【中考数学压轴题专题突破41】一次函数综合问题(1)
一次函数综合压轴题型
一次函数综合压轴题型一次函数综合压轴题型一次函数作为高中数学中必须掌握的基础知识之一，往往是各种数学题型的基础。
特别是在高考中，往往会出现一些综合性的题目，需要考生在一次函数的基础上，综合运用知识点来解答问题。
本文将介绍一道典型的一次函数综合压轴题型，并详细阐述解题思路，帮助读者更好地掌握一次函数的知识点。
【题目】已知函数$f(x)=kx+b$，其中$k>0$，$b>0$。
已知直线$y=kx$与曲线$y=f(x)$在点$P(3,5)$处相切，且直线$y=b$与曲线$y=f(x)$在点$Q$处相交。
若点$Q$到$x$轴的距离为$8$，求$k$和$b$的值。
【解题思路】1. 求函数$f(x)$在点$P(3,5)$处的导数，即为直线$y=kx$的斜率。
由相切条件可知，曲线在点$P(3,5)$处的切线与直线$y=kx$重合，因此二者的斜率相等。
函数$f(x)$在点$P(3,5)$处的导数可以表示为：$$f'(3)=k$$2. 利用函数$f(x)$在点$Q$处的函数值求解$b$的值。
函数$f(x)$在点$Q$处的函数值为直线$y=b$的纵坐标，因此可以利用函数$f(x)$与直线$y=b$的交点求解。
设$x_{Q}$为点$Q$的横坐标，则有：$$\begin{cases}f(x_{Q})=b\\kx_{Q}+b=b\end{cases}$$化简得到$x_{Q}=-\dfrac{b}{k}$，代入已知条件$Q$到$x$轴的距离为$8$中，可得：$$\left|-\dfrac{b}{k}\right|=8$$注意到题目中给定$k>0$，$b>0$，因此有$b=-8k$。
3. 利用函数$f(x)$在点$P$处的函数值求解$k$的值。
函数$f(x)$在点$P$处的函数值为$5$，因此可以利用函数$f(x)$和直线$y=b$的交点坐标求解。
设交点坐标为$(x_{1},-8k)$，则有：$$\begin{cases}f(x_{1})=-8k\\kx_{1}-8k=-8k\end{cases}$$化简得到$k=\dfrac{5}{3}$。
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与一次函数综合
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y＝0.5x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（﹣5，a），B两点，与x轴交于点D，与y轴交于点C，且AD＝BC．（1）求此反比例函数的表达式和B点坐标；（2）连接AO和BO，若点P在x轴上，且S△BDP＝S△BOA，求点P的坐标；（3）如图2，作▱ABFE，点F和点E分别在y轴和x轴上，求证：∠AED＝∠FEO．2．如图所示，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）直接写出x在什么范围时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．3．如图1，一次函数y＝−2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交点C．（1）求点C的坐标；（2）在双曲线y＝（x＞0）上是否存在一点D，满足S△OCD＝S△AOB，若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，过点B作BM⊥OB交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点M，点N为反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，∠ABM＝∠BAN，请直接写出点N的坐标．4．如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A （a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值．（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．5．如图1，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数（x＜0）的图象交于点B（﹣3，b），连接OB．（1）b＝，k＝．（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．6．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．7．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（a，6），与y轴相交于点B．（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）点P是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，连接P A，PB，若△P AB的面积为4，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段P A绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC．点M是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，连接MB，若∠PCB+∠MBO＝90°，求满足条件的点M的坐标．10．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．（1）求一次函数的解析式；（2）直接写出不等式kx+b≥的解集；（3）设AB与y轴相交于M，C为线段BA延长线上一点，作CD∥OM与反比例函数y ＝交于点D，连接OD，当四边形MCDO为平行四边形时，求点C的横坐标．11．已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F．①请问：在该反比例函数图象上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．②求证：DE•CF为定值．12．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y ＝（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当自变量x取何值时，一次函数值大于反比例函数值；（3）在x轴上有一点E，使得△ABE面积是△BCO面积的4倍，求出点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；（3）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△P AO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标：若不存在，请写出理由．15．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．（3）若点Q为x轴上一点，△ACQ是直角三角形，直接写出点Q的坐标．16．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（k≠0）交于点A、B两点，且点A的坐标为（1，3），一次函数y＝kx+b与x轴交于点C，连接OA、OB．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标及△AOB的面积；（3）过点A作y轴的垂线，垂足为点D．点M是反比例函数y＝第一象限内图象上的一个动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，连接CM．当Rt△ADO与Rt△CNM相似时求M点的坐标．17．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求反比例函数y＝（x＞0）的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b＜的x（x＞0）的取值范围为；（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点．点E为y轴上的一动点．当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）与函数（k为常数，k＞0，x＞0）交于A，B两点（B在A右侧），与x轴，y轴分别交于C，D两点．（1）求tan∠DCO的值；（2）如图1，若点B的坐标为（6，1），在x轴上是否存在点P，使△ACP与△CDO相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，将直线AB平移到直线EF，其中点E为（0，1），点F在x轴上，连接AE，若AE⊥EF且AB＝2EF，求k的值．19．综合探究：如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象的两个交点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，求点P的坐标；（3）设直线AB交y轴于点C，点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，以点A，C，Q，M为顶点的四边形能构成菱形吗？若能，请直接写出点Q的坐标；若不能，说明理由．20．已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣5，且函数y1，y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C，①若k＝3，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．参考答案：1．【解答】解：（1）∵一次函数y＝0.5x+3的图象过点A（﹣5，a），∴a＝0.5×（﹣5）+3＝0.5，∴点A的坐标为（﹣5，0.5）．∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（﹣5，0.5），∴k＝﹣5×0.5＝﹣2.5，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．联立一次函数及反比例函数的表达式成方程组，得：，解得：，，∴点B的坐标为（﹣1，2.5）．（2）当y＝0时，0.5x+3＝0，解得：x＝﹣6，∴点D的坐标为（﹣6，0）．∵S△BDP＝S△BOA，∴DP•2.5＝×（×6×2.5﹣×6×0.5），∴DP＝7.2，∴点P的坐标为（﹣13.2，0）或（1.2，0）．（3）证明：设点E的坐标为（m，0），点F的坐标为（0，n）．∵四边形ABFE为平行四边形，且点A的坐标为（﹣5，0.5），点B的坐标为（﹣1，2.5），∴，解得：，∴点E的坐标为（﹣4，0），点F的坐标为（0，2）．∵点D的坐标为（﹣6，0），点A的坐标为（﹣5，0.5），∴AD＝＝，AE＝＝，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．∵四边形ABFE为平行四边形，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠FEO，∴∠AED＝∠FEO．2．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，∴y＝x+1，由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），把P代入y＝得：k＝4，则双曲线解析式为y＝；（2）∵P（2，2），∴当0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y＝上，∴n＝，当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，整理得：m2﹣2m﹣8＝0，解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，整理得：2m﹣4＝，解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．3．【解答】解：（1）解方程组，解得，∴点C的坐标为（1，2）；（2）如图1，存在（两个），对于y＝−2x+4，令y＝0，则−2x+4＝0，解得x＝2，令x＝0，则y＝4，∴A（2，0），B（0，4），设点D坐标为（a，），∵S△OCD＝S△AOB，∴×（2+）|a﹣1|＝2×4，解得a＝1或a＝﹣1（负值舍去），∴点D坐标为（1+，2﹣2）或（﹣1+，2+2）；（3）∵A（2，0），B（0，4），C（1，2），∴C为AB的中点，AO＝2，BO＝4，∴AB＝＝＝2，∴BC＝．如图2，延长BM交AN的延长线于H，∵∠ABM＝∠BAN，∴HB＝HA，连接HC，则HC⊥BA，∵BM⊥OB，∴BM∥OA，∴∠HBA＝∠BAO，又∠HCB＝∠BOA＝90°，∴△HBC∽△BAO，∴HB：BC＝BA：AO，即HB：＝2：2，∴HB＝5，∴D（5，4）．设直线AN的解析式为y＝mx+b，∵直线AN过A（2，0）、H（5，4），∴，解得∴直线AN的解析式为y＝x﹣，解方程组，解得x＝，∴y＝，∴N（，）．4．