第一章 解直角三角形课件直角三角形(3)
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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:
《数学解直角三角形》课件
余弦定理
正切定理
sinA = opposite / hypotenuse cosA = adjacent / hypotenuse tanA = opposite / adjacent
计算周长和面积
周长
周长 = a + b + c（三个边长）
面积
面积 = 1/ 2 * a * b（两条腰的乘积）
通过三角函数计算边长
例题1
已知直角三角形的一条腰长为3，另一条腰长为4，求斜边的长度和锐角的大小。
应用例题2 ：求角度、高和周长
例题2
已知直角三角形的斜边长为5，高为3，求角度和周长。
应用例题3：利用特殊三角形求解
例题3
已知直角三角形的一个角度为30°，斜边长为10，求腰和高的长度。
应用例题4：计算角度和边长
例题4
45度特殊三角形
边长比为1：1：√2，角度为 45°、45°。
60度特殊三角形
边长比为2：1：√3，角度为 60°、30°。
利用特殊三角形计算
计算边长
可以使用特殊三角形的边长比例来计算其他边 长。
计算高
可以使用特殊三角形的高比例来计算高的长度。
三角函数的应用
测量不可达的高度
使用三角函数可以通过测量倾斜角度和已知距离来计算高度。
腰是直角三角形中不是斜边的一条边。
斜边
斜边是直角三角形的最长边。
高
高是从直角角顶点到斜边上一点的垂直距离。
三角函数的定义
正弦
正弦是直角三角形中对于某个锐角的斜边与斜边的比值。
余弦
余弦是直角三角形中对直角三角形中对于某个锐角的腰与对边的比值。
三角函数的关系式
正弦定理
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
解直角三角形的应用举例课件
1 直角三角形的两条直角边相互垂直。 2 直角三角形的斜边是直角边的对边。 3 直角三角形的两条直角边的和等于斜边的长。
直角三角形的边和角的关系
1 正弦定理：sin(边/邻边
2 余弦定理：cos(A) =
邻边/斜边，cos(B) = 对边/斜边，cos(C) = 对边/邻边
解直角三角形的应用举例 ppt课件
直角三角形是一种特殊的三角形，它具有很多实用的应用。本课件将介绍直 角三角形的定义、特点、边和角的关系，以及直角三角形在测量、几何图形 和实际生活中的常见应用举例。
直角三角形的定义
1 对于一个三角形来说，如果有一个角是直角（90°角），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的特点
直角三角形在实际生活中的应用举例
航海导航
用直角三角形的海图与经纬线相交确定位置。
建筑施工
用直角三角形测量建筑物的角度和比例，确保施 工的准确性。
飞行导航
用直角三角形计算飞机航线、飞行高度、地平线 角度等。
摄影测量
使用直角三角形测量物体的距离和高度，帮助摄 影师选择拍摄的角度和位置。
3
测量斜率
直角三角形可以用来测量地面的斜率， 帮助工程师确定在不同地形上的施工方 法。
直角三角形在几何图形中的应用举例
图形拼接
将多个直角三角形拼接在一起， 可以创建各种几何图形，例如正 方形、长方形和平行四边形。
金字塔
金字塔是由多个直角三角形堆叠 而成，是古代建筑中常见的形式 之一。
三棱柱
三棱柱的两个底面都是直角三角 形，是几何学中常见的立体图形。
直角三角形的特性被电路设计 师用于计算电阻、电流和电压 的关系，对电路的分析和设计 提供了便利。
直角三角形在测量中的应用举例
直角三角形的边和角的关系
1 正弦定理：sin(边/邻边
2 余弦定理：cos(A) =
邻边/斜边，cos(B) = 对边/斜边，cos(C) = 对边/邻边
解直角三角形的应用举例 ppt课件
直角三角形是一种特殊的三角形，它具有很多实用的应用。本课件将介绍直 角三角形的定义、特点、边和角的关系，以及直角三角形在测量、几何图形 和实际生活中的常见应用举例。
直角三角形的定义
1 对于一个三角形来说，如果有一个角是直角（90°角），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的特点
直角三角形在实际生活中的应用举例
航海导航
用直角三角形的海图与经纬线相交确定位置。
建筑施工
用直角三角形测量建筑物的角度和比例，确保施 工的准确性。
飞行导航
用直角三角形计算飞机航线、飞行高度、地平线 角度等。
摄影测量
使用直角三角形测量物体的距离和高度，帮助摄 影师选择拍摄的角度和位置。
3
测量斜率
直角三角形可以用来测量地面的斜率， 帮助工程师确定在不同地形上的施工方 法。
直角三角形在几何图形中的应用举例
图形拼接
将多个直角三角形拼接在一起， 可以创建各种几何图形，例如正 方形、长方形和平行四边形。
金字塔
金字塔是由多个直角三角形堆叠 而成，是古代建筑中常见的形式 之一。
三棱柱
三棱柱的两个底面都是直角三角 形，是几何学中常见的立体图形。
直角三角形的特性被电路设计 师用于计算电阻、电流和电压 的关系，对电路的分析和设计 提供了便利。
直角三角形在测量中的应用举例
《解直角三角形》教学课件
利用正弦、余弦函数的定 义和勾股定理，可以分别 求出斜边c和另一直角边b 的长度。
sin60°=a/c，即√3/2=4/c b=√(c²-a²)=√(4.62²-
，解得c≈4.62。
4²)≈2.31。
本题主要考察了解直角三 角形中已知一边一角求其 他元素的方法，通过正弦 、余弦函数的定义和勾股 定理进行求解。在实际应 用中，还可以利用正切等 三角函数进行求解。
加强公式应用训练
通过大量的练习题，让学生熟练掌握解直角三角形的相关公式，并 能够正确应用。
提高计算准确性
鼓励学生进行反复练习，提高计算速度和准确性。同时，教师可以 提供一些计算技巧和方法，帮助学生更好地进行计算。
提高计算准确性和效率策略
使用科学计算器
鼓励学生使用科学计算器进行计算，以提高计算效率和准确性。
