初中数学专题《一次函数中的面积》原卷
一次函数之面积问题(与坐标轴围成的面积)(人教版)(含答案)
一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互转2.已知一次函数y=kx+(k-3)与一次函数y=2x+b交于点C(1，3)，则两条直线的函数图象与x 轴所围成的三角形的面积是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积5.已知一次函数的图象经过点(-2，0)，它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是( )A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积6.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积7.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.（1，0）B.（1，0）或（-1，0）C.（2，0）D.（2，0）或（-2，0）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积8.若直线y=x+k，x=1，x=4和x轴围成的直角梯形的面积等于9，则k的值为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积。
一次函数面积题目专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数(精品)的综合应用(面积问题)试题精选与训练
一次函数（精品）的综合应用（面积问题）试题精选与训练1、如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：x y 34=与直线l 2：y ax b =+相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线l 1交y 轴于点B ，且∣OA ∣=21∣OB ∣。
（1）试求直线l 2的函数表达式；（2）设l 2与x 轴的交点为C ，求△AOC 的面积。
2．如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是y 1=x 和y 2=-2x+6，动点P （x ，0）在OB 上运动（0<x<3），过点P 作直线m 与x 轴垂直．（1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时y 1>y 2？（2）设△COB 中位于直线m 左侧部分的面积为s ，求出s 与x 之间函数关系式．（3）当x 为何值时，直线m 平分△COB 的面积？（10分）3．设一次函数)0(111≠+=k b x k y 的图象为1l ，一次函数)0(222≠+=k b x k y 的图象为直线2l ，若21k k =，且21b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行。
解答下面的问题：（1）求过点P （1，4）且与已知直线12--=x y 平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；（2）设（1）中的直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线12--=x y 分别与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积。
4．如图，直线643+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线x y 45=与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D 。
点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动。
过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形，设正方形与△ACD 重叠部份的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）。
（1）求点C 的坐标；（2）多少秒时。
直线EQ 经过点C ；（3）当0＜t ＜5时，用含t 的代数式表示PQ 的长度；（3）当0＜t ＜5时，求S 与t 之间的函数关系式。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图,一次函数得图像与x轴交于点B（-6，０),交正比例函数得图像于点A,点A得横坐标为－4,△ＡBC得面积为15,求直线OA得解析式。
２、直线y=ｘ+3得图像与ｘ轴、y轴分别交于Ａ、B两点,直线ａ经过原点与线段AB交于C,把△ABO得面积分为2:１得两部分,求直线a得函数解析式。
3、直线PA就就是一次函数y=x＋n得图像,直线PB就就是一次函数y=-2x+ｍ(m>n>0）得图像,(1）用m、n表示A、Ｂ、P得坐标(2)四边形PQOＢ得面积就就是,ＡB=2,求点P得坐标4、△AOB得顶点O（0,０）、A(2，１)、Ｂ(１０,1),直线ＣD⊥x轴且△AOB面积二等分,若D(m,0)，求m得值5、点B在直线ｙ=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2,０)、Ｏ（0,0),△AＢO 得面积为2,求点B得坐标。
6、直线y＝－x＋1与x轴y轴分别交点Ａ、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC, BＡC=9０°，点P(a,)在第二象限,△ABP得面积与△ABＣ面积相等,求a得值、7、如图,已知两直线ｙ=0、5ｘ+2、５与ｙ＝-ｘ+1分别与x轴交于A、B两点,这两直线得交点为P（1)求点P得坐标(２)求△PAB得面积8、已知直线y=ａx+ｂ（b>0）与y轴交于点N,与x轴交于点A且与直线y=kx 交于点Ｍ(2,3),如图它们与y轴围成得△MＯN得面积为5,求(1)这两条直线得函数关系式(2)它们与x轴围成得三角形面积９、已知两条直线y=2x-３与y=5-ｘ(1)求出它们得交点A得坐标(2)求出这两条直线与x轴围成得三角形得面积10、已知直线y＝x＋3得图像与ｘ轴、ｙ轴交于A、Ｂ两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C,把△AＯB得面积分为２：1得两部分,求直线l得解析式。
11、已知直线y=２x+3与直线y=－2x-１与y轴分别交于点A、B(１)求两直线交点C得坐标（2)求△ABC得面积（3)在直线BC上能否找到点Ｐ,使得△ＡPＣ得面积為６,求出点P得坐标,若不能请说明理由。
一次函数面积专题附答案
