高一数学平面向量应用举例
高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
“高一数学必修2-向量课件”
参数方程
参数方程是用参数来表示向量的方程。
向量方程的应用
平面的解析式
可以用向量方程来表示平面。
代数方程的转化
向量方程可以将代数方程转 化为几何问题。
其他应用
向量方程在物理、工程和计 算机图形学中有广泛应用。
向量的模、单位向量及其应用
向量模
向量的模等于向量的长度。
单位向量
单位向量是模为1的向量。
应用举例
高一数学必修2——向量 课件
本课件介绍高一数学必修2的向量部分内容，包括向量的定义及基本概念，表 示和运算，共线和共面的判定，数量积和夹角的性质，向量在平面内的投影 及应用，叉乘的运算规则和几何意义，以及向量空间的基本概念。
向量的表示和运算
向量表示
向量加法
向量可以用有向线段或坐标表示。 向量加法满足交换律和结合律。
应用举例
向量投影可以用来计算物体 在斜面上的重力分量。
向量叉乘及其运算规则
叉乘定义
叉乘是两个向量的积的向量。
叉乘运算规则
叉乘满足右手法则和分配律。
向量叉乘的几何意义以及应用
1
几何意义
叉乘的模等于由两个向量所确定的平行
应用举例
2
四边形的面积。
叉乘可以用来计算平行四边形的面积和
判定三个向量共面。
3
补充知识
可以通过叉乘来计算向量的混合积。
平面向量和向量组的线性运算
线性组合
线性组合是指多个向量与对应的系数相乘再求和的 过程。
向量组的线性相关和线性无关
线性相关和线性无关描述向量组中向量之间的关系。
向量空间的基本概念和性质
1 向量空间定义
高一数学平面向量的投影与夹角的应用
高一数学平面向量的投影与夹角的应用在高一数学学习中，我们经常会遇到平面向量的投影与夹角的概念和应用。
平面向量是数学中的重要概念之一，它具有很强的几何意义，被广泛应用于各个领域。
一、平面向量的投影平面向量的投影是指向量在某个方向上的投影长度。
在平面向量AB上，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)。
设向量AB的单位向量为u，则向量AB在u方向上的投影长度为AB·u。
在实际应用中，平面向量的投影有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们经常需要求解斜面上物体受力的问题。
当物体受到斜面的作用力时，我们可以将受力向量分解为与斜面平行和垂直于斜面的两个分力。
其中，垂直于斜面的分力即为受力的投影，它决定了物体在斜面上运动的加速度。
二、平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
设向量A的模为|A|，向量B的模为|B|，则向量A与向量B的夹角θ满足以下关系：cosθ = (A·B) / (|A||B|)。
平面向量的夹角在几何推理和物理计算中有着广泛的应用。
例如，在三角函数的研究中，夹角的概念为我们提供了求解三角函数值的方法。
又如，在力学中，夹角的概念用于计算两个力的合力与分解力之间的关系，进而求解物体运动的特征。
三、平面向量的应用举例1. 空间的向量叠加在几何学和物理学中，我们经常需要处理多个平面向量的叠加问题。
例如，在力学中，当一个物体同时受到多个力的作用时，我们需要将这些力向量进行叠加，得到物体所受合力的大小和方向。
这个过程可以通过平面向量的加法来实现，将每个力向量分解为平行和垂直于某个方向上的分力，然后将这些分力向量进行叠加，最终得到合力向量。
2. 直线与平面的关系在几何学中，直线与平面的关系是一个重要的问题。
当给定一条直线的方向向量和通过一点的平面时，我们可以使用向量的夹角来确定直线与平面的关系。
如果直线方向向量与平面法向量的夹角为零，即二者平行，则直线与平面相交；如果夹角不为零，则直线与平面相交于一点。
平面向量高一数学知识点
平面向量高一数学知识点在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及相关定理。
一、平面向量的定义和运算平面向量可以用有序数对表示，也可以用箭头表示。
设点A和点B是平面上的两个点，用A和B表示它们对应的平面向量。
平面向量有两个重要的运算：加法和数乘。
1. 加法：设有平面向量OA和平面向量OB，它们的和记作OA + OB。
根据平行四边形法则，我们可以通过将OA和OB的起点放在同一个点，然后连接它们的终点，得到一个新的平面向量，即OA + OB。
加法满足交换律、结合律和平移律。
2. 数乘：设有平面向量OA和实数k，它们的数乘记作kOA。
根据数乘的定义，kOA的模长是|k|乘以OA的模长，并且kOA与OA的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。
二、平面向量的性质平面向量有多个重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。
1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，记作O，它的模长为0，方向任意。
对于任意平面向量OA，都有OA + O = OA。
2. 相等条件：平面向量OA和平面向量OB相等的充分必要条件是它们的模长相等并且方向相同。
3. 负向量：平面向量OA的负向量记作-OA，它的模长与OA 相等，方向相反。
4. 平面向量的基本性质：设A、B、C是平面上的三个点，对应的平面向量分别为OA、OB、OC。
有以下基本性质： - OA + O = OA- OA + OA = O- OA + (-OA) = O- OA - OA = O- k(OA + OB) = kOA + kOB (数乘的分配律)- (k + m)OA = kOA + mOA (数乘的分配律)三、平面向量的定理平面向量的定理是高中数学中一些重要的定理。
1. 平行定理：设有两个平面向量OA和OB，当且仅当它们的方向相同或相反时，即OA = kOB（k为非零实数），则表示向量OA和向量OB平行。
高一数学必修4课件：2-5平面向量应用举例
第二章
2.5
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[证明] c.
