3.4《基本不等式》课件(必修5)
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(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)
4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》示范课课件_4
2
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本 不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学 家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本 不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学 家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
【全国百强校】湖北省宜昌市第一中学人教A版高中数学必修5课件：3.4基本不等式 (共12张PPT)
问题1.已知 a 0, b 0 ， a b 1，求 ab 的最大 值； 1 问题2.已知 x 0 ，当 x 取什么值， x 的值最 x 小？最小是多少.
1 变式1：若 x 1, x 还有最小值么？ x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题， 你有什么收获呢？
图象
【应用提升】 简单最值问题
如何设计呢？
【实验探究】
a b …2ab ab ab „ 2
2 2
想一想？
实验
【新知建构】
基本不等式
2 2
结论: 若a, b R, 则a b …2ab,
ab 若a 0, b 0, ab „ , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等 式吗？
【应用提升】 简单最值问题
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等
式》； （2）准备一大一小两张正方形纸 片，在大正方形纸片各边上标出若 干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式 （第1课时）
宜昌一中数学组 李智伟
【问题引入】
随着科技的发展，人 们生活中的电子产品 越来越精美、便利。 现有三种5寸手机可 供选择的设计方案， 对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
一种观念
【课外研究】
请你来判断:
（1）为什么蜂巢都是正六边形？（2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业： 《课时练》P59～60
谢谢！
分享收获: 一正
对于x 0, y 0, 二定 三相等 (1)若xy （定值） p ,则当仅当x y时， x y有最小值2 p ; s xy有最大值 . 4
2
(2)若x y （定值） s ,则当仅当x y时，
1 变式1：若 x 1, x 还有最小值么？ x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题， 你有什么收获呢？
图象
【应用提升】 简单最值问题
如何设计呢？
【实验探究】
a b …2ab ab ab „ 2
2 2
想一想？
实验
【新知建构】
基本不等式
2 2
结论: 若a, b R, 则a b …2ab,
ab 若a 0, b 0, ab „ , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等 式吗？
【应用提升】 简单最值问题
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等
式》； （2）准备一大一小两张正方形纸 片，在大正方形纸片各边上标出若 干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式 （第1课时）
宜昌一中数学组 李智伟
【问题引入】
随着科技的发展，人 们生活中的电子产品 越来越精美、便利。 现有三种5寸手机可 供选择的设计方案， 对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
一种观念
【课外研究】
请你来判断:
（1）为什么蜂巢都是正六边形？（2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业： 《课时练》P59～60
谢谢！
分享收获: 一正
对于x 0, y 0, 二定 三相等 (1)若xy （定值） p ,则当仅当x y时， x y有最小值2 p ; s xy有最大值 . 4
2
(2)若x y （定值） s ,则当仅当x y时，
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
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练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
1 (1) a 2 a
1 1 (2)( a )( b ) 4 a b 1 1 1 2 2 (3)( a b)( ) 4 (4)a 1 2 a 1 a b
（1）（2）（3）
其中恒成立的 练习2：若
。
a b 1, P lg a lg b , 1 ab Q (lg a lg b), R lg( ) ，则（ B ） 2 2 A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
2
2.已知a 0, b 0, c 0, d 0, 求证： ad bc bc ad 4 bd ac 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3.证明：a b c a b b c a c abc(a b c)
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2）
ab
ab 2
称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。
基本不等式的几何解释：
D
A
a
C
b
B
E
半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
1 例1.(1) 已知 x 0, 求证x 2, 并指出等号 x 成立的条件. a b (2) 已知 ab 0, 寻找 与2的大小关系, b a 并说明理由. a b (3) 已知 ab 0, 能得到什么结论? b a 请说明理由.
5 x x x C、 y 3 3 ( x R)
D、 y sin x
1 (0 x ) sin x 2
构造积为定值，利用基本不等式求最值
1 x( x 3) 的最小值 例4、 求函数 y x3
思考：求函数 y
x 5
2
x2 4
的最小值
构造和为定值，利用基本不等式求最值
§3.4基本不等式:
ab ab 2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D b G A H
D
a 2 b2
F
E a a C A E(FGH) b C
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab ab (a 0, b 0) 2
其容积为4800立方米，深为3米，如果池底
每平方米的造价为150元，池壁每平方米的
造价为120元，怎样设计水池能使总造价最
低？最低总造价是多少？
练习：
1 1、当x>0时， x 的最小值为 x
2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是
1 6
2
，此时x= 1
。
Hale Waihona Puke 2 x 3 y 2( x 0, y 0)
例5、已知 0 x 1 ，求
练习：
x 1 x 的最大值
2
已知 x 0, y 0 且 2 x 5 y 20 ，则lg x lg y 最大值是多少？
利用基本不等式证明不 等式 a b 1.已知a、b是正数，且 1( x, y R )， x y 求证：x y ( a b )
1 2 有最大值 S 4
x y 时，
例 3 、 （ 1 ）用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最
短篱笆是多少？ （ 2）一段长为 36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，
应用二：解决最大（小）值问题 例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 和x 积
xy 是定值P，那么当 x y 时，
P （2）如果和 x y 是定值S，那么当
y 有最小值 2
xy
小结：利用 a b 2 ab(a 0, b 0) 求最值时要注意下面三条： （1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。 （3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3 x 3 y 的最小值是（ D） A、10 B、 6 3 C、 4 6 D、 18 3 4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ） 1 A、 B 、 y lg x (1 x 10) x 5 y ( x R, x 0) lg x