一次函数面积专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，5)，B (-3，-3)和C (7，2)，求△ABC 的面积．【答案】30 【解析】 【分析】解法1：延长AC 交x 轴于点D ，先求出直线AC 的解析式，从而得出点D 的坐标，再利用=+-ABCAEDBEFCFDSSSS即可．解法2：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，然后利用矩形=---ABCBEACFACBGBEFG SS SSS就可得到所求三角形的面积．解法3：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，据勾股定理求得45AB =同理可得35AC =55BC =由勾股定理逆定理和三角形的面积公式即可得出答案． 解法4：作AM//y 轴交BC 于M ，先得出直线BC 解析式为1322y x =-，然后得出点M (1，-1)，从而确定水平宽a =10，铅垂高h =6，再利用=+ABCABMACMS SS即可；【详解】解法1：如图2，延长AC 交x 轴于点D ． 因为A (1，5)，C (7，2)，所以直线AC 的解析式为11122y x =-+，所以点D 的坐标为D (11，0)．同理，可以求出点E 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，点F (3，0)，所以DE =252，EF =92，DF =8，所以1252783044ABCAEDBEFCFDSSSS=+-=+-=．解法2：如图3，分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ． 因为A (1，5)，B (-3，-3)，C (7，2)， 所以E (-3，5)，F (7，5)，G (7，-3)，所以BE =8，BG =10，AE =4，AF =6，CF =3，CG =5， 所以801692530ABCBEACFACBGBEFG SS SSS=---=---=矩形．解法3：如图4，在Rt △ABE 中，因为A (1，5)，B (-3，-3)，E (-3，5)， 所以根据勾股定理求得45AB = 同理可得35AC =55BC = 因为2224580125AC AB BC +=+==， 所以由勾股定理逆定理得90BAC ∠=︒． 所以1145353022ABCSAB AC =⋅=⨯=．解法4：如图5，由B (-3，-3)，C (7，2)容易得到水平宽a =10， 所以直线BC 解析式为1322y x =-． 作AM//y 轴交BC 于M ， 令x =1，代入1322y x =-得y =-1，则M (1，-1)． 此时，可以得到铅垂高h =5+1=6． 所以1211130222ABCABMACMSSSAM h AM h a h =+=⋅+⋅=⋅=．2．如图，已知直线AB 经过A (2，0)，B (0，1)两点，点P 的坐标为(-2，a )，且0<a <2．若△ABP 的面积是1，求a 的值．【答案】1 【解析】 【分析】方法1：先根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，再过点P 作QN x⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可；方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，利用P 、B 两点坐标求出直线PB 的解析式为112a y x -=+，进而求出Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可； 方法3：过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，由直线OP 与直线AB 平行，且过原点，得到直线OP 的解析式即可求解． 【详解】 方法1：如答图所示，过点P 作QN x ⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 则直线AB 的解析式为112y x =-+，令x =-2得y =2，则Q (-2，2)． 由42(2)1ABPAQNPNAPQBSSSSa a =--=---=，解得a =1．方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，直线PB 的解析式为y kx b =+．将P (-2，a)，B (0，1)两点坐标代入可得21k b ab -+=⎧⎨=⎩，解得121a k b -⎧=⎪⎨⎪=⎩． 则直线PB 的解析式为112ay x -=+．a =1时，显然成立； 1a ≠时，令y =0得x =2a 1-，则Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭．如图所示，121212212121ABPABQPQASSSa a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 解得a =1，又1a ≠，故此时a 不存在．综上得a =1．方法3：如答图所示，过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，连接AP ，BP ． 因为“平行线间的距离处处相等”，所以△ABP 与△AOB 同底等高，面积都是1． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的解析式为112y x =-+． 因为直线OP 与直线AB 平行，且过原点，所以直线OP 的解析式为12y x =-．令x =-2得a =1．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x b =-+的图象与正比例函数y kx =的图象都经过点()3,1B ．（1）求一次函数和正比例函数的解析式；（2）若点(),P x y 是线段AB 上一点，且在第一象限内，连接OP ，设APO ∆的面积为S ，求面积S 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）y =﹣x +4，13y x =；（2）S =2x （0＜x ≤3）． 【解析】 【分析】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 得1=﹣3+b ，1=3k ，解得：b =4，k 13=，∴y =﹣x +4，y 13=x ；（2）∵点P （x ，y ）是线段AB 上一点，∴S 12OA =•xP 142x =⋅⋅=2x （0＜x ≤3）．【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x m =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点()2,4C ．