小学数学四年级第二讲等差数列
小学数学等差数列
等差数列等差数列按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项。
第二个数叫第二项，…，最后一个数叫做末项。
（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5， (33)（3）5，10，15， (105)这三个数列都有共同的规律：从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫等差数列。
后项与前项的差叫该数列的公差。
如第一个数列中，公差=2-l=1；第二个数列中，公差=3-l=2；第三个数列中，公差=10-5=5。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2以及另外两个重要公式：（1）项数=（末项-首项）÷公差+l（2）末项=首项+公差×（项数-1）【例1】★把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【小试牛刀】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？【例2】★从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
【小试牛刀】观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a=________。
【例3】★2、4、6、8、10、12、 是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【小试牛刀】1、3、5、7、9、11、 是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【例4】★在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．【小试牛刀】5、8、11、14、17、20、 ，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【例5】★★⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【小试牛刀】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【例6】★一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【小试牛刀】有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【例7】★★已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7， ，问2009是这个数列的第多少项？【小试牛刀】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、 ，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【例8】★★如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍根。
数学等差数列
数学等差数列数学等差数列是指一个数列中每一项与前一项的差值相等。
这个差值叫做公差，通常用字母d表示。
等差数列在数学中有着重要的应用，例如在代数、几何和物理中都有广泛的应用。
一个常见的例子是算术数列，也就是每一项的公差都相等的等差数列。
一个算术数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数，an是第n项。
这个公式可以用于求等差数列中的任意一项，或者计算等差数列中所有项的和。
另一个重要的等差数列是调和数列，它的每一项是倒数的等差数列。
调和数列的通项公式可以表示为an = 1/(a1 + (n-1)d)，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
调和数列在数学中有广泛的应用，例如在概率统计中被用于计算期望。
除了算术和调和数列外，等差数列还有其他种类。
例如，几何数列是指每一项与前一项的比值相等的数列。
一个几何数列的通项公式可以表示为an = a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数，an是第n项。
几何数列在数学中也有着广泛的应用，例如在金融和经济学中被用于计算复利。
等差数列在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，假设一个人每周从工资中存储100元，那么他的储蓄就是一个等差数列。
如果他存储了n周，那么他的储蓄总额就可以用等差数列的通项公式计算出来。
除了在数学和实际生活中的应用外，等差数列还在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，计算机科学中的算法常常需要对等差数列进行操作，例如排序和搜索。
总的来说，等差数列在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
了解等差数列的基本概念和应用可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
等差数列四年级数学ppt课件教案人教版
等差数列（二）等差数列的前n 项和的公式：2)(1÷+⨯=n n a a n S例1.（1）计算15 +16 +17+ … + 27 + 28（2）计算1 + 5 + 9 + 13 + 17 + … + 1993（3）计算1 + 3 + 5 + 7 + …+ 45 + 47 + 49练习1）计算1 + 2 + 3 + 4 + … + 49 + 50 2）计算100 + 99 + 98 + 97 + … +503） 计算3 + 7 + 11 + 15 + … + 99 4）计算89 + 88 + 87+ … + 3 + 2 +1例2.求首项是3，末项是179，公差是2的等差数列的和是多少？练习：求首项是5，末项是150，公差是5的等差数列的和是多少？例3.求出下列各数列共有多少项，并求出各数列的和。
(1)1、3、5、7、… 、45、47（2）200、202、…、298、300 （3）102、104、107、…、896、899例4.建筑工地有一批砖，码成如图的形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少快砖？这堆砖共有多少块？练习：1.小明读一本书，第一天读了25页，以后每天比前天多看了3页，看了20天刚好看完，这本书共有多少页？2. 某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？习题1.求出下列各数列共有多少项，并求出各数列的和。
（1）6、11、16、…、501 （2）11、12、13、…、2005、20062.求首项是8，末项是80，公差是4的等差数列的和3.小明从1月1日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写1个大字，问小明这个月共写了多少个大字？。
