五年级奥数a版第2周等差数列
最新五年级奥数重难点：等差数列
五年级奥数重难点：等差数列什么叫做等差数列？数列中每相邻两个数的差是一个固定值，这样的数列就是等差数列。
这个固定的差值叫做公差，数列中的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，数字的个数叫做项数。
知识点一：等差数列求项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1【例1】求下列数列共有多少项？2，5，8，11，...，98，101边学边练：求下列数列共有多少项？①1，4，7，10，...，100 ②4，9，14，19，...，109知识点二：等差数列求末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差【例2】等差数列2，7，12，17，22，···的第100项是多少？边学边练：1、有一列数：5，8，11，14，···它的第100项是多少？2、数列：3，8，13，18，···的第80项是多少？知识点三：等差数列求和①基本公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2②特殊公式：等差数列和=中间项×项数【例3】计算1+2+3+4+…+78+79+80边学边练：1、计算：3+6+9+…+20012、计算：5+10+15+20+⋯ +190+195的和。
【例4】计算：（1+3+5+...+1997+1999）-(2+4+6+...+1996+1998)边学边练：1、计算：1+3+5+7+...+97+99+97+...+7+5+3+12、计算：1÷1999+2÷1999+3÷1999+...+1998÷1999+1999÷1999知识点四：在很多的问题中，通常都可以转化为等差数列来解决。
【例5】小王和小胡两人比赛赛跑，限时时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？边学边练：1、四（2）班有45个同学矩形一词联欢会，同学们在一起一一握手，且每两人只能握一次，问同学们共握多少次手？2、阳光影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多2个座位。
小学五年级奥数练习及部分答案--2等差数列求和的应用--数列(二)
奥数五年级上一、数列规律的应用--找规律(四) (1)二、等差数列求和的应用--数列(二) (7)三、包含与排除(二) (14)四、小数的巧算--巧算(四) (19)五、行程问题(三) (25)六、行程问题(四) (31)七、牛吃草问题 (36)八、平面图形的面积(二) (39)九、计数问题 (45)十、数的进位制(二) (50)十一、简单抽屉原理(一) (54)十二、简单的统筹规划问题 (60)部分答案 (68)二、等差数列求和的应用--数列（二）对等差数列a1,a2,a3,…,a n,…,如果公差是d,第n项是a n,前n 项的和是s n(n=1,2,3,……)那么:a n=a1+(n-1)d即: 第n项=首项+公差的(n-1)倍n=( a n-a1)÷d+1即: 项数=(末项-首项)÷公差+1s n=(a1+a n)×n÷2即: 前n项和=(首项+末项)×项数÷2前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=n2前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=n2+n例18、有一列数:5,8,11,14,……。
①求它的第100项；②求前100项的和。
例19、有一串数：1,4,7,10,……,298。
求这串数的和。
例20、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195例21、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183例22、写出数列：1,2,3,4,5,6, ……中，第n个偶数和第n 个奇数。
例23、分别求自然数列中前n个奇数之和，以及前n个偶数(不包括0)的和。
例24、1+3+5+7+…+99例25、2+4+6+8+…+100例26、21+23+25+27+…+99例27、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?例28、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少?例29、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1例30、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99例31、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 例32、从一点o引出20条不重复的射线共形成多少个锐角?例33、求所有比11的倍少5的三位数的和?例34、下图有中的30个方格中各有一个数,每个格子中的数等于同一横行最左边一格和同一竖列最上面一格的数之和(如a=14+17=31)。
小学五年级奥数《等差数列题解》.doc