(1)求m 的值及2l 的解析式；(2)若点M 是直线12y x m =-+上的一个动点，连接OM ，当AOM 的面积是BOC 面积的2倍时，请求出符合条件的点M 的坐标；(3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【答案】(1)5m =，2l 的解析式为2y x =(2)()6,2M 或()142，(3)12k =-或2或1【解析】 【分析】（1）设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，即可求解；（2）设1(,5)2M a a -+，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；（3）根据题意，则31l l ∥或32l l ∥，进而即可求得k 的值 (1)2l 与1l 交于点()2,4C ．设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，可得， 1422m =-⨯+，142k =，解得5m =，12k =，∴2l 的解析式为2y x = (2)设1(,5)2M a a -+，152y x =-+，令0x =，则5y =，令0y =，则10x =()0,5B ∴，()10,0A又()2,4C∴11111525,105522222BOCC AOMM M SBO x S OA y y a =⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯-+ AOM 的面积是BOC 面积的2倍，∴1552a ⨯-+2=⨯5即1522a -+=解得6a =或14∴()6,2M 或()142， (3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴31l l ∥或32l l ∥当3l 过点C （2,4）时,将点C 坐标代入y =kx ＋2并解得:k =l ,∴12k =-或2或1【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数332y x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点B 作AB 的垂线，垂线与反比例函数()10my m x=≠交于C 、D 两点，且AB BC =．(1)求反比例函数()10my m x=≠的表达式，及经过点C 、D 的一次函数表达式()20y kx b k =+≠；(2)请直接写出使12y y >的x 取值范围； (3)求出ABD △的面积． 【答案】(1)110y x =，22433y x =- (2)3x <-或05x << (3)656【解析】 【分析】（1）由一次函数y ＝﹣32x +3求得A 、B 的坐标，然后通过证得△ABO ≌△BCF ，求得C（5，2），然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得D 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）利用三角形面积公式，根据S △ABD ＝S △ABE +S △ADE 求得即可． (1)解：∵332y x =-+ 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，∴A （0，3），B （2，0）， 如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵AB ⊥CD ，∴∠ABO +∠CBF ＝90°， ∵∠ABO +∠BAO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠CBF ， 在△ABO 和△BCF 中，BAO CBF AOB BFC AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ， ∴△ABO ≌△BCF （AAS ）， ∴BF ＝AO ＝3，CF ＝OB ＝2， ∴C （5，2）， ∵反比例函数y 1＝mx（m ≠0）过点C ， ∴m ＝5×2＝10， ∴反比例函数110y x=， 将B （2，0），C （5，2）代入y 2＝kx +b （k ≠0）得2052k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴经过点C 、D 的一次函数表达式为22433y x =- ； (2)由102433y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得52=⎧⎨=⎩x y 或3103x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴D 横坐标为﹣3．∴y 1＞y 2的x 取值范围：x ＜﹣3或0＜x ＜5； (3)ABD ADE ABE S S S =+△△△ 12D AE x =1·2B AE x + 656=． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．6．如图，已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点()1,6A 和()6,B m ，与x 轴交于点C ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)①观察图象，直接写出不等式21k k x b x+≥的解集；②请连接OA 、OB ，并计算△AOB 的面积；(3)是否存在坐标平面内的点P ，使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的表达式是：y ＝6x ，一次函数表达式是：y ＝﹣x +7 (2)①x ＜0或1≤x ≤6；352(3)存在点P 的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k 1x +b ≥2k x的解集；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ，则2==32AOD BOE k S S =△△，再根据=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形进行求解即可；（3）利用平行四边形的性质结合当AP 为边和AP 为对角线两种情况分别得出答案即可．