平面向量与三角形“四心”(较全面)

平面向量与三角形“四心”（较全面）一、“四心”概念（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.二、“四心”的充要条件（1）⇔=++→→→→0OC OB OA 是△ABC 的重心.【证法1】：设()y x O ,，()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C⇔=++→→→→0OC OB OA ()()()()()()⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-00321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔是的重心.【证法2】：∵→→→→→→=+=++02ODOAOCOBOA,∴→→=ODAO2∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴是△ABC的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅→→→→→→OA OC OC OB OB OA 为△ABC 的垂心.【证明】：如图,O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ，D 、E 是垂足.→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB CA OB OC OA OB OC OB OB OA 0)(同理→→⊥OB OA ，⇔⊥→→AB OC O 为△ABC 的垂心. (3) ⇔=++→→→→0OC c OB b OA a O 为△ABC 的内心. 【证明】：∵bAC c AB →→,分别为→→AC AB ,方向上的单位向量，bACc AB →→+平分BAC ∠,(λ=→AO )bAC c AB →→+，令c b a bc ++=λ cb a bcAO ++=→)(bAC c AB →→+,化简得→→→→=++++0)(AC c AB b OA c b a ,→→→→=++0OC c OB b OA a .（4）⇔==→→→||||||OC OB OA 为△ABC 的外心.三、“四心”的向量表达1.⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=→→→→→→)(31)(31BC BA BO AC AB AO O 为△ABC 的重心；【证】：由),0[,sin sin +∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP ，即)(sin →→→+=AC B A C b AP λ，故→AP 与→→+AC AB 共线，又→→+AC AB 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ， 故点P 过三角形的重心．2. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AC BO BC AO O 为△ABC 的垂心.（1）由C B A S S S AOB AOC BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇒→→→→=++0tan tan tan OC C OB B OA A . （2）222222→→→→→→+=+=+B A OC CA OB BC OA .【证】：由⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AC b B A c OA OP λ知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC b B B A c C AP cos cos λ， =⋅→→BC AP )cos cos (→→→→⋅+⋅⋅BC AC bB C B AB c C λ 0)cos cos cos cos (=+-=C B C B a λ，故→AP 与向量→BC 垂直， 故点P 的轨迹过垂心．【证】：由),0[,2sin 2sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，,2sin 2sin 22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→C b AC B c AB AP λ故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅→→→→→→C b BC AC B c BC AB BC AP 2sin 2sin 22λ，则0)sin sin (2=+-=⋅→→C b a B c a BC AP λ， 故点P 轨迹过三角形的垂心．【解】：AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.→→→→→⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC C AC AC B AB AB cos ||cos ||C AC BC AC B AB BC AB cos ||cos ||→→→→→→⋅+⋅=C AC C BC AC B AB B BC AB cos ||cos ||||cos ||cos ||||→→→→→→⋅+⋅-=0=+-=→→BC BC ∴点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.3. ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=→→→→→→→→→→0),||||(0),||||(t BC BCBA BA t BO AC AC AB AB AO λλO 为△ABC 的内心；（1）c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆⇒→→→→=++0sin sin sin OC C OB B OA A（2）→→→→→→→→→→→→→→→→=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||||||||||CB CB CA CAOC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA【解】：由),0[,sin sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，)0)(||||(sin >+=→→→→→λλAC AC AB AB B c AP ， 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→→→||||AC AC AB AB OA OP λ，),0[+∞∈λ ，则点的轨迹一定通过△ABC 的____.【解】：∵如图,设||,||→→→→→→==AC AC AF AB ABAE 分别为→→AC AB ,方向上的单位向量， 易知四边形AETF 是菱形,∴||||→→→→+AC AC AB AB 平分BAC ∠,∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.4.两点分别是△ABC的边上的中点,且⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅→→→→→→→→OA EO OC EO OC DO OB DO O 为△ABC 的外心； (1)0=++→∆→∆→∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC (外心向量定理） (2)由AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC ∠∠∠=∆∆∆sin :sin :sin ::C B A 2sin :2sin :2sin =⇒→→→→=⋅+⋅+⋅02sin 2sin 2sin OC C OB B OA A .四、欧拉线及其向量法证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线. 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2. 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。

