第三章 流体静力学
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第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
流体力学第三章习题
第三章 流体动力学基础3－1 已知速度场为k z x j y x i y x u)()()(2-+-++= (m/s)，求(2，3，1)点的速度和加速度。
已已知知：：z x u y x u y x u -=-=+=z y x )(2，， 解析：(1) (2，3，1)点的速度为m/s 1m/s 1m/s 10)(2z y x =-=-=-==+=z x u y x u y x u ，， s /m 10.101)1(102222z 2y 2x =+-+=++=u u u u (2) (2，3，1)点的加速度为2x z x y x x x x m/s 1832262602)(2)(20=⨯+⨯=+=+⨯-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y x y x y x zuu y u u x u u u a τ2y zy yy xy y m/s 1133230)1()(1)(20=⨯+=+=+-⨯-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y x y x y x zu u yu u xu u u a τ2z z z y z x z z m/s 913222)1()(01)(20=+⨯+=++=-⨯-++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z y x z x y x zu u y u u x u u u a τ22222z 2y 2x s /m 93.2291118=++=++=a a a a3－2 已知速度场为k z y j y i x u )34()(2)3(2-+-++=ττ (m/s)，求τ＝2秒时，位于(2，2，1)点的速度和加速度。
已已知知：：z y u y u x u )34()(23z 2y x -=-=+=，，ττ解析：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为m/s 5)34(m/s 4)(2m/s 83z 2y x =-=-=-==+=z y u y u x u ，，ττ s /m 25.105)4(82222z 2y 2x =+-+=++=u u u u (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为2x z x y x x x x m/s 251)223(31)3(3003)3(1=++⨯⨯=++=++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=τττx x zuu y u u x u u u a2222y zy yy xy y m/s 342)22(282)(80)4()(202=+-⨯⨯=+-=+-⨯-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=τττy y y y zu u yu u xu u u a2222222z z z y z x z z m/s 91)324()22(18)34()(8)34(4)(200=⨯-⨯+-⨯⨯=-+-=-+⨯-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z y y z zy z y zuu y u u x u u u a τττ22222z 2y 2x s /m 15.4393425=++=++=a a a a3－3 已知二维流场的速度分布为j x y i x y uττ)96()64(-+-= (m/s)。
第三章流体静力学
一、静止液体作用在固体壁面上的总压力
作用在平面上总压力的计算方法有两种： 解析法
图解法
第二十六页，共八十九页。
1.平面总压力大小
o
设有一与水平面成α夹角的倾斜平面 ab，其面积为A，左侧受水压力， 水面大气压强为p0，在平板表面所 在的平面上建立坐标，原点o取在 平板表面与液面的交线上，ox轴与
hD hC yb
整理 p2p1gh
液体静力学基本方程式为 pp0 gh
第八页，共八十九页。
二.流体静力学基本方程的意义
1.A点的压强
p p 0g h p 0g (z 0 z )
整理
p
g
z
p0
g
z0
常数
意义：
Z——单位重量液体的位置势能(简称比位能)；
——p 静止液体中单位质量液体的压力能(简称比压能)
g
，比位能与比压能之和称为总比能。
3.运动流体是理想流体时，不会产生切应力，所以理想流体
动压强呈静水压强分布特性，即
第七页，共八十九页。
第二节 重力场中流体的平衡
一.流体静压强的基本方程
静止液体所受的力除了液体重力外 ，还有液面上的压力和固体壁面作 用在液体上的压力，其受力情况如 图所示。
1.受力平衡方程
p 2 A p 1 A g l A co 0 s
D
sin y2dA sinyc AyD
式中 y2dA 为受压面对ox轴的惯性矩 I X
所以
yD
Ix ycA
第三十二页，共八十九页。
根据平行移轴定理：
I X IC yC2 A
∴
yD
yc
Ic ycA
ohD hC h源自αa yyb
作用在平面上总压力的计算方法有两种： 解析法
图解法
第二十六页，共八十九页。
1.平面总压力大小
o
设有一与水平面成α夹角的倾斜平面 ab，其面积为A，左侧受水压力， 水面大气压强为p0，在平板表面所 在的平面上建立坐标，原点o取在 平板表面与液面的交线上，ox轴与
hD hC yb
整理 p2p1gh
液体静力学基本方程式为 pp0 gh
第八页，共八十九页。
二.流体静力学基本方程的意义
1.A点的压强
p p 0g h p 0g (z 0 z )
整理
p
