有限单元法的基本知识和地震波传播正演模拟的应用
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
地震波正演模拟有限元法在微机上的实现+--+赵明月+
第28卷 第4期 长春科技大学学报 V o l.28 N o.4 1998年10月 JOU RNAL O F CHAN GCHUN UN I V ER S IT Y O F SC IEN CE AND T ECHNOLO GY O ct.1998地震波正演模拟有限元法在微机上的实现①赵明月 李桐林 刘希芳 林 君(长春科技大学信息技术学院,长春130026)摘要 有限元法是复杂介质地震模拟的有力工具,它能比较客观地反映地震波传播过程,比较细致地再现地震图像。
但由于有限元法地震模型所需网格节点数多、数据规模大,使它的计算受到限制。
采用对角化集中质量矩阵、刚度矩阵变二维为一维存贮,并通过使用有限差分吸收边界条件来处理地质模型的人为边界反射问题,从而使计算所需内存降低,计算时间减少,并能比较好地实现地震声波用有限元法计算,理论模型的计算结果验证了算法的正确性和可行性。
关键词 地震波 有限元 正演模拟 V SP技术中图分类号 P628,P631国外地质工作者在70年代将有限元法引入地震勘探领域,对其理论和实用性做了大量研究和探索,并把最新的研究成果应用到V SP技术中去。
国内许多地球物理工作者们,在80年代初开始着手有限元法理论和实用技术的研究,做过许多有益尝试,获得了大量研究成果[1,2]。
有限元法可以从标量、矢量运动方程出发,不限于特定的坐标系,对整个区域进行灵活剖分,适用于均匀、非均匀地层所组成的复杂构造形态,在每个节点上确定有关场变量的矢量分量,在位移解中反映完全的波动场,解分布在整个网格范围,震源和观测点可以灵活布置在任何网格上,震源模拟性质(球状的、线状的)和波动的(矢量、标量的)模拟性质可以灵活选用,因此它既适用于常规地震勘探也适用于V SP技术。
所有实际的波动包括:绕射、几何扩散、转换、面波以及多次波能量都是该解中所固有的。
用有限元算法模拟任意复杂地质构造模型波场,特别是金属矿区地震波场具有良好的前景。
复杂介质中地震多次反射波快速正演模拟
复杂介质中地震多次反射波快速正演模拟复杂介质中地震多次反射波快速正演是地震勘探中的重要技术之一，其主要目的是通过计算复杂地质结构下的地震波传播规律，从而推断地下岩层的物性和构造特征。
在实际勘探中，地震波正演模拟技术具有非常重要的应用价值，可以帮助地震科学家快速、准确地勘探地下地质构造，并为油气勘探、水资源勘探以及矿产资源开发提供重要的技术支持。
在复杂介质中，地震波会经历多次反射、折射和散射，并受到地下介质非均匀性、垂直速度梯度、下穿速度等多种因素的影响。
因此，在进行地震波正演模拟时，需要考虑以上因素的影响，建立相应的数学模型，并通过计算求解得到相应的地震波场数据。
地震波正演模拟的过程可以简单概括为：首先，根据勘探区域的地质结构和介质模型，确定模拟所需的各种参数，如介质密度、弹性模量、泊松比等；然后，建立数学模型，包括方程组及数值计算方法；最后，通过计算求解得到地震波的波形和波场分布，从而推断地下岩层的物性和构造特征。
在地震波正演模拟中，最常用的方法是有限差分法（finite difference method，FDM）。
该方法基于波动方程，使用差分近似表示波场中的各个参数，并通过迭代求解得到波场分布。
FDM方法在计算效率和计算精度方面均有很好的平衡，因此广泛应用于地震波正演模拟中。
除了FDM方法外，地震波正演模拟还常常采用有限元法、谱方法等其他数值计算方法，以便更好地反映复杂介质中地震波的传播规律。
同时，地震波正演模拟还需结合各类物理分析方法，如射线追踪、全波形反演等，以便更好地解释波场分布和岩层结构特征。
总之，复杂介质中地震多次反射波快速正演模拟是地震勘探中的重要技术之一，通过计算复杂地质结构下的地震波传播规律，为勘探工作提供了有力的技术支持。
在未来，随着数值计算方法和物理分析方法的不断发展，地震波正演模拟技术将得到更加广泛和深入的应用。
有限单元法基础
性体在各节点处的位移解。
3、单元分析---三角形单元
y
3.1 单元的结点位移和结点力向量
从离散化的网格中任取一个单元。三个结点 按反时针方向的顺序编号为：i, j, m。
结点坐标: (xi,yi) , (xj,yj) , (xm,ym) 结点位移: (ui,vi) , (uj,yj) , (um,vm) 共有6个自由度
单元位移插值函数： u(x, y) a1 a2 x a3 y
(3.1)
v(x, y) a4 a5x a6 y
插值函数的系数： a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A,
a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A,
um a1 a2 xm a3 ym , vm a4 a5 xm a6 ym ,
求解以上方程组得到以节点位移和节点坐标表示的6个参数：