小学五年级奥数《等差数列题解》知识点：①等差数列的和 = （首项＋末项）×项数÷2②项数 = （末项－首项）÷公差＋1③公差 = 第二项－首项④等差数列的第n项 = 首项＋（n－1）×公差⑤首项 = 末项－公差×（项数－1）⑥末项 =首项＋公差×（项数－1）1、计算：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99=（1＋99）×50÷2=25002、求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。
（5＋155）×51÷2=160×51÷2=80×51=40803、计算：（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）=（1＋1999）×1000÷2－（2＋1998）×999÷2=1000000－999000=10004、计算：1÷1999＋2÷1999＋3÷1999＋……＋1998÷1999＋1999÷1999=【(1999+1)×1999÷2】÷1999=10005、有60个数，第一个数是7，从第二个数开始，后一个数总比前一个数多4。
求这60个数的和。
（1）末项为：7＋4×（60－1）=7＋4×59=7＋236=243（2）60个数的和为：（7＋243）×60÷2=250×60÷2=75006、数列3、8、13、18、……的第80项是多少？3+（80-1）×5=3+79×5=3+395=3987、求3＋7＋11＋……＋99=？①项数：（99-3）÷4＋1=96÷4＋1=25②和：（3+99）×25÷2=102×25÷2=12758、计算：1+3+5+7+9+11+13+9+7+5+3+1方法一：1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=(1+13)×7÷2+（1+11）×6÷2=(1+13)7+15=49+36=85方法二：1=121+3+4=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=521+3+5+7+9+11=621+3+5+7+9+11+13=721+3+5+7+9+11+13+9+7+5+3+1=72+62=49+36=85赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。
2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷02《等差数列》(解析版)
【五年级奥数举一反三—全国通用】测评卷02《等差数列》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（）A．47 B．49 C．51 D．53【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2．【解答】解：9+（20﹣1）×2＝9+19×2＝9+38＝47．答：第20个数是47．故选：A．2．（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（）个数为2015．A．667 B．668 C．669 D．671【分析】此题首项是5，末项是2015，公差是3，求第几个数为2015，即求项数，根据等差数列的通项公式进行求解即可．【解答】解：首项是5，末项是2015，公差是3，（2015﹣5）÷3+1＝2010÷3+1＝671答：第671个数为2015．故选：D．3．（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262，则这列数的第50个数为（）A．50 B．51 C．120 D．131【分析】因为一共有99个，所以正中间的一个数是50，这个数就是这个数列之和的平均数．第93个数是倒数第7个数，所以此题常采用画图的方法解决．【解答】解：262÷2＝131故选：D．4．（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2，且前8项的和等于后4项的和，那么，这个数列的第二项是（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】找出前8项数字和与后4项数字和相等，列出关系式，求出其中一项即可．【解答】解：根据题意后4项和前8项数字和相等可知，这个数列是递增数列，（a1+a8）×8÷2＝（a9+a12）×4÷2，因为a8＝a1+14，a9＝a1+16，a12＝a1+22，所以代入得（a1+a1+14）×8÷2＝（a1+16+a1+22）×4÷2，解得a1＝5，所以a2＝a1+2＝7．故选：A．5．（2分）5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）A．360 B．340 C．350 D．无法求出【分析】这些自然数是等差数列，紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和比315多5×5，然后进一步解答即可．【解答】解：315+5×5＝315+25＝340故选：B．6．（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球．能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？（）A．能B．不能C．不确定【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由已知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，然后与题意中给的羽毛球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44只羽毛球放到10个盒子中去，且使各盒子里的羽毛球数不相等；否则就不能．