重力作用下的液体平衡
水静力学
第一章 水静力学水静力学的任务是研究液体的平衡规律及其工程应用。
液体的平衡状态有两种：一种是静止状态，即液体相对与地球没有运动，处于静止状态。
另一种是相对平衡，即所研究的整个液体相对于地球在运动，但液体相对于容器或液体质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态。
例如，等速直线行驶或等加速直线行驶小车中所盛的液体，等角速度旋转容器中所盛的液体。
本章的核心问题是根据平衡条件来求解静水压强的分布规律，并根据静水压强的分布规律来确定各种情况下的静水总压力。
即先从点、再到面，最后对整个物体确定静水总压力的大小、方向、作用点。
水静力学是解决水利工程中水力荷载问题的基础，同时也是今后学习水动力学的必要知识。
从后面章节的学习中可以知道，即使水流处于运动状态，在有些情况下，动水压强的分布规律也可认为与静水压强的分布规律相同。
第一节 静止压强及其特性一.静水压强的概念.在静水中有一受压面，其面积为ΔA ，作用其上的压力为ΔP ,则该微小面积上的平均静水压强为A P p ∆∆=，当ΔA →0时，平均压强的极限就是点压强，),,(0lim z y x A P A p p ==∆∆→∆，这也说明了静水压强是关于空间位置坐标的函数。
静水压强的单位有三种表示方法：（1）用应力的单位表示，即N/m 2或kN/m 2；（2）用大气压强的倍数表示；（3）用液柱高度表示。
静水压力并非集中作用于某一点，而是连续地分布在整个受压面上，它是静水压强这一分布荷载的合力。
静水压强反映的是荷载集度。
今后的学习中将重点掌握如何根据静水压强的分布规律推求静水总压力。
由于水利工程中有时习惯将压强称为压力，故水力学中就将静水压力称为静水总压力，以示区别。
游泳胸闷,木桶箍都说明静水压力的存在。
二.静水压强的特性1>方向 垂直指向受压面，用反证法说明。
2>大小 静水中任何一点各个方向的静水压强大小都相等。
n z y x p p p p === 而),,(z y x p p =三.绝对压强 相对压强1> 绝对压强以设想的没有大气压存在的绝对真空状态为零点计量得到的压强称为绝对压强，以p ab 或p ＇来表示。
静水压强及其特性
图的形心距底
3 hH
b
h
➢ 三角形压力分
布图的形心距底
e L 3
Ap
P
L
e
H
（2） 任意平面上的静水总压力的计算 适用条件：受压面为任意平面。
➢a. 总压力的大小
PpcAhcA
➢b. 总压力的作用点
yD
yC
IC yCA
例题3：如图所示矩形平板闸门AB宽b=3m，
门重G=9800N，α=60°，h1 =1m，h2=1.73m。试
即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道也可利用流体的平衡规律知道其中任何二点的压差这就是比压计的测量原理即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道也可利用流体的平衡规律知道其中任何二点的压差这就是比压计的测量原理用比压计测量19例题2图示为复式比压计各点的高度如图所示已知油的密度为水银的密度为水的密度136倍求ab两点的压强差
H
• 2.静水压力的计算
（1）用压强分布图求矩形平面上的静水总压力 适用条件：受压面为矩形平面。
➢ a.静水总压力的大小 ➢ b.静水总压力的方向
PbAPVP
垂直指向受压面
➢ c.静水总压力作用点—压力中心
➢矩形平面受到的静水总压力通过压强分布图的
形心，且落在对称轴上，见图
➢ 梯形压力分布 eL2hH
B点绝对压强 绝对压强基准
O
例题1：一封闭水箱（见图），自由面上气体 压强为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C 的绝对静水压强、相对静水压强和真空压强。
解：C点绝对静水压强为
p ' p 0 h 8 5 9 .8 1 9 4 .8 k P a
C点的相对静水压强为
pp 'p a9.8 4 9 8 3 .2 kPa
《水力学》考试题+参考答案
《水力学》考试题+参考答案一、单选题（共50题，每题1分，共50分）1、明渠水流由急流向缓流过渡，产生（）|临界坡除外（）。