【解答】解：（1）将（a，3）代入y＝x+1，得3＝a+1，∴a＝4，将（4，3）代入y＝，∴k＝12；（2）①∵AC＝AD，A（4，3），设C（m，n），D（z，0），由中点公式知：＝3，＝4n＝6，将n＝6代入y＝，得6＝，∴m＝2，∴z＝6，∴△OAC的面积＝6×6÷2﹣6×3÷2＝9；（3）设P（s，0），∵A（4，3），B（0，1），当P A＝PB时，（s﹣4）2+32＝s2+12，解得s＝3，∴P（3，0），当PB＝AB时，s2+12＝42+（3﹣1）2，解得s＝±，∴P（，0）或P（﹣，0），当P A＝AB时，（s﹣4）2+32＝42+（3﹣1）2，解得s1＝4+，s2＝4﹣，∴P（4+，0）或（4﹣，0），综上所述，点P的坐标为（3，0）或（，0）或（﹣，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．5．【解答】解：（1）∵B（﹣3，b）在反比例函数（x＜0）的图象上，∴b＝1，∴B（﹣3，1），∵一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象过点B，∴1＝﹣3k﹣2，∴k＝﹣1，故答案为：1，﹣1；（2）存在，理由如下：若△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时，过点O作OP⊥OB，且OP＝OB，分别过点B，P作y轴的垂线，垂直于点E，F，∴∠BEO＝∠OFP＝90°，∠BOE+∠FOP＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠FOP＝∠OBE，∵OB＝OP，∴△BEO≌△OFP（AAS），∴OE＝FP＝1，BE＝OF＝3，∴P（﹣1，﹣3），②当点B为直角顶点时，连接PP'，∴四边形OBPP'是正方形，∴OB∥PP'，且OB＝PP'，∴P'（﹣4，﹣2），综上，点P的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣4，﹣2）；（3）∵点C在直线AB上，∴设点C（m，﹣m﹣2），则点D（m，），∴S四边形OCBD＝S△CDB+S△CDO＝CD•（x O﹣x B）＝（﹣+m+2）×3＝3，解得m＝﹣或（舍去），∴C（﹣，﹣2）．6．【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴设点A的坐标为（m，），∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，由①知，A（2，4），C（0，2），∴D（2，0），E（4，2），设直线DE的解析式为y＝ax+n，∴，∴，∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴P（0，﹣2）．故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．7．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），∴m+1＝2，∴m＝1，∴A（1，2），∵反比例函数y＝经过点（1，2），∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）由题意，得，解得或，∴B（﹣2，﹣1），∵C（0，1），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．8．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，∴4＝﹣2a+6，∴a＝1，∴点A（1，4），∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），∴k＝1×4＝4；∴反比例函数的解析式为：y＝，联立方程组可得：，解得：，，∴点B（2，2）；（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，∴AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴，当＝时，则CF＝2AE＝2，∴点C（﹣2，﹣2），∴BC＝＝4，当＝2时，则CF＝AE＝，∴点C（﹣，﹣8），∴BC＝＝，综上所述：BC的长为4或；（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y 轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，∴点E（0，6），∵点B（2，2），∴BF＝OF＝2，∴EF＝4，∵∠ABP＝90°，∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，∴∠BEF＝∠FBN，又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，∴△EBF∽△BNF，∴，∴FN＝＝1，∴点N（0，1），∴直线BN的解析式为：y＝x+1，联立方程组得：，解得：，，∴点P（﹣4，﹣1），∴直线AP的解析式为：y＝x+3，∵AP垂直平分BQ，∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，∴x+3＝﹣x+4，∴x＝，∴点H（，），∵点H是BQ的中点，点B（2，2），∴点Q（﹣1，5）．9．【解答】解：（1）将点A（a，6）代入y＝﹣2x+4得，a＝﹣1，∴A（﹣1，6），∴k＝﹣1×6＝﹣6，∴反比例函数解析式y＝﹣；（2）∵直线y＝﹣2x+4与y轴交于B，∴B（0，4），在点B下方的y轴上取点C，使BC＝8，则S△ABC＝4，过点C作CP∥AB，交双曲线于P，∴直线CP的解析式为y＝﹣2x﹣4，∴﹣2x﹣4＝﹣，解得x1＝﹣3，x2＝1（舍），∴P（﹣3，2），当点P在点A上方时，同理可得P（3﹣2，6+4），综上：P（﹣3，2）或（3﹣2，6+4）；（3）过点P作HG∥x轴，作CH⊥HG于H，AG⊥HG于G，连接BC，∵AP＝PC，∠APC＝90°，∴∠APG+∠CPH＝90°，∠APG+∠P AG＝90°，∴∠CPH＝∠P AG，∵∠H＝∠G，∴△PHC≌△AGP（AAS），∴CH＝PG＝2，PH＝AG＝4，∴C（﹣7，4），∴BC∥x轴，∵∠PCB+∠MBO＝90°，∴∠MBO＝∠HCP，∴tan∠MBO＝tan∠HCP＝2，设直线BM交x轴于Q，∴OQ＝8，∴直线BQ的解析式为y＝x+4，∴x+4＝﹣，解得x＝﹣2或﹣6，∴M（﹣2，3）或（﹣6，1）．10．【解答】解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝2×3＝6，∵B（n，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣6，∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），则，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x+2；（2）由图象可知，不等式kx+b≥的解集为：﹣6≤x＜0或x≥2；（3）对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴OM＝2，∵四边形MCDO为平行四边形，∴CD＝OM＝2，设点C的坐标为（a，a+2），∴点D的坐标为（a，a），∴a•a＝6，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），∴点C的横坐标为2．11．【解答】（1）解：∵y＝2x+b的图象经过A（﹣1，﹣3）和B（1，m）两点，∴，∴解得：，∴B（1，1），∵反比例函数的图象经过B点，∴1＝，∴k＝2，一次函数的解析式为y＝2x﹣1；（2）①解：不存在，理由如下：当y＝0时，﹣x+＝0，∴x＝，当x＝0时，y＝，∴OC＝OD＝，∴△OCD为等腰直角三角形，设P点的坐标为（a，），把y＝代入y＝﹣x+得，x＝﹣，把x＝a代入y＝﹣x+得，y＝﹣a+，则F（﹣，），E（a，﹣a+），由题意得，PE∥y轴，PF∥x轴，∴PF∥OC，∠FPE＝∠COD＝90°，∴∠PFE＝∠OCD，当PF＝PE＝OC＝时，△PFE≌△OCD（ASA），∴PF＝a﹣（﹣）＝a﹣+＝，化一般方程为：4a2﹣a+4＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×4×4＝﹣63＜0，∴4a2﹣a+4＝0没有实数根，∴不存在点P，使△PFE≌△OCD；②证明：设P（x，y），∵C（0.5，0），D（0，0.5），∴△OCD为等腰直角三角形．作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，则△FMC、△DEN为等腰直角三角形，∴FC＝FM＝y，DE＝EN＝x，∴DE•CF＝2xy，∵P（x，y）在y＝上，∴xy＝1，∴DE•CF＝2．12．【解答】解：（1）作BH⊥x轴于H，如图1，∵点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝，∴BH＝2，tan∠BOC＝tan∠BOH＝＝．∴OH＝5．∴B点坐标为（﹣5，﹣2）．把B（﹣5，﹣2）代入y＝，得k＝﹣5×（﹣2）＝10，∴反比例函数的解析式为y＝；把A（2，m）代入y＝，得2m＝10，解得m＝5．∴A点坐标为（2，5）．把A（2，5）和B（﹣5，﹣2）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）由（1）知，A（2，5），B（﹣5，﹣2），则由图象可知，当一次函数值大于反比例函数值时，自变量x的取值范围是：﹣5＜x＜0或x＞2；（3）将y＝0代入y＝x+3中，得x＝﹣3．∴点C的坐标是（﹣3，0）．∴S△BCO＝CO•BM＝＝3．∵要使得△ABE面积是△BCO面积的4倍，∴S△ABE＝4S△BCO＝12．∵点E在x轴上，∴设点E的坐标为（t，0）．∴CE＝|t﹣（﹣3）|＝|t+3|，如图2所示：∴S△ABE＝CE•（y A﹣y B）＝|t+3|×[5﹣（﹣2）]＝|t+3|，∴|t+3|＝12，解得t＝或t＝﹣．∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．13．【解答】解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，∴b＝2，∴一次函数的表达式为y＝x+2；∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，∴a＝3，∴点A（1，3），∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝2，∴B（﹣2，0），C（0，2），∴△ABO的面积＝S△AOC+S△BOC＝+＝1+2＝3；（3）由（2）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，设点M（m，），N（n，n+2），若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则①以OC和MN为对角线时，∴＝0，＝，∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，∴N（﹣，﹣+2），②以CN和OM为对角线时，∴＝，＝，∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），∴N（﹣2+，），③以CM和ON为对角线时，∴，＝，∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），∴N（，2+），即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣+2）或（﹣2+，）或（，2+）．14．【解答】解：（1）∵A（﹣4，2），∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得m＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣；将B坐标代入y＝﹣，得n＝﹣4，∴B坐标（2，﹣4），将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；（2）当﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2，∵点A（﹣4，2）、点B（2，﹣4），∴△AOB的面积为：×|﹣2|×2×|﹣2|×|﹣4|＝6．（3）设P（m，0），∵A（﹣4，2），∴OP＝|m|，AP＝，OA＝2，∵△AOP是等腰三角形，∴①当OP＝AP时，|m|＝，∴m＝﹣，∴P（﹣，0）；②当OP＝OA时，|m|＝2，∴P（2，0）或（﹣2，0）；③当OA＝AP时，2＝，∴m＝0或m＝﹣8，∴P（﹣8，0）；即点P的坐标为P（﹣，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）．15．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵，∴OB•AD＝5AD＝，∴AD＝3，∵B（5，0），∴AB＝OB＝5，在Rt△ABD中，BD＝＝＝4．