等差数列掌握等差数列的应用
等差数列掌握等差数列的应用等差数列是数学中一种常见的数列形式，它的特点是每个数与它前面的数之差都相等。
掌握等差数列的应用不仅对于数学学习有帮助，也有助于解决实际生活中的问题。
本文将介绍等差数列的基本概念和性质，并探讨等差数列在数学和实际问题中的应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一串数按照相等的差值进行增减的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，其中aₙ表示数列的第n项，则等差数列可以表示为：a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+3d，...等差数列有一些基本性质，这些性质在等差数列的应用中起着重要的作用。
首先是等差数列的通项公式，也即第n项的表达式。
设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d。
有了通项公式，我们就可以方便地求解等差数列中的任意一项。
其次是等差数列的常用性质——等差数列的前n项和。
对于等差数列的前n项和，可以使用求和公式进行计算。
设等差数列的前n项和为Sₙ，则有求和公式：Sₙ = n/2(a₁ + aₙ)，或者可以写为Sₙ =(n/2)[2a₁ + (n-1)d]。
二、等差数列的应用案例1. 数学应用等差数列的应用在数学中非常广泛。
例如，在代数学中，等差数列的概念常常被用于解决一元二次方程的问题。
通过观察等差数列的特点，我们可以推导出一元二次方程的解的公式。
另外，在数学证明中，等差数列的性质也是经常被使用的工具之一。
2. 物理应用等差数列在物理学中的应用也是非常常见的。
例如，在描述物体运动时，等差数列可以用来表示物体在等时间间隔内的位移、速度和加速度等。
利用等差数列的性质，我们可以方便地计算出物体的运动规律和相关物理量。
3. 经济应用等差数列在经济学中也有着广泛的应用。
例如，某个企业的销售额每年增长固定的比例，那么这个增长过程可以用等差数列来描述。
通过分析等差数列的特点和趋势，可以对企业的未来发展进行预测和规划。
4. 等差数列的日常应用等差数列在我们的日常生活中也有着许多应用场景。
第二讲等差数列及求和
第二讲 等差数列及求和一、选择题1.在-1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-52、在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于A.40B.42C.43D.453、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．754．在等差数列{a n }中,a m =n,a n =m,则a m+n 的值为（ ） （A ）m+n （B ）)(21n m + （C ）)(21n m - （D ）0 5．在等差数列{a n }中，S m =S n ,则S m+n 的值为（ ） （A ）0 （B ）S m +S n （C ）2(S m +S n ) （D ）)(21n m S S + 6.在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为 （ ）（A ）30 （B ）27 （C ）24 （D ）217．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为 （ ）（A ）4∶5 （B ）5∶13 （C ）3∶5 （D ）12∶138.若数列{a n }为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为 （ ） （A ）60 （B ）85 （C ）2145 （D ）其它值 9．已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为（ ） （A ）200 （B ）-200 （C ）400 （D ）-40010．若a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 , y 3，b 都是等差数列，则=--1212y y x x ( ) A ．32 B ．43 C ．1 D ．34 11. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ,则前9项和S 9= ( )A.1620B.810C.900D.67512．等差数列{a n }中，a 2和a 12是方程x 2-4x-6=0的2根，则a 5+a 6+a 7+a 8+a 9= ( )A ． 8B ．10C ．12D ．14二、填空题：13.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ．14、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．15、△ABC 中，如果a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =_________. 16、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ．17、在等差数列{a n }中，已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= 。
第二讲等差数列及其应用
• 二、通项公式
•
对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1；小于a2，则
•
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 由此可知：
•
• 公式
叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知
首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
•。
• 例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项.
•。
• 三、等差数列求和
•
若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写
•
数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.
•。
例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是， 请指明公差，若不是，则说明理由. ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
• 一、等差数列
•
什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
•
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
•
②1，3，5，7，9，11，13.
•
③ 2，4，6，8，10，12，14…
•
④ 3，6，9，12，15，18，21.
•
⑤100，95，90，85，80，75，70.
•
⑥20，18，16，14，12，10，8.
