多元线性回归讲解学习
多元线性回归讲解学习
简要回答题：1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？答案：在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。
F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。
检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。
知识点：多元线性回归难易度：12. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著？为什么？当出现这种情况时应如何处理？答案：（1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。
因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。
（2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。
变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。
知识点：多元线性回归难易度：2计算分析题：1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。
管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。
为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。
经回归得到下面的有关结果（a=0.05）。
回归统计Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差0.9147 0.8366 0.7899 60.7063方差分析df SS MS F Significance F回归 2 132093.199 66046.600 17.922 0.002残差7 25796.801 3685.257总计9 157890.000参数估计和检验Coefficients 标准误差t Stat P-valueIntercept -115.288 110.568 -1.043 0.332X Variable 1 0.578 0.503 1.149 0.288X Variable 2 3.935 0.699 5.628 0.001（1）指出上述回归中的因变量和自变量。
多元线性回归分析正式优秀课件
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
66.010367.360-583.952331.368677.6962
67.3601872.364-89.492296.728869.8025
lij -53.952-39.4923950.31-5076.38-61342.434
多元线性回归分析 正式
讲课内容
第一节 多元线性回归(重点) 第二节 自变量选择方法(重点) 第三节 多元线性回归的应用及注
意事项
第一节 多元线性回归
一、多元线性回归模型
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
SS残 SS总 SS回
F
SS 残
SS回 /（ n
/m m
1）
MS MS
回 残
表 15-3 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
FP
总变异 n－1 SS 总
回归
m
SS 回
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
第三章(1) 多元线性回归模型课件
分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式多元线性回归公式是一种常用的统计学方法，用于探究多个自变量与一个连续因变量之间的关系。
在进行多元线性回归分析时，我们需要理解和掌握以下几个关键公式。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量（被预测变量），X1、X2、...、Xn代表自变量（预测变量），β0、β1、β2、...、βn代表模型的参数，ε代表误差项。
二、回归系数估计公式在多元线性回归分析中，我们需要通过样本数据来估计回归模型的参数。
常用的回归系数估计公式是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
对于模型中的每个参数βi，其估计值可以通过以下公式计算：βi = (Σ(xi - x i)(yi - ȳ)) / Σ(xi - x i)²其中，xi代表自变量的观测值，x i代表自变量的样本均值，yi代表因变量的观测值，ȳ代表因变量的样本均值。
三、相关系数公式在多元线性回归中，我们通常会计算各个自变量与因变量之间的相关性，可以通过采用皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）来衡量。
相关系数的公式如下：r(Xi, Y) = Σ((xi - x i)(yi - ȳ)) / sqrt(Σ(xi - x i)² * Σ(yi - ȳ)²)其中，r(Xi, Y)代表第i个自变量与因变量之间的相关系数。
四、R平方（R-squared）公式R平方是判断多元线性回归模型拟合程度的重要指标，表示因变量的方差能够被自变量解释的比例。
R平方的计算公式如下：R² = SSR / SST其中，SSR为回归平方和（Sum of Squares Regression），表示自变量对因变量的解释能力。
SST为总平方和（Sum of Squares Total），表示因变量的总变化。
多元线性回归分析PPT教案学习
l1( m 1)
l2(m1)
lm(m1) l(m1)(m1)
l11 ( x1 x1)2
l1m ( x1 x1)(xm xm )
对角线上的为离均差平方和，其他为离均差积和
(2)建立正规方程并求解
l11b1 l12b2
l21b1
l22b2
lm1b1 lm2b2