A、水跃B、水击波C、跌水D、水跌正确答案：A2、水泵的安装高度要受到()的限制。
A、扬程B、流量C、地形条件D、允许吸上真空高度正确答案：D3、紊流过渡粗糙区的沿程阻力系数λ与（）有关，与相对光滑度有关。
A、雷诺数B、相对光滑度C、相对粗糙度D、谢才系数正确答案：A4、绝大多数明渠水流（）都为（）渗流除外|A、层流B、缓流C、急流D、紊流正确答案：D5、均匀流条件下，任一微小流束的水力坡度（）总流的水力坡度。
A、等于B、大于C、小于D、不确定正确答案：A6、临界流时，矩形断面的断面比能等于临界水深的（）倍。
A、1B、1.5C、0.5D、2正确答案：B7、明渠的过水断面水深大于临界水深，据此可判定水流为（）。
A、临界流B、急流C、缓流D、紊流正确答案：C8、水跃函数曲线的上支为（），水流为缓流。
A、增函数B、抛物线C、双曲线D、减函数正确答案：A9、闸底坎为平顶堰，闸门相对开度（）0.65, 水流为堰流。
A、大于B、大于等于C、小于等于D、小于正确答案：A10、能量方程应用过程中，基准面可以任意选，但一定要是（）.。
A、平面B、水平面C、垂直于管轴线的平面D、平行于管轴线的平面正确答案：B11、紊流中，某一瞬时液体质点的流速可称之为（）。
A、瞬时流速B、时均流速C、脉动流速D、紊动强度正确答案：A12、紊流光滑区的沿程阻力系数λ仅与（）有关，与相对光滑度无关。
A、谢才系数B、雷诺数C、相对光滑度D、相对粗糙度正确答案：B13、水流按流线是否为平行的直线或按流速是否沿程变化分为（）和非均匀流。
A、一元流B、二元流C、均匀流D、非均匀流正确答案：C14、在初生弹性波继续发生时，由上游反射回来的减压波已经到达阀门断面，并可能在阀门断面发生正反射，从而部分抵消了水击增压值，使阀门断面的水击压强值有所减小。
伯努利方程
解题步骤
解： 当点压强等于大气压强 时，各支水银面均位于 0-0水平面上(图a) 水平面上( 水平面上 则当最末一组测压计右 支水银面在0 支水银面在0-0平面以 三组U 上的读数为h时，三组U 型水银测压计中水银柱 的高差均为2 的高差均为 h(图b)
水 水
0
M
0
图a
水
水银
水
h h h
h h
h 0
相对压强为负值，说明C点存在真空。 相对压强为负值，说明C点存在真空。
解题步骤
相对压强的绝对值等于真空压强， 相对压强的绝对值等于真空压强，即
p k = 3.2kN/m 2
或据公式 p k = pa − p ′ 得
pk = pa − p′ = 98kN/m 2 − 94.8kN/m 2 = 3.2kN/m 2
所示， 如图b所示，或 l D = (h1 + h) − e = 2.17m 所示 而且压力中心D在矩形的对称轴上。 而且压力中心 在矩形的对称轴上。 在矩形的对称轴上
静止液体作用于物面上的总压力
MF2TD0251007
题
目
如图所示为一平板闸门， 如图所示为一平板闸门，水压力经闸门的面板 传到三个水平横梁上，为了使各个横梁的负荷相等， 传到三个水平横梁上，为了使各个横梁的负荷相等， 应等于多少？ 三水平横梁距自由表面的距离y应等于多少？已知水 深h = 3m。
将已知值代入上式， 将已知值代入上式，得
，
p A = 13.6 ×10 3 kg/m 3 × 9.8m/s 2 × (1.8m − 0.6m) − 1× 10 3 kg/m 3 × 9.8m/s 2 × (2.0m − 0.6m) + 13.6 ×10 3 kg/m 3 × 9.8m/s 2 × (2.0m − 0.8m) − 1× 10 3 kg/m 3 × 9.8m/s 2 × (1.5m − 0.8m) = 299.3kPa
液体的相对平衡
§2-8液体的相对平衡流体整体对地球有相对运动，但流体质点本身各自之间没有相对运动，这种状态为液体的相对平衡状态.流体平衡微分方程适用于绝对静止，流体所受外力为零，而相对平衡流体所受外力F=maF-ma=0，将-ma作为惯性力F′=0就可以采用平衡微分方程一、容器等加速直线运动液体的相对平衡 设有一盛装液体的容器，以等加速度a向右作直线运动。
坐标系0xyz固定在容器上，原点0取在自由面中心，容器中液体相对非惯性坐标oxyz处于相对平衡。