∴OD＝9，∴A（9，3），∵经过点A，∴3＝，∴m＝27，∴反比例函数表达式为y＝；∵y＝kx+b经过点A，点B，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣；（2）本题分三种情况：①当以AB为腰，且点B为顶角顶点时，如图：∵BP＝OB＝5，∴点P的坐标为P1（0，0）、P2（10，0），②当以AB为腰，且以点A为顶角顶点时，如图：点B关于AD的对称点即为所求∵BD＝DP3＝4，∴P3（13，0），③当以AB为底时，如图：作线段AB的中垂线交x轴于点P4，交AB于点E，则点P4即为所求由（1）得，C（0，﹣），在Rt△OBC中，BC＝＝＝，∵cos∠ABP4＝cos∠OBC，∴＝，∴＝，∴BP4＝，∴OP4＝+5＝，∴P4（，0）．综上所述，点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）；（3）如图，点Q为x轴上一点，△ACQ是直角三角形，∴设Q（m，0），∴OQ＝|m|，①当∠ACQ＝90°时，∵点B（5，0），由（1）得，C（0，﹣），∴CQ2+BC2＝BQ2，∴m2+（﹣）2+（﹣）2+52＝（5﹣m）2，解得m＝﹣；∴Q（﹣，0）；②当∠CAQ′＝90°时，∵∠CBO＝∠ABQ′，∠COB＝∠BAQ′＝90°，OB＝AB，∴△BOC≌△BAQ′（ASA），∴BQ′＝BC＝＝，∴OQ′＝，∴Q′（，0），③当∠AQC＝90°时，∵A（9，3），C（0，﹣），CQ2+AQ2＝AC2，∴m2+（﹣）2+（9﹣m）2+32＝92+（3+）2，解得m＝；∴Q（，0）或（，0）；综上所述，点Q的坐标为（﹣，0）或（，0）或（，0）或（，0）．16．【解答】解：（1）把点A的坐标为（1，3）代入y＝中得：k＝1×3＝3，∴反比例函数的表达式为：y＝，把点A的坐标为（1，3）代入一次函数y＝x+b中得：3＝1+b，∴b＝2，∴一次函数的表达式为：y＝x+2；（2）x+2＝，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴B（﹣3，﹣1），当y＝0时，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴△AOB的面积＝S△AOC+S△BOC＝×2×3+×2×1＝3+1＝4；（3）在Rt△ADO中，AD＝1，OD＝3，∵Rt△ADO与Rt△CNM相似，且∠ADO﹣∠MNC＝90°，∴CN＝3MN或MN＝3CN，设M（a，），①当CN＝3MN时，2+a＝3×，a＝﹣1（负值舍），∴M（﹣1，）；②当MN＝3CN时，＝3×（a+2），∴a＝﹣1（负值舍），∴M（﹣1，3+3）；综上，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，3+3）．17．【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y＝x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝；（2）观察图象可知：kx+b＜的时x的取值范围0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如下图所示，连接DC交PB于F，∵四边形BCPD为菱形，∴CF＝DF＝4，∴CD＝8，将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，∴D点的坐标为（8，1）∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）；延长DP交y轴于点E，则点E为所求，则|DE﹣PE|＝PD为最大，设直线PD的表达式为：y＝sx+t，将点P、D的坐标代入上式得：，解得：，故直线PD的表达式为：y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点E（0，3）．18．【解答】解：（1）对y＝﹣，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝2b，∴C（2b，0），D（0，b），由题意可得OD＝b，OC＝2b，∴tan∠DCO＝；（2）存在，∵B（6，1）在y＝﹣和y＝上，∴1＝﹣，k＝1×6＝6，解得b＝4，∴OD＝4，OC＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣，反比例函数的解析式为y＝，解方程组得：，，∴A（2，3），若△ACP与△CDO相似，由于∠ACO为公共角，则有两种情况：①∠APC＝90°时，如图，满足△ACP与△CDO相似，此时OP＝2，AP＝3，即P（2，0）；②当∠P AC＝90°时，如图，满足△ACP与△CDO相似，此时CP：CD＝CA：CO，∵CD＝，AC＝，∴CP：4＝3：8，解得CP＝，∴OP＝，即点P（）；综上所述，P（2，0）或（，0）；（3）由题意可得平移后的直线EF解析式为y＝﹣，∴F（2，0），∵E（0，1），∴EF＝＝，过点F作FG⊥AB于G，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BH⊥AM于点H，如图，则四边形AEFG是矩形，∴AG＝EF，∵AB＝2EF，∴AB＝2AG＝2EF＝2，∵AB∥EF，MH∥OC，∴∠ACO＝∠HAC＝∠EFO，∵∠MEA+∠MAE＝∠MEA+∠HAC＝90°，∴∠ACO＝∠HAC＝∠MEA＝∠DAM，∴＝tan，∵OD＝b，OE＝1，∴DE＝（b﹣1），∴DM＝，AM＝，ME＝，HB＝2，AH＝4，∴A（），B（4+），由于A，B都在双曲线上，∴[1+]＝[4+]×，解得b＝，∴A（），∴k＝．19．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6＝，解得m＝6，故反比例函数表达式为y＝，当y＝＝2时，解得x＝3＝n，即点B的坐标为（3，2），将点A、B坐标代入一次函数y1＝kx+b表达式得：，解得，故一次函数表达式为y＝﹣2x+8；（2）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点，理由：△P AB的周长＝AP+PB+AB＝GP+PB+AB＝BG+AB为最小，直线BG的函数表达式为y＝﹣x+5，故点P的坐标为（0，5）；（3）能，理由：由直线AB的表达式知，点C（0，8），由点A、C的坐标知AC2＝5，设点Q的坐标为（0，m），①当AC为边时，则AC＝CQ或AC＝AQ，即5＝（m﹣8）2或5＝1+（m﹣6）2，解得m＝8±或8（舍去）或4，即m＝8±或4；②当AC是对角线时，则QA＝QC，∴（8﹣m）2＝1+（6﹣m）2，解得m＝，∴Q（0，），综上，点Q的坐标为（0，8+）或（0，8﹣）或（0，4）或（0，）．20．【解答】解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝3，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，3+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方），当B为中点时，则BD＝BC，即3+n﹣m＝m﹣n，则m﹣n＝；当D为中点时，则DB＝DC，即m﹣（3+n）＝3+n﹣n，故m﹣n＝6，当C为中点时，因为点C一定在点D的下方，故这种情况不存在；当B与D重合时，C到B，D的距离相等，则m＝n+3，即m﹣n＝3，∴m﹣n＝或6或3．②点E的横坐标为：，当点E在点B左侧时，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．当点E在点B右侧时，同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，当1+＝0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）故k＝1，d＝1．。
一次函数压轴题精选
一次函数压轴题精选一次函数压轴题精选一次函数是数学中的基础知识之一。
掌握了一次函数的基本概念和解题方法，可以为我们在学习数学的过程中打下坚实的基础。
下面是一些常见的一次函数压轴题，了解和掌握这些题目的解法，对于提高我们的数学水平有很大的帮助。
1、已知一次函数f(x)=4x-3，求当x=2时的函数值。
解法：将x=2代入函数f(x)中，即f(2)=4×2-3=5，所以当x=2时，函数值为5。
2、已知一次函数f(x)=3x+2，求其图像在坐标系中的截距。
解法：当x=0时，f(x)=3×0+2=2，所以函数图像在y轴上的截距为2。
3、已知一次函数kx+2y-4=0是直线L的解析式，求直线L在坐标系中的斜率。
解法：将kx+2y-4=0转化为y-intercept的形式为y=-(k/2)x+2，斜率即为-(k/2)。
4、已知一次函数f(x)=ax+b，若f(-3)=6，f(2)=7，则a和b的值分别为多少？解法：将x=-3代入函数f(x)中，得a(-3)+b=6，将x=2代入函数f(x)中，得a(2)+b=7。
将两式相加，得a=-1。
将a=-1代入其中一式，得-3-b=6，解得b=-9。
所以a=-1，b=-9。
5、已知一次函数y=kx，在坐标系中，直线y=kx与x轴的交点为(-3,0)，且这条直线过点(1,5)，则k的值为多少？解法：将直线y=kx化为截距式为y=k(x-(-3))=kx+3k，根据已知条件可以列出方程组：5=k(1)+3k，0=k(-3)+3k。
解得k=5/4。
所以k=5/4。
以上是一些常见的一次函数压轴题，希望大家都能够熟练掌握这些题目的解法，更好地掌握一次函数的基本知识。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合 (1)
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。
2023年北师大版中考数学一轮复习一次函数综合解答题【含答案】
2023年北师大版中考数学一轮复习一次函数综合解答题1．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的表达式．下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1；第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的表达式．小明求出的直线l2的表达式是．请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，则直线l3的表达式是；（2）若点M（m，3）在直线l1上，将直线l1绕点M顺时针旋转90°．得到直线l4，求直线l4的表达式．2．直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD 并请直接写出点D的坐标；（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y＝kx+3．（1）当直线l经过D点时，求点D的坐标及k的值；（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（6，3），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．（1）判断点C（1，4），D（3，4）中，是线段AB的“邻近点”的是；（2）若点H（m，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m 的取值范围．（3）若一次函数y＝x+b的图象上至少存在一个线段AB的“邻近点”，则b的取值范围是．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90，AB＝AC，D是BC上一动点，P是边AC 的中点，过点D作DE⊥BC，交AB或AC于点E，连接PE，PD．已知BC＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，E，D两点间的距离为y1cm，P，D两点间的距离为y2cm．小乐根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小乐的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了为y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1.01 1.61 2.433 3.524 4.71 5.166y1/cm0 1.01 1.61 2.433 2.482 1.290.840y2/cm 4.75 3.81 3.26 2.56m 1.80 1.59 1.52 1.64 2.12则m＝．（2）如图，y2的函数图象已经给出，在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出y1的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PDE为等腰三角形，且PD＝DE时，BD的长度约为．7．一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B．（1）直接写出△AOB的面积为；（2）点P（x，y）是坐标平面内的点，且满足△APB的面积是△AOB的面积的3倍，直接写出y与x的函数关系式；（3）若点C是线段AB的中点，点P在正比例函数y＝﹣x的图象上，设以点A、C、O、P为顶点的四边形的面积为S，当8≤S≤10时，求点P的纵坐标的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“关联点”的坐标定义如下：当a≥b时，Q 点坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，Q点坐标为（a﹣2，b）．