术的不断进步，计算机的发展和应用，流体力学的研究领域和应用范 围将不断加深和扩大。从总的发展趋势来看，随着工业应用日益扩大，生产技术 飞速发展，不仅可以推动人们对流动现象深入了解，为科学研究提供丰富的课题 内容，而且也为验证已有的理论、假设和关系提供机会。理论和实践密切结合， 科学研究和工业应用相互促进，必将推动本学科逐步成熟并趋于完善。
第一章 流体力学基本概念
第一节 流体力学的发展、应用及其研究方法 第二节 流体的特征和连续介质假设 第三节 流体的主要物理性质及分类 第四节 作用在流体上的力
•第一章流体力学基本概念
第一节 流体力学的发展、应用及其研究方法
一、流体力学发展简史
流体力学是研究流体的平衡及运动规律，流体与固体之间的相互作 用规律，以及研究流体的机械运动与其他形式的运动（如热运动、化学 运动等）之间的相互作用规律的一门学科。 流体力学属于力学范畴，是 力学的一个重要分支。其发展和数学、普通力学的发展密不可分。流体 力学起源于阿基米德（Archimedes，公元前278~公元前212）对浮力的 研究。
流体的压缩性及相应的体积弹性模量是随流体的种类、温度和压力而变化 的。当压缩性对所研究的流动影响不大，可以忽略不计时，这种流动成为不可 压缩流动，反之称为可压缩流动。通常，液体的压缩性不大，所以工程上一般 不考虑液体的压缩性，把液体当作不可压缩流体来处理。当然，研究一个具体 流动问题时，是否考虑压缩性的影响不仅取决于流体是气体还是液体，而更主 要是由具体条件来决定。
流体力学作业2
第二章 流体的平衡2.2 给出如下体力场，分别在均质或正压流体斜压流体情况下说明流场能否静止：()()()();1222222k y xy x j x zx z i z yz y f++++++++=()k r r kf,23-=为常数，r 是内径。
[解答] （1）流体平衡的基本方程为P F b ∇=ρ对于正压流体（含均质流体）平衡的必要条件是体力有势，即体力无旋0=⨯∇b F 。
对于斜压流体在有势力作用下不可能处于平衡态。
()()()k y x j x z i z y y xy x x zx z zyz y z y x kji F b -+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++∂∂∂∂∂∂=⨯∇222222222则当z y x ==时，正压流体平衡；当不满足此条件时，斜压流体才有可能平衡。
（2）0003=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-∂∂∂∂∂∂=⨯∇r k r k ji F b ϑθ，∴正压流体平衡，斜压流体不能平衡。
2.3 图示一种酒精和水银的双液测压计，细管上端为大气压时酒精液面高度为零，当细管上端的表压为p 时，酒精的液面下降h,试用321,,d d d 和h 来表示p 。
酒精和水银密度均为已知。
[解答] 设开始时酒精液面高度（即液面上端距酒精水银的分界面）为H ，则有流体静力学规律知，分界面即等压面，从而有H g P gH P atm atm ∆+=+mercury alcohol ρρ（1）施加表压P 后，同理可得 )()(21mercury 1alcohol h h H g P h h H g P P atm atm ++∆+=+-++ρρ（2）其中1h 为分界面下降高度，2h 为水银面上升高度，由液体排开体积相等得：()2222312221444h d d h d h d -==πππ（3）解之得h d d d h h d d h 222321222211,-==（4）()(),12-并将（4）代入得)()(21mercury 1alcohol h h g h h g P ++-=ρρ)11()1(22232221mercury 2221alcohol d d d ghd d d gh -++-=ρρ 2.4 如图的微测压计用来测量两容器E 和B 中的气体压强差，试用21,,,ρρδd 表示,B E p p -并说明当横截面积,A a 〈〈，而且两种液体1ρ和2ρ相近似，很小的B E p p -就能引起很大的液面高差d ，从而提高了测量精度。
工程流体力学22流体平衡微分方程
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
流体力学理论基础
3.2.2 伯努利方程
3.3 流动阻力基本概念
流体旳平衡—流体静力学基础
3.1.1 平衡状态下流体中旳应力特征
1、流体静压力方向必然重叠于受力面旳内法向方向
n
A
c
b
B
P
a
2、平衡流体中任意点旳静压强只能由该点旳坐标位置
决定，而与该压强作用方向无关。
z
c
pn
dz py
px dy O dx b
a
pz
x
PyD g sin J x
PyD ghc AyD gyc sin AyD
gyc sin AyD g sin J x
根据面积二次力矩平行移轴定理
J x Jc yc2 A
yD
yC
JC yC A
常见图形旳几何特征量
常见截面旳惯性矩
y
z h
b
Jc
bh3 12
y
dz
Jc
d4
64
0
0'
p0=p=pa+ρgh0
h0=(p-pa) /ρg =(119.6-100)×103/(1000×9.81)=2.0m
3.1.5 均质流体作用在平面上旳液体总压力
p0
O
C点为平面壁旳形心，
a
hD
hc h dp P
y
yc
D点为总压力P旳作用点 取微元面积dA，设形
bα
yD
dA
心位于液面下列h深处
T
A hE
hc
HP
D
B 60
解：闸门形心
hc 1.5m
总压力
P hc A