作用在单位质量液体上的质量力为：X=-a Y=O Z=-g()()dp Xdx Ydy Zdz adx gdz ρρ=++=--Cgz ax p +--=)(ρ平衡微分方程积分结果分析：1）自由液面p=p o (或p=p a )Z s ——自由面上点的Z坐标 上述方程是容器等加速直线运动液体自由面方程。
从方程可以看出自由面是一通过坐标原点的倾斜平面。
ga tg =βx g a Z s -= 它与水平方向夹角β：C z x ga =+2）等压面p=constax+gz=c 或 等压面是一族平行的与水平面夹角为β的倾斜平面。
根据等压面性质，等压面与质量正交，可得出同样的结果。
3)压强分布该式说明等加速直线运动容器，液体静压强分布规律与重力作用下静止液体静压强分布规律相同即某点的静压强等于液面压强加上液体容重与该点在液面下深度的乘积。
z x ga z Z h s --=-=A 点在液面下深度h p z x g a p p γγ+=--+=00)(A 点压强二、容器等角速旋转液体的平衡 盛有液体的容器绕垂直轴z以等角速度旋转，原点o在液体自由表面的中心处。
液体对非惯性系oxyz处于相对平衡， 作用在液体质点上的质量力除重力外，还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以向心加速度。
结果分析：等压面是一族绕z轴旋转的抛物面。
4)分界面→等压面本章思考题练习题1、设质量力场，f x =zy,f y =μxz,f z =νxy,试问流体在该力场作用能否平衡？2、已知p 为常数，总体积为V ，单位质量流体所受引力为。
液体静力学
流体力学基础一、 液体静力学液体静力学主要是讨论液体静止时的平衡规律以及这些规律的应用。
所谓“液体静止”指的是液体内部质点间没有相对运动，不呈现粘性而言，至于盛装液体的容器，不论它是静止的还是匀速、匀加速运动都没有关系。
1、液体静压力及其特性当液体静止时，液体质点间没有相对运动，不存在摩擦力，所以静止液体的表面力只有法向力。
液体内某点处单位面积△A 上所受到的法向力△F 之比，称为压力p （静压力），即由于液体质点间的凝聚力很小，不能受拉，只能受压，所以液体的静压力具有两个重要特性：液体静压力的方向总是作用在内法线方向上；静止液体内任一点的液体静压力在各个方向上都相等。
2、液体静压力基本方程1）基本方程式有一垂直小液柱，如图所示。
平衡状态下，有p △A =p 0这里的FG 即为F G =ρ所以有式中 g上式即为液体静压力的基本方程。
·重力作用下的静止液体由液体静压力基本方程可知:A、静止液体内任一点处的压力由两部分组成，一部分是液面上的压力p0，另一部分是ρg与该点离液面深度h的乘积。
当液面上只受大气压力p a作用时，点A处的静压力则为p=p a+ρgh。
B、同一容器中同一液体内的静压力随液体深度h的增加而线性地增加。
C、连通器内同一液体中深度h相同的各点压力都相等。
由压力相等的组成的面称为等压面。
在重力作用下静止液体中的等压面是一个水平面。
2）静压力基本方程的物理意义静止液体中单位质量液体的压力能和位能可以互相转换，但各点的总能量却保持不变，即能量守衡。
3）帕斯卡原理根据静压力基本方程(p=p0+ρgh),盛放在密闭容器内的液体，其外加压力p0发生变化时，只要液体仍保持其原来的静止状态不变，液体中任一点的压力均将发生同样大小的变化。
这就是说，在密闭容器内，施加于静止液体上的压力将以等值同时传到各点。
这就是静压传递原理或称帕斯卡原理。
即：压力的传递关系3、压力的表示方法及单位1）压力的表示法有两种：绝对压力和相对压力。
水力学课程总结
九. 局部水头损失的计算
计算局部水头损失的公式
hj
v2 2g
hj
(v1
v2)2 2g
hj 2 v 1 g 2(1v v 1 2)2(1A A 1 2)22 v 1 g 212 v 1 g 2 hj 2 v2 g 2(v v 1 2 1 )2(A A 1 2 1 )22 v2 g 222 v2 g 2
第一章 小节
量纲、单位；
液体的主要物理性质：
惯性与万有引力特性- 、、S
粘性-牛顿内摩擦定律
du
dy
压缩性与表面张力特性
作用在液体上的力
1
第二章 小节
一.静水压强的特性
1.沿受压面的内法线；
2.作用在同一点各方向的静水压强大小相等.