→ → → 如图所示，设CB＝a，CA＝b，AB＝c，则a＝b＋
∴a2＝(b＋c)· a＝a· b＋a· ① c 又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角大小等于∠B的大小， 故①式可化为：|a|2＝|a||b|cosC＋|a||c|cosB， 即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB， 也即a＝b cosC＋c cosB.
第二章
2.5
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
向量在物理中的应用
用向量法研究物理问题 (1)求力向量，速度向量常用的方法一：一般是向量几 何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．
1 1 [答案] 10 －2
第二章
2.5
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
新课引入 任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题．蒸汽机 的发明推动了工业革命，极大地解放了生产力，促进了社会 经济的发展，而网络的发明与发展则促进了全球化的发展和 地球村的形成．
第二章
2.5
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
2.5
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
→ → 1．若向量 OF1 ＝(1,1)， OF2 ＝(－3，－2)分别表示两个力 → → → → F1 ，F2 ，则|F1 ＋F2 |为( A．(5,0) C. 5 )
识讨论力及角的关系．
第二章
2.5
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
高一数学必修4同步练习：2-5平面向量应用举例
2-5平面向量应用举例一、选择题1．△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，且AB →与BC →的夹角为120°，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．斜三角形[答案] C2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( )A ．5B ．－5 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由题意，得BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →.∴AC →·BC →＝0. ∴2(2－k )＋3×2＝0.∴k ＝5.3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．形状无法确定 [答案] C[解析] ∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0， ∴CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→.∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．4．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点 [答案] D[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0. ∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →.∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．5．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40NB ．102NC ．202ND ．402N[答案] B[解析] 如上图，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知|F |＝2|F 1|，|F |＝20N ， ∴|F 1|＝|F 2|＝102N.当它们的夹角为120°时，以F 1、F 2为邻边作平行四边形， 此平时四边形为菱形， 此时|F 合|＝|F 1|＝102N.6．两质点M ，N 的位移分别为s M ＝(4，－3)，s N ＝(－5，－12)，则s M 在s N 方向上的投影为( )A ．(－1，－15)B ．(－20,36) C.1613 D.165[答案] C[解析] s M ·s N ＝4×(－5)＋(－3)×(－12)＝16，|s M |＝5，|s N |＝13，则s M 在s N 方向上的投影为s M ·s N |s N |＝1613.7．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C．2 2 D．5[答案] D[解析]F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.8．速度|v1|＝10m/s，|v2|＝12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是()A．2m/s B．10m/sC．12m/s D．291m/s[答案] D[解析]|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.∴|v|＝291(m/s)．9．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．27 B．2 5C．2 D．6[答案] A[解析]∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，∴|F3|＝|－F1－F2|＝(F1＋F2)2＝|F1|2＋2F1·F2＋|F2|2＝4＋2×2×4cos60°＋16＝27.10．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km [答案] B[解析] a 与b 的夹角为90°，则a ·b ＝0，则|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝|a |2＋|b |2＝1＋3＝2， a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝1.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝11×2＝12，∴θ＝60°，即a ＋b 表示向北偏东30°方向航行2 km. 二、填空题11．在菱形ABCD 中，AC →·BD →＝________. [答案] 0[解析] ∵AC ⊥BD ，∴AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0.12．某人从点O 向正东走30m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是东偏北________．[答案] 60 60°[解析] 如图所示，此人的位移是OB →＝OA →＋AB →，且OA →⊥AB →，则|OB →|＝|OA →|2＋|AB →|2＝60(m)，tan ∠BOA ＝|AB →||OA →|＝ 3.∴∠BOA＝60°.13．