（1）点A（3，2）的“关联点”坐标是，点B（﹣2，1）的“关联点”坐标是．（2）已知点C在一次函数y＝x+1的图象上，且点C的“关联点”为点D．①若点D的坐标为（m，﹣4），求m的值；②设所有的点C的“关联点”为点D组成一个新的图形，记作图形G．（i）一次函数y＝﹣x+1的图象与图形G的交点坐标是；（ii）当k满足时，一次函数y＝kx﹣2k的图象与图形G只有一个交点．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，点E是边BC上一动点，连接DE，过点E作DE的垂线交直线AB于点F，已知AD＝4cm，AB＝2cm，BC＝5cm，设CE的长为xcm，BF的长为ycm．小帅，根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）通过取点画图，测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54 4.55y/cm 2.5 1.100.9 1.52 1.90.90（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝BF时，CE的长度约为cm．10．阅读下列材料：①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（p，l）；②两条平行线l1，l2，直线l1上任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）＝0；④对于同一直线l我们定义d（l，l）＝0；⑤对于两点P1，P2和直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2﹣相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）．根据以上材料，解决以下问题：设P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，l3：y＝kx，l4：y＝kx+b，l5：y＝k′x．（1）①d（P1，l1）＝，②d（P1，P2|l1，l2）＝；（2）①若k＞0，则d（P1，P2|l3，l3）的最大值为；②若k＜0，b＝﹣2，则d（P1，P2|l4，l4）取最大值时，k的值为；③若k′＞k＞0，且l3，l5的夹角是30°，则d（P1，P2|l3，l5）的最大值为；（3）若k＝1，试确定d（P1，P2|l3，l4）的值（用含b的代数式表示）．11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，BC＝5cm，P是AB边上一动点，连接PC，设P，A两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，x的值为0）小东根据学习一次函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，请补充完整：（说明：相关数值保留一位小数）x/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.9 5.5 6.0 6.57.07.58.0 y/cm 6.2 5.5 4.9 4.0 3.9 4.0 4.1 4.2 4.4 4.7（2）建立平面直角坐标系（图2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当y取最小值时，x的值约为多少cm．（结果保留一位小数）②当PC＝2PA时，PA的长度约为多少cm．（结果保留一位小数）12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，点P是斜边AB上一点（点P 不与点A，B重合），过点P作PQ⊥AB于P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变换而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：x……0.8 1.0 1.4 2.0 3.0 4.0 4.5 4.8 5.0 5.5……y……0.20.30.6 1.2 2.6 4.6 5.8 5.0m 2.4……经测量、计算，m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合几何图形和函数图象直接写出，当QP＝CQ时，x的值是．13．在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行（不包括重合），那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），（1）如果b＝3，那么R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；（2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求直线AB的表达式；（3）如图2，在矩形OEFG中，F（3，2）．点M的坐标为（m，3），如果在矩形OEFG 上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．14．对于平面直角坐标系xOy中的点P与图形W，给出如下的定义：在点P与图形W上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点P与图形W的距离，特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的距离为零．如图1，点A（1，3），B（5，3）．（1）点E（0，1）与线段AB的距离为；点F（5，1）与线段AB的距离为；（2）若直线y＝x﹣2上的点P与线段AB的距离为2，求出点P的坐标；（3）如图2，将线段AB沿y轴向上平移2个单位，得到线段DC，连接AD，BC，若直线y＝x+b上存在点P，使得点P与四边形ABCD的距离小于或等于1，请直接写出b的取值范围为．15．在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN≤4，则称P为直线l的近距点，特别地，直线上l所有的点都是直线l的近距点．已知点A（﹣，0），B（0，2），C（﹣2，2）．（1）当直线l的表达式为y＝x时，①在点A，B，C中，直线l的近距点是；②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点，求点E的纵坐标n的取值范围；（2）当直线l的表达式为y＝kx时，若点C是直线l的近距点，直接写出k的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点A（﹣2，0），点B（1，1），点C（﹣1，﹣2），则A、B、C三点的“横长”a ＝|1﹣（﹣2）|＝3，A、B、C三点的“纵长”b＝|1﹣（﹣2）|＝3．因为a＝b，所以A、B、C三点为正方点．（1）在点R（3，5），S（3，﹣2），T（﹣4，﹣3）中，与点A、B为正方点的是；（2）点P（0，t）为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为；（3）已知点D（1，0）．①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l：y＝x+m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围．17．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F 分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF ＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm18．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．20．对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d（P，W），即d（P，W）＝M﹣m，已知点A（2，1），B（﹣2，1）（1）求d（O，AB）；（2）点C为直线y＝﹣1上的一个动点，当d（C，AB）＝1时，点C的横坐标是；（3）点D为函数y＝x+b（﹣2≤x≤2）图象上的任意一点，当d（D，AB）≤2时，直接写出b的取值范围．参考答案1．解：∵直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（2，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），∴点A关于y轴的对称点C的坐标为（﹣2，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得k＝2，∴直线l2的表达式为：y＝2x+4．故答案为：y＝2x+4；（1）∵A（2，0），B（0，4），∴A、B两点的坐标关于直线y＝x的对称点分别为E（0，2），F（4，0），设直线EF的解析式为y＝ax+c，则，解得，∴直线l3的表达式为：y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2；（2）过M点作直线l4⊥l1，l4交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N．∵点M（m，3）在直线l1上，∴﹣2m+4＝3，∴m＝，∴MN＝，B N＝1，∴BM＝．设ND＝a，则MN＝，BN＝1，BD＝a+1，由勾股定理得：（a+1）2＝a2+（）2+（）2，解得：a＝∴D（0，）．设直线l4的表达式y＝kx+把M（，3）代入得：k＝∴直线l4的表达式y＝x+．2．解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x+b，得b＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝1，∵点C在x轴负半轴上，∴C（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（0，3）及C（﹣1，0）代入，得，解得．∴直线BC的解析式为：y＝3x+3；（2）如图，进而得出D1（4，3），D2（3，4）；（3）由题意，PB＝PC，设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，在Rt△POC中，∠POC＝90°，∴OP2+OC2＝PC2，∴（3﹣x）2+12＝x2，解得，x＝，∴OP＝3﹣x＝，∴点P的坐标（0，）．3．解：（1）如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED＝∠1+∠2＝90°．在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝AB．∴∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3．又∵∠AOB＝∠AED＝90°，在△AED和△BOA中，，∴△AED≌△BOA，∴DE＝AO＝4，AE＝OB＝3，∴OE＝7，∴D点坐标为（4，7），把D（4，7）代入y＝kx+3，得k＝1；（2）当直线y＝kx+3过B点时，把（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1．所以当直线l与正方形有两个交点时，k的取值范围是k＞﹣1．4．解：（1）∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；（2）由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n把（1，0）分别y＝x+m，∴m＝﹣1，∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，把（1，0）代入y＝﹣x+n，∴n＝1，∴y＝﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；（3）把A（1，0），D（4，2）分别代入y＝2x+b±2，得出b＝0，或b＝﹣8，∴b＞0或b＜﹣85．解：（1）由点C、D、A的坐标知，点C、D在点A的正上方，间隔和距离均为1的位置，其中点C到点A的最小距离（也是到线段AB的最小距离）为＝1，而点D到直线AB的最小距离为4﹣3＝1，故答案为D；（2）如图1，由题意知，符合条件的点在AB周围类似操场的环形跑道（两侧为半径为2的半圆）内的部分，当y＝2时，即2＝y＝x﹣1，解得x＝3，即点E的坐标为（3，2），当y＝4时，即4＝y＝x﹣1，解得x＝5，即点E的坐标为（5，2），即3≤m≤5；（3）如图2，由（2）知，当直线m、n和类似操场的环形跑道两侧半圆相切时，为题设的临界点，设直线m和半圆的切点为D，直线AB交直线m于点F，由直线m的表达式知，∠DFA＝45°，则AF＝AD＝，故点F的坐标为（2﹣，3），将点F的坐标代入y＝x+b并解得b＝1+；同理点E的坐标为（6+，3），将点E的坐标代入y＝x+b并解得b＝﹣3﹣；∴﹣3﹣≤b≤1．故答案为：﹣3﹣≤b≤1．6．解：（1）当x＝3时，如图1，此时点A、E重合，则x＝BD＝3＝AD，则DP为Rt△ADC的中线，故y2＝DP＝AC＝AB×＝≈2.12，故答案为2.12；（2）根据表格数据描点绘图如下：（3）因为DE＝PD时，即y1＝y2，则（2）中图象的交点的横坐标，即为所求点，从图上看x≈2.49或4.59（答案不唯一）；BD的长度约为2.49或4.59．