【解答】解：由题意，要使10个盒子中羽毛球的数量不相等，最少的放法是：0，1，2…9．计算总和：0+1+2+…+9＝9×5＝45，因为45＞44，所以原题不能．答：不能使各个盒子里的羽毛球数不相等．故选：B．二．填空题（共12小题，满分31分）7．（2分）（2017•走美杯）一箱苹果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个．请你算一算：这几天小张共拿了18个苹果．【分析】可以先用总数减去大家吃的苹果数和剩下的苹果数，再除以我每天吃的苹果数和小张偷的苹果数之和，就能求得天数，就能知道小张偷了几天，不难求得小张偷拿了多少苹果．【解答】解：根据分析，先求得小张偷拿苹果的天数，故有：（60﹣17﹣16）÷（2+1）＝9（天），小张共偷了：9×2＝18个．故答案是：18．8．（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么m×n＝300．4 89 1512 nm25【分析】首先，确定第一行公差，填全第一行；从第二列确定公差，确定m；同样从第四列，确定n．【解答】解：第一行公差为（8﹣4）÷2＝2，第一行数字为：4、6、8、10；确定第二列确定公差为12﹣9＝3，确定m＝12+3＝15；同样确定n＝20．m×n＝300即：填3009．（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每一天所挣的钱都比前一天多6元．那么第1天小明挣了24元．【分析】根据等差数列的规律，第三天小明挣了180÷5＝36元，公差是6，所以第一天小明挣了36﹣6×2＝24元，据此解答即可．【解答】解：180÷5＝36（元）36﹣6×2＝24（元）故答案为：24．10．（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题目．如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了56道题目．【分析】首项是2，末项是2+（7﹣1）×2＝14，然后利用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2求出结果．【解答】解：2+（7﹣1）×2＝14（道）（2+14）×7÷2＝56（道）故填56．11．（2分）（2017•小机灵杯）从1，2，3，4，…，50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，那么，可以得到不同的等差数列的个数为576．【分析】根据题意，分析当得到的等差数列公差为1、2、3时，可以得到的等差数列的数目，依此类推，发现其数目的变化规律，进而根据等差数列的前n项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，当得到的等差数列公差为1时，有1、2、3、4、5，…，46、47、48、49、50，共46种情况；当其公差为2时，有1、3、5、7、9，…，42、44、46、48、50，共42种情况；…当其公差为12时，有1、13、25、37、49，2、14、26、38、50，共2种情况；综上所述，共有2+6+…+46＝＝288种，考虑到等差数列也可以是从大到小，所以共有288×2＝576种不同的等差数列，故答案为576．12．（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘了25个桃子，那么这些猴子一共摘了153个桃子．【分析】九只小猴子摘桃子数，构成一个等差数列，公差是2，末项是25，那么首项是25﹣2×（9﹣1）＝9，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：25﹣2×（9﹣1）＝9（个）（9+25）×9÷2＝153（个）故答案为：153．13．（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词84个．【分析】首先表示出这7天的数量关系，然后根据前4天等于后3天的数量列出等式，求出每天的数量相加即可．【解答】解：依题意可知：设帅帅背单词的数量为：a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6共7天a+a+1+a+2+a+3＝a+4+a+5+a+6解：a＝9．共背9+10+11+12+13+14+15＝84故答案为：8414．（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12，那么梯形的面积是144．【分析】首先根据梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，可得：上底+下底＝高×2，据此求出梯形的上底和下底的和是多少；然后根据：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，求出梯形的面积是多少即可．【解答】解：（12×2）×12÷2＝24×12÷2＝288÷2＝144答：梯形的面积是144．故答案为：144．15．（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数．小刚说：数列中不大于215的数有20多个．小王说：数列的公差小于5．小红说：数列前两项的平均数是102．这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是496．