(1)解：∵点A （1，6）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴6＝21k ， 解得：k 2＝6，∴反比例函数的表达式是：y ＝6x； ∵B （6，m ）在反比例函数y ＝6x的图象上， ∴m ＝66＝1，∴B （6，1），将点A （1，6），B （6，1）代入y ＝k 1x +b ，可得： 11616k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：117k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数表达式是：y ＝﹣x +7；(2)解：①∵点A （1，6），B （6，1），∴不等式k 1x +b ≥2k x的解集是：x ＜0或1≤x ≤6； 故答案为：x ＜0或1≤x ≤6；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ， ∴2==32AOD BOE k S S =△△， ∵A （1，6），B （6，1），∴OD =1，AD =6，OE =6，BE =1，∴DE =5，∵=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形，∴()35===22AOB ADEB AD BE DE S S +⋅△梯形；(3)解：∵C是直线AB与x轴的交点，∴点C的坐标为（7，0），如图3-1所示：当AP为边时，∴AP∥OC，AP＝OC＝7，∵A（1，6），∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）；当AP为对角线时，如图3-2所示，∵AP与OC的中点坐标相同，∴1072260022PPxy++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，∴66PPxy=⎧⎨=-⎩，∴点P的坐标为（6，-6）；综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P 组成的四边形是平行四边形．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．7．如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(−3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．(1)求一次函数的解析式；(2)若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，且AC=2BC，求m的值．【答案】(1)一次函数的解析式为y=23x+2；(2)m的值为12．【解析】【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），得到-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，解方程即可得到结论；（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．根据相似三角形的性质得到AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．求得A（3n-3，2n），B（-3-32 n，-n），根据反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，列方程即可得到结论．(1)解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，∵k＞0，∴b＞0，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴12×3×b=3，解得：b=2．把b=2代入①，解得：k=23，则函数的解析式是y=23x+2．故这个函数的解析式为y=23x+2；(2)解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE，∴AD ACBE BC=2，∴AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．∵直线AB的解析式为y=23x+2，∴A（3n-3，2n），B（-3-32n，-n），∵反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，∴（3n-3）•2n=（-3-32n）•（-n），解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），∴m=（3n-3）•2n=3×4=12．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．8．如图，反比例函数kyx=的图象与一次函数12y x=-的图象分别交于M，N两点，已知点M（－2，m）．(1)求反比例函数的表达式；(2)点P为y轴上的一点，当点P的坐标为(5时，求△MPN的面积．【答案】(1)2 yx =-(2)5【解析】【分析】（1）把M（-2，m）代入函数式y=-12x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=kx可求出函数解析式；（2）根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标，然后利用S△MPN=S△MOP+S△NOP求得即可．(1)解：∵点M（-2，m）在一次函数y=-12x的图象上，∴m=-12×（-2）=1．∴M（-2，1）．∵反比例函数y=kx的图象经过点M（-2，1），∴k=-2×1=-2．∴反比例函数的表达式为y=-2x；(2)解：∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-12x的图象分别交于M，N两点，M（-2，1），∴N（2，-1），∵点P为y轴上的一点，点P的坐标为（0，5），∴OP=5，∴S△MPN=S△MOP+S△NOP=12×5×2+12×5×2=25．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，三角形的面积等知识．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数ymx（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；(2)△AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【解析】【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）△AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．(1)解：AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），∴△AOB的面积S12=⨯OM×（xA﹣xB）12=⨯2×（3+6）＝9；(3)解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；当AP＝PO时，同理可得：m258 =；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．10．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-12x；一次函数的解析式为y=-23x+2；(2)S△AOB=9；(3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-173，0）．