a1 aiui a ju j amum / 2 A, a4 aivi a jv j amvm / 2 A, a2 biui bju j bmum / 2 A, a5 bivi bjv j bmvm / 2 A, a3 ciui c ju j cmum / 2 A, a6 civi c jv j cmvm / 2 A,
研究方法
从数学上讲它是微分方程边值问题(椭圆型微分方程、抛物型微分方程和双曲型微 分方程)的一种的数值解法，是一种将数学物理问题化为等价的变分问题的解法，并作 为一种通用的数值解法成为应用数学的一个重要分支。从物理上讲是将连续介质物理 场进行离散化，将无限自由度问题化为有限自由度问题的一种解方法。从固体力学上 认识，是瑞利-里兹法的推广。
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
1.3.2 有限元法的应用领域
线性静力分析
静力分析
非线性静力分析
数控立式加工中心床身位移云图
1.3.2 有限元法的应用领域
动力分析
模态分析。 瞬态响应分析。 谐响应分析。 频谱响应分析和随机振动分析。 屈曲和失稳分析。 自动接触分析。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
整机模态分析
反挤压成型过程
1.3.2 有限元法的应用领域
失效和破坏分析
框架 结构 地震 倒塌 模拟
框架 结构 地震 倒塌 模拟
汽 车 正 撞 刚 性 墙
New Structural system and design method
1.3.2 有限元法的应用领域
热传导分析
发动机进排气流场温度
铸造成型：温度变化和气泡
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状பைடு நூலகம்
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
数学在地质勘察中的应用
数学在地质勘察中的应用地质勘察是一项非常重要的工作，通过对地质构造的探测和分析，可以为地质灾害的预防和自然资源的开发利用提供重要的科学依据。
在地质勘察中，数学是一个必不可少的工具。
本文将从地质钻探、地震勘测和矿藏预测三个方面来探讨数学在地质勘察中的应用。
一、地质钻探地质钻探是地质勘察的一项重要内容，通过钻孔得到地下岩石结构和地质情况的详细信息，为地下建筑、工程和基础设施的施工提供依据。
在地质钻探中，数学的应用主要有以下几个方面：1. 钻孔测斜钻孔测斜是一种测量钻孔轨迹和走向的方法，可以得出钻孔在三维空间中的位置和姿态参数，为地质结构和建筑设计提供依据。
钻孔测斜的数据处理和精度分析需要运用数学方法，如三角函数、矩阵计算和误差分析等。
2. 岩心分析岩心是地质钻探中得到的一种样本，可以通过对岩心的物理、化学和力学测试来分析地质条件和岩石性质。
岩心分析需要运用统计学方法，如方差分析、聚类分析和主成分分析等，来从大量的岩心数据中提取有用的信息或规律性。
3. 水文地质勘探水文地质勘探是为了研究地下水的成因、产量、分布和运动规律所进行的勘探活动。
水文地质勘探需要运用地下水动力学、水文学和地质学等交叉学科的知识，以及数学方法，如概率论、统计学和水文数学模型等。
二、地震勘测地震勘测是利用地震波探测地下结构和地质情况的一种方法。
通过测量地震波传播的速度和路径，可以得出地下物质的密度、硬度和结构等信息。
在地震勘测中，数学的应用主要有以下几个方面：1. 地震波传播模型地震波传播模型是利用物理方程描述地震波在介质中传播的规律。
地震波传播模型需要运用数学方法，如弹性力学定理、偏微分方程和有限元法等，来模拟地震波的传播和反射，从而得出地下结构的信息。
2. 地震数据处理地震数据处理是把地震波采集的原始数据转换为可分析和研究的数据形式。
地震数据处理需要运用信号处理、图像处理和数学统计等方法，如多通道滤波、小波变换和时间-空间域图像处理等。
断层自发破裂动力学过程的有限单元法模拟及其在地震研究中的应用
断层自发破裂动力学过程的有限单元法模拟及其在地震研究中的应用袁杰【期刊名称】《国际地震动态》【年(卷),期】2018(0)1【摘要】地震是断层的自发破裂动力学过程。
数值模拟断层的自发破裂动力学过程对于认识地震的力学本质、减轻地震灾害等有着重要的科学意义及应用价值。
本文首先对经典的滑移弱化摩擦关系进行了改进,然后对断层的破裂过程进行动态数值模拟。
模拟结果表明,利用改进后的摩擦关系能够产生脉冲型(pulse-like)破裂模式。
断层自发破裂过程受初始应力场及摩擦关系影响,若初始应力场中的剪应力水平较低或滑移弱化摩擦本构关系中的动摩擦系数较大,则容易产生脉冲型破裂;反之,则容易产生裂纹型(crack-like)破裂。
另外,为了研究双材料(bimaterial)断层破裂对强地面运动的影响,我们采用正则化的速率-状态相关摩擦本构关系计算了破裂沿着双材料断层传播的二维有限元模型。
模拟结果表明,双材料机制对地震破裂过程以及断层周边区域的强地面运动有显著影响。
由断层破裂辐射出的地震波导致的强地面运动在整个空间上的分布是不对称的,其不对称性会随着断层两侧材料差异程度的增加而增加。
断层破裂能否跨越断层阶区(stepover)继续传播,从而引发更大震级的地震,地震时断层是否发生超剪切破裂导致地震灾害加剧,都是震源动力学研究的重要内容。
