第十六章 二次根式知识点与复习
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
第16章 二次根式 小结与复习 教学课件(共20张PPT)
（A）
A.x≥3
B.x≤3
C.x>3
D.x<3
2.若 x x 6 x(x 6), 则（ A ）
A.x≥6
B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值.
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和 (3x y 1)2 均为0.
7. 若等腰三角形底边长为 12cm，底边的高为 ( 3 2)cm. 则三角形的面积为 (3 6)cm2 .
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
☞
回 顾
二 次 根
化
( a )2 a(a 0)
考点三 二次根式的实际应用
例6 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面 积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示 叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这 个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解：
S=
（
18-
2 ）
2
4
= （3
2-
2 ）
2
4
=2 2 2 4
=16．
针对训练
0a
0 ,
a a＜0 .
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含__分__母___； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的乘除
乘法： a g b ＝__a_b___(a≥0，b≥0)； a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
人教版八年级下册数学：第十六章 二次根式小结与复习
(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a(a 1)
a2 a
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和(3x y 1)2均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0,
∴x-1=0, 3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
八年级数学下册第十六章二次根式考点大全笔记(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式考点大全笔记单选题1、二次根式√1x−2有意义，则x 满足的条件是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ≥2D ．x ≤2答案：B分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 解：根据题意得：x ﹣2＞0，解得，x ＞2．故选：B ．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a （a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．2、若代数式√x x−1在实数范围内有意义，则x 的取值范围为（ ）A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ≠0D ．x ≥0且x ≠1答案：D解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可知x -1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1.故选D.3、下列各式中，是二次根式有（ ）①√7；②√−3；③√103；④√−3−x 2；⑤√a 2+9；⑥√1x 2+1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B分析：根据二次根式的概念进行分析判断．解：①√7是二次根式，②√−3没有意义，不是二次根式，③√103是三次根式，不是二次根式，④√−3−x 2没有意义，不是二次根式，⑤√a 2+9是二次根式，⑥√1x 2+1是二次根式，∴①⑤⑥是二次根式，共3个，故选：B ．小提示：本题考查二次根式的定义，理解二次根式的概念（形如√a ，a ≥0的式子叫做二次根式）是解题关键．4、计算2√5×3√10=( )A ．6√15B ．6√30C ．30√2D ．30√5答案：C分析：根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.解：2√5×3√10=6√50= 30√2,故选C.小提示：本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.5、下列实数中，有理数是（ ）A ．√12B ．√13C ．√14D ．√15 答案：C分析：先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可解：A 、√12=√22∵√2是无理数，故√12是无理数 B 、√13=√33∵√3是无理数，故√13是无理数 C 、√14=12为有理数D、√15=√55∵√5是无理数，故√15是无理数故选：C小提示：本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键6、若a＝√2﹣1，则a+1a的整数部分是（）A．0B．1C．2D．3答案：C分析：把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a=√2−1，∴a+1a =√2−1√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9，∴2<2√2<3，∴a+1a的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．7、下列运算结果正确的是( )A．√(−9)2＝﹣9B．(−√2)2=2C．√6÷√2=3D．√25=±5答案：B解：因为√(−9)2=9,所以A错误,因为(−√2)2=2,所以B正确,因为√6÷√2=√3,所以C错误,因为√25=5,所以D错误,故选B.8、估计√12×√13+√10÷√2的运算结果应在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间分析：先进行二次根式的运算，然后再进行估算．解：原式=2√3×√33+√10÷√2=2+√5，√4<√5<√9，即2<√5<3，4<2+√5<5，故选：C ．小提示：题目主要考查二次根式的混合运算及运用“夹逼法”估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．9、当x >2时，√(2−x )2= （ ）A ．2−xB ．x −2C ．2+xD ．±(x −2)答案：B分析：根据√a 2=|a |的进行计算即可．∵x ＞2，∴√(2−x )2=|2−x |=x −2，故B 正确．故选：B ．小提示：本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握√a 2=|a |是解题的关键．10、若式子√m+2(m−1)2有意义，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＞﹣2且m ≠1C ．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠1答案：D分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．由题意可知：{m +2≥0m −1≠0， ∴m≥﹣2且m≠1，小提示：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.填空题11、计算：√−83+√16＝_____．答案：2分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．解：+＝﹣2+4＝2．所以答案是：2【小提示】本题考查了立方根与算术平方根，记熟立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．12、当x>0时，化简35√x2y5÷4y15√yx= _________________．