【解析】【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y =-12x；再利用反比例函数解析式确定B 点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； （2）先依据一次函数求得点C 的坐标，进而得到△AOB 的面积；（3）过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，可得P 1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，利用相似比计算出P 1P 2的长度，进而得到OP 2的长度，可得P 2点的坐标为（-173，0），于是得到满足条件的P 点坐标． (1)解：将A （-3，4）代入y =m x ，得m =-3×4=-12， ∴反比例函数的解析式为y =-12x ； 将B （6，n ）代入y =-12x，得6n =-12， 解得n =-2，∴B （6，-2）， 将A （-3，4）和B （6，-2）分别代入y =kx +b （k ≠0），得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； (2)解：当y =0时，-23x +2=0， 解得：x =3，∴C （3，0），∴S △AOC =12×3×4=6，S △BOC =12×3×2=3， ∴S △AOB =6+3=9；(3)解：存在．过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，如图，∴∠AP 1C =90°，∵A 点坐标为（-3，4），∴P 1点的坐标为（-3，0）；∵∠P 2AC =90°，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90°，而∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90°，∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1， ∴11211AP PP CP AP =，即12464PP =， ∴P 1P 2=83， ∴OP 2=3+83=173， ∴P 2点的坐标为（-173，0）， ∴满足条件的P 点坐标为（-3，0）、（-173，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．。
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，平面直角坐标系中，过点(0,6)C 的直线BC 与直线OA 相交于点(4,2)A -，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动.(1)求直线BC 的表达式.(2)求OAC ∆的面积.(3)直接写出使OMC ∆的面积是OAC ∆面积的14的点M 坐标.2．已知：2y -与x 成正比例，且2x =时，8y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求函数图像与坐标轴围成的面积．3．已知直线1:33l y x =-和直线23:62l y x =-+相交于点A ． （1）求点A 坐标；（2）若1l 与x 轴交于点B ，2l 与x 轴交于点C ，求ABC 面积．4．在平面直角坐标系中，已知直线l ：y ＝﹣12x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 上的点P(m ，n)在第一象限内，设△AOP 的面积是S ．（1）写出S 与m 之间的函数表达式，并写出m 的取值范围．（2）当S ＝3时，求点P 的坐标．（3）若直线OP 平分△AOB 的面积，求点P 的坐标．5．直线AC与线段AO如图所示：（1）求出直线AC的解析式；（2）求出线段AO的解析式，及自变量x的取值范围（3）求出△AOC的面积6．在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，4）两点，且点C(2，2）在直线l上．（1）求直线l的解析式；（2）求△AOB的面积；7．在直角坐标系中，一条直线经过A （﹣1，5），P （2，a ），B （3，﹣3）.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求a 的值；（3）求△AOP 的面积.8．如图，直线11:l y x =和直线22:26l y x =-+相交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，动点P 在线段OA 和射线AB 上运动．（1）求点A 的坐标；（2）求AOB 的面积；（3）当POB 的面积是AOB 的面积的13时， 求出这时点P 的坐标．9．如图，直线1l 的函数解析式为24y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求直线2l 的函数解析式；（2）求ADC ∆的面积；（3）在直线2l 上是否存在点P ，使得ADP ∆面积是ADC ∆面积的1.5倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1l ：12y x =与直线，2l ：6y x =-+交于点A ，2l 与x 轴交于B ，与y 轴交于点C .（1）求OAC 的面积；（2）若点M 在直线2l 上，且使得OAM △的面积是OAC 面积的34，求点M 的坐标.11．如图，已知直线:l y ax b =+过点()2,0A -，()4,3D .（1）求直线l 的解析式；（2）若直线4y x =-+与x 轴交于点B ，且与直线l 交于点C .①求ABC ∆的面积；②在直线l 上是否存在点P ，使ABP ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.12．如图，直线1l 的解析表达式为3+3y x =-，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A ，点B ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求直线2l 的解析表达式；（2）求ADC 的面积；（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △的面积等于ADC 面积，请直接写出点P 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点()60B ，的直线AB 与直线OA 相交于点()42A ，，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动．（1）求直线AB 的解析式．（2）求OAC ∆的面积．（3）是否存在点M ，使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的12？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．14．点()P x y ，在第一象限，且8x y +=，点A 的坐标为()60，，设OPA ∆的面积为S .(1)用含x 的表达式表示S ，写出x 的取值范围，画出函数S 的图象；(2)当点P 的横坐标为5时，OPA ∆的面积为多少？