本文利用有限单元方法模拟断层阶区对地震破裂传播的控制作用以及对产生超剪切地震破裂的促进作用。
研究结果表明:断层面上的摩擦系数减小、断层周边区域内初始剪应力增大以及较小的阶区间距等,都将增加断层破裂跳跃阶区传播的可能性;此外,这些物理因素都会对破裂的传播速度产生影响。
在一定条件下,破裂传播速度会由在初始断层上的亚剪切波速度转为在次级断层上的超剪切波速度。
结合以上在概念模型中对断层自发破裂过程的模拟研究结果,我们根据汶川地震和玉树地震发震断层的实际几何情况分别构建有限单元数值模型,研究了汶川地震单侧破裂过程的动力学机制以及玉树地震产生超剪切破裂过程的动力学机制。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程结构、材料力学、流体力学等领域。
它通过将复杂的结构或系统分割成有限数量的小单元，然后建立数学模型，最终求解得到整体系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和在工程实践中的应用。
首先，有限单元法的基本原理是将一个连续的结构或系统离散化为有限数量的单元，每个单元都可以用简单的数学方程描述。
这些单元之间通过节点连接在一起，形成整体系统。
然后，通过施加外部载荷或边界条件，可以得到每个单元的位移、应力等信息。
最终，将所有单元的信息组合起来，就可以得到整个系统的行为。
在工程实践中，有限单元法被广泛应用于结构分析、热传导、流体力学等领域。
在结构分析中，可以通过有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机等，从而预测其受力情况和变形情况。
在热传导领域，有限单元法可以用来分析材料的温度分布、热传导性能等。
在流体力学中，有限单元法可以模拟流体的流动情况、压力分布等。
此外，有限单元法还可以与优化算法相结合，用于优化设计。
通过改变单元的尺寸、形状或材料性质，可以得到最优的结构设计。
这在工程实践中具有重要意义，可以降低结构的重量、提高结构的强度和刚度。
总之，有限单元法作为一种数值分析方法，具有广泛的应用前景。
它不仅可以用于工程结构的分析和设计，还可以用于材料力学、流体力学等领域。
随着计算机技术的不断发展，有限单元法将会变得更加高效、精确，为工程实践提供更多的支持和帮助。
以上就是有限单元法的基本原理及在工程实践中的应用，希望对读者有所帮助。
有限单元法作为一种强大的分析工具，将继续在工程领域发挥重要作用。
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在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相 互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性 组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为 由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所 有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同， 有限元方法也分为多种计算格式。从计算单元网格的形状来划分， 有三角形网格、四边形网格和多边形网格。
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线性代数基础
矩阵求逆：
方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，即 det(A) A 0
如果行列式为零，称A为奇异矩阵。
矩阵求逆： 对一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得
AB BA I
则B是A的一个逆矩阵。 当A可逆时，A的逆矩阵为：
A1 1 A det(A)
其中，A*为A的伴随矩阵，由A的代数余子式组成，
W Fds
W 1
2
cij ijkl kl
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有限单元法基础
一维问题：
设有线性方程组
Ax b
设有向量y，y Rn 。一般地，方程组两侧同乘y不改变它的解：
yAx yb
考虑泊松方程：
u(x) f (x)
其中u是标量场，f是源项，一维情况下：
2
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢 慢用于流体力学的数值模拟。
在地球物理领域，有限单元法应用于地震波场模拟、地球动 力学模拟等。由于网格划分的灵活性，特别适用于非常复杂的模 型，如自由地表、复杂边界模型。
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有限单元法简介
有限单元方法是将偏微分方程描述的连续问题进行离散求解的一 种数值方法。 其基本原理是：用简单的块体构造复杂的对象，或将一个复杂的 对象分为用以处理的小块体。 例子：近似圆的面积
