2021届新高考数学一轮：第五章 第2讲 等差数列

有
3.平常学习过程中，能通过题目
关知识解决相应的问题.
强化对基础知识的认识、理解和
4. 体会等差数列与一次函数 应用，以便解决与其他章节有联
的关系
系的题目
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差，通常用字母___d___表示.
考点 2 等差数列的基本性质及应用
例 2：(1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝1，
S30＝5，则 S40＝( )
A.7
B.8
C.9
D.10
思维点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n 项和公式 求S40；
4.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an} 的前 9 项和等于____2_7___.
解析：∵当 n≥2 时，an＝an－1＋12，且 a2＝a1＋12， ∴{an}是以 1 为首项，12为公差的等差数列. ∴S9＝9×1＋9×2 8×12＝9＋18＝27.
考点 1 等差数列的基本运算
或 Sn＝na1＋nn2－1d.
5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数). 6.等差数列的常用性质 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p 是常数) 都是等差数列. (2)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq； 特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am＋an＝2ap.
第2讲 等差数列
课标要求
考情风向标
1.通过实例，理解等差数列的 1.对高考常考的等差数列的定义
概念.
与性质、通项公式、前 n 项和公
2. 探索并掌握等差数列的通 式等概念要记熟记准，并能熟练
项公式与前 n 项和的公式. 应用.
3.能在具体的问题情境中，发 2.掌握等差数列的判断方法，等
现数列的等差关系，并能用 差数列求和的方法.
A.an＝2n－5
B.an＝3n－10
C.Sn＝2n2－8n
D.Sn＝12n2－2n
解析：S4＝4a1＋6d＝0，a5＝a1＋4d＝5，∴a1＝－3，d＝2， ∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝－3n＋nn2－1×2＝n2－4n.
答案：A
(3)(2018年新课标Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公
式是 an＝a1＋(n－1)d.
3.等差中项
如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
na1＋an
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝______2______
差数列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0.
2.(2016年新课标Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，
a10＝8，则a100＝( C )
A.100
B.99
C.98
D.97
解析：由已知，得a91a＋1＋9d3＝6d8＝，27， ∴a1＝－1，d＝1， a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.故选 C.
(3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则Snn是等差数列.
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－ S2k，S4k－S3k是等差数列.
(5)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列单调递增；若 公差 d<0，则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列.
方法二，∵S6＝6a12＋a6＝3(a3＋a4)＝48，即 a3＋a4＝16. ∴(a4＋a5)－(a3＋a4)＝24－16＝8，即 a5－a3＝2d＝8.解得 d＝4. 故选 C.
答案：C
(2)(2019 年新课标Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已
知 S4＝0，a5＝5，则( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：∵Sm－ห้องสมุดไป่ตู้m－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3， ∴am＋1－am＝d＝1.
则SSmm＝＋1＝mam1＋＋m1ma21－＋1m×m21＋＝10×，1＝3.
解得 m＝5.
答案：C
【规律方法】在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n， Sn 中的任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得 a1 和 d 是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法.
例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项 和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝ 2a1＋7d＝24，
S6＝6a1＋6×2 5d＝6a1＋15d＝48，
联立62aa11＋＋175dd＝＝2448，， 解得 d＝4.故选 C.
7.等差数列的最值 在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则Sn存在最__小____值.
1.(2019年湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满
足S4＝4，S6＝12，则S2＝( B )
A.－1
B.0
C.1
D.3
解析：根据等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等
3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A.－12
B.－10
C.10
D.12
解析：3S3＝S2＋S4⇒3a1＋2d＝0，∴d＝－3.∴a5＝a1＋4d
＝2－12＝－10.故选 B.
答案：B
(4)(2013年新课标Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，
Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
3.(2015年新课标Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn 为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( B )
17
19
A. 2
B. 2
C.10
D.12
解析：∵公差 d＝1，S8＝4S4，∴8a1＋12×8×7＝
44a1＋12×4×3.解得 a1＝12.∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝129.故选 B.