一个物体在大小为10N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50m ，且力F 所做的功W ＝2502J ，则F 与s 的夹角等于________．[答案] π4[解析] 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F ·s ， 得2502＝10×50×cos θ， ∴cos θ＝22.又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.14．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，则(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)的最大值为________．[答案] 1[解析] 如上图所示，设AP →＝xAC →，AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ·b ＝0，BD →＝b －a ，AP →＝xAC →＝x (a ＋b )，其中x ∈[0,1]，所以PB →＝AB →－AP →＝a －x (a ＋b )＝(1－x )a －x b ， PB →＝AD →－AP →＝b －x (a ＋b )＝－x a ＋(1－x )b ，所以(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)＝[x (a ＋b )＋b －a ]·[(1－x )a －x b －x a ＋(1－x )b ]＝[(x －1)a ＋(x ＋1)b ]·[(1－2x )a ＋(1－2x )b ]＝－16x 2＋8x ＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1， 由于x ∈[0,1]，则－16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1的最大值为1. 三、解答题15．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ， 则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC 2→＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB 2→＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. ∴AC ＝13，DB ＝7.[点评] 向量法求平面内A 、B 两点间的距离的步骤：①选取一组基底a ，b ；②用基底a ，b 表示AB →，即AB →＝x a ＋y b ；③利用|AB →|＝|AB →|2＝(x a ＋y b )2求得|AB →|；④归纳结论．16．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形． [分析] 以AB →和AD →为基底，转化为证明AB →⊥AD →. [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，由于四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . ∵AC ＝BD ，∴|a ＋b |＝|b －a |. ∴|a ＋b |2＝|b －a |2.∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2. ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB →⊥AD →.∴AB ⊥AD . ∴四边形ABCD 是矩形．17．今有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37°＝35)[解析] 如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v 划|＝|v 水|·sin θ， sin θ＝dd 2＋l 2＝60602＋802＝35， ∴θ＝37°.∴最小划速应为v 划＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°. 18．如图，已知甲、乙两人同时从O 出发，甲行走10 km 到达B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角为60°，乙走了14 km 后到A 处，求此时甲、乙两人之间的距离．[解析] 设向量OA →＝a ，OB →＝b ，AB 2→＝(OB →－OA →)2＝OB 2→＋OA 2→－2OA →·OB →，又∵|OB →|＝10，|OA →|＝14，∴AB 2→＝196＋100－2×10×14×cos60°＝156， ∴|AB →|＝239.∴甲、乙两人此时之间的距离为239km.。
平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-高一数学(人教A版2019必修第二册)
个系统恰好处于平衡状态，求∠的大小.
学习目标
1、用向量解决几何中的平行、垂直、长度/距离、角度等问题；
2、借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；
3、通过平面向量基本定理，将向量的运算化归为实数的运算.
6.4.1 平面几何中的向量
方法
高一下学期
典例精析
例题：在正方形中，点，分别是，的中点，求证： ⊥
.
法一(几何法)：∆ ≅ ∆
验证： ∙ = 0 ？
法二(基底)： = + = +
1
2
1
2
= − =
−
1
1
∙ = (
+ ) ∙ ( − )
2
1
2
2
2
3
4
1
2
2
=
−
∙ −
又∵在正方形中， = ， ⊥
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 2 + 2 = 2(2 + 2 ).
新知探究
思考：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
2 + 2 = 2(2 + 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
思考： 2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ； 2 = (Ԧ − )2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 ，
向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.
6.4.2 向量在物理中的应
用举例
高一下学期
2024年高一数学真题汇编(北京专用)平面向量的数量积及其应用(含坐标)5种常考题型归类(解析版)