(3)OPA ∆的面积能否大于24？为什么？15．（本题满分10分） 如图，直线23y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .(1)求△AOB 的面积；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，△ABP 的面积是92，求点P 的坐标.参考答案1．(1) 6y x =+ (2)12 (3) 1(1,)2-、()1,5-、()1,7【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)利用三角形的面积公式即可求解；(3)当OMC 的面积是OAC 的面积的14,求出M 点的横坐标，分别按照题意代入表达式即可; 【详解】解：(1) 设直线AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得： 0642k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：16k b =⎧⎨=⎩， 则直线的解析式是：6y x =+； (2)164122OAC S ∆=⨯⨯=; (3) 设OA 的解析式是y mx =，则42m -=， 解得：12m =-, 则直线的解析式是：12y x =-， 当OMC 的面积是OAC 的面积的14时， ∴M 的横坐标是±1， 在12y x =-中,当1x =-时,12y = ,则M 的坐标是1(1,)2-； 在6y x =+中, 当1x =-则5,y = 则M 的坐标是()1,5.-在6y x =+中,当1x =时,7y =,则M 的坐标是()1,7.综上所述：M 的坐标是：111),2(M -或()21,5M -或()31,7M .【点睛】本题考查一次函数综合题.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
专题 一次函数与图形的面积问题(原卷版)
八年级下册数学《第十九章 一次函数》专题 一次函数与图形的面积问题【例题1】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣6，0）的直线l 1与直线l 2：y ＝2x 相交于点B （m ，4），与y 轴交于点M ．（1）求直线l 1的表达式．（2）求△BOM 的面积．【变式1-1】（2022秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△AOC的面积．【变式1-2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△AOB的面积．【变式1-3】（2022春•天河区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），与x轴、y轴分别交于点A、点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若坐标原点为O，求△ABO的面积．【变式1-4】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y=43x的图象交于点C（m，4）（1）求m的值；（2）求一次函数y＝kx+b的表达式；（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．【变式1-5】（2023•惠阳区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为（0，1），直线AD与x轴交于点B．（1）求直线AD的解析式．（2）求△ABC的面积．【变式1-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C（m，4）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为．【例题2】（2022秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．（1）求直线l对应的函数表达式；（2）求四边形ABDC的面积．【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求四边形ABCD的面积．【变式2-2】如图，直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．（1）求直线BD的解析式和E的坐标．（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．【变式2-3】（2022春•南城县校级月考）如图，已知直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．（1）求k的值以及直线BC的解析式；（2）过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；【变式2-4】已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．【变式2-5】（2021春•饶平县校级期末）如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．【例题3】已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（）A．y＝1.5x+3B．y＝﹣1.5x+3C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3【变式3-1】（2021秋•阜新县校级期末）一次函数y＝kx+10的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为．【变式3-2】（2022春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是．【变式3-3】（2022秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是．【变式3-4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O 为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（）A．y=−12x+2B．y＝﹣2x+4C．y=23x+16D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4【变式3-5】（2022秋•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线l2：y=12x相交于点M（m，1）．（1）求直线l1的函数表达式；（2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．