故答案为2.49或4.59．7．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B，∴A（4，0），B（0，2），∴△AOB的面积为：＝4，故答案为4；（2）如图1，∵△APB的面积是△AOB的面积的3倍，∴点P在平行于AB，且到AB的距离为3OG的直线EF、直线MN上，因此有HG＝3GO，GK＝3GO，即：＝，＝，由△AOB∽△EOF，△AOB∽△MON得，＝＝，＝＝，∵OB＝2，∴OF＝4，ON＝8，∴F（0，﹣4），N（0，8），∴直线MN的关系式为：y＝﹣x﹣4，直线MN的关系式为：y＝﹣x+8，故答案为y＝﹣x+8或y＝﹣x﹣4；（3）①如图2﹣1，点P在正比例函数y＝﹣x（x＞0）的图象上，即在第四象限内的直线上，∵点C是AB的中点，A（4，0），B（0，2），∴C（2，1）∵S△AOC＝×4×1＝2，8≤S四边形OCAP≤10，∴6≤S△OAP≤8，即：6≤×4×PD≤8，∴3≤PD≤4，此时点P的纵坐标y的取值范围为：﹣4≤y P≤﹣3；②如图2﹣2，点P在正比例函数y＝﹣x（x＜0）的图象上，即在第二象限内的直线上，∵S△PCA＝S△OCA＝×4×1＝2，8≤S四边形OCAP≤10，∴6≤S△OAP≤8，即：6≤×4×PD≤8，∴3≤PD≤4，此时点P的纵坐标y的取值范围为：3≤y P≤4；综上所述，点P的纵坐标y的取值范围为：3≤y P≤4或﹣4≤y P≤﹣3；8．解：（1）A（3，2）的“关联点”坐标是（3，﹣2），点B（﹣2，1）的“关联点”坐标是（﹣4，1）．故答案为（3，﹣2），（﹣4，1）；（2）∵点C在一次函数y＝x+1的图象上，∴C（x，x+1），∵点C的“关联点”为点D，∴D（x，﹣x﹣1）或（x﹣2，x+1），①若点D的坐标为（m，﹣4），∴﹣x﹣1＝﹣4，或x+1＝﹣4，解得x＝﹣或x＝，∴m ＝﹣﹣2＝﹣或．②（i ）由题意函数G ：y ＝，由，解得，由，解得，∴G （6，﹣5）或（﹣，）．故答案为（6，﹣5）或（﹣，）．（ii ）函数G 的图象如图所示：∵一次函数y ＝kx ﹣2k 的图象过定点G （2，0），当直线y ＝kx ﹣2k 经过点A （3，﹣3）时，k ＝﹣3，此时满足条件，只有一个交点，当直线y ＝kx ﹣2k 平行AB 时，k ＝﹣，观察图象可知：当k ＝﹣3或﹣≤k ＜0或0＜k ＜时，一次函数y ＝kx ﹣2k 的图象与图形G 只有一个交点．故答案为k ＝﹣3或﹣≤k ＜0或0＜k ＜．9．解：（1）根据题意作图测量可得x ＝2.5时，y ＝1.9，当x ＝4时，y ＝1.5故答案为：1.9，1.5（2）根据题意作图得：（3）如图，作y＝x的函数图象根据题意，所画图象于直线y＝x交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．10．解：（1）∵P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，∴①d（P1，l1）＝4×＝2，②d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）＝2+0+3×＝2+；故答案为2，2+；（2））①如图1，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，，d（P1，P2|l3，l3）＝d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）＝P1A+P2B，∵P1A≤P1C，P2B≤P2C，∴P1A+P2B≤P1P2，∴当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的最大值是：＝＝5．②如图2中，直线l4交y轴于C（0，﹣2），作P1关于C的对称点P1′（﹣4，﹣4）．作P1E⊥直线l4于E，P1′F⊥直线l4于F．易证P1E＝P1′F，∴d（P1，P2|l4，l4）＝d（P1′，P2|l4，l4）＝P2P1′＝＝，③如图3，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，把线段OP绕点O逆时针旋转30°得到OP1′，作P1′⊥直线y＝k′x于H，易证P1A＝P1′H，∴d（P1，P2|l3，l5）＝d（P1′，P2|l3，l5）＝P1′P2，∵P1′（2，2），P2（0，3），∴P1′P2＝＝．∴d（P1，P2|l3，l5）＝d（P1′，P2|l3，l5）＝P1′P2＝．故答案为5，，；（3）l3：y＝k，l4：y＝x+b，当b≥0时，如图4﹣1中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝b，P1E＝2，P2F＝（（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）+b+2＝．当﹣4≤b＜0时，如图4﹣2中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝﹣b，P1E＝2，P2F＝（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）﹣b+2＝﹣b．当b＜﹣4时，如图b﹣3中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝﹣b，P1E＝2，P2F＝（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）﹣b+2＝﹣b．综上所述，d（P1，P2|l3，l4）＝或﹣b．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵∠B＝∠B，∠CHB＝∠ACB＝90°，∴△BCH∽△BAC，∴BC2＝BH•BA，∴BH＝，∴PH＝5﹣＝，∴CH＝＝，∴PC＝＝≈4.3，x＝8时，P与B重合，PC＝5，故答案为4.3，5．（2）函数的图象如图所示：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①4.9（4.5至5.4均可）②2.3（2.1至2.8均可）12．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝3，∠B＝60°当点Q与点C重合时，AP＝4.5当0＜AP≤4.5时因为tan∠A＝∴PQ＝tan30°×AP＝x又∵y＝PQ×AP＝×x×x＝x2当5＜AP≤6时，y＝S△ABC﹣S△ACQ﹣S△BPQ＝AC×BC﹣AC×CQ﹣BP×PQ＝﹣﹣（6﹣x）2＝﹣+3x当x＝5.0时，y＝﹣+3×5≈4.3故答案为：4.3（2）如图（3）当点Q在线段AC上时，若QC＝QP即3﹣＝x解得，x＝3；当点Q在线段BC上时，若QC＝QP即（6﹣x）＝2x﹣9解得，x＝5.2故答案为：3.0或5.2．13．解：（1）如图1中，观察图象可知S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．故答案为S．（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．∵点A，B的“相关菱形”为正方形，∴△ABH为等腰直角三角形．∵A（1，4），∴BH＝AH＝4．∴b＝﹣3或5．∴B点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）．∴设直线AB的表达式为y＝kx+b．∴由题意得或解得或∴直线AB的表达式为y＝x+3或y＝﹣x+5．（3）如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．∵点M，N的“相关菱形”为正方形，∴△NMG为等腰直角三角形，∴EG＝GM＝3，∴M（6，3）．如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．∵点M，N的“相关菱形”为正方形，∴△NMG为等腰直角三角形，∴OG＝GM＝3，∴M（﹣3，3）．∴m的取值范围是：﹣3≤m≤6．14．解：（1）点E（0，1）与线段AB的距离为线段AE的长＝；点F（5，1）与线段AB的距离为线段FB的长＝2，故答案为；2．，（2）如图1，点B（5，3）在直线y＝x﹣2上．∵点A（1，3），B（5，3），∴AB平行于x轴，当y＝1时，x﹣2＝1，∴x＝3，∴P1（3，1），过P2作P2E⊥AB交AB的延长线于点E，∵直线y＝x﹣2与坐标轴分别交于点C（0，﹣2），D（2，0），∴OC＝OD，∴可证∠P2BE＝∠ODC＝45°，∵P2B＝2，∴，∴，∴点P的坐标为（3，1）或．（3）如图2中，作BE⊥直线y＝x+b于E，延长CB交直线y＝x+b于P，当BE＝1时，P（5，3﹣），∴3﹣＝5+b，∴b＝﹣2﹣．作DF⊥直线y＝x+b于F，延长AD交直线y＝x+b于Q，当DF＝1时，Q（1，5+），∴5+＝1+b，∴b＝4+．观察图象可知：满足条件的b的范围为：．15．解：（1）①根据直线l的近距点可知A，B是直线y＝x的近距点．故答案为A、B．②当PM+PN＝4时，可知点P在直线l1：y＝x+2，直线l2：y＝x﹣2上．所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．如图1，EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大，为．如图2，EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，为﹣2．当n＝0时，EF与AO重合，矩形不存在．综上所述，n的取值范围是，且n≠0．（2）如图3中，过点C作CE⊥x轴交直线y＝kx于E或M，作CF⊥y轴交直线y＝kx 于F或N．易知E（﹣2，﹣2k），F（，2），M（﹣2，﹣2k），N（，2），当CF+CE＝4时，2+2k+（﹣2﹣）＝4，解得k＝1﹣或1+（舍弃）当CM+CN＝4时，﹣2+（﹣2+2k）＝4，解得k＝﹣1﹣或﹣1+（舍弃），观察图象可知，满足条件的k的值为：．16．解：（1）根据正方点的定义，可知点R与A、B是正方点．故答案为R．（2）由题意：t﹣0＝1﹣（﹣2）或1﹣t＝1﹣（﹣2），解得t＝3或﹣2，故答案为﹣2或3．（3）①画出如图所示的图象，②如图，当直线y＝x+b与①中的图象有交点时满足条件．当直线y＝x+b经过图中M（1，3）时，3＝+b，解得b＝，当直线y＝x+b经过图中N（﹣2，﹣3）时，﹣3＝﹣1+b，解得b＝﹣2，观察图象可知：m或m≤﹣2时，y＝x+m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点．17．解：（1）①由函数的对称性知，当x＝0.5时，y1＝0.71；②补全表格后描绘得到以下图象：（2）y1、y2关于x＝2对称，故描点得到y2的图象，如下：（3）①从图象可以看出函数y1的最小值为：0.5，故答案为0.5；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点点P到达点O处，故答案为：点P到达点O处；③PE＝PC，即：y1＝PC＝AC﹣x＝4﹣x，在图上画出直线l：y＝4﹣x，直线l与y1的交点坐标为：x＝2.5，y＝1.58，故答案为2.5．18．解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．19．解：（1）①∵b＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：∵点A的坐标为（1，2），∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，故答案为：6；②如图2﹣2所示：由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案为：5或﹣3；（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：CG＝3，则C（4，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝kx+a，则，解得；，∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，则C（﹣2，﹣1），设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，则，解得：，∴直线AC的表达式为：y＝x+1，综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵点M的坐标为（m，2），∴点M在直线y＝2上，∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），∴OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF＝OD＝，分两种情况：如图4所示：①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣2+，2）或（2﹣，2）；∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2﹣，2）或（﹣2+，2）；∴m的取值范围为2﹣≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+；综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．20．解：（1）如图1中，∵A（2，1），B（﹣2，1），∴AB∥x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为，∴d（O，AB）＝﹣1．（2）如图2中，设C（m，﹣1）．当点C在y轴的左侧时，由题意AC﹣2＝1,∴AC＝3,∴(2﹣m)2+22＝9,∴m＝2﹣或2+（舍弃），∴C(2﹣,﹣1),当点C在y轴的右侧时，同法可得C(﹣2,﹣1),综上所述，满足条件的点C的坐标为（2﹣，﹣1）或（﹣2，﹣1）．故答案为：（2﹣，﹣1）或（﹣2，﹣1）．（3）如图3中，当b＝6时，线段EF：y＝x+6（﹣2≤x≤2）上任意一点D，满足d（D，AB）≤2，当b＝﹣4时，线段E′F′：y＝x﹣4（﹣2≤x≤2）上任意一点D′，满足d（D′，AB）≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤﹣4时，函数y＝x+b（﹣2≤x≤2）图象上的任意一点，满足d（D，AB）≤2．。