【分析】如果小叶和小红说得对，那么前两项的和是102×2＝204，根据小叶说的，可以确定第一个数最大是99，那第二个数就是105，说明公差至少是105﹣99＝6，与小王说的相矛盾，因此可以判断出小叶、小红和小王三人之中肯定有一个是错的，那么小刚说的话肯定是对的．根据小刚说的，那说明公差一定不大于215÷20≈10，假设小王说的是错的，则说明公差大于或等于6，根据小叶和小红说的话可以确定公差是一个偶数，因此接下来验证公差是6、8、10的情况．如果公差是6，则第1项是99，第2项是105，那么第21项就是99+20×6＝219，大于215，所以公差不是6；如果公差是8，那么第1项就是98，第21项就是98+20×8＞215，所以公差也不是8，同样的道理公差也不是10，由此可以判断出小王说的话是对的．那只有小叶和小红两人有一个说错了．根据公差小于5，说明公差最大是4，那第一个数最大是215﹣28×4＝103，最小是215﹣28×4﹣3＝100，说明小叶说错了；同样根据公差是3、2、1，也能得出第一个数是三位数．根据前两项的和的平均数是102，说明这两个数可能是100和104，也可能是101和103，如果是100和104，那么第100项就是100+99×4＝496；如果前两项是101和103，那么215之前就不止20多个数，故不对．【解答】解：根据上面的推理可以知道是小叶说错了．102×2＝100+104＝101+103如果公差是104﹣100＝4，则第100项是100+99×4＝496；如果公差是103﹣101＝2，则第30项是101+29×2＝159＜215，与小刚说的话矛盾．故答案为：496．16．（2016•创新杯）已知数列a1，a2，…，a n为一等差数列，平均数为71，把相邻的4个数相加，其和为新的一列数，这新一列数的总和为28400，则n＝103．【分析】由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可以得到a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，依次利用①式进行变换最后得出a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，a1+a2+…+a n﹣1+a n＝71n①，a1+2a2+3a3+4a4+4a5+…+4a n﹣4+4a n﹣3+3a n﹣2+﹣2a n﹣1+a n＝28400②，②﹣①可得a2+2a3+3a4+3a5+…+3a n﹣4+3a n﹣3+2a n﹣2+a n﹣1＝28400﹣71n③，a2+a3+…+a n﹣2+a n﹣1＝71（n﹣2）④，③﹣④可得a3+2a4+2a5+…+2a n﹣4+2a n﹣3+a n﹣2＝28400﹣71（2n﹣2）⑤，a3+a4+…+a n﹣3+a n﹣2＝71（n﹣4）④，⑤﹣④可得a4+a5+…+a n﹣4+a n﹣3＝28400﹣71（3n﹣6）⑤，（n﹣3﹣4+1）×71＝28400﹣71（3n﹣6），解得n＝103，故答案为：103．17．（2014•其他模拟）艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元．她第一天挣了9元．【分析】每天的钱数构成一个公差为“2”的等差数列，首项是要求的数，项数为5．因此本题根据高斯求和公式“S n＝na1+n（n﹣1）÷2”进行计算即可：【解答】解：设她第一天挣了x元，5x+5×（5﹣1）×2÷2＝655x+20＝655x＝45x＝9故答案为：9．18．一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影院共有20排座位．【分析】把座位数可以看作是一个等差数列：首项是15，末项是53，公差是2，求这个电影院共有几排座位，就相当于等差数列的项数，列式是（53﹣15）÷2+1＝20，然后解答即可求出一共有的排数．【解答】解：根据分析可得，（53﹣15）÷2+1，＝38÷2+1，＝20（排），答：这个电影院共有20排座位．故答案为：20．三．计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）19．92+90+88+ (2)【分析】根据等差数列通项公式：项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，（首数+尾数）×项数÷2＝和解答即可．【解答】解：（2+92）×[（92﹣2）÷2+1]÷2＝94×46÷2＝2162四．解答题（共12小题，满分54分）20．（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？【分析】由题意可知，要使8个人中的每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同，则分到苹果最少的应为1个，而其他人至少分别分到2，3…8个苹果．那么这堆苹果应有的个数为：1+2+3+…+8．计算这个公差为1的等差数列的和即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8＝（1+8）×8÷2＝9×8÷2＝72÷2＝36（个）．答：这堆苹果至少应有36个．21．（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好看完，这本故事书一共有多少页？