专题02平面向量的数量积及其应用（含坐标）5种常考题型归类向量数量积的运算1．（2023春•西城区校级期中）向量||||2a b == ，a与b 的夹角为34π，则a b ⋅ 等于()A ．-B ．C ．2-D ．4【解析】 ||||2a b == ，a与b 的夹角为34π，∴32||||cos 22()42a b a b π⋅==⨯⨯-=-．故选：A ．2．（2023春•西城区校级期中）已知向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c -⋅=；a b ⋅=．【解析】如图建立平面直角坐标系，所以(2,1)a = ，(2,1)b =- ，(0,1)c =，所以(0,2)a b -= ，()2a b c -⋅= ，221(1)3a b ⋅=⨯+⨯-=．故答案为：2；3．3．（2023春•东城区校级期中）已知菱形ABCD 边长为1，60BAD ∠=︒，则(BD DC ⋅=)A B ．C ．12D ．12-【解析】60BAD ∠=︒ ，由菱形的几何性质可得：1AB BD DC ===，,120BD DC 〈〉=︒，故111cos1202BD DC ⋅=⨯⨯︒=- ．故选：D ．4．（2023春•怀柔区校级期中）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则(DA CD ⋅=)A ．212a -B ．214a -C ．214a D ．212a 【解析】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则2211||||cos(180)()22DA CD DA CD ADC a a ⋅=︒-∠=⨯-=- ．故选：A ．5．（2021秋•西城区校级期中）在ABC ∆中，90C =︒，4AC =，3BC =，点P 是AB 的中点，则(CB CP ⋅= )A ．94B ．4C ．92D ．6【解析】在ABC ∆中，90C =︒，则0CB CA ⋅=，因为点P 是AB 的中点，所以1()2CP CB CA =+ ，所以222111119[()]||222222CB CP CB CB CA CB CB CA CB CB ⋅=⋅+=+⋅=== ．故选：C ．6．（2015秋•北京校级期中）ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++= ，||||OA AB =，则CA CB等于()A ．32B C ．3D ．【解析】 20OA AB AC ++=，∴0OA AB OA AC +++= ，∴OB OC =- ．O ∴，B ，C 共线，BC 为圆的直径，如图AB AC ∴⊥． ||||OA AB = ，∴||||1OA AB == ，||2BC =，||AC =，故6ACB π∠=．则||||cos303CA CB CA CB =︒= ，故选：C ．7．（2023春•房山区期中）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅ ，则(AD AC ⋅= )A ．12B ．16C ．20D ．10【解析】因为2AB AC AB AD ⋅=⋅，所以()AB AC AB AD AB AC AD AB DC AB AD ⋅-⋅=⋅-=⋅=⋅ ，所以2||AB AB AD =⋅ ，可得||cos 24AD π= ，解得||22AD = ，所以22()(22)222cos 124AC AD AD AD DC AD AD DC π⋅=⋅+=+⋅=+⨯= ．故选：A ．8．（2023秋•大兴区期中）已知等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，则EF EA ⋅=；若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则EM EN ⋅的最小值为．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以(2,0)B -，(2,0)C ，(0A ，23)，(3)E -，3)F ，所以(2,0)EF = ，3)EA =，所以21032EF EA ⋅=⨯+=；不妨设M 在N 的左边，则设(M m ，0)(21)m - ，则(1,0)N m +，所以(1,3)EM m =+ ，(2,3)EN m =+，所以22311(1)(2)335(24EM EN m m m m m ⋅=+++=++=++ ，所以当32m =-时，EM EN ⋅ 有最小值为114．故答案为：2；114．9．（2023春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形所在平面上的动点，且||BP =，则DB AP ⋅的最大值是()A ．0B ．4C ．D ．8【解析】已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形所在平面上的动点，且||BP =，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B ，(0,2)A ，(2D ，2(2,2)2))θθ=--⋅-，P θ)θ，[0θ∈，2]π，则(2,2)2)444sin(4DB AP πθθθθθ⋅=--⋅-=--=-+ ，又[0θ∈，2]π，则[0DB AP ⋅∈，8]，则DB AP ⋅的最大值是8．故选：D ．10．（2023春•顺义区期中）已知P 是ABC ∆所在平面内一点，||3AB = ，||1AP = ，6AC AB ⋅=，则AB CP ⋅的最大值是()A ．3B ．2C ．2-D ．3-【解析】||3AB = ，||1AP = ，6AC AB ⋅=，∴()AB CP AB AP AC ⋅=⋅- AB AP AB AC =⋅-⋅ ||||cos 6AB AP BAP =∠-3cos 6BAP =∠-，cos 1BAP ∴∠=时，AB CP ⋅取最大值3-．故选：D ．11．（2023秋•通州区期中）在等腰ABC ∆中，2AB AC ==，2BA BC ⋅=，则BC =2；若点P满足122CP CA CB =-，则PA PB ⋅ 的值为．【解析】在等腰ABC ∆中，2AB AC ==，又2BA BC ⋅=，则()2AB AC AB ⋅-=-，则222AB AC AB ⋅=-= ，即||||cos 2AB AC BAC ∠=，即1cos 2BAC ∠=，即3BAC π∠=，即ABC ∆为等边三角形，即2BC =；又点P 满足122CP CA CB =-，则221111111()()(2)(3)664422242242422PA PB CA CP CB CP CB CA CB CA CB CA CB CA ⋅=-⋅-=+⋅-=-+⋅=⨯-⨯+⨯⨯⨯= 故答案为：2；24．向量的模12．（2023秋•东城区校级期中）已知向量a 与向量b 的夹角为120︒，||||1a b == ，则|2|(a b += )A ．3B C ．2D ．1【解析】已知向量a与向量b 的夹角为120︒，||||1a b == ，则1111()22a b ⋅=⨯⨯-=-，则|2|a b +=== ．故选：B ．13．（2023春•海淀区校级期中）已知平面向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，且a与b 的夹角为23π，则||(a b += )A B C ．D ．3【解析】 ||2a = ，||1b = ，且a与b 的夹角为23π，∴平面向量的数量积运算可知，221cos 13a b π⋅=⨯⨯=-，∴222222||()222113a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+= ，∴||a b +=故选：A ．14．（2022春•东城区校级期中）已知a ，b 是单位向量，2c a b =+ ，若a c ⊥，则||(c = )A ．3BC D【解析】 a ，b 是单位向量，2c a b =+ ，a c ⊥，∴2(2)20a c a a b a a b ⋅=⋅+=+⋅=，∴21a b ⋅=-，||c = ==．故选：C ．15．（2014秋•西城区校级期中）已知向量a与b 的夹角是120︒，||3a = ，||a b + ，则||b =．