g
z
p0
g
z0
常数
意义：
Z——单位重量液体的位置势能(简称比位能)；
——p 静止液体中单位质量液体的压力能(简称比压能)
g
，比位能与比压能之和称为总比能。
3.运动流体是理想流体时，不会产生切应力，所以理想流体
动压强呈静水压强分布特性，即
第七页，共八十九页。
第二节 重力场中流体的平衡
一.流体静压强的基本方程
静止液体所受的力除了液体重力外 ，还有液面上的压力和固体壁面作 用在液体上的压力，其受力情况如 图所示。
1.受力平衡方程
p 2 A p 1 A g l A co 0 s
D
sin y2dA sinyc AyD
式中 y2dA 为受压面对ox轴的惯性矩 I X
所以
yD
Ix ycA
第三十二页，共八十九页。
根据平行移轴定理：
I X IC yC2 A
∴
yD
yc
Ic ycA
ohD hC h源自αa yyb
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
第三章流体静力学(流体的平衡)
第三章 流体静力学（流体的平衡）
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
1.流体的平衡：绝对平衡、相对平衡 2.流体平衡时的压强 3.流体平衡的条件 3.1.平衡的微分方程 ∂ p dx ∂ p dx −∂ p dydz − p dydz = dxdydz ∂x 2 ∂x 2 ∂x 表面力： −∇ p dxdydz d 体积力： f b =∇ p 绝对平衡方程： f x 方向表面力： p −
∫ gy sin dA= g sin ∫ y dA= g y c sin A= P c A
A A
设压力中心坐标为
x D , y D = x C f , y C e ,其中 f 和 e 称为纵向和横向偏心矩。
则总合力对形心坐标轴的力矩：
F e =∫ dF = g sin ∫ y dA F f =∫ dF = g sin ∫ y dA∇ p d r =0
d 考虑到绝对平衡方程，得出等压面的微分方程： f b r = 0 ，即在等压面上体力处处与等压面 垂直。
3.3.流体平衡的必要条件
b =∇× 由绝对平衡方程得 ∇× f 1 −1 ∇ p = 2 ∇ ×∇ p
−1 ∇ p⋅∇ ×∇ p =0 3 ⋅∇ × f =0 流体平衡的必要条件 f b b b⋅∇ × f b = 于是 f
均质流体 =constant
≡0 ∇× f b
−∇ =
1 ∇p
=
−p
非均质流体：正压流体 = p ，如等温或绝热气体 定义压力函数 P p ： ∇ P =
=∇ P 由绝对平衡方程得， f b 4.流体静力学基本方程（静力学规律）
由 P =− gz C 得
∇p p ≡0 ，故 f 有势，势函数 =− P p ∇× f b b
液压传动第三章 流体力学基础
1、理想流体和恒定流动
理想流体：既无粘性，又无压缩性的假想液体。
实际流体：有粘性，又有压缩性的液体。
恒定流动：液体在流动时，通过空间某一点的压力、速度和密度等运
动参数只随位置变化，与时 间无关。
非恒定流：液体在流动时，通过空间某一点的压力、速度和密度等
运动参数至少有一个是随时 间变化的。
2、流线 流管、流束、通流截面
dqdt
u22 2
dqdt
u12 2
势能：ΔEP gdqh2dt gdqh1dt
外力做的功=能量变化：
W ΔE ΔEK ΔEP
p1
g
u12 2g
h1
p2
g
u22 2g
h2
1.理想流体的能量方程
p1
g
u12 2g
h1
p2
g
u22 2g
h2
2、实际流体伯努利方程
实际流体：有粘性、可压缩、非恒定流动 速度修正：动能修正系数
正确设计和使用液压泵站。 液压系统各元部件的连接处要密封可靠，严防
空气侵入。 采用抗腐蚀能力强的金属材料，提高零件的机
械强度，减小零件表面粗糙度值。
第六节 液 压 冲 击
一、管内液流速度突变引起的液压冲击
有一液位恒定并能保持 液面压力不变的容器如 图3-40所示。
二、运动部件制动所产生的液压冲击
第四节 孔口和缝隙液流
一、薄壁小孔
➢ 薄壁小孔是指小孔的长度和直径之比l/d＜0.5的孔， 一般孔口边缘做成刃口形式，如图3-25所示。
➢薄壁小孔的流量计算
对于图所示的通过薄壁小孔的液体，取小孔前后截面1-1和2-2列伯努利方程
p1
g
v12 2g
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a.质量力只有重力 b.均质不可压缩流体
单位质量力在各坐标轴上的分力为
fx 0
2014-3-25
fy 0
24
fz g
1. 方程推导
fx 0
fy 0
代入
fz g
dp ( f x dx f y dy f z dz )
得
dp gdz
积分,ρ＝const
F
x
0
F
y
0
F
z
0
流体微团受力分析
x方向受力分析
1 dydz 表面力： P p x x2
1 p dydz P cos p dAn cos n2 n n
1 质量力： W x ( dxdydz ) f x 6
流体微团质量
X方向单位质量力
因为流体平衡
x方向受力分析
质量力——
f x dxdydz
表面力—— 只有静压强 如何求解是关键
2014-3-25
15
作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数展开
在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为
p d x 1 2 p dx 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
流体平衡微分方程式
欧拉平衡微分方程式
写成矢量形式
适用范围: 静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。 物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力 与静压强的合力相平衡。