【分析】根据题意，可得小红每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的首项是25，末项是55，公差是5，所以求出等差数列的项数，即可求出这本故事书共多少页．【解答】解：（55﹣25）÷5+1＝30÷5+1＝7（25+55）×7÷2＝80×7÷2＝280（页）答：这本故事书一共有280页．22．（4分）已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【分析】由题可知，本题是一个公差为137﹣131＝6的等差数列，因此本题根据高斯求和的有关公式解答即可：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．【解答】解：公差：137﹣131＝6第1项：131﹣（9﹣1）×6＝131﹣48＝83第19项：83+（19﹣1）×6＝83+18×6＝83+108＝191答：这个数列的第1项是83，第19项是191．23．（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共有多少个座位？【分析】因后一排在比前一排多1个座位，可看作是看作一个等差数列，末项是45，所以首项是45﹣26+1＝20，本题可根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：45﹣26+1＝20（个）（20+45）×26÷2＝845（个）答：这个影院一共有845个座位．24．（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，那么共堆了多少层？【分析】每层的根数构成了一个等差数列，首项是6，公差是1，末项是98，求项数，根据“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”解答即可．【解答】解：（98﹣6）÷1+1＝92+1＝93（层）答：共堆了93层．25．（4分）求1，5，9，13，…，这个等差数列的第30项．【分析】首先求出1，5，9，13，…，这个等差数列的公差，然后根据：a n＝a1+（n﹣1）d（a1、a n、d 分别是等差数列的第1项、第n项、公差），求出这个等差数列的第30项即可．【解答】解：1+（30﹣1）×（5﹣1）＝1+29×4＝1+116＝117答：这个等差数列的第30项是117．26．（5分）（2012•其他杯赛）把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米．三段绳子的长度各是多少？【分析】设第一段绳子长x米，那么第二段，第三段绳子的长度分别是：（x+3）米，（x+3+3）米，根据三段绳子的长度是90米列方程，依据等式的性质即可解答．【解答】解：设第一段绳子长x米，x+（x+3）+（x+3+3）＝90，3x+9＝90，3x+9﹣9＝90﹣9，3x＝81，3x÷3＝81÷3，x＝27，27+3＝30（米），27+3+3，＝30+3，＝33（米），答：第一段绳子长27米，第二段绳子长30米，第三段绳子长33米．27．（5分）（2009•两岸四地）张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第30天做了78个，正好做完．这批零件共有几个？【分析】第一天20个，根据“以后每天都比前一天多做2个”，求得第二天是22个，第三天为24个，第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20 ）＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20）＝98×30，求得问题的答案．【解答】解：因为第一天20个，第二天是22个，第三天为24个，•，则第30天为78个，设s＝20+22+24+…+76+78 ①，则s＝78+76+74+…+24+22+20 ②，①+②得，2s＝（20+22+24+…+76+78）+（78+76+74+…+24+22+20），＝（20+78）+（22+76）+…+（76+22）+（78+20），＝98×30，＝2940，所以s＝1470．答：这批零件共有1470个．28．（5分）（2016•学而思杯）若一个三位数的三个数字a、b、c按从小到大排列后，怡好可组成一个等差数列（公差可以为0），这我们将这样的三位数叫做“和谐数”，如375，102，…．（1）100至199之间，有多少个“和谐数”？（2）总共有多少个“和谐数”？（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论．【解答】解：（1）公差为0：111；公差为1：102，120，123，132；公差为2：135，153；公差为3：147，174；公差为4：159，195，所以100至199之间，有11个“和谐数”；（2）公差为0：111，222， (999)公差为1，（0，1，2），（1，2，3），…，（7，8，9），共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+7×6＝46个；公差为2，（0，2，4），（1，3，5），…，（5，7，9），共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+5×6＝34个；公差为3，（0，3，6），（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），共4组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+3×6＝22个；公差为4，（0，4