椭圆经典例题分类汇总

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椭圆经典例题分类汇总

1. 椭圆第一定义的应用

例1椭圆的一个顶点为 A 2,0,其长轴长是短轴长的 2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.

解:(1 )当A 2,0为长轴端点时,a 2 , b 1 ,

椭圆的标准方程为:

(2)当A 2,0为短轴端点时,

说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖 的,因而要考虑两种情况.

2 2

例2已知椭圆— 匚 1的离心率e

k 8 9

分析:分两种情况进行讨论.

由e 1,得」1,即

2 9 4

k 5 0,

得3 k 5,故k 的取值范围是3 k 5.

3 k 0,

椭圆经典例题分类汇总

2 2

例3 已知方程

x

y 1表示椭圆,求k 的取值范围

k 5

3 k

k 5 0,

解: 由3

k 0, 得3 k 5,且 k 4.

k 5 3 k,

?满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为:

2 2

x y 4 16

,求k 的值.

解:当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2

b 2

9,得 c 2 k 1 .由 e

当椭圆的焦点在y 轴上时,

b 2

得c 2

???满足条件的k 4或k

4

说明:本题易出现漏解?排除错误的办法是: 可能在x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论.

因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点

k 5,且 k 4.

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件,当a b 时,并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0

)表示焦点在y 轴上的椭圆,求 的取值范围.

说明:本题易出现如下错解:由

分析:依据已知条件确定 的三角函数的大小关系. 再根据三角函数的单调性, 求出 的取值范围.

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程?这 是求轨迹方程的一种重要思想方法. 2. 焦半径及焦三角的应用

2 2

例1已知椭圆 — y 1 , F 1、F 2为两焦点,问能否在椭圆上找一点

M ,使M 到左准线I 的距

4 3

X 2

解:方程可化为 -------

1

sin

2

y cos

1 ?因为焦点在y 轴上,所以

1 cos

1 sin

因此sin 0且tan

3

1

从而$4)?

说明:(1)由椭圆的标准方程知

1 0,

1

sin cos

⑵由焦点在 y 轴上,知a 2

件0

1 b 2

1 cos

,b sin

o ,这是容易忽视的地方.

(3)求

的取值范围时,应注意题目中的条

3,0 ,且在定圆B : x

的轨迹方程.

分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式.

解:如图所示,设动圆 P 和定圆B 内切于点M ?动点P 到两定点, 即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径, 即PA PB PM PB BM |

8.二点P 的轨迹是以 A , B 为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为b .. 42

32 -7的椭圆的方程:

2

X

16

2

y 7

MF 1

??? MN

a e 为 2

1

x 1,

2

MF1I I MF2I

MF 2 ex 1

1 2X1

?

x 1 4 1

X

1

2

2 i X1

例5已知动圆P 过定点A y 2 64的内部与其相内切,

又由焦半径公式知:

3. 第二定义应用

求点M 的坐标.

整理得 5xj 32x 1 48 0. 解之得x 1 12

4

或 x 1

5

另一方面 2

X i

则①与②矛盾, 所以满足条件的点 不存在.

例2已知椭圆方程

2

2

x

y

1 .

-2

2

1

a b

a

b

,长轴端点为A , , A 2,焦点为F i , F 2, P 是

椭圆上一点,

A-i PA 2 , F 1PF 2 .求:F 1PF 2的面积(用a 、b 、 表示).

分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 1

的两邻边,从而利用S 丄absin C 求面积.

2

解:如图,设P x , y ,由椭圆的对称性, 不妨设P x , y ,由椭圆的对称性,不妨设P

在第一象限.由余弦定理知:

由椭圆定义知:

|PF i |PF 2

2a

故 S FPF 1

r 1 2

-|PF - |PF 2 sin

2

卩问 |PF i

2

PF 2I 2PF 』J PF 2

②,则②2—①得

PFi | |PF 2

2

cos 4c .①

cos

1 2b

2 sin

21 cos

b 2 tan —.