2020年中考数学压轴题专项训练：一次函数的综合(含答案)
2020年数学中考压轴题专项训练：一次函数的综合1如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P,若满足PQ小于等于AB,则称点P为线段AB的“限距点”(1)在平面直角坐标系Xoy中，若点A (- 1, 0), B( 1, 0).①在的点C(0, 2), D(- 2, - 2), E(0,-一 -：)中，是线段AB的“限距点”的是E②点P是直线y = x+'上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标3 3X P的取值范围.存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围Λ Q B∙∙∙ C不是线段AB的“限距点”；当D(-2, - 2)时，D到AB的最短距离2, T AB= 2 ,∙D不是线段AB的“限距点”；当E (0,--；)时，E到AB的最短距离「: , T AB= 2 ,∙E是线段AB的“限距点”；故答案为E;②如图：以(1 , 0)为圆心，2为半径做圆，以(-两圆与直线(2)如图，以A (t , 1)为圆心，2为半径做圆，以B (t, - 1两圆与直线(2)在平面直角坐标系XOy 中，若点A (t , 1), B (t, - 1).若直线y=解：(1)①当C (0, 2)时, C到AB的最短距离2, T AB= 2 ,1 , 0)为圆心，2为半径做圆,为圆心，2为半径做圆,上y=b"χ+±i的交点为P22.如图，已知过点 B (1, 0)的直线I i 与直线l 2: y = 2x +4相交于点 P ( - 1, a ), I i 与y 轴交于点 C, I 2与X 轴交于点 A(1) 求a 的值及直线I i 的解析式.(2) 求四边形PAoC 勺面积.(3) 在X 轴上方有一动直线平行于 X 轴，分别与I i ,丨2交于点M N 且点M 在点N 的右 侧，X轴上是否存在点 Q 使厶MN(为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)τ y = 2x +4 过点 P (- 1，a )，.∙. a= 2，•••直线 I 1 过点 B (1，0)和点 P (- 1，2)，设线段BP 所表示的函数表达式 y = kx +b 并解得： 函数的表达式y =- x +1;(2) 过点P 作PEIOA 于点E,作PF ⊥y 轴交y 轴于点F ，Il 5(3) 如图，M( 1 - a ，a )，点 N^~，小，HI a -4l-⅛-∙∙∙ MN= NQ 则3.在平面直角坐标系中，直线 I 仁y =- 2x +6与坐标轴交于 A, B 两点，直线12: y = kx +2(k > 0)与坐标轴交于点 C, D,直线∣1,丨2与相交于点 E(1) 当k = 2时，求两条直线与 X 轴围成的厶BDB 的面积；(2) 点P (a, b )在直线12： y Q kx +2 (k > 0)上，且点 P 在第二象限.当四边形 OBEC23的面积为=时.① 求k 的值；② 若m= a+b ,求m 的取值范围.%C\ .r 3\ X O B \ k X备丿 胭解：(1)τ直线l I : y =- 2x +6与坐标轴交于 A B 两点,.∙.当 Xy= O 时，得 X = 3，当 X = 0 时，y = 6;综上，点Q 的坐标为：(-匸，0)或(- 0）或（ ,0） •③当 MQ NQ 寸，*∙∙∙ A (O, 6) B (3, 0);当k = 2 时，直线12: y= 2x+2 ( k≠ 0),∙ C (0, 2), D(- 1, 0)I' y=-2x÷6' K=I解F 得，,[y=2x+2 ,y=4∙ E (1, 4),•••△ BDE的面积=丄× 4× 4= 8.2(2)①连接OE设E ( n,- 2n+6),T S 四边形OBEe= S A EO+S^EOB∙—x 2× n+二× 3 ×(- 2n+6 )=二,2解得n=—,•E⅛,和14把点E 的人y= kx+2 中，丁 = p^k+2 ,解得k= 4.②T直线y= 4k+2交X轴于D,•D(-「O),τ P (a, b)在第二象限，在线段CD上,1 C∙- —V a v 0 ,•b= 4a+2 ,•m= a+b= 5a+2 ,1 C•- --v mv 2.(2)函数y =--x +b 的图象与X 轴交于点D,点E 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单 位长度匀速运动到点 A (到A 停止运动).设点E 的运动时间为t 秒.①当△ ACE 的面积为12时，求t 的值;②在点E 运动过程中，是否存在 t 的值，使△ ACE 为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)∙.∙点 C(- 2, m 在直线 y =- x +2上,.∙. m =-(- 2) +2= 2+2 = 4, •••点 C( - 2, 4), ∙.∙函数y =二χ+b 的图象过点 C (- 2, 4),--×(- 2) +b ,得 b =即m 的值是4, b 的值是一一;(2)①T 函数y =- x +2的图象与X 轴，y 轴分别交于点 A , B ,•点 A (2, 0),点 B (0 , 2),T 函数y = -χ+丄的图象与X 轴交于点D•点D 的坐标为(-14 , 0),∙∙∙ AD= 16,由题意可得，DE= 2t ,则AE= 16-2t ,y =- x +2的图象与X 轴，y 轴分别交于点 A , B,与函y=-3t+2,得≈--2f 1 14V=— XH - I g 3I l y=4则点C的坐标为（-2, 4）,∙∙∙△ ACE的面积为12,∙QA盘）X 4 12•• : =12,解得，t = 5即当△ ACE的面积为12时，t的值是5;②当t = 4或t = 6时，△ ACE是直角三角形,理由：当∠ ACE= 90° 时，ACLCE •/点A (2, 0),点B( 0 , 2),点C(- 2 , 4),点D(- 14, 0), •OA= OB AC= 4 J ,∙∠BAO 45° , ∙∠CAE= 45° ,∙∠CEA= 45° ,•CA= CE= ,∙AE= 8 , ∙∙∙AE= 16- 2t ,•8 = 16- 2t ,解得，t =4;当∠ CEA 90° 时，T AC= 4 .「, ∠ CAE= 45•AE= 4 ,∙∙∙AE= 16- 2t , • 4 = 16- 2t ,解得，t =6;由上可得，当t = 4或t = 6时，△ ACE是直角三角形.5•如图1已知线段 AB 与点P ,若在线段 AB 上存在点 Q 满足P(≤ AB 则称点P 为线段(1)如图2,在平面直角坐标系 xθy (2)中，若点 A (- 1, 0), B( 1, 0)① 在 C(0, 2) 2, D(- 2, - 2), -√3) 中，是线段AB 的“限距点”的是C, E ; ② 点P 是直线y = x +1上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标XP 的取 值范围.围. 解：(1)①T 点 A (- 1, 0), B (1, 0),∙∙∙ AB= 2,T 点C 到线段AB 的最短距离是 2≤AB∙点C 是线段AB 的“限距点”，T 点D 到线段AB 的最短距离=j ∙f 「八2= ∏>AB∙点D 不是线段AB 的“限距点”(2)在平面直角坐标系XOy 中，点 A( t , 1), B(t , - 1),直线y =半沙2近与X 轴 交于点M 与y 轴交于点N 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范AB 的“限距•••点E到线段AB的最短距离是_ [≤ AB•••点E是线段AB的“限距点”，故答案为：C, E;②•••点A (- 1, 0), B (1, 0)•点P为线段AB的“限距点”的范围是平行于AB且到AB距离为2两条线段」和以点A, 点B为圆心，2为半径的两个半圆围成的封闭式图形，如图所示：如图3,直线y= x+1与该封闭式图形的交点为M N•点M坐标(1, 2)设点N (X, x+1)•( x+1) 2+ (x+1 - 0) 2= 4•X =- 1 - "< /•匚iy ¥AV F MOA V E MN•••点P 横坐标X P 的取值范围为;(2)•••直线y = ^^工卜趴卮与X 轴交于点 M 与y 轴交于点N•点 N (0, 2 品,点 M(— 6, 0)如图3,线段AB 的“限距点”的范围所形成的图形与线段MN 交于点M•••点M 是线段AB 的“限距点”，∙∙∙- 6-t = 2,∙ t = - 8,若线段AB 的“限距点”的范围所形成的图形与线段 MN 相切于点F ,延长BA '交MNF E,∙∙∙ t的取值范围为-8≤ t ≤ -：- 2.6.如图(1),在平面直角坐标系中，直线y =-2 x+4交坐标轴于A、B两点，过点C( - 4,(2)确定直线CD解析式，求出点D坐标；(3)如图2,点M是线段CE上一动点(不与点C E重合)，0N⊥Oh交AB于点N,连接MN①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；②当△ OMr面积最小时，求点M的坐标和厶OM面积.4 、一解：(1)τ直线y ----- x+4交坐标轴于A B两点，d∙当y= 0 时，X= 3,当X = 0 时，y = 4,∙点A的坐标为(3, 0),点B的坐标为(0, 4),∙OA= 3;故答案为：(0, 4), 3;(2 )•••过点C (- 4, 0)作CD交AB于D,交y轴于点已且厶CO B^ BOA∙OC= 4 , OC= OB OE= OA•••点A (3 , 0),∙OA= 3 ,∙OE= 3 ,•点E的坐标为(0, 3),设过点C (- 4 , 0),点E ( 0 , 3)的直线解析式为y = kx+b ,.∙.直线CE 的解析式为y = x +3,4即直线CD 的解析式为y = x +3,4 12■■-，2?(3)①线段OM 与ON 数量关系是Oh =ON 保持不变,证明：•••△ CO B^ BoA∙∙∙ OE= OA ∠ OEI =∠ OAN ∙∙∙∠ Bo =90°, ONLOMl∙∠ MO = ∠ BOA= 90°,∙∠ MO +∠ EO =∠ EON ∠ NOA∙∠ MO = ∠ NOA在厶 MO^ NOA 中,r ZMOE=ZNOA〈OE=OA ,LZOEK=ZOAN •••△ IMO B △ NOA( SAS ,• OM= ON即线段OMl 与ON 数量关系是OM= ON 保持不变;②由①知OM= ON•当OM ,∙∙∙OC= 4 , OE= 3, ∠ COE= 90° , ∙∙∙CE= 5 ,•••当OML CE 时，OM 取得最小值,f-⅛+b=0 lb=3 ,得即点D 的坐标为 12 25 84 25); ∙∙∙ OML ON• △ OM 面积OH-ONOK 2 2 212 v 2 亍 当AOM 取得最小值时，设此时点M 的坐标为（a ,二a +3）,4解得，a =-∙τa+3=故 A (4, 0);当 X = 0 时，y =— 3, 故 B (0,- 3);2 ^ 2 恥5 4×3 2 _ 2 解得，OMk125 7225^,⅛+3)Ξ 12_.S•••△OM 面积取得最小值是: •点M 的坐标为__ ）， 由上可得，当△36 48 OMN 面积最小时，点 M 的坐标是（=ς?,石孑）和厶OMN 面积 25 ' 25积是 72 7.如图，一次函数「V 的图象分别与X 轴、y 轴交于点A B ,以线段AB 为边在第四象限内作等腰直角厶 ABC 且∠ BAC= 90°.(1)试写出点A B 的坐标：A ( 4 , 0 ) , B ( 0 , - 3 );（2）求点C 的坐标;解得：X = 4,故答案为：(4, 0), (0,- 3);(2)过点C作CDL X轴，垂足为点D,∙∙∙∠ BAC= 90°,∙∙∙∠OAB∠ DAC= 90 ° ,又∙∙∙∠DCA∠ DAC= 90°,∙∠ACD=∠ OAB在厶AOBm CDA中r ZBOA=ZATC•Z0A&=ZACDl AB=AC•••△ AOB^△ CDA( AAS,•AD= OB= 3, CD= OA= 4,•OD= 7,• C ( 7,- 4);(3)设直线BC的函数表达式为y = kx+b 把B (0,- 3), C (乙-4)代入上式：解之得：* 7 ,,b=~3•直线BC的函数表达式为y =今鼻-3・&如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A 地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程yι, y2 （千米）与行驶时间X （小时）之间的函数关系图象.