，8），（1，5，9），共2组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，4+1×6＝10个；总共有9+46+34+22+10＝121个“和谐数”；（3）将所有的“和谐数”排成一列，100～199：11个；200～299：公差为0：222；公差为1：201，210，213，231，234，243；公差为2：204，240，246，264；公差为3：258，285，共13个；300～399：公差为0：333；公差为1：312，321，324，342，345，354；公差为2：315，351，357，375；公差为3：306，360，369，396，共15个；400～499：公差为0：444；公差为1：423，432，435，453，456，465；公差为2：402，420，426，462，468，486；公差为3：417，471；公差为4：408，480，共17个；500～599：公差为0：555；公差为1：534，543，546，564，567，576；公差为2：513，531，537，573，579，597；公差为3：528，582；公差为4：519，591，共17个；11+13+15+17+8＝64，所以546排在第64位．29．（5分）从一列数1，5，9，13，…，93，97中，任取14个数．证明：其中必有两个数的和等于102．【分析】首先根据题意可知这列数是一组公差是4等差数列，根据项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，求出这组等差数列一共有几项，据此分析解答即可．【解答】解：（97﹣1）÷4+1＝25（个）将这25个组分成13组：{1}，{5，97}，{9，93}，{13，89}，…，{45，57}，{49，53}．在这25个数中任取14个数来，必有二数属于上述13组中的同一组，故这一组二数之和是102．30．（5分）一个项数是偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别是240和300．若最后一项超过第一项105，那么，该等差数列有多少项？【分析】设给出的数列有2n项，由偶数项的和减去奇数项的和等于n倍的公差，再根据最后一项比第一项多105得到一个关于项数和公差的式子，联立后可求项数．【解答】解：假设数列有2n项，公差为d，因为奇数项之和与偶数项之和分别是240与300所以S偶﹣S奇＝300﹣240＝nd，即nd＝60①．又因为a2n﹣a1＝105即a1+（2n﹣1）d﹣a1＝105所以（2n﹣1）d＝105②．联立①②得：n＝4．则这个数列一共有2n项，即8项．答：该等差数列有8项．31．（5分）一堆电线杆，共有5层，第一层有8根，下面每层比上层多一根，这堆电线杆一共有多少根？【分析】根据题意，把第一层的根数看作梯形的上底，最下层的根数看作梯形的下底，层数看作梯形的高，由梯形的面积公式就可以求出结果．【解答】解：根据题意可得最下面的一层的根数是：8+5﹣1＝12（根），由梯形的面积公式可得：这垛电线杆的总数为：（12+8）×5÷2＝100÷2＝50（根）；答：这一堆电线杆共有50根．。
小学五年级奥数练习及部分答案2等差数列求和应用数列(二)
奥数五年级上一、数列规律地应用--找规律(四> (1)二、等差数列求和地应用--数列(二> (7)三、包含与排除(二> (14)四、小数地巧算--巧算(四> (19)五、行程问题(三> (25)六、行程问题(四> (31)七、牛吃草问题 (36)八、平面图形地面积(二> (39)九、计数问题 (45)十、数地进位制(二> (50)十一、简单抽屉原理(一> (54)十二、简单地统筹规划问题 (60)部分答案 (68)二、等差数列求和地应用--数列<二）对等差数列a1,a2,a3,…,an,…,如果公差是d,第n项是an,前n项地和是sn(n=1,2,3,……>那么:b5E2RGbCAPan=a1+(n-1>d即: 第n项=首项+公差地(n-1>倍n=(an-a1>÷d+1即: 项数=(末项-首项>÷公差+1sn=(a1+an>×n÷2即: 前n项和=(首项+末项>×项数÷2前n个奇数地和：1+3+5+…+(2n-1>=n2前n个偶数地和：2+4+6+…+2n=n2+n例18、有一列数:5,8,11,14,…….①求它地第100项；②求前100项地和.例19、有一串数：1,4,7,10,……,298.求这串数地和.例20、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195p1EanqFDPw例21、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183例22、写出数列：1,2,3,4,5,6,……中,第n个偶数和第n个奇数.例23、分别求自然数列中前n个奇数之和,以及前n个偶数(不包括0>地和.例24、1+3+5+7+…+99例25、2+4+6+8+…+100例26、21+23+25+27+…+99例27、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?例28、1971,1981,1991,2001,2018,…,2091,这几个数地和是多少?例29、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1例30、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99例31、在小于100地自然数中,被7除余3地数地和是多少?