【变式3-6】（2021春•永川区期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OP A的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OP A的面积为10时，求点P的坐标．【变式3-7】（2021春•单县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．（1）求直线n的函数表达式；（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．【变式3-8】（2022春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA 相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的解析式；（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．【例题4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标．【变式4-1】（2022春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求直线L2的解析表达式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【变式4-2】（2022秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G 是线段BC 上一动点，若直线AG 把△ABC 的面积分成1：2的两部分，请求点G 的坐标；【变式4-3】（2021秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C （0，12）的直线AC 与直线OA 相交于点A （8，4）．（1）求直线AC 的表达式；（2）求△OAC 的面积；（3）动点M 在线段OA 和射线AC 上运动，是否存在点M ，使△OMC 的面积是△OAC 的面积的12？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-4】如图1，直线y ＝﹣x +b 分别交x ，y 轴于A ，B 两点，点C （0，2），若S △ABC ＝2S △ACO ．（1）求b 的值；（2）若点P 是射线AB 上的一点，S △P AC ＝S △PCO ，求点P 的坐标；【变式4-5】如图，直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于E、F，点E的坐标为（﹣9，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．（1）求出△OP A的面积S与x的函数关系式．（2）当△OP A的面积为3.6时，求点P的坐标．（3）若直线OP分△OEF的面积为1：2两部分时，求点P的坐标．【变式4-6】（2022秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．（1）填空：m＝，b＝；（2）求△ACD的面积；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（2021秋•吴江区月考）如图，一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（）A．y=12x+6B．y＝2x+6C．y=23x+6D．y=32x+6【变式5-1】（2022春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为．【变式5-2】（2022•南京模拟）四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．y=−23x+1B．y=23x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1【变式5-3】（2022•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为．【变式5-4】（2022春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC ：y =√3x +b 与x 轴交于点A （﹣4，0）与y 轴交于点C ，过点C 的直线BC 与x 轴正半轴交于点B ，△OBC 的面积是△OAC 面积的3倍．（1）求点B 的坐标；（2）线段BC 上有点P ，当直线AP 把△ABC 分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP 的解析式；（3）在射线OC 和射线OB 上分别取点E 和点F ，且EF ∥BC ，将△OEF 沿直线EF 翻折得到△O 1EF ，点O 的对应点为点O 1，若点O 1到直线OC 和直线BC 的距离相等，直接写出点O 1的坐标．【变式5-5】（2021春•颍州区期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则①AB 两点的距离=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2；②线段AB 的中点坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22）．解决问题：如图，平行四边形ABCD 中，点B 在x 轴负半轴上，点D 在第一象限，A ，C 两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD 的长为6．（1）若点P是直线AD上一动点，当PO+PC取得最小值时，求点P的坐标及PO+PC的最小值；（2）已知直线l：y＝kx+b过点（0，﹣2），且将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．。
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专题41 一次函数中的面积
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，－6)，点B(3，0)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C(m，n)是直线AB上的一个动点．
①将BOC的面积记作S，请求出S与m之间的函数关系式；
△的面积分为1∶2两部分，请求出此时点C的坐标．
②连结OC，若直线OC把BOA
2．如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（x，y）为直线AB上一动点（点C不与点A重合），连结OC．
（1）当点C（x，y）中x＝﹣2时，△OBC的面积为_______；
（2）在点C的运动过程中，请直接写出△OAC的面积S与x之间的函数关系式及相应自变量的取值范围；
（3）当点C运动到什么位置时，△OAC的面积为5？请直接写出此时点C的坐标_______．