【解析】向量a与b 的夹角是120︒，||3a = ，||a b += ，则2()13a b +=，即有22213a b a b ++=，即29||23||cos12013b b ++⨯︒=，即2||3||40b b --=，即有||4(1b =-舍去），故答案为：4．16．（2020春•朝阳区校级期中）设向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，a < ，60b >=︒，则|2|a b += ．【解析】由||2a = ，||1b = ，a <，60b >=︒ ，则1||||cos ,2112a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯=，则|2|a b +==故答案为：．17．（2023春•海淀区校级期中）已知||1a =，||b = 1a b ⋅=，则|2|(a b -= )A ．3BC ．5D ．9【解析】 222222|2|(2)441414(5a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+⨯=，∴|2|a b -=．故选：B ．18．（2023春•东城区校级期中）若向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||||a b a b ++-的最小值为()A ．52B ．2C ．1D ．12【解析】设a OA =，b OB = ，c OC = ，设M 为AB 的中点，已知向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||1OC = ，CA CB ⊥ ，则||||2||||2||2||2(||||)2||2a b a b OM BA OM CM OM CM OC ++-=+=+=+=，当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即||||a b a b ++-的最小值为2．故选：B ．19．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量,a b满足||2a = ，||1b = ，且1a b ⋅= ，则|2|(a b += )A ．12B ．4C ．D ．2【解析】已知平面向量,a b满足||2a = ，||1b = ，且1a b ⋅= ，则|2|2a b +=故选：C ．20．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,1)a =，(2,3)b =- ，那么|2|(a b -= )A ．5B ．C ．8D【解析】向量(1,1)a =，(2,3)b =- ，那么|2||(5a b -= ，5)|-==．故选：B ．21．（2022春•西城区校级期中）已知向量a ，b满足||5a = ，(3,4)b = ，0a b ⋅= ．则||a b -= ．【解析】因为||5a = ，(3,4)b = ，所以2223425b =+= ，所以||5b = ，又因为0a b ⋅=，所以222()225202550a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ，所以||a b -=．故答案为：．22．（2023秋•西城区校级期中）已知向量,a b满足(2,),(2,1)a b x a b +=-=- ，且22||||1a b -=- ，则(x =)A ．3-B ．3C ．1-D ．1【解析】因为(2,),(2,1)a b x a b +=-=-，所以2222||||()()41a b a b a b a b x -=-=+⋅-=-+=-，解得：3x =．故选：B ．23．（2017春•东城区校级期中）设x ，y R ∈，向量(,1)a x = ，(1,)b y = ，(2,4)c =- ，且a c ⊥ ，//b c，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】 (,1),(2,4)a x c ==- ，且a c ⊥，21(4)0x ∴+-= ，解得2x =．又 (1,),(2,4)b y c ==-，且//b c ，1(4)2y ∴-= ，解之得2y =-，由此可得(2,1)a =，(1,2)b =- ，∴(3,1)a b +=-，可得||a b +=．故选：B ．向量的垂直问题24．（2023春•大兴区校级期中）已知向量(,2),(1,1)a x b ==- ，若a b ⊥，则(x =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】因a b ⊥ ，则20a b x ⋅=-+=，得2x =．故选：C ．25．（2023春•昌平区校级期中）向量(,1),(2,4)a t b == ，若a b ⊥，则实数t 的值为()A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】因为(,1),(2,4)a t b == ，且a b ⊥，所以240a b t ⋅=+=，得2t =-．故选：D ．26．（2023春•通州区期中）已知向量(2,4)a =，(1,)b m =- ，则“3m =”是“()a b b -⊥ ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】根据题意，当3m =时，向量(2,4)a =，(1,3)b =- ，则(3,1)a b -= ，有()330a b b -⋅=-+= ，则有()a b b -⊥，反之，若()a b b -⊥ ，则()3(4)0a b b m m -⋅=-+-=，解可得3m =或1，3m =不一定成立；故“3m =”是“()a b b -⊥”的充分不必要条件．故选：A ．27．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．28．（2023秋•东港区校级期中）已知向量(1,0),(0,1)a b == ，若()()a b a b λμ-⊥+，其中λ，R μ∈，则()A ．1λμ+=-B ．1λμ+=C ．1λμ⋅=-D ．1λμ⋅=【解析】(1,0),(0,1)a b ==，则(1,)a b λλ-=- ，(1,)a b μμ+=，()()a b a b λμ-⊥+，则110λμ⨯-⋅=，解得1λμ⋅=．故选：D ．29．（2023秋•西城区校级期中）如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是()A ．||||a b = B ．a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，知：在A 中，||2a =，||b = ||||a b ∴≠ ，故A 错误；在B 中，2a b =，故B 错误；在C 中， (1,1)a b -=- ，()0a b b ∴-= ，()a b b ∴-⊥，故C 正确；在D 中， 2011≠，∴a与b 不平行，故D 错误．故选：C ．30．（2023春•海淀区校级期中）已知平面向量11(,),)2222a b =-=-，则下列关系正确的是()A ．()a b b +⊥B ．()a b a +⊥C ．()()a b a b +⊥-D ．()//()a b a b +-【解析】平面向量11()22a b =-=-，则a b ⋅=-=，22||1b b == ，22||1a a == ，对于A ，2()0a b b a b b +⋅=⋅+≠，故A 错误；对于B ，2()0a b a a a b +⋅=+⋅≠，故B 错误；对于C ，向量1(,)22a =-，1()22b =- ，则||||1a b == ，则有22()()||||0a b a b a b +⋅-=-= ，即()()a b a b +⋅-，故C 正确；对于D ，12a b += 1)2，1(2a b -=1)2+，易得()a b + 与()a b - 平行不成立，故D 错误．