《解直角三角形》教 学课件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 典型例题分析与解答 • 学生常见错误及纠正方法 • 拓展延伸：三角函数在解直角三角形中应
用 • 总结回顾与课堂互动环节
01
直角三角形基本概念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
学生可以通过绘制思维导图、制作海报或写学习报告等方式 ，展示自己的学习成果，包括掌握的知识点、解题技巧和学 习心得等。
学习反思与改进
学生可以反思自己在学习过程中的不足和遇到的困难，提出 改进措施和学习计划，以便更好地掌握解直角三角形的相关 知识和技能。
教师点评及建议
典型例题三：综合应用问题
01
02
03
04
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
解直角三角形ppt课件
A
60°
30°
B 12 D F
15
解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F， 垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x
AF AD2 DF 2
2x2 x2 3x
A 60°
在Rt△ABF中，
B
DF
tan ABF AF tan 30 3x 30°
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
5
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
仰角
分析：我们知道，在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
分析：从飞船上能最
远直接看到的地球上的 点，应是视线与地球相 切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是 飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最 远点，弧PQ的长就是地面上P、 Q两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ（即a）
F P
Q α O·
3
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
灯塔P的南偏东34°方向
34°
上的B处，这时，海轮所
在的B处距离灯塔P有多
B
远？ （精确到0.01海里）
10
【方位角】
指南或指北的方向线与目标方向线构成小
于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
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化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?B
CD
2、楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的400减至350,已知原楼 梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确 到0.01m).
B
┌
AD
C
设计方案测量下面两幢楼的高度。写出需要的数据并画出 示意图、给出计算方案。
2019SUCCESS
POWERPOINT
2019/5/28
2019SUCCESS
THANK YOU
2019/5/28
例1 你会解吗？
例1
解：
在Rt△BDE中， ∵ BE＝DE×tan a
＝AC×tan a ∴AB＝BE＋AE
＝ AC×tan a ＋CD ＝9.17＋1.20≈10.4（米） 答: 电线杆的高度约为10.4米．
如图，某飞机于空中A
处探测到目标C，此时飞行
高度AC＝1200米，从飞机上 看地面控制点B的俯角 a＝16゜31′，求飞机A到控制 点B的距离.（精确到1米）
（第 1 题）
例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一
根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学
A
拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把
A
含300的三角板去度量旗杆的高度。
（（（3）12））此若若时王王他同同的学学数将分学旗别老杆在师上点来绳C了、子一点拉看D成，处仰建将角
议为旗王6杆同00上学，绳只如子准图分用用别卷卷拉尺尺成去量仰量得角，B为C你=6能40米0给、，王3则00，
例4. 为知道甲,乙两楼间的距离,测得两
楼之间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观 测到乙楼顶D的俯角为35 ° 12 ′,观测 到乙楼底C的俯角为43 ° 24 ′.求这两 楼的高度(精确到0.1m)
1、船有无触礁的危险
你认为货轮继续向东航行途中会有触 北
A
礁的
同旗如学杆图设A量计B出方的C案高D完多=8成少米任？，务你吗能？求出旗杆
AB的长吗？
D
300
8 m
60
0
B
600
B
4m
例3 某海防哨所O发现在它的北偏西30 °，
距离哨所500M的A处有一艘船向正东方向航 行，经过3分时间后到达哨所东北方向的B处。 问船从A处到B处的航速是每时多少KM（精 确到1KM/h）
1. 解直角三角形.
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形.
2. 精确度: 边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
3. 两种情况: 解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角
如图， 在进行测量时，从下向上看，
视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下 看，视线与水平线的夹角叫做俯角.