•
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样
的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：
•
数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；
•
小学数学奥数等差数列四年级讲课上课精品PPT教学课件
等差数列求和（笔记）
☆认识名称：
①首项→头； ②末项→尾； ③项→几个数。
认识等差数列
（1）1 2 3 4 5 6 7… 1 111 11
（2）2 4 6 8 10 12 … 222 2 2
（3）5 10 15 20 25 30 … 555 5 5
等差数列求和（笔记）
☆认识等差数列：
①每一项与前面的差都相等；②连续增加或者连续减小。 ☆认识名称：
①首项→头；②末项→尾；③项→几个数；④公差→等差 ☆等差数列求和公式：
①（首项+末项）×项数÷2=总和 ②（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
综合 计算：5+10+15+20+......+195+200
（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
综1 计算：1+2+3+4+......+99+100
（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
等差数列求和（笔记）
☆认识等差数列：
①每一项与前面的差都相等；②连续增加或者连续减小。 ☆认识名称：
①首项→头；②末项→尾；③项→几个数；④公差→等差 ☆等差数列求和公式：
①（首项+末项）×项数÷2=总和 ②（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
③ 首项+公差×（项数-1）=某一项
例4 已知有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层 有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面 一层有多少根？
①首项→头；②末项→尾；③项→几个数；④公差→等差
观察： 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
等差数列初步认识
等差数列初步认识等差数列是数学中经常出现的一个概念，广泛应用于各个领域中，如数学、物理、工程等等。
本文将对等差数列的定义、性质及应用进行初步认识，以帮助读者更好地理解和运用等差数列。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
二、等差数列的性质1. 首项与公差的关系对于等差数列的首项和公差之间有以下关系：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2da4 = a3 + d = a1 + 3d...可以观察到，等差数列的首项和第n项的关系式为：an = a1 + (n-1)d。
2. 总和的计算等差数列的前n项和可以通过以下公式计算得到：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项的和，a1表示首项，an表示第n项。
这个公式可以有效地计算出等差数列的总和，无需逐个相加。
3. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过割线法求得。
具体来说，将等差数列的图像绘制在直角坐标系中，然后通过观察割线与坐标轴的交点，可以得到等差数列的通项公式。
三、等差数列的应用1. 数学教学中的应用等差数列是数学教学中非常重要的概念，它在许多数学问题的解答中起到关键作用。
通过学习和应用等差数列的性质，可以帮助学生更好地理解和解决各类数学问题，如求和、推导公式等。
2. 物理学中的应用等差数列在物理学中也有广泛的应用。
例如，在匀速直线运动中，运动物体的位移随时间的变化可以形成一个等差数列，从而可以通过等差数列的性质来分析和计算物体的运动状态。
3. 工程中的应用等差数列的应用还延伸到工程领域，如建筑、电子、通信等。
例如，在设计天桥的拱形结构时，可以利用等差数列的概念来确定弓高、拱高等参数，从而保证结构的稳定与均衡。
四、等差数列的拓展除了等差数列，在数学中还有等比数列、等差数列等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列及其应用
大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。
大家在惊叹佩服之余，仔细想一想，小高斯的聪明和善于观察是不心说，最基本的左面原因却是这100个数所排列的这一组数列，具有极强的规律性。
这种数列的求和有极简便的求和方法。
通过这一讲的学习，你们也不逊色于大数学家“高斯”。
一、什么叫等差数列
1）1，2，3，4，5，6，7，8，9，……
2）1，3，5，7，9，11，13。
3）3，6，9，12，15，18，21，24，27，……
4）100，95，90，85，80，75，70，65，60……5，0。
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等
差数列。
其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：
数列1）中，d=2-1=3-2=4-3=5-4=6-5= (1)