例32、从一点o引出20条不重复地射线共形成多少个锐角?例33、求所有比11地倍少5地三位数地和?例34、下图有中地30个方格中各有一个数,每个格子中地数等于同一横行最左边一格和同一竖列最上面一格地数之和(如a=14+17=31>.问这30个数地总和等于多少？DXDiTa9E3d例35、已知一列数：1,3,6,10,15,21,…问第59个数是多少？例36、在一个八层地宝塔上安装节日彩灯共888盏.已知从第二层开始,每一层比下边一层少安装6盏.问最上边一层安装多少盏？RTCrpUDGiT例37、若干个同样地盒子排成一排,小明把50多个同样地棋子分装在盒子中.其中只有一个盒子是空地,然后他外出了,小光从每个有棋子地盒子里各拿了一个棋子放在空盒子内,再把盒子重新排了一下,小明回来没有发现有人动过棋子,问共有多少个盒子？多少棋子？5PCzVD7HxA 例38、能不能把44颗花生分给10只猴子,使每只猴子分地花生颗数都不同？例39、一堆相同地立方体堆积如图,第1层1个,第2层3个,第3层6个,…第10层有多少个？例40、每相邻地3个圆点组成一个小三角形,如图,问图中这样地小三角形个数多还是圆点个数多？例41、红光电影院有22排座位,后一排都比前一排多2个座位,最后一排42个座位.那么这个电影院一共有多少个座位？jLBHrnAILg 例42、小明和小强比赛口算,计算：1+2+3+4+……,当计算到规定地那个加数时,小明地得数是60,小强地得数是66,老师说他们两人地得数有一个错了.问：他们谁算错了,错在哪里？xHAQX74J0X例43、100这个自然数最多能写成多少个不同地自然数地和？例44、如果十个互不相同地两位奇数之和等于898,那么这十个数中最小地一个是多少？。
(完整版)小学五年级奥数等差数列练习练习
(完整版)小学五年级奥数等差数列练习练习(完整版)小学五年级奥数等差数列练1. 问题描述小明是一名小学五年级的学生，他正在积极准备奥数比赛。
最近，他研究了等差数列的知识，并希望通过练来巩固所学的内容。
以下是一些小明需要解决的练题目。
2. 练题目2.1 简单等差数列计算已知一个等差数列的首项为 `a`，公差为 `d`，小明需要计算出数列的前 `n` 项和。
2.2 求等差数列中的某一项已知一个等差数列的首项为 `a`，公差为 `d`，小明需要找出数列中的第 `m` 项。
2.3 求等差数列的前 `n` 项已知一个等差数列的首项为 `a`，公差为 `d`，小明需要列出数列的前 `n` 项。
2.4 求等差数列的公差已知一个等差数列的首项为 `a`，前 `n` 项和为 `s`，小明需要求出数列的公差 `d`。
2.5 求等差数列的首项已知一个等差数列的公差为 `d`，前 `n` 项和为 `s`，小明需要求出数列的首项 `a`。
3. 解决方法对于上述的练题，小明可以采用以下方法来解决：- 简单等差数列计算：使用等差数列求和公式 `Sn = n * (2a + (n - 1) * d) / 2`，将给定的参数代入公式中，求得前 `n` 项的和。
- 求等差数列中的某一项：使用等差数列通项公式 `An = a + (m - 1) * d`，将给定的参数代入公式中，求得第 `m` 项的值。
- 求等差数列的前 `n` 项：利用等差数列的递推关系 `An = a + (n - 1) * d`，逐次计算出数列的前 `n` 项。
- 求等差数列的公差：使用等差数列求和公式 `Sn = n * (2a + (n - 1) * d) / 2`，将给定的参数代入公式中，并将已知的前 `n` 项和 `s`进行代入，得到一个关于 `d` 的一元一次方程，解方程求得公差 `d`。
- 求等差数列的首项：使用等差数列求和公式 `Sn = n * (2a + (n - 1) * d) / 2`，将给定的参数代入公式中，并将已知的前 `n` 项和 `s`进行代入，得到一个关于 `a` 的一元一次方程，解方程求得首项 `a`。
2021年奥数专题专讲五年级第2讲等差数列(一)
2021年奥数专题专讲（五年级）
(★★)
我们饭馆的待遇是这样，包吃包住，还有额外的薪水，你在我们这儿的第一个月的工资是一个银币，第二个月的工资是两个银币，第三个月是三个银币，以此类推，每个月都比上个月多一个银币，那你在一年里可以拿多少银币呢？
(★★)
一共来了二十个人，有胖有瘦，第一个人要了一张饼，第二个人要了三张饼，第三个人要了五张饼…最后一个人要了三十九张饼，一张饼两块钱，那么这些人一共要付多少钱呢？
(★★★)
2＋5＋8＋11＋…＋92＋95＋98＝_______。
(★★★)
饭馆生意兴隆，第一天赚了300块钱，第二天赚了350块钱，之后每天都比前一天多赚50块，那么第365天可以赚多少钱呢？
(★★★★)
从1~100这一百个数中，所有不能被3整除的数的和是多少？
精灵王子最后总结时间
和＝(首项＋末项)×项数÷2
项数＝(末项－首项)÷公差＋1 末项＝(项数－1)×公差＋首项。
五年级奥数等差数列
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• 3、学校举行运动会，共54个人参加，每个人都有参赛 号码，已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少4， 最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？
王牌例题（3）
• 等差数列4、12、20......中，580是第几项？
【思路导航】
• 在这一等差数列中，已知a1=4，an=580， d=8，求n是多少。根据公式an=a1+(n－ 1)d,推导出n=（an－a1）÷d+1,