方差分析：H0：i 0;H1:i不全为0
ss回（Xi）_ ss回（除Xi）Leabharlann F= X 回归平方和 t i
2
SS剩
n m 1
T检验：t= bi S(bi )
第87页/共11页
四、标准回归系数
1、问题提出：研究自变量作用大小，偏回归系数
受到变量单位影响，不能作为反应自变量作用
大小的指标，因此需要对回归系数标准化，求
xm111221222122sasiml估计值转秩矩阵逆矩阵运用中的模块求解是无偏估计问题提出建立的方程是否有意义评价x能对y变量解释多少预测意义每个自变量是否对y都有作用ssnm1ssssms由于与与自变量数量有关就有了调整检验与前检验等价3检验检验哪个自变量对有影响方差分析
多元线性回归分析
会计学
… 参数估计 对b0 b1 b2 bm 做估计
1、原理：最小二乘法原理，(y yˆ)2达到最小
2、步骤： 对于一资料可列出如下表格形式
… No X1 X2 Xm Y
1 2
︰
n
第43页/共11页
l11
l21
（1）求离距差
lm1 l(m1)1
l12 l22
lm 2 l( m 1) 2
l1m l2 m
H1 : 不全等于0
《多元线性回归》课件
案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
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简要回答题：1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？答案：在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。
F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。
检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。
知识点：多元线性回归难易度：12. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著？为什么？当出现这种情况时应如何处理？答案：（1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。
因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。
（2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。
变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。
知识点：多元线性回归难易度：2计算分析题：1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。
管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。
为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。
经回归得到下面的有关结果（a=0.05）。
回归统计Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差0.9147 0.8366 0.7899 60.7063方差分析df SS MS F Significance F回归 2 132093.199 66046.600 17.922 0.002残差7 25796.801 3685.257总计9 157890.000参数估计和检验Coefficients 标准误差t Stat P-valueIntercept -115.288 110.568 -1.043 0.332X Variable 1 0.578 0.503 1.149 0.288X Variable 2 3.935 0.699 5.628 0.001（1）指出上述回归中的因变量和自变量。
（2）写出多元线性回归方程。
（3）分析回归方程的拟合优度。
（4）对回归模型的线性关系进行显著性检验。
答案：（1）自变量是营业面积和销售人员数，因变量是营业额。
（2）多元线性回归方程为：。
（3）判定系数，表明在营业额的总变差中，有83.66%可由营业额与营业面积和服务人员数之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度较高。
估计标准误差，表示用营业面积和服务人员数来预测营业额时，平均的预测误差为60.7036万元。
（4）从方差分析表可以看出，，营业额与营业面积和服务人员数之间的线性模型是显著的。
知识点：多元线性回归难易度：22. 机抽取的15家超市，对它们销售的同类产品集到销售价格、购进价格和销售费用的有关数据（单位：元）。
设销售价格为y、购进价格为、销售费用为，经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：方差分析df SS MS F Significance F回归 2 61514.17 30757.09 12.88 0.0010残差12 28646.76 2387.23总计14 90160.93参数估计和检验Coefficients 标准误差 t Stat P-valueIntercept 637.07 112.63 5.66 0.0001X Variable 1 0.18 0.08 2.33 0.0380X Variable 2 1.59 0.34 4.71 0.0005（1）写出多元线性回归方程，并解释各回归系数的实际意义。
（2）计算判定系数，并解释其实际意义。
（3）计算估计标准误差，并解释其意义。
（4）根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否都有用？请说明理由。
答案：（1）多元线性回归方程为：。
偏回归系数表示：在销售费用不变的条件下，购进价格每增加1元，销售价格平均增加0.18元；偏回归系数表示：在购进价格不变的条件下，销售费用每增加1元，销售价格平均增加1.59元。
