高中数学必修四第二章知识点与测试复习进程

高中数学必修4知识点总结

第二章 平面向量

1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

a b a b a b

-≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设

()

11,a x y =，

()

22,b x y =，则

()

1212,a b x x y y +=++．

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设

()

11,a x y =，

()

22,b x y =，则

()1212,a b x x y y -=--．

设A 、

B 两点的坐标分别为()11,x y ，

()

22,x y ，则

()1212,x x y y A B =

-

-．

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a

λλ=；

②当0λ>时，a λ

的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当

0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①

()()a a

λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．

⑶坐标运算：设()

,a x y =，则

()()

,,a x y x y λλλλ==．

5、向量共线定理：向量

(

)0

a a ≠与

b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

b

a

C

B

A

a b C C

-=A -AB =B

设

()11,a x y =，()

22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210

x y x y -=时，向量a 、

()

0b b ≠共线．

6、平面向量基本定理：如果

1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任意向量a ，有且只有一对实数

1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作

为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段

12

P P 上的一点，1P 、

2

P 的坐标分别是

()11,x y ，()22,x y ，

当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。）1=λ

8、平面向量的数量积： ⑴

(

)cos 0,0,0180

a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；

当a 与b 反向时，

a b a b

⋅=-；

2

2a a a a

⋅==或

a a a

=⋅．③

a b a b

⋅≤．

⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②

(

)()

()a b a b a b

λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．

⑷坐标运算：设两个非零向量()

11,a x y =，

()

22,b x y =，则

1212a b x x y y ⋅=+．

若

()

,a x y =，则

2

22

a x y =+，或

2a x y =+ 设

()11,a x y =，

()

22,b x y =，则

12120a b x x y y ⊥⇔+=．

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

121cos a b a b

x θ⋅=

=

+．

练习题

一.选择题（5分×12=60分）:

1．以下说法错误的是（ ）

A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为的是（ ）

A ．（

B ．（M

C ．；－M

D ．

3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）

A ．6563

B ．65

C ．513

D ．13

4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（ ）

A ．7

B ．10

C ．13

D ．4

5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→

−AB ＝→

a ，−→−AE ＝→

b ，则−→

−BC ＝（ ） （A ）

)

(2

1

→

→-b a （B ）

)

(2

1

→

→-a b （C ） →

a ＋→

b

2

1

（D ）

)

(2

1→

→+b a

6．设→a ，→

b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→

b ,−→

−CD ＝－5→

a －3→

b ,则下列关系式中正确的是 （ ）

（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→

−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →

2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数

8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→

−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形

9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→

−PM ，则P 点的坐标为（ ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）

10．已知→

a ＝（1，2），→

b ＝（－2，3），且k →

a +→

b 与→

a －k →

b 垂直，则k ＝（ ） （A ） 21±-（B ）

12±（C ）

32±（D ） 23±

11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）

A. 2-或0；

B.

C. 2或

D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）

① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题(5分×5=25分):

13．若),4,3(=Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．