压强差公式 （1）
fx
fy
1 p 0 x
1 p 0 y
乘以dx
乘以dy 乘以dz
f x dx
第三章 流体静力学
流体静压强及其特性 流体平衡方程式 重力场中流体的平衡 帕斯卡原理 液柱式测压计 液体的相对平衡 静止液体作用在平面上的总压力 静止液体作用在曲面上的总压力 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力 阿基米德原理
2014-3-25
1
(1) 其内部的压强分布规律；
dp dz 0 g
流体静力学 基本方程
p z c g
适用范围: 重力作用下的平衡状态, 均质 不可压缩流体
2. 物理意义
p z c g
在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的 总势能是相等的。
z
p / g
单位重量流体对某一基准面的位势能
单位重量流体的压强势能
位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能
f x dx f y dy f z dz 0
性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于经 过该点的等压面。 写成矢量形式
由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直
等压面（2）
举例说明
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压 面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。
互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面
1. 静压强定义
问题1. 水流方向垂直于容器壁 面，为什么？
问题2. 如图所示的平面壁转折处B点， 对于不同方位的作用面而言，其静压 力方向不同，静压力的大小呢？
2. 静压强的两个特征及其证明
2014-3-25 4
第一节 流体静压强及其特性
一、静压强定义 流体处于静止或相对静止状态时，在流体内部或流体与 固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力。 给出方向——负法向 给出大小——表面力
h=z0-z 静止流体中任意点在自由 液面下的深度
2 淹深为 、密度为
的流体柱产生的压强
该式还表明: 均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的 压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加与自由液面上的压强,将 以同样的大小传递到液体内部任意点上—帕斯卡原理。
2014-3-25 29
布莱士·帕斯卡
p x pn
p y pn
p z pn
p x p y pz pn
n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体 中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。
第一节 流体静压强及其特性
二、静压强两个特征（几点说明）
（1） 静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续 函数。同一点的各向静压强大小相等。 （2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘 性 会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。
本章导论
(2) 流体与其它物体间的相互作用力。
研究内容：流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其 在工程实际中的应用。 静止含义： 以地球作为惯性参考坐标系 绝对静止：流体相对于惯性坐标系静止 相对静止：流体相对于非惯性参考坐标系静止 适用范围： 静止状态
0
2
0
实际流体、理想流体都是适用的。
A
完全真空
A 静水头线
p2 / g
p1 / g
p0
p2
2
p1
z1
1
z2
基准面
在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的 静水头线是水平直线
2014-3-25 28
帕斯卡原理
对淹深为h的a点和压强为p0的自由 液面上的点，列静力学基本方程
Z
p0
A
p
h
z0
OzBiblioteka Y上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡 状态时,流体内部的静压强由两部分构成 1 自由表面的压强
两式相减
因为
2014-3-25
水
dp
1 1 dp 0 1 2 1 2 dp
dp=0
23
1 2 0
第三节 重力作用下的流体平衡
一、重力作用下的静力学基本方程式 1. 方程推导 静止容器上取直角坐标系
G = mg
P0
假设
一、流体平衡微分方程式(推导)
1 p dx dydz p 2 x
A
C p
B
1 p dx dydz p 2 x
½ dx
图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p dx 0 x
1 p f y dy dy 0 y
f z dz 1 p dz 0 z
1 p fz 0 z
三式相加，整理
p p p ( f x dx f y dy f z dz ) dx dy dz x y z
p f ( x, y, z )
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式 流体静力学 最基本方程组
2014-3-25 12
第二节 流体平衡微分方程
本章的重点，内容包括：
1.