2

2

例1椭圆—

16 2

J 1的右焦点为 12

,过点A1, 3,点M 在椭圆上,当AM 2 MF 为最小值时,

分析:本题的关键是求出离心率

2MF |转化为 M 到右准线的距离, 从而得最小值.

1

般地,求AM -|MF 均可用此法.

e

解:由已知:a 4, c 2 .所以

-,右准线 2

过A 作AQ I ,垂足为Q ,交椭圆于M ,故

MQ 2MF |.显然AM 2MF 的最小值为|A Q ,即M

求点,因此y M 3,且M 在椭圆上.故X M 2 3 .所

说明:本题关键在于未知式|AM | 2 MF 中的“2”的处理.事实上,如图,e

为所 以

M 到右准线的距离的一半,即图中的

MQ ,问题转化为求椭圆上一点 M ,使M 到A 的距离与到

右准线距离之和取最小值.

2 2

例2已知椭圆笃 爲 1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b 1),求P 到左准线的距离.

4b 2 b 2

分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.

解法一:

2

2

_

3

由 4b 2 b 2 1

,得

a 2b

,C 3b

,e 2

由椭圆定义,PF , PF 2 2a 4b ,得

即P 到左准线的距离为2、. 3b .

??? P 到左准线的距离为 ±3b Z^b 2 3b

3 3

说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.

椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如?一般地,如遇 到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二 定义.

2 2

例3已知椭圆— 仏 1内有一点A(1 , 1) , F ,、F 2分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆上一

9

5

八、、?

(1)

求PA |PF 1的最大值、最小值及对应的点 P 坐标;

3

(2) 求PA -|PF 2的最小值及对应的点 P 的坐标.

分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代 数方法?二是数形结合,即几何方法?本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住 椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解.

PR 4b PF 2 4b b 3b .

由椭圆第二定义,

PF

- e , d ,

为P 到左准线的距离,

d i

二 d ,

PF , e

2 3b ,

解法二:

..PF 2 d 2

e , d 2为P 到右准线的距离,e

◎b ?又椭圆两准线的距离为

3

2

a 2 - c

解:

⑴如上图,2a 6 , F 2 (2,0) , AF 2 J2,设P 是椭圆上任一点,由PF i | PF 2 2a 6, PA PF 2 AF 2| , ??? I

PA

I PF , I PF , PF 2 AF 2

2a

AF 2

6

42

,等号仅当

PA PF 2

|AF 』时成立,此时P 、A 、F 2共线.

由 PA |PF 2 AF 2I ,? |PA |PF ,| | PF , | PF 2 |AF 2 2a | AF 2 6 J2,等号仅当 PA PF 2 AF 』时成立,此时P 、A 、F 2共线.

x y 2

0,

建立A 、F 2的直线方程x y 2 0,解方程组

2

2

得两交点

5x 9y 45

P (9 &妊5 15应)、P 2(9 15血,5 15血).

7 14 7 14 7 14

7 14

综上所述,P 点与R 重合时,PA |PF 』取最小值6 逅,P 点与F 2重合时,PA |PF 2取 最大值6 2 . (2)如下图,设P 是椭圆上任一点,作 PQ 垂直椭圆右准线, Q 为垂足,由a 3 , c 2 , ?

e

I ?由椭圆第二定义知 PQ

,??? PQ | 3PF 2 , ?PA

3

-|PF 2 |P A P Q ,要使

其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求

y

A 到右准线距离?右准线方程为

当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.

2 2

写出椭圆 — ' 1的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.

9 4

分析:

方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.

x 3cos

解:⑴ y 2sin ( R).

⑵ 设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设

(3cos ,2sin )为矩形在第一象限的顶点,

(0

), 2

则 S 4 3cos 2sin 12sin2

12

故椭圆内接矩形的最大面积为 12.

说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题, 用参数方

程形式较简便.

2 2

例3 椭圆岭 1

(a b 0)与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使 a b

??? A 到右准线距离为 7 .此时P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点

P

2

坐标(空,1).