数列2）中，d=3-1=5-3=7-5=9-7=11-9=13-11=2；
数列3）中，d=6-3=9-6=12-9=15-12= (3)
数列4）中，d=100-95=95-90=90-85=85-80= (5)
二、等差数列的几个常用公式
一个数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，…a n－1，a n，我们一般地，我们把“n”叫这个数列的
项数；a4，a5，a6，a7，…叫这个数列的项，例：“a4”表示这个数列的第4项；等差数列中
的公差,我们一般用d来表示; s n表示等差数列的前n项的和……根据等差数列的特点，我们
得到以下几个等差数列常用公式：
等差数列通项公式：a n= a1＋（n－1）d;
等差数列首项公式：a1= a n－（n－1）d;
等差数列项数公式：n=( a n－a1)÷d＋1;
等差数列求和公式：s n=（a1＋a n）×n÷2
[例1] 判断下列数列中哪些是等差数列，并说明理由。
1）6，10，14，18，22， (98)
2）1，2，1，2，1，2，1，2，1，2， (2)
3）19，18，17，16，15，14，13，12，11，10；
4）11，11，11，11，11，11，11，11，11，11，11，11；
5）1，4，7，10，13，16，19，22，25，28， (3001)
通过等差数列的定义进行判断，可知：1）、3）、4）、5）都是等差数列。
[形成性练习]判断下列各组数列是否是等差数列：
1）2，4，8，16，32，64，128，256，…
2）5，12，17，22，27，32， (2332)
3）50，55，60，65，70，75， (4555)
4）1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
[例2]求：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋…＋225=？
分析：根据等差数列的求和公式求和，应先找到基中相关的几个数量（a1、a n、n），由题可知a1=3，a n=225，n=？。
所以应先求项数n。
解：n=( a n－a1)÷d＋1=（225－3）÷3＋1=75；s n=（a1＋a n）×n÷2=（3＋225）×75÷2=8550。
[形成性练习]求：7＋17＋27＋37＋47＋…＋777=？
[例3]一个有50排座位的电影院的座位数从第一排开组成等差数列为31，33，35，37，39，…，问这2个电影院的第40排和最后一排各有多少个座位？
[分析]这个等差数列的第1项a1=31，公差d=33－11=2，根据等差数列的通项公式可求出第40项和最后一项（第50项）。
[解]a40= 31＋（40－1）×2=109；
a50= 31＋（50－1）×2=129。
答：这个电影院的第40排有109个座位，最后一排有129个座位。
[例4]求从1到1000的自然数中，所有奇数的和是多少？
[分析]将题中“1到1000的自然数中的所有奇数的和”，转化成一等差数列：1，3，5，7，9，…，997，999。
不难求出n=500，a1=1, a n=999,由等差数列求和公式可求出解。
[解] s n=（a1＋a n）×n÷2
=（1＋999）×500÷2
=250000
[例5]把900拆成30个自然数的和，使这30个数从小到大排成一行后，相邻两个数相差2，那么第一个数和第15个数分别是多少？
[解] a n= a1＋（n－1）d= a1＋（30－1）×2= a1＋58;s n=（a1＋a n）×n÷2=（a1＋a1＋58）×30 ÷2=900
a1=(900×2÷30－58)÷2=1; a15= 1＋（15－1）×2=29
[例6]求所有三位数的和。
[分析]我们知道最小的三位数为100，最大的三位数为999，每相邻两数间相差1。
实际是求a1=100，a n=999，d=1的等差数列的和。
[解]先求项数n=（999－100）÷1＋1=900；
再求它们的和S n=(100＋999)×900÷2=494550。
自测练习题
1、1＋2＋3＋…＋1999
2、2＋5＋8＋…＋299
3、求数列6，9，12，…前100个数的和。
4、如果一个等差数列的首项是5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？
5、一个剧场设有20排座位，后一排都比前一排多10个座位。
最后一排有250个座位，问这
个剧场一共有多少个座位？
6、求所有加6以后被11整除的三位数的和。
7、求1至100以内所有不能被5或7整除的三位数的和。
8、15个连续奇数的和是1995，其中最大的的奇数是多少？
9、计算：11＋14＋17＋…＋101
10、求从1开始连续100个奇数的和。
11、平面上共有50个点，没有3个点在同一直线上，试问，过这些点最多可以画出多少条
直线？
12、在1至200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
13、小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1997，
但他发现计算时少加了一个。
问：小明少加了哪个数？
14、学位进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78
场比赛，有多少人参加了选拔赛？
15、有数字塔如下图：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
求第100层中间的数是多少？。