流体的平衡微分方程
意义 适用范围
2.
3.
压强差公式 等压面
2014-3-25
13
第二节 流体平衡微分方程
c
2014-3-25
26
3. 几何意义 单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。
p z c g
z
p / g
单位重量流体的位置水头 单位重量流体的压强水头 位置水头和压强水头之和称为静水头
c
在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的。
2014-3-25 27
p z c g
2014-3-25
【学习重点、难点】
重点：
1. 静压强及其特性，点压强的计算，静压强分布。 2. 作用于平面上液体总压力。 3. 作用于曲面上液体总压力，压力体的画法。
难点：
1. 应用静力学基本定律计算作用在平面、曲面上的总压力； 2. 不同高度的液体对固体壁面总压力的计算。
2014-3-25
3
第一节 流体静压强及其特性
2 3
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f n ( x0 ) ...... ( x x0 ) n n!
p dx 1 2 p d x 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
压强差公式的物理意义：在静止流体中，空间点的坐标增量 为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量 取决于质量力。
20
等压面（1）
1. 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。 dp=0
对不同的等压面，其常数值是不同的。 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
2. 微分形式的等压面方程
2014-3-25 19
压强差公式（2）
( f x dx f y dy f z dz )
p p p dx dy dz x y z
流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为
p p p dp dx dy dz x y z
所以
dp ( f x dx f y dy f z dz )
p p0
p p0
等压面
油 水
等压面（3）
证明 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 分界面上取两点1和2 点1——点2的压强增量
p p0
1 油 2
等压面
dp 1 ( f x dx f y dy f z dz ) dp 2 ( f x dx f y dy f z dz )
F
x
0
在轴方向上力的平衡方程为 把 Px ，Pn和Wx的各式代入得
Px Pn cos W x 0
单位质量力在各坐标轴上的分力为
fx 0
2014-3-25
fy 0
24
fz g
1. 方程推导
fx 0
fy 0
代入
fz g
dp ( f x dx f y dy f z dz )
得
dp gdz
积分,ρ＝const
F
x
0
F
y
0
F
z
0
流体微团受力分析
x方向受力分析
1 dydz 表面力： P p x x2
1 p dydz P cos p dAn cos n2 n n
1 质量力： W x ( dxdydz ) f x 6
流体微团质量
X方向单位质量力
因为流体平衡
x方向受力分析
质量力——
f x dxdydz
表面力—— 只有静压强 如何求解是关键
2014-3-25
15
作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数展开
在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为
p d x 1 2 p dx 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
流体平衡微分方程式
欧拉平衡微分方程式
写成矢量形式
适用范围: 静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。 物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力 与静压强的合力相平衡。
压强差公式 （1）
fx
fy
1 p 0 x
1 p 0 y
乘以dx
乘以dy 乘以dz
f x dx
第三章 流体静力学
流体静压强及其特性 流体平衡方程式 重力场中流体的平衡 帕斯卡原理 液柱式测压计 液体的相对平衡 静止液体作用在平面上的总压力 静止液体作用在曲面上的总压力 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力 阿基米德原理
2014-3-25
1
(1) 其内部的压强分布规律；
dp dz 0 g
流体静力学 基本方程
p z c g
适用范围: 重力作用下的平衡状态, 均质 不可压缩流体
2. 物理意义
p z c g
在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的 总势能是相等的。
z
p / g
单位重量流体对某一基准面的位势能
单位重量流体的压强势能
位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能
f x dx f y dy f z dz 0
性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于经 过该点的等压面。 写成矢量形式
由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直
等压面（2）
举例说明
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压 面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。
互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 等压面
1. 静压强定义
问题1. 水流方向垂直于容器壁 面，为什么？
问题2. 如图所示的平面壁转折处B点， 对于不同方位的作用面而言，其静压 力方向不同，静压力的大小呢？
2. 静压强的两个特征及其证明
2014-3-25 4
第一节 流体静压强及其特性
一、静压强定义 流体处于静止或相对静止状态时，在流体内部或流体与 固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力。 给出方向——负法向 给出大小——表面力
h=z0-z 静止流体中任意点在自由 液面下的深度
2 淹深为 、密度为
的流体柱产生的压强