98001.5 ( 3 1) sin 60
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h y sin
C1.5.1 平壁总压力大小(2-2)
作用在dA 和A上的总压力
dF ghdA gysin dA
F=AdF=ρ gsinθA ydA
在几何上面积A 对x 轴的面积矩
A ydA yc A
yc 为面积A形心的纵坐标,
当 z1 ,保z2持不变时， 改p1变引起 同p时2 改变，这就是帕斯卡原理.
C1.4 均质液体相对平衡(3-1)
C1.4 均质液体相对平衡
当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度（向心加速度
a 2r)旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程 a fg p
( fg－a) p
积分得
2r 2
gz C 2
C不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面(r = 0，
z = z0)上C =－g z0。设自由液面垂直坐标为ｚs ，
方程为
2r 2
2g
zs
z0
代入压强分布式，令h = zs- z ，可得
p p0 ρg (z0 z) (z0 zs ) p0 ρg(zs z)
fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f = fg – a 也是有势 力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。
C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动 1. 体积力分量
f x = -a , f y = 0 , fz = -g
C1.4.1 等加速直线运动(3-2)
2. 压强分布 由压强全微分式积分得压强分布式
hw2
22R2
2g
3m
C1.5 均质流体对平壁的压力(2-1)
C1.5 均质液体对平壁的总压力 1. 工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；
结构强度，安全性能，运动规律等。 2. 条件：均质液体，体积力为重力。
C1.5.1 平壁总压力大小 图示斜平壁和坐标系Oxy , O点在 自由液面上，y轴沿斜平壁向下。
或
ax g
z0
-
zs
代入压强分布式，令h = zs－z ，可得
p p0 ρg (z0 z) (z0 zs ) p0 ρg(zs z)
p0 ρgh
证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。
[例C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡(2-1) 已知: 用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=L×b×h=0.6×0.3×0.5m3， 静止 时缸内水位高d =0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。 求: (1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am；
上式成立的充分必要条件是
f y fx , x y
fx fz , fz fy z x y z
即体积力必须有势： f , 为势函数
fx
x
fy
y
fz
z
重力是有势力
fg gk (gz)
因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。
g
z0
z
a g
x
C1.4.1 等加速直线运动(3-3)
3. 等压面
由dp = －ρ(adx+gdz) = 0 ，等压面方程为
ax+gz=C
C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x = 0 , z = z 0 )上C = g z 0 。
设自由液面垂直坐标为z s ，方程为
ax gzs gz0
C1.2.3 流体平衡的条件(2-2)
2. 对正压流体，ρ=ρ(p)
引入一个压强函数
P(
)
dp
dP
dp
fxdx
f ydy
f z dz
上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在
重力场中也能保持平衡状态。
均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平 衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：
上式适用于全流场，表示总势能守恒。若写成
z p 常数
(b)
g
表示总水头保持不变。
(a) , (b) 式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的 同种均质重力流体。
C1.3 流体静力学基本方程(2-2)
流体静力学基本方程的常用形式为
z1
p1
g
z2
p2
g
说明两点的测压管水头相等。
p0 ρ g h
证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。
[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1)