答案：94xy√x分析：先根据二次根式的定义和除法的性质可得y>0，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．由二次根式的定义得：{x2y5≥0yx≥0，∵x>0，∴y≥0，又∵除法运算的除数不能为0，∴y≠0，∴y>0，则35√x2y5÷4y15√yx=35xy2√y÷4y15√yx=35xy2√y4y15√yx=9xy 4√y ⋅x y=94xy √x 所以答案是：94xy √x ． 小提示：本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．13、计算：√6√24=______；√3×√6÷√2=______. 答案： 12 3 分析：能化简的先化简二次根式，再进行二次根式的乘除运算.解：（1）√6√24=√62√6=12； （2）√3×√6÷√2=√3×6÷2=√9=3.故答案为(1). 12 (2). 3小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．14、计算6√5﹣10√15的结果是_____． 答案：4√5分析：首先化简√15，然后再合并同类二次根式即可． 解：原式=6√5-10×√55=6√5-2√5=4√5， 故答案为4√5．小提示：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．15、若√17−n 的值是整数，则自然数n 的值为_____．答案：17或16或8或1分析：先根据二次根式的定义求出x 的取值范围，再根据√17−n 的值是整数这一条件对n 的值进行讨论即可． 由题意得：17-x≥0，解得，x≤17，当x=0时，原式=√17，不合题意；当x=1时，原式=√16=4，符合题意；当x=2时，原式=√15，不合题意；当x=3时，原式=√14，不合题意；当x=4时，原式=√13，不合题意；当x=5时，原式=√12=2√3，不合题意；当x=6时，原式=√11，不合题意；当x=7时，原式=√10，不合题意；当x=8时，原式=√9=3，符合题意；当x=9时，原式=√8=2√2，不合题意；当x=10时，原式=√7，不合题意；当x=11时，原式=√6，不合题意；当x=12时，原式=√5，不合题意；当x=13时，原式=√4=2；符合题意；当x=14时，原式=√3，不合题意；当x=15时，原式=√2，不合题意；当x=16时，原式=1；当x=17时，原式=0．综上所述，x=1、8、13、16或17．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义：概念：式子√a（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．解答题16、计算：2√13−(√8+√813)−√3+√2.答案：−3√3分析：根据二次根式的性质将各项化为最简二次根式，再进行加减混合运算即可．2√13−(√8+√813)2√3+√2=2√33−(2√2+5√33)√3√2)(√3+√2)(√3−√2)=−√3−2√2−2(√3−√2)=−3√3．小提示：本题考查了二次根式的性质以及加减混合运算等知识，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 17、计算：√12+|√3−3|−(13)−1． 答案：√3 分析：先化简二次根式，绝对值，负整式指数幂，然后计算即可得答案．√12+|√3−3|−(13)−1=2√3+(3−√3)−3=2√3+3−√3−3 =√3．小提示：本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、负指数幂等基础知识，熟练掌握运算法则是解题关键．18、计算：|−4|+(13)−1−(√2)2+20350． 答案：6分析：原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可．解：|−4|+(13)−1−(√2)2+20350 =4+3−2+1=6小提示：本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键．。
第十六章 二次根式知识点归纳及应用(精品)
第十六章二次根式出处何海平名师工作室 QQ：1322798146（欢迎加入交流）一、知识梳理1．二次根式：式子)0(≥aa叫做二次根式。
2．最简二次根式若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
3. 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。
（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6. 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（2）二次根式根号下被开方数≥07.【公式】：（1）√a·b=√a×√b；√a×√b=√a·b（2）√ab=√a√b√a√b=√ab（3）(√a)2=a （４）√a²=|a|={a (a≥0)–a (a≤0)被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。
比如：91691675734916525916916916+≠+∴≠=+=+==++≠+1625162513145162539162516251625-≠-∴≠=-=-==--≠-分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数。
比如：413√2（×）；133√2（√）1.填空（1）√8=________；（2）√18=________；（3）√32=________；（4）√50=________；（5）√12=________；（6）√27=________；（7）√48=________；（8）√75=________；（9）√20=________；（10）√45=________；（11）√80=________；（12）√125=________；2.填空；（1）√4x=________；（2）√9x=________；（3）√16x=________；3.填空；（1）√2x²=________；（2）√3x²=________；（3）√4x2=________；（4）√8x2=________；（5）√2x³=________；（6）√3x3=________；（7）√4x3=________；（8）√8x3=________；4.填空（1）√12=________；（2）√13=________；（3）√18=________；（4）√19=________；（5）√23=________；（6）√25=________；（7）√35=________5.填空（1）√1x=________；（2）√12x=________；（3）√1x²=________；（4）√12x²=_______；（5）√1x³=________；（6）√12x³=_______6、计算:(1)√16x+√9x (2)√80−√45(3) 5√2+√8−7√18 (4)√80+√8−√45−7√18 (5)√32−√12−2(√18+√27) (6) 2√8+12√18−14√32(7)√12−(√13−√127) (8) 3√40−√25−2√110(9) 2√12−4√127+3√48 (10)√24−√12+2√23−√18−√6 7．计算：（1）(√8+√3)×√6（2）(5√8+3√3)×2√3（3）(4√2−3√6)÷2√2（4）2√3(4√2−3√6＋5√12−√8)（5）(7√2+2√6)(2√6−7√2)（6）(√7−7√3)²（7）已知x=√3+2，y=√3−2，求x2-y2的值二、函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（∵分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数≥0（∵负数没有平方根）例1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x﹣2 （2）y=1x﹣2（3）y=5x﹣2-1x+3（4）y =x﹣2（5）y=1x﹣2（6）y=1√x−2（7）y =x+5x﹣2（8）y=x﹣2+2﹣x解：（1）x取任意实数【∵题目中没有分母也没有根号∴x取任意实数】（2）x≠2【∵由分母x-2≠0得x≠2】（3）x≠2并且x≠﹣3 【由{分母x−2≠0分母x+3≠0解之得{x≠2x≠−3即x≠2并且x≠﹣3】（4）x≥2【∵由被开方数x-2≥0得x≥2】（5）x＞2【由{被开方数x−2≥0分母√x−2≠0解之得{x≥2x≠2∴x＞2】（6）x≥0并且x≠4【由{被开方数x≥0分母√x−2≠0解之得{x≥0x≠4∴x≥0并且x≠4】（7）x≥﹣5并且x≠2【由{被开方数x+5≥0分母x−2≠0解之得{x≥−5x≠2∴x≥﹣5并且x≠2】（8）x=2【由{被开方数x−2≥0被开方数2−x≥0解之得{x≥2x≤2∴x=2】二、函数中自变量的取值范围1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y=1x+3（3）y=1x﹣2﹣1x+3（4）y=x+3（5）y=1x+3（6）y=√x−3（7）y=x+3x﹣2（8）y=x-3 +3-x11. (武汉)式子x-1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ． x ≥1 C ． x ≤－1 D ．x <－111.（鞍山）要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤211.（江苏盐城）有意义，则x 的取值范围是 .11.（湖北随州）函数x 的取值范围是_________。