圉I ≡2(1)填空：A, B两地相距600千米；货车的速度是40千米/时;(2)求三小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间X之间的函数表达式;(3)试求客车与货两车何时相距40千米？解：(1)由函数图象可得， A B两地相距：480+120 = 600 ( k∏),货车的速度是：120 ÷ 3 = 40 ( km(h)∙故答案为：600; 40 ;(2)y= 40 (X- 3) = 40x - 120 (X> 3);(3)分两种情况：①相遇前：80x+40x = 600 - 4014解之得X = -y…(8分)②相遇后：80x+40x = 600+40解之得X =千综上所述：当行驶时间为学小时或二小时，两车相遇40千米.9.如图1,在平面直角坐标系XOy中，点A (2, 0),点B( - 4, 3).(1)求直线AB的函数表达式；(2)点P是线段AB上的一点，当S∖AO P S^ AOB=2: 3时，求点P的坐标；(3)如图2,在(2)的条；件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°,点B落在点C处,连结CP求厶APC的面积，并直接写出点C的坐标.图1 解：(1)设直线AB 的函数表达式为•/点 A (2，0)，点 B (- 4, 3),.卩沙bo V ⅛+b=3,1 解得：* ■ L b = I•••直线AB 的函数表达式为 y =-—x +1;(2)过B 作BEl X 轴于E ,过P 作PDL X 轴于D,• PD// BE• S ^AO P S ^ AO = 2 :AP 2 AB 3,•点 B (- 4, 3),• BE= 3,• PD// BE• △ APDo ^ ABEPD PD 2 BE3 3,• PD= 2,当 y = 2 时，X =- 2,• P (- 2, 2);A Xy = . kx +b ,(3)点A (2, 0)、点B (- 4, 3),点P (- 2, 2),则AP= 2 U AB= CA= 3 匚，过点P作HPL AC交AC的延长线于点H,△ APC的面积=二：ACX PH=--× 3. □× . 口 =二•;2 二2设点C (X, y),则PC= P H+H C= 15+( i. ,+3 ：■) 2= 95 =( x+2) 2+ (y - 2) 2…①，CA= 45 =( X - 2) 2+y2…②，联立①②并解得：X y=∙..,故点1). 〜10.如图，平面直角坐标系中，直线AB y = kx+3 ( k≠ 0)交X轴于点A (4, 0),交y轴正半轴于点B,过点C( 0, 2)作y轴的垂线CD交AB于点E,点P从E出发，沿着射线ED 向右运动，设PE= n.(1)求直线AB的表达式；(2)当厶ABP为等腰三角形时，求n的值；(3)若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt △ BPM试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由.解：将点A 的坐标代入直线 AB y = kx +3并解得：k =-丁, 故AB 的表达式为：y =-工x +3;4而点A B 坐标分别为：(4, 0)、(0, 3),当AP= AB 时，同理可得： n = _ +「(不合题意值已舍去)；当AB= BP 时，同理可得： n =-—+2「；⅞-)(3)在直线上，理由:如图，过点M 作MDL CD 于点H,∙∙∙∠ CPB=∠ MPH BP= PM ∠ MH =∠ PCB= 90°∙∙∙ MH △^^ PCB( AAS ,故点M 在直线y = x +1上.11.小聪和小慧去某风景区游览，两人在景点古刹处碰面，相约一起去游览景点飞瀑， 骑自行车先行出发，小慧乘电动车出发，途径草甸游玩后，再乘电动’车去飞瀑,人同时到达飞瀑.图中线段 OA 和折线B- C- D- A 表示小聪、小慧离古刹的路程(2)当 y = 2 时，X = ，故点E (■ ,2),则点 P (n +二,2),≡ A P =(壬+n - 4) 2+4 ； BP =( n2+1, AB = 25, 当 AP = BP 时，(2+ n - 4) +4=( n +")2+1,解得：n =-二6BC=1 = PH7故点M( n +—,n+∙10小聪 结果两y (米)O,∠ BPG ∠ MP = 90°,则 CP= MHb n与小聪的骑行时间X (分)的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题:(1) 小聪的速度是多少米/分？从古刹到飞瀑的路程是多少米？ (2) 当小慧第一次与小聪相遇时，小慧离草甸还有多少米？ (3) 在电动车行驶速度不变的条件下，求小慧在草甸游玩的时间.U≡0.αrι解: (1) Y 小职-禺厂丄创(米/分).古刹到飞瀑的路程=180 × 50= 9000 (米).答：小聪的速度是180米/分，从古刹到飞瀑的路程是 9000米;10k+b=0.∙. Y = 450x - 4500当 X = 20, Y = 45004500 - 3000= 1500 米 答：小慧与小聪第一次相遇时，离草甸还有1500米.(3) 9000- 4500= 4500 (米) 4500 ÷ 450 = 10 (分钟). 50- 10- 10 - 10= 20 (分钟) 答：20分钟.12.对于平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A (- 2, 0)和点B(3, 0),线段AB 和线段AB 外的一点P,给出如下定义：若 45°≤∠ APB≡ 90 °时，则称点 P 为线段AB 的可视点， 且当PA= PB 时，称点P 为线段AB 的正可视点. (1)①如图1 ,在点P 1(3, 6), P 2 (- 2, - 5) ,P 3 (2,2)(2)设 Y = kx +b , 解得⅛=450 Ib='450C则k-⅛-3000中，线段AB的可视点是P2,2-4Γ备用團解：(1)①如图1,以AB 为直径作圆 G 贝U 点P 在圆上，则∠ APB= 90°,若点P 在圆内, 则∠ APB>90°，5 — 4 —*-C/ Fr■ - **■■■ *-I70 G 1b_ Ib r ・.■-3-D—■以C (勺"，女)为圆心，AC 为半径作圆，在点 P 优弧如B 上时，∠ APB= 45° ,点P 在优 弧」内，圆G 外时，45°v∠ AP 欢90°;,-—)为圆心，AD 为半径作圆，在点 P 优弧TE 上时，∠ APB= 45°,点P 在优弧」■内，圆G 外时，45°v∠ APB≤ 90°;②若点P 在y 轴正半轴上，写出一个满足条件的点 P 的坐标： P( 0,3)(答案不唯一)(2)在直线y = x +b 上存在线段 AB 的可视点，求 b 的取值范围;(3)在直线y =- x +m 上存在线段 AB 的正可视点,直接写出 m 的取值范围.Ai ■ i 占 id 斗亠3亠2 -1 O3-2-10-1-4Γ•••点P ( 3, 6), P2 (- 2,- 5), P (2, 2)∙∙∙ P I C=^4〉M= AC 则点P i在圆C外，则∠ ARB< 45°,■: ■■:P2D= ' = AC 则点P2在圆D上，则∠ APB= 45 ° ,2RG=層=BG 点P a在圆G上,则∠ APB= 90°,∙线段AB的可视点是P2, P a,故答案为：B, P a；②由图1可得，点P的坐标：P(0, 3)(答案不唯一，纵坐标y范围：∣l≤ y p≤ 6).(2)如图2,设直线y=x+b与圆C相切于点H交X轴于点N连接BH∙∙∙∠ HN=∠ HBN= 45° ,∙NH= BH ∠ NH= 90°,且NH是切线,∙BH是直径，∙BH= 5,∙BN= 10 ,∙ON= 7 ,∙点N ( - 7 , 0)∙0 =- 7+b , ∙b= 7 ,当直线y = x+b与圆D相切同理可求：b =- 88≤ b ≤ 7(3)如图3,作AB 的中垂线，交Θ C 于点Q 交Θ D 于点 W--⅛,, Xg.亠 ・■■T 直线y =- x +m 上存在线段 AB 的正可视点，.线段CC 和线段DWt 的点为线段 AB 的正可视点.别代入解析式可得:匕的函数关系如图所示:(2) 求甲、乙两车相遇后y 与X 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 X 的取值范围.T 点 CL-,=-），点 D （-^-5√2 2.m = 3, m = .m 的取值范围:^√+3,m =-2，m =-—.「- X.二冷._ 或］13.已知 A 、B 两地之间有一条 270千米的公路, 甲、乙两车同时出发，甲车以每小时 60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往B 地, 乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地, 两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程y (千米)与甲车的行驶时间X （时） 之间(1)乙年的速度为75 千米/时，a = 3.6 ,b =4.5 ;⅛41）,点Q)，点÷ 2= 75千米/时，故答案为：75; 3.6 ; 4.5 ;(2) 60× 3.6 = 216 (千米)，故A (2, O), B( 3.6 , 216) , C (4.5 , 270) 当2 V x≤ 3.6时，设y = k1x+b1,根据题意得:2k1+b 1=06k1+b1^21⅛解得∙∙∙ y = 135x - 270 (2 V x≤ 3.6 );当 3.6 V X≤ 4.5 时，设y= k2x+b2,贝U3.6k2+b Ξ=2164,解得∙当3.6 V X≤ 4.5 时，y = 60x,r135χ-270(2<x<3.6)y(60讥£代κj≤4∙5)14.已知：在平面直角坐标系中，直线x+4与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C是X轴正半轴上一点，AB= AC 连接BC(1)如图1 ,求直线BC解析式；(2)如图2,点P Q分别是线段AB BC上的点，且AF=J BQ连接PQ若点Q的横坐标为t , △ BPC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3) 如图3,在(2)的条件下，点 E 是线段OA 上一点，连接 BE 将厶ABE 沿BE 翻折, 使翻折后的点 A 落在y 轴上的点H 处，点F 在y 轴上点H 上方EH= FH 连接EF 并延长交BC 于点G 若B 'AR 连接PE 连接P G 交BE 于点「求BT 长.≡1鈕解：(1)由已知可得 A (- 3 , 0), B(0, 4),∙∙∙ OA= 3, OB= 4,∙∙∙ A B=常丁吐；CF 丛=•二 I = 5,∙∙∙ AB= AC∙ AC= 5,∙C ( 2, 0), 设BC 的直线解析式为 y = kx +b , 将点B 与点C 代入，得(O-Ξk+b U=b , r ⅛=-2∙ BC 的直线解析式为 y =- 2x +4;(2)过点Q 作MQ y 轴，与y 轴交于点 M 过点Q 作QEL AB 过点C 作CF ⊥ABS34图2τ Q 点横坐标是t ,∙°∙ MQ= t ,T Ma OC…典厶/5∙ BQ= ∏t ,∙.∙ AP = BQ∙ AP= F ,T AA 5,∙ PB- 5 -凤.∣t ,在等腰三角形 ABC 中, AC= AB= 5, BC= 2 一二,1 11V--ABX CF=T-ACX OB∙ CF = OB^ 4, T EQ/ CFES -√5t•— L ∙ EQ= 2t ,∙ S =丄 L-×( 5- Γt )=-.匸—t (0≤ t ≤ 2); (3)如图3，8CH≡3EH)23 占 八3 4)BG=54E 、0O E =丄OiAE =( 4 - AE ) 2+12•••将厶ABE 沿BE 翻折，使翻折后的点 A 落在y 轴上的点H 处,∙∙∙ AH= AB= 5,∙∙∙ OH= BH- ∙∙∙ EH =O+H,∙点 E (- -二，∙点 F (0,4 3∙∙∙ EH= FH= ⅛ ∙直线EF 解析式为y=—x+—, 直线BE 的解析式为: y = 3x +4,∙ X ∙- 2x +4= ―X• X =- 1,•点 T （- 1, 1）• B T =:厂 Iuj . T J = '115.如图，在平面直角坐标系中，点A (4, 0)、点B (0, 4),过原点的直线l 交直线AB 于点P * X\P 丿(1 )∠ BAQ 的度数为 45 °，△ AoB 的面积为 8(2) 当直线l 的解析式为y = 3X 时，求△ AOP 勺面积；1(3) 当时，求直线I 的解析式. Li AEOF J解：(1)τ点 A (4, 0)、点 B (0, 4),• OA= OB∙∙∙∠ AO = 90°,• △ AOB 是等腰直角三角形，∙∙∙ BG=主丄AP ∙∙∙ AP= 1, •••点 P （- 12 4 T ，百 •直线PG 的解析式为:•/ BAO= 45°,A AOB的面积=f-× 4 × 4= 8;故答案为：45, 8;(2)设直线AB 的解析式为：y = kx +b ,•••直线AB 的解析式为：y =- x +4, •••直线l 的解析式为y =3x ,解苗得Dl• P (1, 3),• △ AoP 勺面积=⅛× 4× 3= 6;(3)如图，过 P 作 PC ⊥OA 于 C, 贝y PC// OB S AAOP^ABOFAP- LPB = 3PAL •屈=1?∙∙∙ PC// OBPC AC PA OB OA AB'• PC= 1, AC= 1, ∙ OC= 3, • P (3,1), .∙.∙=直线I 的解析式为y =二χ∙把点A (4, 0)、点B(0, 4)代入得 '4fc+b=0 L b =4 解得: t b=4。