该式还表明: 均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的 压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加与自由液面上的压强,将 以同样的大小传递到液体内部任意点上—帕斯卡原理。
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布莱士·帕斯卡
p x pn
p y pn
p z pn
p x p y pz pn
n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体 中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。
第一节 流体静压强及其特性
二、静压强两个特征（几点说明）
（1） 静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续 函数。同一点的各向静压强大小相等。 （2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘 性 会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。
本章导论
(2) 流体与其它物体间的相互作用力。
研究内容：流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其 在工程实际中的应用。 静止含义： 以地球作为惯性参考坐标系 绝对静止：流体相对于惯性坐标系静止 相对静止：流体相对于非惯性参考坐标系静止 适用范围： 静止状态
0
2
0
实际流体、理想流体都是适用的。
A
完全真空
A 静水头线
p2 / g
p1 / g
p0
p2
2
p1
z1
1
z2
基准面
在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的 静水头线是水平直线
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帕斯卡原理
对淹深为h的a点和压强为p0的自由 液面上的点，列静力学基本方程
Z
p0
A
p
h
z0
OzBiblioteka Y上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡 状态时,流体内部的静压强由两部分构成 1 自由表面的压强
两式相减
因为
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水
dp
1 1 dp 0 1 2 1 2 dp
dp=0
23
1 2 0
第三节 重力作用下的流体平衡
一、重力作用下的静力学基本方程式 1. 方程推导 静止容器上取直角坐标系
G = mg
P0
假设
一、流体平衡微分方程式(推导)
1 p dx dydz p 2 x
A
C p
B
1 p dx dydz p 2 x
½ dx
图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p dx 0 x
1 p f y dy dy 0 y
f z dz 1 p dz 0 z
1 p fz 0 z
三式相加，整理
p p p ( f x dx f y dy f z dz ) dx dy dz x y z
p f ( x, y, z )
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式 流体静力学 最基本方程组
2014-3-25 12
第二节 流体平衡微分方程
本章的重点，内容包括：
1.
流体的平衡微分方程
意义 适用范围
2.
3.
压强差公式 等压面
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13
第二节 流体平衡微分方程
c
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26
3. 几何意义 单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。
p z c g
z
p / g
单位重量流体的位置水头 单位重量流体的压强水头 位置水头和压强水头之和称为静水头
c
在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的。
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p z c g
2014-3-25
【学习重点、难点】
重点：
1. 静压强及其特性，点压强的计算，静压强分布。 2. 作用于平面上液体总压力。 3. 作用于曲面上液体总压力，压力体的画法。
难点：
1. 应用静力学基本定律计算作用在平面、曲面上的总压力； 2. 不同高度的液体对固体壁面总压力的计算。
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3
第一节 流体静压强及其特性
2 3
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f n ( x0 ) ...... ( x x0 ) n n!
p dx 1 2 p d x 1 3 p dx p 2 3 x 2 2 x 2 6 x 2
压强差公式的物理意义：在静止流体中，空间点的坐标增量 为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量 取决于质量力。
20
等压面（1）
1. 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。 dp=0
对不同的等压面，其常数值是不同的。 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
2. 微分形式的等压面方程
2014-3-25 19
压强差公式（2）
( f x dx f y dy f z dz )
p p p dx dy dz x y z
流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为
p p p dp dx dy dz x y z
所以
dp ( f x dx f y dy f z dz )
p p0
p p0
等压面
油 水
等压面（3）
证明 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 分界面上取两点1和2 点1——点2的压强增量
p p0
1 油 2
等压面
dp 1 ( f x dx f y dy f z dz ) dp 2 ( f x dx f y dy f z dz )
F
x
0
在轴方向上力的平衡方程为 把 Px ，Pn和Wx的各式代入得
Px Pn cos W x 0