最新人教版八年级数学第十六章 二次根式讲义
第十六章二次根式16.1二次根式16.2二次根式的乘除16.3二次根式的加减【知识精要】二次根式及其性质一、一周知识概述1、二次根式一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．3、二次根式的性质(3)4、积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．5、商的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．6、最简二次根式如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负 (≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的性质，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．化简：．分析：待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．解：由数轴上点的位置可知a>b，0<a<1，b<－1，∴a>0，b<0，a－b>0，b－1<0，a－1<0总结：（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性．例2、化简下列二次根式：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．例3、若x为实数，化简下列各式（1）（2）由于x为实数，要确定中的x＋1和中的x－2的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论．解：（1）==|x＋1|当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|=x＋1当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|=－(x＋1)=－x－1（2）=＋2=|x－2|＋2|1＋x| 令x－2=0，则x=2，令x＋1=0，则x=－1，x=2,x=－1称为零点值把x=2，x=－1这两点标在数轴上(如上图)这时数轴被分成三段：x≥2，－1≤x<2，x<－1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号．1）当x≥2时|x－2|＋2|1＋x|=(x－2)＋2(1＋x)=3x；2）当－1≤x<2时，|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)＋2(1＋x)=x＋4；3）当x<－1时|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)－2(1＋x)=－3x解这类题的大致步骤：①找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；②在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；③按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的．例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．中考解析例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由数轴上实数a、b的位置可知，a－b<0，例2、（绵阳市）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3解析：是正整数，12－n是一个整数的平方数，当n增大时，12－n减小，所以当n=11时，12－n=1，所以n的最大值为11．答案：B例3、（荆门市）若，则x－y的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查二次根式的意义， 由题意可知 x －1≥0且1－x ≥0, ∴，，∴x －y=2，故选C ． 答案：C一、选择题(共20分)：1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）AB2、下列根式中,最简二次根式是( )3、计算：3÷6的结果是 ( )A 、12B 、62C 、32 D 、 2 4、如果a 2＝－a ，那么a 一定是 （ ）A 、负数B 、正数C 、正数或零D 、负数或零 5、下列说法正确的是( )A 、若,则a ＜0 B 、若 ,则a ＞0C 、D 、5的平方根是6、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m 为( ) A 、-3 或1 D 、-17、能使等式成立的x 值的取值范围是（ ）8X C.6X 3 D.X 2+1a 2=- a a 2= a 5a 4b 8=a 2b 4A 、x ≠2B 、x ≥0C 、x ＞2D 、x ≥2 8、已知xy ＞0,化简二次根式2x yx -的正确结果是( )9、已知二次根式2x 的值为3，那么x 的值是（ ） A 、3B 、9C 、-3D 、3或-310、若a =，b =，则a b 、两数的关系是（ ）A 、a b =B 、5ab =C 、a b 、互为相反数D 、a b 、互为倒数 二、填空题(共30分)：11、当a=-3时，二次根式1－a 的值等于 。
(完整word)第十六章二次根式知识点归纳,推荐文档
第十六章二次根式知识点归纳一、形如▼（:工：）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是•二为二次根式的前提条件,二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“J ”；第二，被开方数是正数或0.三、二次根式「■'（二兰「）的双重非负性：1被开方数卫⑺非负2、,a的值非负。
四、二次根式的化简。
1化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.\ a2= I a I①若a是正数，贝UI a I等于a本身；②若a是负数，贝UI a I等于a的相反数-a,③若a是0,贝UI a I等于0.2、V a =a （a > 0）.3、被开方数是乘积用• ab = a• '、b（a》0，b>0）化，4、被开方数是商的形式用£ =芈（a》0，b>0）或i医=丄JabVb v b b5、最简二次根式应满足的条件：（五）二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（六）二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c,那么a2+ b2=c2。
或者：直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平方勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C 90，则c . a2 b2， b C_a2,a ..c2~b2)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+ b2=c2。
人教版数学八年级下册第十六章二次根式 复习课件(共17张PPT)
二、举一反三
4 .计练算习2：计算：
（1） 80 20 5；
（2）18 ( 98 27)；
（3）( 24 0.5) ( 1 6); 8
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48.