3．如图，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝kx+b相交于点A，直线l1与y轴相交于点B，直线l2与y轴负半轴相交于点C，OB＝2OC，点A的纵坐标为3．
（1）求直线l2的解析式；
（2）将直线l2沿x轴正方向平移，记平移后的直线为l3，若直线l3与直线l1相交于点D，且点D的横坐标为1，求△ACD的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：12
y x =与直线2l 交点的A 的横坐标为2，将直线1l 沿x 轴向右平移8个单位长度得到直线3l ，直线3l 与y 轴交于点B ，与直线2l 交于点C ，点C 的纵坐标为－2
(1)求直线2l 的解析式：
(2)连接AB ，求ABC 的面积；
(3)若点P 是直线1l 上一动点，且满足2ABP ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标．
5．已知：如图，一次函数y ＝43
x+n 分别与x 轴、y 轴交于点B 和点E ，一次函数y ＝﹣23x+m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，﹣83
）． （1）求B 、C 两点的坐标；
（2）设点P （t ，0），且t ＞3，如果△BDP 和△CEP 的面积相等，求t 的值；
（3）在（2）的条件下，在第四象限内，以CP 为一腰作等腰Rt △CPQ ，请求出点Q 的坐标．
6．如图，直线y ＝43
x ﹣4分别与x 轴、y 轴交于点B 和点E ，直线y ＝﹣23x ﹣2与y 轴交于点C ，且两直线的交点为D ．
（1）求点D 的坐标；
（2）设点P （t ，0），且t ＞3，若△BDP 和△CEP 的面积相等，求t 的值；
（3）在（2）的条件下，以CP 为一腰作等腰△CPQ ，且点Q 在坐标轴上，请直接写出点Q 的坐标．
7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线y kx =沿y 轴向上平移2个单位后得到直线l ，已知l 经过点A （－4， 0）．
（1）求直线l 的解析式；
（2）设直线l 与y 轴交于点B ，点P 在坐标轴上，△ABP 与△ABO 的面积之间满足12
ABP ABO S S ∆∆= ， 求P 的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与x 轴交点为A （﹣2，0），与y 轴交点为B ，且与正比例函数y 2=x 的图象交于点C （m ，4）
(1)求m 的值及一次函数y ＝kx +b 的表达式；
(2)若P 是x 轴上一点，且△PBC 的面积是6，直接写出点P 的坐标．
9．如图，一次函数y kx b =+的图象过()1,4P 、()4,1Q 两点，与x 轴交于A 点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求POQ △的面积；
10．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152
y x =-+的图像1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图像2l 与1l 交于点(,4)C m ．
(1)填空：m =___________；正比例函数2l 的表达式为___________；BOC 的面积为___________．
(2)若点M 是直线152
y x =-+上一动点，连接OM ，当AOM 的面积是BOC 面积的12时，请求出符合条件的，；
(3)一次函数1y kx =+的图像为3l ，且123,,l l l 不能．．围成三角形，直接．．
写出k 的值． 11．如图，一次函数1y kx b =+的图象与坐标轴交于A ，B 两点，与正比例函数22y x =-交于点(),4C m ，6OA =．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求BOC 的面积；
(3)在线段AB 上是否存在点P ，使OAP △是以OA 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知一次函数1y =ax +6和2y =﹣x+b 的图象交于点P （1，2），与坐标轴的交点分别是A 、B 、C 、D ．
(1)直接写出方程组6ax y y x b
-=-⎧⎨+=⎩的解； (2)求△PCD 的面积；
(3)请根据图象直接写出当1y ＞2y 时x 的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，y 关于x 的一次函数4y x c =+-（c 为常数），其图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．
(1)当2c =时，OA =______；
(2)若OAB 的面积为8．
①求出满足条件的一次函数表达式；
②若点A 在y 轴正半轴，点B 在x 轴负半轴上，且点C 在线段AB 上，当7OAC OBC S S =△△时，请直接．．
写出点C 的坐标． 14．如图，已知函数12y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数2y kx b =+的图象经过点C
（2，0），与y 轴交于点B ，与12y x =+的图象交于点D ，且点D 的坐标为2,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
(1)求k 和b 的值；
(2)若12y y >，则x 的取值范围是______．
(3)求四边形AOCD 的面积．
15．已知一次函数1y kx b =+与2y x =-的图像平行，且与x 轴交于点A 的横坐标为2．
(1)求k ，b 的值；
(2)在下面的坐标系中，画出一次函数1y 和21y x =+的图像，并借助图像求方程组,1
y kx b y x =+⎧⎨=+⎩的解；
(3)根据图像直接写出，当x 取何值时，12y y <；
(4)若2y 与x 轴的交点为B ，1y 和2y 两图像的交点为C ．在2y 的图像上是否存在点P ，使得OBP 的面积与ABC 的面积相等？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标：若不存在，请说明理由．
16．已知一次函数的图像与直线21y x =+平行，且它的图像与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为9，求一次函数的解析式．
17．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()4,9M -和()2,3N ．
(1)求这个函数的解析式；
(2)已知第一象限内的点P 在直线MN 上，点()3,0A ，若OPA 的面积为6，求P 点坐标． 18．一次函数的图象与x 轴交于点(1,0)A ，与y 轴交于点(0,2)B -．
(1)求一次函数的函数解析式，并在所给的坐标系中画出图象．
(2)若直线AB上有一点C，且BOC的面积为2，求点C的坐标；。