5

1

说明:求PA 一 PF 2的最小值,就是用第二定义转化后,过

A 向相应准线作垂线段?巧用焦

e

点半径PF 2与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.

4.参数方程应用

2

例1求椭圆二 y 2 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值.

3

分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值. 解: x 椭圆的参数方程为 y

^3cos '设椭圆上的点的坐标为 73 cos ,sin

,则点到直线的

sin . 距离为

<3 cos sin 6

2si n —

3

2

sin

1

时,d 最小值

2 2

.

说明: 例 2 (1) 本题考查椭圆的参数方程及其应用?为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数

OP AP (O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.

分析:?/ O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把 OP AP ,转化为P 点坐标 的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于 a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于 e 的不等式?为 减少参数,易考虑

运用椭圆参数方程.

a cos a cos a

5.相交情况下--弦长公式的应用 例1已知椭圆4x 2 y 2 1及直线y x m . (1 )当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

乙10,求直线的方程.

5

解:(1)把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 2 1得

4x 2 x m 2 1 ,

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区 别.

解:设椭圆的参数方程是

a cos bsin (a

b 0),

则椭圆上的点P(acos ,bsin ), A(a , 0),

?/ OP AP

bsi n

bsin

即(a 2

2 2

b )cos

2 2

a cos

b 0

解得 cos 1 或 cos

b 2 ~2 a b 2' cos

? cos 1 (舍去)

b 2 ~2~ a

b 2

2

a

,…e

c

,又0 e

2

2 2

说明:

若已知椭圆离心率范围J,。,求证在椭圆上总存在点

2 P 使OP AP ? 如

何证明? 即 5x 2 2mx m 2

1 0 .

2

2

2m 4 5m 1

2

16m 2 20 0,解得

(2 )设直线与椭圆的两个交点的横坐标为

X 1 , X 2,由(1)得 X 1

X 2

2m m 2 1

,X 1X 2

5

5

根据弦长公式得

2 2

2m m 1 一 4 ---------------- 5 5

0 .方程为y

高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)

(教师版)椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为(0,2)求的值. 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由,根据关系可求出的值. 解:方程变形为.因为焦点在轴上,所以,解得. 又,所以,适合.故. 例2已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设 条件,运用待定系数法, 求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在轴上时,设其方程为. 由椭圆过点,知.又,代入得,,故椭圆的方程为. 当焦点在轴上时,设其方程为. 由椭圆过点,知.又,联立解得,,故椭圆的方程为. 例3 的底边,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹. 分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解. (2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程. 解:(1)以所在的直线为轴,中点为原点建立直角坐标系.设点坐标为,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因,, 有, 故其方程为. (2)设,,则.① 由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点). 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方 程. 解:设两焦点为、,且,.从椭圆定义知.即. 从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,, 可求出,,从而. ∴所求椭圆方程为或.

例5已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,,.求:的面积(用、、表示). 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用求面积.解:如图,设,由椭圆的对称性,不妨设在第一象限. 由余弦定理知:·.① 由椭圆定义知:②,则得. 故. 例6 已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式. 解:如图所示,设动圆和定圆内切于点.动点到两定点, 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径, 即.∴点的轨迹是以,为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为的椭圆的方程:. 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标

椭圆的常见题型及解法(一).

椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一,也是高考的热点和重点,椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习,笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨,希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时,用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P (,)是椭圆上的任意一点, 分别是椭圆的左、右焦点,椭圆 ,求证,。证法1: 。 因为,所以 ∴ 又因为,所以 ∴, 证法2:设P 到左、右准线的距离分别为,由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ,又,所 以, 而 。