地球动力学 地幔对流 3、地电磁学 4、波动传播 5、强震地面运动、地震工程 …
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有限单元法简介
有限单元方法在地球物理中的应用： 1、地壳变形 2、地球物理流体力学
地球动力学 地幔对流 3、地电磁学 4、波动传播 5、强震地面运动、地震工程 …
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线性方程组：
线性代数基础
其中x1、x2、…、xn是待求变量，以上方程组写为矩阵形式：
元方程组，可求得各节点的函数值。 7、计算感兴趣的单元内的函数值。
5
有限单元法简介
为什么要用有限单元方法（有限单元方法的优势）： 1、有限单元方法可以对任意形状的问题进行灵活剖分，特别适
用于非常复杂的模型，最早应用于结构力学。 2、有限单元方法是工程中应用最广泛的计算及数值模拟方法。3、 所需要的复杂节点生成可以利用图形界面软件（如CAD）实
Ax b
其中：
10
列向量：
线性代数基础
行向量：
矩阵加减运算：
其中：
矩阵相乘运算：
其中：
其中：A：lxm矩阵，B：mxn矩阵，i=1,2,…,l，j=1,2,…,n
一般地：
但是
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特殊矩阵： 矩阵的转置： 对称矩阵： 单位矩阵：
线性代数基础
并且有
12
线性代数基础
特殊的行列式：
方阵A的行列式是一个数，表示为 det(A) ，或 A
迭代方法 …
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线性代数基础
正定矩阵：
对于方阵A，如果对所有的非零的向量x，
则A为正定矩阵。
xTAx 0
正定矩阵是非奇异矩阵。
矩阵的微分、积分： 设
A(t) aij (t)
该矩阵对变量t的微分为：
d dt
A(t)
daij (t) dt
相应的积分为：
A(t)dt aij (t)dt
Aij ( 1)i jMij
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线性代数基础
矩阵求逆：
对逆矩阵有:
(AB)1 B1A1
线性方程组求解：对线性方程组 Ax b ，如果A可逆，则 x A1b
线性方程组求解的主要任务是求系数矩阵A的逆矩阵。
常用求解技术，如：
高斯消元法(Gaussian elimination)（对给定的线性方程组施行 初等变换，将其变成一个同解的阶梯形方程组，从而达到求解的 目的。）
现。 4、有很多商用有限单元软件系统可以使用（如：ANSYS、
ADINA、介
有限单元方法的应用： 1、力学、航空、土木工程、汽车工程 2、结构分析（静力学、动力学、线形、非线性） 3、热传导和流体力学 4、电磁学 5、地质力学 6、生物学 …
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有限单元法简介
有限单元方法在地球物理中的应用： 1、地壳变形 2、地球物理流体力学
地球物理数值计算方法
地球物理数值计算方法
Numerical Methods in Geophysics
王彦宾 地球物理学系 2008-2009学年第二学期
1
地球物理数值计算方法 第六章 有限单元方法
2
有限单元法
地球内部介质，尤其是浅部，存在横向非均匀结构，包括分 层、不规则形状的块体。由于解析方法不能给出这类复杂模型中 的解，因此需要近似的数值求解方法。有限单元方法(Finite Element Method，FEM)是地球物理数值方法中另一种常用到的方 法。
2、将研究对象剖分为简单的块体，即单元。 3、描述每一个单元中的物理量，确定单元基函数，将各个单元
中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近。 4、将所有单元通过节点组合到一起，按一定法则进行累加，形
成总体有限元方程。 5、处理边界条件。 6、采用适当的数值计算方法求解根据边界条件修正的总体有限
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有限单元法基础
有限单元方法最早是为了解决弹性静力学问题而提出来的，因此 一般按照方法的发展历史介绍其基本概念，如单元(elements)、 刚度矩阵(stiffness matrix)等等。
需要的预备知识：
胡克定律（Hooke’s Law）
F Ds
静力平衡原理 功的概念 应变能
Ftot F1 F2 F3
一个三角形的面积：
Si
1 2
R2
sin
θi
圆的面积：
SN
N i 1
Si
1 2
R2N
sin(
2
N
)
N为三角形的个数，当N→∞时，
SN R2
4
有限单元法简介
有限单元方法包括以下基本步骤：
1、根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分 方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发 点。