设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222x x x y x yE F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2xQ y H x y （、,122(,)33x x y G +， ∴()42,y x AH =→，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→32122,22y y x x QF ，()212,y x x BC -=→， ∵→→⊥BC AH ,∴()042122=+-=⋅→→y y x x x BC AH ，∴()21224y x x x y --=，∵→→⊥AC QF ,∴022*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅→→y y y x x x AC QF ，∴()22221224y y x x x y +--=，∴)22)(3,22(),2(22122123412y y x x x x x y y x x OH ----=--=→,∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=→22)(3,623,232212221232112y y x x x y x x y y x x x OG ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22)(3,22312212212y y x x x x x →=QH 31, 即→→=QG QH 3，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH=1：2.五、其它需要熟记的知识（1）.给出直线的方向向量),1(k u =→或),(n m u =→，那么该直线的法向量是（-k,1）or (-n,m) .（2）.给出→→+OB OA 与相交,等于已知→→+OB OA 过的 中点 .（3）.给出→→→=+0PN PM ,等于已知是的 中点 .（4）.给出)(→→→→+=+BQ BP AQ AP λ,等于已知A ，B 与PQ 的中点 三点共线 .（5）.给出以下情形之一：①→→AC AB //；②存在实数λ,使→→=AC AB λ；③若存在实数βα,,且1=+βα,使→→→+=OB OA OC βα,等于已知三点共线.（6）.给出λλ++=→→→1OB OA OP ，等于已知是→AB 的定比分点，λ为定比，即→→=PB AP λ.（7）.给出0=⋅→→MB MA ,等于已知MA ⊥MB,即∠AMB 是 直角,给出0<=⋅→→m MB MA ,等于已知∠AMB 是 钝角 ； 给出0>=⋅→→m MB MA ,等于已知∠AMB 是 锐角 .（8）.在平行四边形中，给出0)()(=-⋅+→→→→AD AB AD AB ，等于已知是 菱形 .（9）.在平行四边形中，给出||||→→→→-=+AD AB AD AB ，等于已知是 矩形 .（10）.在△ABC 中，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC AB AD 21,等于已知是△ABC 中边的 中线 .六、典型例题【解】：如图所示△ABC，分别为边的中点,∵→→→=+ADACAB2,∴→→→+=ADOAOPλ2∵→→→+=APOAOP,∴→→=ADAPλ2,∴→→DAAP//，点的轨迹一定通过△ABC 的重心， 故选.【证明】： 由已知-=+321OP OP OP ，两边平方得221-=⋅OP OP ， 同理211332-=⋅=⋅→→→→OP OP OP OP ， ∴3||||||133221===→→→P P P P P P ， 从而△P 1P 2P 3是正三角形.(此结论反之也成立）【解】：取AB 边的中点M ，则→→→=+OM OB OA 2，由)22121(31→→→→++=OC OB OA OP可得→→→+=MC OM OP 233， ∴→→=MC MP 32， 即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心.故选B.【解】：作直经BD ，连DA ，DC ,有→→-=OD OB ，DA AB ⊥，DC BC ⊥，AH BC ⊥，CH AB ⊥，故//CH DA ，//AH DC故AHCD 是平行四边形，进而→→=DC AH ，又→→→→→+=-=OB OC OD OC DC ,∴→→→→→+=-=DC OA AH OA OH ,故→→→→++=OCOB OA OH ，所以1m =.【解】：非零向量与满足0||||=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→→BC AC AC AB AB ，即角A 的平分线垂直于BC ，所以AB=AC ，又=A cos 21||||=⋅→→→→AC AC AB AB ，∠A=3π， 所以△ABC 为等边三角形.七、练习1.已知△ABC 三个顶点及平面内一点，满足→→→→=++0PC PB PA ，若实数λ满足：→→→=+AP AC AB λ，则λ的值为（ C ）. A ．2 B ．23 C ．3 D ．6 2.若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，→→→→=++0OC OB OA ，则=⋅→→OB OA ( D ).A ．21B ．0C ．1D ．21-3.点在△ABC 内部且满足→→→→=++022OC OB OA ，则△ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ C ）.A ．0B ．23C ．45D ．34 4.△ABC 的外心为O ，若→→→→++=OC OB OA OM ，则M 是△ABC 的（ D ）.A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解：因→→→→→+=-=c b OA OM AM ，→→→-=b c BC ，故22||||→→→→-=⋅b c C B M A ，故AM BC ⊥，同理，BM AC ⊥，CM AB ⊥，故M 为ABC ∆的垂心.】5.已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且满足：0=⋅+⋅+⋅→→→→→→PC PB PB PA PC PA ，则P 点为三角形的 ( D ). A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心6.在三角形ABC 中，动点P 满足：→→→→⋅-=CP B A CB CA 222，则P 点一定通过△ABC 的( B ).A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心。