二.液体平衡微分方程
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
dy dy dy dy
紊流时均切应力
dux dy
ux' u'y
牛顿粘滞切应力
紊流附加切应力 23
六.紊流中的流速分布
1. 层流底层
紊流中靠近固体边界处，粘滞力起主要作用作层流运动的极 薄层，叫做层流底层或粘性底层（厚度l）。在层流底层，粘性 应力占主导地位；在紊流区，由流体微团的脉动流速引起各层 流体间动量交换产生的紊流附加切应力占主导地位。
p z
0
综合式 d p(X dYxd Z y)dz
积分式
pC
2
等压面方程 Xd Yxd Z yd 0 z
等压面的性质 （1）等压面也是等势面； （2）等压面与质量力正交。
三.重力作用下静水压强的分布规律
1.水静力学基本方程
流体力学-第二章
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力 作用在dA面积上的液体总压力为 作用在 面积上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为A上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为 上的液体总压力为
作用在任意形状平面上的液体总压力大小， 作用在任意形状平面上的液体总压力大小，等于该平面的淹没 面积与其形心处静压强的乘积， 面积与其形心处静压强的乘积，而形心处的静压强就是整个受 压平面上的平均压强。 压平面上的平均压强。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。
ω
旋转
等压面方程
自由表面方程
第五节 一、图解法
作用在平面上的液体总压力来自液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面， 液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面，液体总压力的 作用线通过静压强分布图体积的重心。 作用线通过静压强分布图体积的重心。液体总压力作用线与矩形 平面相交的作用点D称为压力中心 称为压力中心。 平面相交的作用点 称为压力中心。
三、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 1. 流体静力学基本方程的物理意义
Z：单位重量流体从某一基准面算起所 ： 具有的位能，因为是对单位重量而言， 具有的位能，因为是对单位重量而言， 所以称单位位能。 所以称单位位能。
：单位重量流体所具有的压能，称 单位重量流体所具有的压能， 单位压能。 单位压能。
等压面方程
三、等压面 帕斯卡定 律 等压面方程 当流体质点沿等压面移动距离ds时 质量力所作的微功为零。 当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。 ds 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 ds都不为零 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 这是等压面的一个重要特性。 这是等压面的一个重要特性。
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dp ( Xdx Ydy Zdz） gdz dz
9
z
由液体平衡微分方程，则
p0
积分m上式，则 h z0
z
p z C
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
dp ( Xdx Ydy Zdz） gdz dz p z C
C：积分常数，由边界上的压强条件确定。 10
z
由液体平衡微分方程，则
z0
z
图2.3.8 容器中的静止液体
单位液重所具有的位能
20
z
物理意义
pa
z1
p1
z2
p2
z0
p0
p/γ
p0
Δm Δmg p
Δmg p
p Δmg
Δm
z0
z
p
图2.3.8 容器中的静止液体 单位液重所具有的压能
21
z
物理意义
pa
z1
p1
z2
p2
z0
p0
p/γ
p0
Δm
Δmg(z p )
Δmg(z p )
p2
z0
p0
当 p0 = pa 绝对压强
容器液面与大气相通， 容器中液面与测压管中 液面平齐。
z p0
p2/γ
p1/γ
z1
1
z0
z2
2
图2.3.9 容器中的静止液体测压管水头24 线
z1
p1
z2
p2
z0
p0
p0 = pa 绝对压强
z
p0 = 0 相对压强
p0
p2/γ
p1/γ
z1
1
z0
z2
2
图2.3.9 容器中的静止液体测压管水头线
3
2.3 重力作用下静水压强的基本公式
2.3.1 重力作用下静水压强的基本形式 1 2.3.2 重力作用下静水压强的基本形式 2
4
实际工程中经常遇到的情况是，作 用于平衡液体上的质量力只有重力，即 静止液体。
5
z
p0
h
m
z0
z
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
考虑容器中液体在重力作用下的平衡
z p
Δmg
Δm
z0
z
p
图2.3.8 容器中的静止液体 单位液重所具有的势能
公式物理意义 单位液重所具有的势能是相等的 22
几何意义
z1
p1
z2
p2
z0
p0
z : 位置水头 p/γ： 压强水头 z+p/γ：测压管水头
z pa
p0
p/γ
Δm
z0
z
图2.3.8 容器中的静止液体
23
z1
p1
z2
p0
积分m上式，则 h z0
z
p z C
