函数单调性判断方法(五)-导数法

函数单调性判断方法（五）-导数法
函数在区间
上连续，在
内可导，且在内
① 如果，那么函数在区间上单调增加 ② 如果
，那么函数
在区间
上单调减少
由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域
② 求导数
③ 令解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为
④ 确定区间
内导数符号
⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这
区间内递减。

例1：（2011安徽）设()1x
e f x ax
=+，其中a 为正实数
（Ⅰ）当a 4
3
=
时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：对)(x f 求导得.)
1(1)(2
22ax ax
ax e x f x
+-+=' ① （I ）当34=
a ，若.21,23,0384,0)(212
===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知
所以,231=
x 是极小值点,2
1
2=x 是极大值点.
x
)2
1,(-∞
2
1 )2
3,21( 2
3 ),2
3(∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f
↗
极大值
↘
极小值
↗
（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知
0122≥+-ax ax
在R 上恒成立，因此,0)1(4442
≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a
例2：（2011北京）已知函数k
x e k x x f 2
)()(-=.
(1)求)(x f 的单调区间；（2）略
解：(1)/
221()()x
k f x x k e k
=-，令/
()0f x =得x k =±
当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增
例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2
---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）
221212122(1)2(1)1'(),
1
12(1)2(1)1012(1)()
3
1
0,'()23
11
0,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x
a a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=+<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点
且当或时，在与
内为增函数121212'()0,(),)1
10,'()0,()(0,)3
1
1'()0(0),()(0,)11
10,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x
a x x f x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=->=<；当时，在(内为减函数
当时，在内为增函数；
当时，在内为增函数；
当时，所以在定义域内有唯一零点
②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；
综上所述，f(x)的单调区间如下表：
（其中
121122x x a a =
=）
例4：（2011湖南）设函数1
()ln ().f x x a x a R x
=--∈ (I)讨论()f x 的单调性； （I ）()f x 的定义域为(0,).+∞
222
11'()1a x ax f x x x x -+=+-=
令2
()1,g x x ax =-+其判别式2
4.a =-
(1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．
(2) 当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故
()(0,)f x +∞在上单调递增．
(3) 当2a >时,>0,g(x)=0的两根为1222
a a x x +==，
当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．。