故选：C ．31．（2021春•东城区校级期中）已知向量(1,0)a = ，(,1)b m = ，且a与b 的夹角为4π．（1）求m 及|2|a b -；（2）若a b λ+与b 垂直，求实数λ的值．【解析】（1）根据题意，向量(1,0)a =，(,1)b m = ，则a b m ⋅= ，||1a =，||b = ，又由a与b 的夹角为4π，则有||||cos a b a b θ⋅= ，即2m =，解可得：1m =，则2(1,2)a b -=-- ，故|2|a b -==；（2）由（1）的结论，1m =，则(1,1)b =，若a b λ+与b 垂直，则()120a b b λλ+⋅=+= ，解可得：12λ=-．向量的夹角问题32．（2023春•仓山区校级期中）若||1a = ，||b = ，2a b ⋅= ，则a，b 的夹角为()A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【解析】cos a b a b θ⋅=⨯⨯，将已知代入可得：21cos θ=⨯，解得：2cos 2θ=，[0θ∈ ，]π，故4πθ=，故选：B ．33．（2023春•顺义区期中）若1e ，2e 是夹角为3π的两个单位向量，则12a e e =+ 与122b e e =- 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解析】根据题意，设12a e e =+与122b e e =- 的夹角为θ，[0θ∈，]π，1e ，2e 夹角为3π的两个单位向量，则1212e e ⋅= ，12a e e =+，122b e e =- ，则有221212322a b e e e e ⋅=--⋅=- ；又由2212||()3a e e =+=，2212||(2)3b e e =-= ，则有||a =，||b = ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==- ，则23πθ=．故选：C ．34．（2023秋•朝阳区期中）已知单位向量a ，b 满足(2)2a a b ⋅+= ，则向量a与b 的夹角为．【解析】因为a，b 是单位向量，且(2)2a a b ⋅+= ，所以222a a b +⋅= ，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==，因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=．故答案为：3π．35．（2023春•房山区期中）已知向量(3,1)a =，(2,1)b =- ．则a b ⋅= ；a <，b >=．【解析】向量(3,1)a =，(2,1)b =- ，所以321(1)5a b ⋅=⨯+⨯-=；计算cos a <，2||||a b b a b ⋅>=== ，又因为a <，[0b >∈ ，]π，所以a <，4b π>= ．故答案为：5；4π．36．（2023春•通州区期中）已知向量(1,2)a =- ，(2,4)b = ，则向量a与b 夹角的余弦值为()A ．35-B ．35C ．1-D ．1【解析】根据题意，设向量a与b 夹角为θ，向量(1,2)a =-，(2,4)b = ，则||a ==，||b == ，286a b ⋅=-=-，则3cos 5||||a b a b θ⋅===- ．故选：A ．37．（2023春•海淀区校级期中）已知a ，b 是单位向量，2c a b =+ ．若a c ⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解析】设a与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π， 2c a b =+ ，a c ⊥，∴2(2)20a c a a b a a b ⋅=⋅+=+⋅=，a，b 是单位向量，12cos 0θ∴+=，解得1cos 2θ=-，∴23πθ=．故选：C ．38．（2023春•东城区校级期中）平面向量||2a = ，||2b = ，()a b a -⊥ ，则a与b 的夹角是()A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】()a b a -⊥，()0a b a ∴-⋅= ，即20a a b -⋅=，∴22a b a ⋅==，2cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==⋅，,[0,]a b π<>∈，∴,a b的夹角是4π．故选：C ．39．（2022春•西城区校级期中）已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b的夹角为()A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒【解析】根据题意，如图，建立坐标系，设小正方形的边长为1，向量a，b 的夹角为θ，则(3,1)a =，(2,4)b = ，则||10a = ||4165b =+ 10a b ⋅=，则102cos 2||||1025a b a b θ⋅===⨯ ，则45θ=︒，故选：A ．40．（2023春•海淀区校级期中）已知向量(1,0)a =，(2,a b += ，则向量a与b 的夹角为()A ．3π-B ．6πC ．3πD ．23π【解析】向量(1,0)a =，(2,a b +=，所以(1,b = ，所以1,||1,||2a b a b ⋅===，设向量a与b 的夹角为α，则1cos 2||||a b a b α⋅== ，因为[0α∈，]π，故3πα=．故选：C ．41．（2013秋•宣武区校级期中）若向量a 、b 满足(2,1)a b +=- ，(1,2)a = ，则向量a与b 的夹角等于()A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【解析】向量a、b 满足(2,1)a b +=- ，(1,2)a = ，则(1,3)b =- ，165a b =-=-，||a =，||b =即有cos ,2||||a b a b a b <>===，由于0,180a b ︒<>︒，则有向量a与b 的夹角等于135︒．故选：A ．42．（2023秋•通州区期中）已知向量(2,0)a =- ，(1,2)b =，c =，则下列结论中正确的是()A ．//a bB ．2a b ⋅= C ．||2||b c = D ．a 与c的夹角为120︒【解析】已知向量(2,0)a =- ，(1,2)b =，c =，A 选项，因(2)210-⨯≠⨯，则a与b 不平行，故A 错误；B 选项，因202a b ⋅=-+=-，故B 错误；C选项，||b ==又||2c ==，则||2||b c ≠ ，故C 错误；D 选项，21cos ,||||222a c a c a c ⋅-〈〉===-⨯，又,[0,180]a c 〈〉∈︒︒，则,120a c 〈〉=︒，即a 与c的夹角为120︒，故D 正确．故选：D．投影向量问题43．（2023春•通州区期中）已知向量a ，b 满足10a b ⋅= ，且(3,4)b =- ，则a在b 上的投影向量为()A ．(6,8)-B ．(6,8)-C ．6(5-，8)5D ．6(5，8)5-【解析】因为10a b ⋅=，且(3,4)b =- ，所以a在b 上的投影向量||cos a a < ，2(3,4)6()10(9165||||b b b a b b b ->=⋅=⨯=-+ ，85．故选：C ．44．