∴,。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A ()、B ()、C ()到焦点F (4, 0)的距离成等差数列,则 12 x x + . 解:在已知椭圆中,右准线方程为 25 4x = ,设A 、B 、C 到右准线的距离为 , 则、、。 ∵ , , ,而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴,即,。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求 的最大值和最 小值。 解:设 ,则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上,022x ∴-≤≤,12PF PF ?的最大值为4,最小值为1. 变式练习1:. 求过椭圆的左焦点,倾斜角为的弦AB 的长度。 解:由已知 可得 ,所以直线AB 的方程 为 ,代入椭圆方程 得 设 ,则 ,从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点,求证:以2QF (或1QF )为

椭圆典型题型归纳(供参考)

椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程; 练习: 1.6=对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆,则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ; 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ,(1,0)A 是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为 ; 题型二. 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹; (二)分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程; (三)用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ,求椭圆的方程; 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程; 注:一般地,与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++; (四)定义法求轨迹方程; 例5.在ABC ?中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >>

椭圆经典例题讲解

椭圆 1.椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距.注:①当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是 .②当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹不存在. (2) 椭圆的第二定义:到 的距离与到 的距离之比是常数e ,且∈e 的点的轨迹叫椭圆.定点F 是椭圆的 ,定直线l 是 ,常数e 是 . 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是: 12 22 2=+ b y a x ,其中( > >0,且 =2a ) (2) 焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+ b x a y , 其中a ,b 满足: .(3)焦点在哪个轴上如何判断 3.椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围: ≤ x ≤ , ≤ y ≤ (2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 . (3) 顶点坐标: ,焦点坐标: ,长半轴长: ,短半轴长: ;准线方程: . (4) 离心率:=e ( 与 的比),∈e ,e 越接近1,椭圆越 ; e 越接近 0,椭圆越接近于 . (5) 焦半径公式:设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点,),(00y x P 是椭圆上一点,则 =1PF ,122PF a PF -== 。 4.焦点三角形应注意以下关系(老师补充画出图形):(1) 定义:r 1+r 2=2a (2) 余弦定理:21r +22r -2r 1r 2cos θ=(2c ) 2 (3) 面积:21F PF S ?=2 1 r 1r 2 sin θ=2 1·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,∠F 1PF 2=θ)基础过关

高中理科椭圆的典型例题

典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+ y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+ y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:3 1 222??=c a c ∴223a c =, ∴3 331-= e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点, OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 =+y a x ,

由?????=+=-+1012 22y a x y x ,得()0212 22=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,211 1a x y M M +=-=, 41 12=== a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14 22 =+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ,,?? ? ??594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的距离成等差数列. (1)求证821=+x x ; (2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知: a c x c a AF = -12 ,∴115 4 5x ex a AF -=-=. 同理2545x CF -=.∵BF CF AF 2=+,且5 9 =BF , ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ,即821=+x x . (2)因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得() 212 2 21024x x y y x --=-

人教A版高二数学选修21第二章第二节椭圆经典例题汇总

椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由2 1= e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12. 由21= e ,得4191=-k ,即4 5-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论. 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围. 解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈. 说明:(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α,0cos 1>-α ,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α sin 12=b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点, 即定点()03, -A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程:17162 2=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法. 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:假设M 存在,设()11y x M ,,由已知条件得 2=a ,3=b ,∴1=c ,2 1= e . ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=. 又由焦半径公式知:

(完整版)椭圆常见题型总结

椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形:通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -,2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中,12F PF α=∠,则当P 为短轴端点时α最大,且 ① 122PF PF a +=; ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-; ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?(b 短轴长) 2、直线与椭圆的位置关系:直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点,则12AB x =-=3、椭圆的中点弦:设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点, 00(,)M x y 是线段AB 的中点,可运用点差法可得直线AB 斜率,且20 20 AB b x k a y =-; 4、椭圆的离心率 范围:01e <<,e 越大,椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用:c a e = ,222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点 为1(,0)c F -,2(,0)c F ,则焦半径10PF a ex =+,10PF a ex =-; 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法:根据椭圆定义,确定2 a ,2 b 值,结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法:根据焦点位置设出相应标准方程,根据题中条件解出2 a ,2 b ,从而求出标准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=;

椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 ( ). A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a=22b?a=2b,又a2=b2+c2 ?b=c?a=2c?e= 2 2 . 答案B 2.(2012·长沙调研)中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ). A.x2 81 + y2 72 =1 B. x2 81 + y2 9 =1 C. x2 81 + y2 45 =1 D.x2 81+ y2 36 =1

解析 依题意知:2a =18,∴a =9,2c =1 3×2a ,∴c =3, ∴b 2 =a 2 -c 2 =81-9=72,∴椭圆方程为x 2 81 + y 2 72 =1. 答案 A 3.(2012·长春模拟)椭圆x 2+4y 2=1的离心率为( ). A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2+4y 2=1 化为标准方程x 21+y 214 =1,则a =1,b =12,c =a 2-b 2=3 2 . 离心率e =c a =3 2. 答案 A 4.(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2 =1的左、右焦点,P 是第一象 限内该椭圆上的一点,且PF 1⊥PF 2,则点P 的横坐标为( ). A .1 B.83 C .2 2 D.26 3 解析 由题意知,点P 即为圆x 2+y 2=3与椭圆x 24 +y 2=1在第一象限的交点, 解方程组???? ? x 2+y 2=3,x 24+y 2 =1,得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5.(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为 3 2 ,且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为( ).

椭圆常考题型汇总及练习进步

椭圆常考题型汇总及练习 第一部分:复习运用的知识 (一)椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ,即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴: 21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e =,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -= 越小, 椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而2 2c a b -=越大,椭圆越接近圆。

椭圆知识点总结及经典习题.docx

圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义:平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a,2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程:c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上:盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上:—2 = 1(a>b>0);焦点F (0, ±C) a b 注意:①在两种标准方程中,总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上; 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示:X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质: 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点:A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭

圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆; e 越接近于O (e 越小),椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大),椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关 小结一:基本元素 (1) 基本量:a 、b 、c 、e 、(共四个量), 特征三角形 (2) 基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线:对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上, 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离,最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定:联立方程组求根的判别式; (2) 弦长公式: ________________________ (3) 中点弦问题:韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1),

高中数学-椭圆经典练习题-配答案

椭圆练习题 一.选择题: 1.已知椭圆 上的一点P ,到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为( D ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( C ) A. B. C. D. 3.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A 4.椭圆的一个焦点是,那么等于( A ) A. B. C. D. 5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于( B ) A. B. C. D. 6.椭圆两焦点为 , ,P 在椭圆上,若 △的面积的最大值为12,则椭圆方程为( B ) A. B . C . D . 7.椭圆的两个焦点是F 1(-1, 0), F 2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项,则该椭圆方程是( C )。 A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 8.椭圆的两个焦点和中心,将两准线间的距离四等分,则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 9.椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |为( A ) A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3

椭圆练习题(经典归纳)

椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

初步圆锥曲线 感受:已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1)求圆O 的方程; (2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 (1)曲线上点的坐标都是方程的解; (2)方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠,则动点M 的轨迹方程为___________ 总结:求点轨迹方程的步骤: (1)建立直角坐标系 (2)设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示) (3)列式:从已知条件中发掘,x y 的关系,列出方程 (4)化简:将方程进行变形化简,并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程:若直线方程未给出,应先假设. (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ; (2)若已知直线恒过y 轴上一点()t ,0,则假设方程为t kx y +=; (3)若仅仅知道是直线,则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论; (4)若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设

高中数学椭圆题型完美归纳(经典)

椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 122 22=+b x a y (a >b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形, 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置,求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里.|x|≤a ,|y|≤b . 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 5.顶点 椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ). 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .

|B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2,即c 2=a 2-b 2. 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2 OM AB b k k a ?=-,即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e

椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一:弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2 y x =交于A 、B 两点, 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0 x ;若不存在,请说明理由。 分析:过点T(-1,0)的直线和曲线N :2 y x =相交A 、B 两点, 则直线的斜率存在且不等于0,可以设直线的方程,联立方程组,消元,分析类一元二次方程,看判别式,运用韦达定理,得弦的中点坐标,再由垂直和中点,写出垂直平分线的方程,得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线:(1)l y k x =+, k ≠,1 1 (,)A x y ,2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理,得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理,得: 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为

22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为:2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -,则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形,∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律:直线过定点设直线的斜率k ,利用韦达定理法,将弦的中点用k 表示出来,再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来,求出了横截距的坐标;再利用正三角形的性质:高是边长的 3倍,将k 确定,进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ,O 为坐标原点。 (Ⅰ)求过点O 、F ,并且与2x =-相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围。

特别解析:椭圆经典例题分类

特别解析:椭圆经典例题分类 题型一 .椭圆定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b ,椭圆的标准方程为:1142 2=+y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a ,椭圆的标准方程为:116 42 2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12 -=k c .由2 1 =e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92 =a ,82 +=k b ,得k c -=12 . 由21= e ,得4191=-k ,即4 5-=k . ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论. 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例4 已知1cos sin 2 2 =-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.

椭圆各类题型分类汇总情况

椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值围. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值围. 例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的部与其相切,求动圆圆心P 的轨迹方程.

2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示). 3.第二定义应用 例1 椭圆112162 2=+y x 的右焦点为F ,过点() 31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.

例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离. 例3 已知椭圆15 92 2=+y x 有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点. (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.

椭圆经典例题(带答案-适用于基础性巩固)

椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值. 解:方程变形为 1262 2=+m y x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2 262=-m ,5=m 适合.故5=m . 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03, P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03, P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92 =a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y . 由椭圆过点()03, P ,知10922=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ,故椭圆的方程为198122=+x y . 例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b , 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点). 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541= PF ,3 5 22=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F PF Rt ?中,2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ,

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02,A , 其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02,A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+ y x ; (2)当()02,A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+ y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:3 1 222??=c a c ∴223a c =, ∴3 331- = e . 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c ,再求比.二是列含a 和c 的齐次方程,再化含e 的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点, M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 =+y a x , 由?????=+=-+1012 22y a x y x ,得()021222=-+x a x a , ∴22 2112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=,

4 1 12=== a x y k M M OM ,∴42=a , ∴14 22 =+y x 为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ,,?? ? ??594,B ,()22y x C ,与焦点()04,F 的 距离成等差数列. (1)求证821=+x x ; (2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5=a ,3=b ,4=c . 由圆锥曲线的统一定义知: a c x c a AF =-12 , ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=. 同理 25 4 5x CF - =. ∵ BF CF AF 2=+,且5 9= BF , ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x , 即 821=+x x . (2)因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ,,所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y . 又∵点T 在x 轴上,设其坐标为()00,x ,代入上式,得 () 2122 21024x x y y x --=-

高中数学椭圆经典例题

椭圆的经典例题 1.已知点A(2,5)、B(3,一1),则线段AB 的方程是( ). (A)6x+y-17=0 (B)6x+y-17=0(x ≥3) (C)6x+y-17=0(x ≤3) (D)6x+y-17=0(2≤x ≤3) 2.(直接法)已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求曲线的方程. 3.(相关点法) 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动,M 和定点B(3,O)连线的中点为P ,求P 点的轨迹方程,并指出点P 的轨迹. 4.已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 5. 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值. 6.已知椭圆的中心在原点,且经过点()03, P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 7.已知M 是椭圆14 92 2=+y x 上的一点,21,F F 是椭圆的焦点,则||||21MF MF ?的最大值是( ) A 、4 B 、6 C 、9 D 、12 8.点P 为椭圆22 154 x y +=上一点,以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1,则点P 的坐标是 (A )(±2, 1) (B )(2, ±1) (C )(2, 1) (D )(±2 , ±1) 9.已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为 354和352,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

10.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 11.已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点, α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示). 12.已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 13.已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 5 102,求直线的方程. 14.如果椭圆22 1369x y +=弦被点A (4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

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