（2）判定系数，表明在销售价格总变差中，有68.23%可由销售价格与购进价格和销售费用之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。
（3）估计标准误差，表示用购进价格和销售费用来预测销售价格时，平均的预测误差为48.86元。
（4）都有用。
因为两个回归系数检验的值均小于0.05，都是显著的。
知识点：多元线性回归难易度：33. 经济和管理专业的学生在学习统计学课程之前，通常已经学过概率统计课程。
经验表明，统计学考试成绩的高低与概率统计的考试成绩密切相关，而且与期末复习时间的多少也有很强的关系。
根据随机抽取的15名学生的一个样本，得到统计学考试分数、概率统计的考试分数和期末统计学的复习时间（单位：小时）数据，经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：方差分析df SS MS F Significance F回归 2 A B D 0.01残差12 418.46 C总计14 900.86参数估计和检验Coefficients 标准误差t Stat P-valueIntercept -15.533 33.695 -0.461 0.653X Variable 1 0.703 0.203 3.465 0.005X Variable 2 1.710 0.676 2.527 0.027（1）计算出方差分析表中A、B、C、D单元格的数值。
（2）计算判定系数，并解释其实际意义。
（3）计算估计标准误差，并解释其意义。
答案：（1）A=900.86-418.46=482.40；B=482.40÷2=241.20；C=418.46÷12=34.87；D=241.20÷34.87=6.92。
（2）判定系数，表明在统计学考试成绩的总变差中，有53.55%可由统计学考试成绩与概率统计成绩和期末复习时间之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。
（3）估计标准误差，表示概率统计成绩和期末复习时间来预测统计学成绩时，平均的预测误差为5.905分。
知识点：多元线性回归难易度：34. 国家统计局定期公布各类价格指数。
为了预测居民消费价格指数，收集到2002年～2006年间的几种主要价格指数，包括商品零售价格指数、工业品出厂价格指数，原材料、燃料、动力购进价格指数，固定资产投资价格指数等，这些指数都是以上年为100而计算百分比数字。
以居民消费价格指数为因变量，自变量分别为商品零售价格指数（），工业品出厂价格指数（），原材料、燃料、动力购进价格指数（），固定资产投资价格指数（）。
经回归得到下面的有关结果（a=0.05）：Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差0.9980 0.9961 0.9945 0.5636df SS MS F Significance F回归 4 804.25 201.06 632.99 5.64E-12残差10 3.18 0.32总计14 807.43Coefficients 标准误差t Stat P-valueIntercept -2.972 3.154 -0.942 0.36831X Variable 1 1.046 0.101 10.361 1.1E-06X Variable 2 0.074 0.219 0.337 0.74297X Variable 3 -0.074 0.142 -0.523 0.61245X Variable 4 -0.001 0.054 -0.018 0.9858对所建立的回归模型进行分析和讨论。
答案：（1）判定系数，调整后的判定系数，回归方程的拟合优度非常高。
估计标准误差，其他4个价格指数来预测居民消费价格指数时，预测的误差较小。
（2）从方差分析表可以看出，，表明居民消费价格指数与其他4个价格指数之间的线性关系显著。
（3）但从各回归系数检验的P值看，4个价格指数中，只有商品零售价格指数是显著的，而其余3个均不显著。
但这并不意味着这3个价格指数与居民消费价格指数之间的线性关系就不显著，产生这种情况的原因，可能是由于模型中存在多重共线性造成的。
因此，可考虑使用逐步回归方法进行回归分析。
知识点：多元线性回归难易度：35. 下面是因变量y与两个自变量和进行逐步回归得到的有关结果。
（1）在上述结果中，两个自变量对预测y都有用吗（a=0.05）？（2）写出含有两个自变量的二元线性回归方程，它的判定系数是多少？估计标准误差是多少？回归模型的线性关系是否显著？答案：（1）都有用。
因为从两个回归系数检验的P值看，均小于显著性水平0.05。
（2）二元线性回归方程为：。
判定系数，标准误差。
从方差分析表可以看出，，该二元线性回归模型的线性关系是显著的。
知识点：多元线性回归难易度：26. 一家产品销售公司在30个地区设有销售分公司。
为研究产品销售量(y)与该公司的销售价格（）、各地区的年人均收入()、广告费用()之间的关系，搜集到30个地区的有关数据。
利用Excel得到下面的回归结果（a=0.05）：方差分析表变差来源 df SS MS F Significance F回归4008924.7 8.88341E-13残差——总计29 13458586.7 ———参数估计表Coefficients 标准误差t Stat P-valueIntercept 7589.1025 2445.0213 3.1039 0.00457X Variable 1 -117.8861 31.8974 -3.6958 0.00103X Variable 2 80.6107 14.7676 5.4586 0.00001X Variable 3 0.5012 0.1259 3.9814 0.00049(1) 将方差分析表中的所缺数值补齐。
(2) 写出销售量与销售价格、年人均收入、广告费用的多元线性回归方程，并解释各回归系数的意义。
(3) 检验回归方程的线性关系是否显著？(4) 计算判定系数，并解释它的实际意义。
(5) 计算估计标准误差，并解释它的实际意义。
答案：（1）方差分析表如下：变差来源df SS MS F Significance F回归 3 12026774.1 4008924.7 72.80 8.88341E-13残差26 1431812.6 55069.7 ——总计29 13458586.7 ———（2）多元线性回归方程为：。