以一次函数为背景的中考压轴题
以一次函数为背景的中考压轴题刘久红一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。
现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考。
一、一次函数图象上的动点【例1】如图，已知直线的函数表达式为，且轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1上单位长度的速度向点O移动，设点Q、P移动的时间为秒。
（1）求出点A、B的坐标；（2）当为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）求出（2）中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的关系式。
分析要求点A、点B的坐标时，分别令即可。
由于△APQ与△AOB相似的对应关系未确定，因此要分类讨论。
对于第（3）小问可根据（2）中的讨论分别求出直线PQ的函数表达式。
解（1）由，令，得；令，得。
∴A、B的坐标分别是（6，0），（0，8）。
（2）由BO=8，AO=6，得AB=10。
当移动的时间为时，AP=，AQ=。
∵∠QAP=∠BAO，∴当时，△APQ∽△AOB，∴，则（秒）。
∵∠QAP=∠BAO，∴当是，△AQP∽△AOB，∴，则，（秒）。
经检验，它们都符合题意。
∴秒或秒，此时△AQP与△AOB相似。
（3）当秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，∴OP=，则P（，0）。
∴线段PQ所在直线的关系式为。
当时，PA=，BQ=，OP=，∴P（，0）设Q点的坐标为（x，y），则有，∴，∴。
当时，，∴Q的坐标为（，）设PQ的表达式为，则∴∴PQ的表达式为。
综上所述：线段PQ所在直线的关系式为或。
◆评注这是一道以一次函数为背景的动态几何问题，这类压轴题向来是中考的热点问题，第2小题要求学生动中求静，将动态问题转化为静态的几何问题，再运用相似的有关知识解决问题，同时要注意分类讨论。
二、一次函数图象上的动线【例2】如图，在平面直角坐标系中，两个函数，的图象交于点A。
动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。
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【中考压轴题专题突破41】一次函数综合问题（1）1．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，设点Q横坐标为m，求点P的坐标（用含m的式子表示，不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．3．如图1，在平面直角坐标系中，OB＝10，F是y轴正半轴上一点．（1）若OF＝2，求直线BF的解析式；（2）设OF＝t，△OBF的面积为s，求s与t的函数关系（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BA⊥x轴，点C在x轴上，OF＝OC，连接AC，CD⊥直线BF于点D，∠ACB＝2∠CBD，AC＝13，OF＝OC，AC．BD交于点E，求此时t的值．4．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5．对于两个一次函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2（其中k1、k2、b1，b2均为常数且k1、k2均不为0），任取一个自变量x，当x＜0时，y＝y12+y2；当x≥0时，y＝y12﹣y2，我们称这样的函数为函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的“组合函数”．例如：y1＝x﹣1和y2＝x+1的“组合函数“为y＝（1）已知一次函数y1＝x﹣1和y2＝4x﹣1．①求一次函数y1＝x﹣1和y2＝4x﹣1的“组合函数”所对应的函数表达式．②一次函数y1＝x﹣1和y2＝4x﹣1的“组合函数”的函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是．③当﹣4≤x≤4时，该“组合函数”的函数值y的取值范围是．（2）记一次函数y1＝x﹣n（n＞0）和y2＝4nx+n2（其中n为常数）的“组合函数”的图象为G．①当n＝1时，若直线y＝a（a为常数）与图象G有三个不同的交点时，记三个交点的横坐标分别为x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），求x1+x2+x3的取值范围．②在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第二象限．图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．6．如图，点O是平面直角坐标系的原点，直线y＝kx+3交x轴于点A，交y轴于点B，OA ＝OB．（1）求k的值；（2）点P为第一象限内线段AB上方一点，点P的坐标为（t，），连接P A，PB，设△P AB的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在PB上方取一点C，连接BC，PC，使∠BCP＝90°，且BC ＝PC．点D在线段AP上，且横坐标为，连接OC，CD，当∠OCD＝45°时，求点P 的坐标．【中考压轴题专题突破41】一次函数综合问题（1）参考答案与试题解析1．解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．2．解：（1）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，6），点A（﹣3，0）∴AO＝3，BO＝6，∴AO＝CO＝3，∴点C（3，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，则，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6；（2）如图1，过点P作PG⊥AC于点G，过点Q作HQ⊥AC于点H，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+6），∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CHQ，∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，∴△PGA≌△QHC（AAS），∴PG＝HQ＝2m﹣6，故点P的纵坐标为：2m﹣6，直线AB的表达式为：y＝2x+6，即2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，故点P（m﹣6，2m﹣6）；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠P AM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠P AM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠P AO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠P AO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝3，∴2m﹣6＝3，∴m＝，∴Q（，﹣3），P（﹣，3）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴，解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+．3．解：（1）∵OB＝10，OF＝2，∴B（﹣10，0），F（0，2），设直线BF的解析式为y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点B（﹣10，0），F（0，2），∴，解得：，∴直线BF的解析式为y＝x+2；（2）△OBF的面积为S＝＝5t（t＞0）；（3）如图，延长AB至点R，使BR＝AB，连接CR，延长CD交y轴于点T，过点T，作TM∥x轴交BA的延长线于点M，过点T作TK⊥CR交RC的延长线于点K，连接RT，∵AB⊥BC，AB＝BR，∴BC垂直平分AR，∴AC＝CR＝13，∴∠ACB＝∠RCB，设∠CBD＝α，则∠ACB＝2α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵∠ACB＝∠RCB＝2α，∴∠ACK＝180°﹣4α，∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α，∴∠KCT＝∠BCD，∵TK⊥KR，OT⊥OC，∴OT＝TK，∵TC＝TC，∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL），∴OC＝CK＝TK＝t，∵OF＝OC，∠BOF＝∠TOC，∠FBO＝∠OTC，∴△BOF≌△TOC（AAS），∴OB＝OT＝10，∴TK＝10，∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°．∴MB∥OT，∵MT∥OB，∴四边形OBMT为平行四边形，∵OB＝OT，∠BOT＝90°．∴四边形OBMT为正方形，∴MB＝MT＝OT＝10，∴MT＝TK，∵RT＝RT，∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL），∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t，∴BR＝RM﹣MB＝3+t，∵BC＝OB+OC＝10+t，在Rt△BRC中，BR2+BC2＝RC2，∴（3+t）2+（10+t）2＝132，解得：t＝2（t＝﹣15舍去）．∴t的值为2．4．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．5．解：（1）①当x≥0时，y＝y12﹣y2，＝（x﹣1）2﹣（4x﹣1）＝x2﹣6x+2，当x＜0时，y＝y12+y2＝，＝（x﹣1）2+（4x﹣1）＝x2+2x，∴y＝②∵当x≥0时，函数解析式为：y＝x2﹣6x+2，∴当0≤x≤3时，y随x的增大而减小．当x＜0时，函数解析式为：y＝x2+2x，∴x≤﹣1时，y随x的增大而减小．故答案为：x≤﹣1或0≤x≤3；③∵当﹣4≤x＜0时，函数解析式为：y＝x2+2x，∴﹣1≤y≤8，当0≤x≤4时，函数解析式为：y＝x2﹣6x+2，∴﹣7≤y≤2，∴当﹣4≤x≤4时，﹣7≤y≤8；故答案为：﹣7≤y≤8；（2）①当n＝1时，y1＝x﹣1，y2＝4x+1，∴组合函数为：y＝∵直线y＝a（a为常数）与图象G有三个不同的交点，∴1＜a＜2，∴当x2﹣6x＝1时，x＝3+，x＝3﹣（舍去），当x2﹣6x＝2时，x＝3+，x＝3﹣（舍去），∵x1+x2＝﹣2，∴1+＜x1+x2+x3＜1+；②∵一次函数y1＝x﹣n（n＞0）和y2＝4nx+n2，∴组合函数y＝若y＝x2﹣6nx（x＞0）的顶点在正方形ABCD内时，∴﹣9n2＞﹣2，0＜3n＜2，∴n2＜，且0＜n＜，∴0＜n＜，此时y＝x2+2nx+2n2与正方形ABCD的边也有1个交点，∴0＜n＜符合题意；若y＝x2﹣6nx（x＞0）的顶点不在正方形ABCD内部时，且与正方形ABCD的边有一个交点，∴22﹣6×n×2＜﹣2，∴n＞即y＝x2+2nx+2n2与正方形ABCD的边有一个交点，∴2n2≤2∴n≤1，∴＜n≤1；若y＝x2+2nx+2n2的顶点在正方形ABCD的AB边上时，图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点，∴n2＝2，∴n＝，综上所述：当0＜n＜或＜n≤1或n＝时，图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点．6．解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B，∴点B坐标（0，3），∴OB＝3，∵OA＝OB＝3，∴点A（3，0），∴0＝3k+3，∴k＝﹣1；（2）如图1，过点P作PQ⊥OA，交AB于点Q，由（1）知，AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵点P的坐标为（t，），∴Q点的坐标为（t，﹣t+3），∴PQ＝t+，∵，∴；（3）如图2，过点P作PM⊥OA于M，过点D作DN⊥OA于N，过点O作OH⊥OC，交CD的延长线于点H，连接AH，∵∠OCD＝45°，∴∠OCH＝∠OHC＝45°，∴OC＝OH，∵∠AOB＝∠COH＝90°，∴∠BOC＝∠AOH，在△OBC和△OAH中，，∴△OBC≌△OAH（SAS），∴BC＝AH，∠OCB＝∠OHA，∵BC＝CP，∴AH＝PC，∵∠BCP＝90°，∠OCD＝45°，∴∠PCD＝45°﹣∠OCB，∵∠AHD＝45°﹣∠OHA，∴∠PCD＝∠AHD，在△PCD和△AHD中，，∴△PCD≌△AHD（AAS），∴PD＝P A，∵PM∥DN，∴MN＝AN，∵D的横坐标为，点P的坐标为（t，），∴M（t，0），N（，0），∴﹣t＝3﹣，∴t＝，∴P（，）．。