王牌例题（2）
• 36个小学生排成一排玩报数字游戏，后一 个同学报的数总比前一个同学多报8，已知 最后一个同学报的数是286，第一个同学报 的数是几？
【思路导航】
• 由题意可知，同学们报的是一个等差数列，
n=36,d=8,an=286,要求a1可用公式an=a1+(n1)d
• 推导出a1=an－(n-1)d
• 3、一个等差数列的第1项是1.2，第8项是9.6， 求它的第10项。
王牌例题（5）
• 游乐园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低 一级宽150厘米，中间还有13级，各级的宽 度成等差数列，求正中一级的宽
【思路导航】
• 这个等差数列的项数为15，知道a1=60， an=150,求正中一级的宽，可以直接用（an ＋a1）÷2即可。
• d=（12－3.6）÷（5－1）=8.4÷4=2.1
• a2=3.6＋（2－1）×2.1 • =3.6+2.1 • =5.7 • 答∶第2项是5.7
举一反三（4）
• 1、有一个等差数列的第1项是2.4，第7项是26.4， 求它的第5项
• 2、有一排用等差数列编码的彩色小旗，第1面小 旗上的号码为3.7，第8面小旗上的号码为38.7， 你知道第7面小旗上的号码为多少吗？
王牌例题（4）
• 一批货箱，上面的标号是按照等差数列排 列的，第1项是3.6，第5项是12，求它的第 2项
【思路导航】
• 可的以公得差出是∶多a少1与。a已5相知差a11=23－.63，.6a=58=.142, ，
• 8.4就是（5－1）个公差。
•
n=（580－4）÷8+1
•
=72+1
•
=73
• 答∶580项是第73项
举一反三（3）
• 1、等差数列3、9、15、21....381是第几项？
• 2、糖果生产机器编号依次为7、13、19、25....， 问编号为433的机器是第几个？
• 3、医院为病床编号，依次为8、14、20、26....， 问编号为284的病床是第几张？
五年级下 奥数 第二讲
等差数列
每日一乐（答录机）
• 家里的答录机，是由七岁的桦桦留言。
• 内容如下：喂～爸爸不在家……
• 妈妈不在家……哥哥不在家……
• 我也不在家……有事请留话，谢谢！
•
一日不在，伯母打电话进来说：喂～ 喂～找爸爸听电话。
•
爸爸不在家。
•
那妈妈呢？
•
妈妈不在家。
•
只有你和哥哥在家呀！
•
哥哥不在家。
•
只留你一个人在家？
•
我也不在家，有事请留话，谢谢。
【等差数列的定义】
• 例如(1)1.2,3,4,5.....
•
(2)10,20,30,40,50......
•
(3)5,10,15,20,25,30.......
• 像上面的例子这样，从第2项起，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常 用字母d表示，第一项称为首项。
王牌例题（1）
• 求等差数列3,8,13,18....的第38项和第69项
【思路导航】
• 在这个等差数列中已知a1=3，d=5得∶ • （1）n=38 • a38=a1+（38－1）×d • =3+（38－1）×5 • =188 • （2）n=69 • a69=a1+（69－1）×d • =3+（69－1）×5 • =343
• （60＋150）÷2 • =210÷2 • =105（厘米） • 答∶正中一级的宽为105厘米
举一反三（5）
• 1、梯子的最高一级宽30厘米，最低一级宽100 厘米，中间还有11级，各级的宽度成等差数列， 正中一级的宽是多少厘米？
• 2、一个等差数列的第一项是4.1，公差是3.1， 另外一项是32，求项数
• 则 a1=286－(36-1)8
•
=286－280
•
=6
• 答∶第一个同学报的数是6。
举一反三（2）
• 1、仓库里有一叠被编上号的书，共40本，已知每下面 一本书都比上面一本书编号多5，最后一本书的编号是 225，问第一本书的编号是几？
• 2、幼儿园给小朋友们发玩具，共32个小朋友，每人一 个，每个玩具都有编号，已知最后一个小朋友玩具上的 编号是98，前一个玩具的编号比后一个玩具的编号总少 3，问第一个小朋友手上的玩具是多少号？
举一反三（1）
• 1、求等差数列1、4、7、10、13.....的第20项和 第80项
• 2、超市工作人员在商品上依次编号，分别为4、 8、12、16.......请问第34个商品上标注的是什么 数字？第58个呢？
• 3、商店中推行打包促销活动，每6个商品为一 包。第一包中每个商品的编号依次是3、6、9、 12、15、18；第二包中编号为21、24、27、 30、33、36.以此类推，问第20包的第3个商品 编号为多少？
• 在等差数列a1，a2，a3，a4.........an 中，它的公差是 d，且a1第一项称为首项，那么
• a2=a1+d • a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d • a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d • ........
• 由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于 第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项 的项数减1的差，所以∶an=a1+(n-1)d。这个公 式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可 以求出等差数列中的任何一项。