（2023春•朝阳区校级期中）已知两个单位向量a和b 的夹角为120︒，则向量a b - 在向量b 上的投影向量为()A ．12b- B ．12bC ．32b- D ．32b【解析】 单位向量a和b 的夹角为120︒，23()||11cos12012a b b a b b ∴-⋅=⋅-=⨯⨯︒-=- ，向量a b -在向量b 上的投影向量为()32||||a b b b b b b -⋅⋅=- ．故选：C ．45．（2021春•丰台区期中）已知(1,0)a = ，(5,5)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影向量的坐标为．【解析】向量a在向量b方向上的投影为22||a b b ⋅= ，由于向量a在向量b 方向上的投影向量与b 共线，可得所求向量为11(102b = ，1)2，故答案为：1(2，1)2．46．（2023春•房山区期中）已知向量(1,3)a =，(1,1)b =- ，则下列结论正确的是()A ．a与b 的夹角是钝角B ．()a b b+⊥C ．a在bD ．a在b 上的投影的数量为105【解析】对于A ，因为1320a b ⋅=-+=> ，所以a与b 的夹角不是钝角，选项A 错误；对于B ，2()2240a b b a b b +⋅=⋅+=+=≠ ，所以()a b b +⊥不成立，选项B 错误；对于C ，a在b上的投影的数量为||a b b ⋅== C 正确；对于D ，由C 知选项D 错误．故选：C ．47．（2023春•昌平区校级期中）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值为．【解析】矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯=；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值，||||cos AB OP AB OP POB ⋅=∠ ，P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯-=-；故答案为：2；2-．48．（2023秋•东城区校级期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径//MN CD ，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为．【解析】如图，连结PO ，显然OM ON =-，则222()()()()4PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，点P 在正六边形ABCDEF 的边上运动，O 是其中心，因此||PO的最小值等于中心O 到正六边形的边的距离，又中心O 到正六边形的边的距离为42⨯=，所以PM PN ⋅的最大值为248-=．故答案为：8．49．（2023春•大兴区期中）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，E 是边AC的中点，则BE AD ⋅ 的取值范围是()A ．[-B ．C ．[3-，0]D ．[0，3]【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)C ，B ，(0,0)E ，设CD CB λ= ，01λ，则(1)OD OC CB λλ=+=- ，则(2)AD λ=- ，又(0,BE = ，所以(2)0(3BE AD λλ⋅=-⨯+⨯=- ，又01λ，所以BE AD ⋅ 的取值范围是[3-，0]．故选：C ．50．（20210.618≈的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD 中，1BC =，AB BC >，那么AB AC ⋅ 的值为()A1-B1+C ．4D．2+【解析】由黄金矩形的定义，可得2AB =，1BC =-，在矩形ABCD中，cos AB CAB AC ∠==，则||||cos 24AB AC AB AC CAB ⋅=⋅⋅∠=⨯ ，故选：C ．51．（2023秋•西城区校级期中）已知OA a = ，OB b = ．若||5OA = ，||12OB = ，且90AOB ∠=︒，则||a b -= ．【解析】已知OA a = ，OB b = ，90AOB ∠=︒，∴0a b ⋅= ，又||5OA = ，||12OB = ，即||5,||12a b ==，||13a b ∴-= ．故答案为：13．52．（2023春•道里区校级期中）若平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b + 等于()AB．C ．4D ．12【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，所以||2a = ，||||cos 21cos601a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以|2|2a b += ．故选：B ．53．（2023春•东城区校级期中）已知向量(0,5)a = ，(4,3)b =- ，(2,1)c =-- ，那么下列结论正确的是()A ．a b - 与c 为共线向量B ．a b - 与c 垂直C ．a b - 与a 的夹角为钝角D ．a b - 与b 的夹角为锐角【解析】根据题意，向量(0,5)a = ，(4,3)b =- ，(2,1)c =-- ，则(4,8)a b -=- ，又由(2,1)c =-- ，有(4)(1)(2)8-⨯-≠-⨯，则()a b - 与c 不是共线向量，(2,1)c =-- ，则()(4)(2)(1)80a b c -=-⨯-+-⨯= ，则()a b - 与c 垂直；故选：B ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 2.向量共 线
a // b b a x1 y2 x2 y1 0
坐标表示向量的夹角
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )
ab cos | a || b |
x1 x2 y1 y2 x1 y1
1 EF BC 2 1 EF // BC 且EF BC 2
C
例题
如图，在四边形ABCD中， 点E、F、G、H 分别为四条边的中点， 求证：EF // HG且EF HG 证明 : EF EB BF D
1 1 AB BC 2 2 1 1 ( AB BC ) AC 2 2
y
j
1
i
1
x
复习：坐标表示模
已知a ( x, y), 求| a |
| a |
x2 y2
复习：.坐标表示向量垂直和平行
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则： • 1.向量垂直 a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
G
C
F
H E B
1 A 同理 : HG AC 2 EF HG EF // HG且EF HG
P123 例1
求证：平行四边形两条对角线的平方和
2 2 2 | AB | | a | a 2 2 2 | AD | | b | b A 2 2 2 2 2 | AC | | a b | (a b) a 2a b b 2 2 2 2 2 | DB | | a b | (a b) a 2a b b 2 2 2 2 2 2 | AC | | DB | 2( a b ) 2( AB AD ) 原命题成立
复习
a b ab 0 a b | a || b | cos | a || b | cos 9 0 | a || b | 0
0
?