已知: 一封闭圆筒，高H = 2m，半径R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，压强为 p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速
求: (1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、pc1 (中心) 及pw1 (边缘) ；
总压力
FyD
ydF gsin
A
y2dA
A
F ghc A gyc Asin
设面积惯性矩
Ix
y2dA
A
可得
yD
Ix yC A
C1.5.2 平壁总压力作用点(4-2)
g
2 3
g
可见 am' ，2a鱼缸横向放置水不易溢出。
C1.4.2 等角速度旋转运动(2-1)
C1.4.2 等角速度旋转运动
设液体以等角速度ω绕中心轴z 轴旋转
1. 体积力 2. 压强分布
fx=ω2x ，fy=ω2y ，fz= －g
dp (2xdx 2 ydy gdz )
积分得
(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的ω2、pc 2 及pw 2。
解： 建立坐标系Oxyz ,原点o在底部中心，静止时 z 0 = H 0 。
(1)当边缘水位刚达顶部时， 由自由面方程式
zs
z0
2r 2
2g
取 r = 0.5 m, zs = 2 m, z0 =1 m
[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-2)
p
2r 2
g(
z )C
2g
设坐标原点在底部中点，自由液面最低点的坐 z = z0 ，压强p = p0 ,可得C = p0+ρg z0 .压强分布式为
p
p0
2r2
g
2g
(z0
z)
标r = 0，
C1.4.2 等角速度旋转运动(2-2)
3. 等压面
由 dp (2xdx 2 ydy gdz ) 0
1 A B2
两式分别除以ρ1 和ρ2 ，再相减可得
( 1 1 )dp 0
1 2
由于ρ1≠ρ2，要使上式成立, 只有dp = 0，证明分界面必为等压面。
讨论：当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态 时其分界面也是等压面。
C1.2.2 等压面
C1.2.2 等压面
沿等压面 压强增量为零，即 f dr 0 。或 fxdx f ydy fzdz 0
hc yc sin 为淹深。 F gyc sin A ghc A pc A
F pc A
pc 为形心压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心 压强乘以面积 。
C1.5.2 平壁总压力作用点(4-1)
C1.5.2 平壁总压力作用点
1、积分法
设压强中心为D，由力矩合成法则
p = 0 ,
= 0
3. 对斜压流体ρ=ρ(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平 衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。
[例C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件 大气满足完全气体状态方程
p = RρT
(B1.4.5)
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相 同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相 差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度 变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合 (见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。
dp ( fxdx fydy fzdz ) ( adx gdz )
p ( ax gz ) C
设坐标原点在液罐底部中点， 静 止时的液位为z 0 , 即 x = 0，z = z 0 ， p = p 0,，可得C = p 0+ρg z 0
压强分布式为
p
p0
ρ
设密度分别为ρ1 和ρ2 的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当 它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。
解： 在分界面上任取相邻 d r 的两点 A 和 B ，dp = pA- pB 。
对液体1 d p = ρ1 (fx d x + fy d y + fz d z ) 对液体2 d p =ρ2 (fx d x + fy d y + fz d z )
加速度表达式为
a d z g x
(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（－L / 2, h）相应的加速度为
am
d h L / 2
g
0.4 0.5 0.3
1 3
g
(2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（－b / 2, h）相应的加速度为
am'
d h b / 2
0.40.5 0.15
专题篇
C1. 流体的平衡 C2. 不可压缩无粘性流体平面势流 C3. 不可压缩粘性流体内流 C4. 不可压缩粘性流体外流 C5. 可压缩流体流动基础