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
自由液面条件
z z0，p p0 C p0 z0
11
dp ( Xdx Ydy Zdz） gdz dz
z
p z C 由液体平衡微分方程，则
自由液面条件
z z0，p p0
C p0 z0
6
z
p0
m g
h z0
z
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
把直角坐标的z 轴作为铅垂方向，则
Z = -g
7
z
p0
h
m
z0
z
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
自由液面条件： z = z0，p= p0
8
z
p0
h
m
z0
z
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
由液体平衡微分方程，则
25
z1
p1
z2
p2
z0
p0
z
相对压强表示p，则p0= 0
p2/γ
p1/γ
z1
1
z2
2
z1
p1
z2
p2
z0
p0
测压管1和2中的液面、容
器中液面，三者之间的连 z0 线是水平的，即图中黄颜
色线是水平的。
图2.3.9 容器中的静止液体测压管水头线
26
z1
p1
z2
p2
z0
p0
z
p2/γ
p1/γ
15
p p0 (z0 z) p p0 h
静止液体内静水压强由两部分组成。
自由液面上压强 p0大小不变地传到液体 内任一点，即液面压强遵循帕斯卡原理。
γh 相当于单位面积上高度为h的水柱
重量
p 与h 或 z 是线形关系
16
2.3 重力作用下静水压强的 2.3.2 重力作用下静水压强的基本形式 2
17
化简重力作用下静水压强的公式，则
p p0 (z0 z)
z
p
z0
p0 ＝C
基本形式 2
C 为常数，对于具体的问题是一唯一的常数
18
z
p
z0
p0
＝C
[L]
z
pz
p 0
＝C
0
测压管水头
19
物理意义
z1
p1
z2
p2
z0
p0
Δm Δmgz Δmgz z Δmg
z pa
p0
p/γ
Δm
z1
1
z2
2
当p0 > pa 绝对压强
p0 > 0 相对压强 容器密封，液面压强
p0
比大气压大。测压管中
液面比容器中液面高。
z0
图2.3.10 容器中的静止液体测压管水头线
27
z
z1
p1
z2
p2
z0
p0
p0 p0/γ
上等式的几何意义： 两个测压管中的液
面是水平的，且高于 容器中的液面。
p2/γ
p1/γ
自由液面上压强 p0大小不变地传到液体 内任一点，即液面压强遵循帕斯卡原理。
13
分析公式可得 p p0 ( z0 z ) p p0 h
γh 相当于单位面积上高度为h的水柱重量
14
分析公式中可得 p p0 ( z0 z ) p p0 h
p p(x, y, z) p(z) p 与h 或 z 是线形关系
32
2.3 重力作用下静水压强的基本公式
2.3.1 重力作用下静水压强的基本形式 1 2.3.2 重力作用下静水压强的基本形式 2 2.3.3 重力作用下静水压强差的公式 2.3.4 重力作用下等压面
33
重力作用下的等压面条件 连通、同一种液体、水平面
34
非等压面
等压面
图 重力作用下的液体等压面
2 水静力学
1
2.1 静水压强及其特性 2.2 液体的平衡微分方程式 2.3 重力作用下的液体平衡 2.4 压强的度量与量测 2.5 作用于平面上的静水总压力 2.6 作用于曲面上的静水总压力
2
2.3 重力作用下静水压强的基本公式
2.3.1 重力作用下静水压强的基本形式 1 2.3.2 重力作用下静水压强的基本形式 2 2.3.3 重力作用下静水压强差的公式 2.3.4 重力作用下等压面
31
z
p2/γ
p1/γ
z1
1
z2
2
p0 z0
p1
p2
p12
p0
pp01 p21
p((zz0 00zz(12z))0
z1
pp20 (z0z z2
p1 p2p12 zp1 p2
p1 p2 z
图2.3.12 容器中的静止液体压强差推导示意
1点高2点低，取‘－’ 1点低2点高，取‘+’ 高程差假定为正值
p p0 ( z0 z ) p p0 h
p0
积分m上式，则 h z0
z
p z C
x
图2.3.7 重力作用下的静水压强推导示意
h: m点在液面下的埋深
重力作用下静水压强的计算公式
12
分析公式可得 p p0 ( z0 z ) p p0 h
静止液体内静水压强由两部分组成。
z1
1
z0
z2
2
图2.3.10 容器中的静止液体测压管水头线
28
z1
p1
z2
p2
z0
p0
z
p0 < pa 绝对压强
p0 <0 相对压强
p2/γ
p1/γ
z1
1
z2
2
p0 p0/γ z0
容器密封，液面压强 比大气小，真空存在。 容器中液面比测压管 中液面高。
图2.3.11 容器中的静止液体测压管水头线
(a) 连通容器 图2.3.13 容器中的静止液体等压面
35
非等压面
(b) 不连通
图2.3.13 容器中的静止液体等压面
36
29
z1
p1
z2
p2
z0
p0
z
p0 < pa 绝对压强
p0 < 0 相对压强
p2/γ
p1/γ
z1
1
z2
2
p0 p0/γ z0
上式几何意义表示： 两个测压管中的液面 是水平的，但比容器 中液面低 。
图2.3.11 容器中的静止液体测压管水头线
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2.3 重力作用下静水压强的基本公式
2.3.1 重力作用下静水压强的基本形式 1 2.3.2 重力作用下静水压强的基本形式 2 2.3.3 重力作用下静水压强差的公式 2.3.4 重力作用下等压面