2 2 a | a |
复习
| i | 1 | j | 1 2 2 i |i| 1 2 2 j | j| 1 i j 0 ji 0
2.5平面向量应用举例
复习
a b | a || b | cos
a b x1 x2 y1 y2
(1) | a | 5, | b | 6, 30， a b 15 3
(2)a (1,5), b (3, 2), a b 7
证明：设AB a, AD b,
等于相邻两边的平方和的两倍。 D
C
B
; / 上海护理院一览表 上海养老院排名 敬老院收费标准 上海护理院哪家好 lpu59hln
呼吸，只觉得那一个瞬间，风止了，空气凝结了，整个世界都安静了。从外界看去一个高瘦女子矗立在曼陀罗之上，全身上下 白袍紧紧裹住，所漏皮肤仔细看去布满了细小的裂纹，在裂纹之中闪耀着红色的光芒。不知过了多久，身上的痛苦之感开始消 失，取而代之的是全身上下充满了精力，之前的内伤外伤全都消失不见，整个人亢奋无比，脸色通红。曼陀罗的花瓣开始闭合， 暮雨整个人位于花朵内部，妖艳血红的曼陀罗带着暮雨逆时针旋转，地面的曼陀罗顺时针旋转，四周墙壁上的曼陀罗散发的红 光全部汇集到暮雨体内，暮雨所在的曼陀罗与地面的曼陀罗转动的方向相反，中间形成了无数道金色的光束，那光束如天际的 骄阳，刺目而不能逼视。婠青会心一笑，脸上绽放出无法比拟的神采，异常兴奋地说：“你终于回来了，我终于等到你了”。 说完进入大殿之中，站在大殿西南方，四周青光乍起，与红光交相呼应，婠青缓缓飞入空中直至暮雨上方，两目圆睁，双手结 印口中念道：“临，兵，斗，者，皆，”一个字一个结印。随着“皆”字声落，刹那间青红两光大放光芒，曼陀罗花停止转动， 光芒更盛，空中的曼陀罗花逐渐消失，暮雨周身青红两光交替闪烁。暮雨觉得一股暖流注入身体，很是舒服。再睁开眼时，双 目闪着奇异的光彩，先看就会发现她的瞳孔是墨绿色。暮雨，婠青缓缓降落。所有的曼陀罗花消失不见 ，像什么事都没有发 生一般，大殿恢复了原来的样子。暮雨一袭白衣站在大殿中央，抬头仰望着屋顶，婠青向前双手向前一拱作揖说：“妫神，恭 候多时”。妫雨显得很迷惑说：“你们都说我是妫族的，那妫族究竟是什么，他们是什么样的存在啊？”婠青并没有感到白痴 或者奇怪，轻轻一笑，温柔地说：“妫族，万年来第一大族，他们是巫族的后代。世界之初本是洪荒世界，洪荒世界为巫妖两 族掌控，其中妖族掌控天空，巫族称霸大地，后巫妖两次大战导致洪荒破碎，形成了现在的世界。”妫雨若有所思的说：“照 你这么说，我族与妖族本就相处不来，那为什么我族还帮助妖们渡劫成功呢？”因为妫族与妖族有着不可分割的联系，在形成 新世界之初，巫妖两族又一次大战，但妖族几乎是压倒性的趋势战胜了巫族，最后巫族只剩下最后一支血脉，也就是现在的妫 族。可就当妖族以为战胜巫族，可以统治之时，前所未有的灾难来了，妖族从灵力小的开始，每次满月便会被天火燃烧，天火 扑不灭，浇不熄。当被烧的灰飞烟灭之时，天火便会自己消失，留下的一股焦臭味久久不散，没过多久妖族也只剩下几支像龙， 狐，蛇这样的大家族还能够支撑，就连凤凰一族都快灭绝了。妖族圣人女娲不知从何处知晓并告诉巫妖两族，巫妖两族相互制 衡，相互依存。一方力量薄弱，另一方力量也会随之削减，至于
2 2
x 2 y2
2
2
P120 例6
用向量证明三角形中位线定理
1 求证：EF // BC 且EF BC 2
证明：设EA a, AF b, EF EA AF a b
A F
E B
BC BA AC 2 EA 2 AF 2a 2b 2(a b)