3
2
二、举一反三
解：
(1) 80 20 5 4 5 2 5 5 3 5. (2) 18 ( 98 27 ) 3 2 7 2 3 3 10 2 3 3.
A. 2 2 1 B.2x 1 C.2 2 1 D.2 2 1
2．填空题：
（1）若 x 4 有意义，则 x 的取值范围是_____
x5
（2）若 a2 1，则 a 的取值范围是______ a
（3）化简 a
1
a3
_____
(4)若2n1 3m 2n 与 6 是同类最简二次根式，则n=__ ，m=____ (5)化简 _____ 3a2b2(a 0,b 0) (6)若 a 0,b 0 ，则 a b2 _____
4．计算：
课堂小结
1．本节课复习的六个基本问题是“二次根式”这一 章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握． 2．在二次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意 利用题中使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)， 即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式 子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算 时，一定要注意每一个性质中字母的取值范围．
3.计算
a2 a2
4a 4a
4 3
•
3a a2
1 1 a
4.已知m，n为实数，且满足 m n2 9 9 n2 4 ，
求 6m 3n 的值
n3
四、融会贯通
1．选择题：
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第十六章 二次根式知识点与复习
知识点1：二次根式的定义及有意义的条件：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义． 【例1】下列各式
1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+， 其中是二次根式的是 （填序号）． 举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A 、a
B 、10-
C 、1a +
D 、21a +
2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有___________个
【例2】若式子13
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是
【例3】若y =5-x +x -5+2009，则x + y =
举一反三：
1、若11x x ---2()x y =+，则x －y =
2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12
a b +
+的值。
知识点2：二次根式的性质：1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 2. ()()a aa 20=≥．
注意：此性质既可正用，也可反用：a a a =≥()()20
3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩
||()() （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩
||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 【例4】若()2
2340a b c -+-+-=，则=+-c b a ． 举一反三：
1、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -＝
2、若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。
【例5】已知2x <,则化简244x x -+＝（ ） A 、2x - B 、2x + C 、2x --
D 、2x - 举一反三：
1、若2
3a ，则()()2223a a ---＝
2、若a －3＜0，则化简
a a a -++-4962＝
【例6】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a 举一反三：
实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a -+-=．
1- 0 1 2
a o
b a
【例7】化简二次根式22a
a a +-的结果是（ ） （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a
举一反三：
1、把二次根式a a
-1化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --a C. -a D. a 知识点3： 最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．
知识点4：同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【例8】在根式1) 222;2);3);4)275
x a b x xy abc +-，最简二次根式是 1、下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（ ）A ．7 B ．3 C ．12 D ．2 2、下列根式不是最简二次根式的是( )A.21a + B.21x + C.24
b D.0.1y 【例9】下列根式中能与3是合并的是( )A.8 B. 27 C.25 D.
21 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A 、318和
B 、133
和 C 、22a b ab 和 D 、11a a +-和 2、如果最简二次根式
83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点5：分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
知识点6：有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。
分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【例10】 把下列各式分母有理化
（1）
148 （2） 2a b - （3） 221- （4）5353+- (5)333223-
1、已知2323x -=
+，2323
y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +- （2）223x xy y -+
知识点7：二次根式计算——二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
a b =a b
（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a b =a b （a ≥0，b>0） 【例11】能使等式2
2x x x x =--成立的的x 的取值范围是（ ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解
知识点8：二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。