最新九年级数学培优教程整理篇(全)
1_《勤学早》九数大培优全一册(学用)117-202
如图,过双 曲 线 上 任 意 一 点 P 作x 轴,y 轴 的 垂 线 段PM ,PN,则 所 得 的 矩 形 PMON 的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,即 在 反 比 例 函 数y=
k x
(k≠0)的 图
象上
任
取
一
点
向
两
坐
标
轴
作
垂
线
段
,则
两
垂
线
段
与
两
坐
标
轴
所
围
成 的 矩 形 的 面 积 等 于|k|,且 这 个 面 积 的 值 与 取 点 的 位 置 无 关 .
(2)若 A,B 两点在一次函数y=-4 3x+b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过 A,B 两点作x 轴
的垂线,垂足分别为点 C,D,连接 OA,OB,且S△OAB =8,求a 的值;
(3)在(2)的条件下,如果3m=-4x+24,3n=3x2,求使得 m>n 的x 的取值范围.
解:(1)∵A,B 是反比例函数y=xk (k>0)图象上的两点,∴a≠0,当a>0 时,点 A,B 在 第 一 象
【板块一】 反比例函数的定义和解析式
方法技巧
根据定义解题 1.定义:一般地,形如y=xk (k 为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.自变 量x 的取值范围是不等于0的一切实数; 2.解析式:y=xk (k≠0)或xy=k(k≠0)或y=kx-1(k≠0).
▶题型一 根据定义判断反比例函数
特别地,S△PMO =S△PNO =1 2|k|.
【例5】 如图,平行于x 轴的直线AB 与 双 曲 线y=kx1 和y=kx2 (k1>k2)在 第一象限内交于 A,B 两点,若S△OAB =2,求k1-k2的值.
九年级-数学培优教学教案整理篇(全~)
01．若 m 40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3
C．3＜m＜4
） D．4＜m＜5
02．（绵阳）已知 12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ）
A．12
B．11
C．8
D．3
03．（黄石）下列根式中，不．是．最简二次根式的是（ ）
A. 7
＝2003 的正整数对（x,y）的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.
解：可化为 xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，
A．x＞3
B．x≥3
C．x＞4 D．x≥3 且 x≠4
5.（怀化） a 2 b 3 (c 4)2 0 ，则 a－b－c＝________.
【例３】下列二次根式中，与 24 是同类二次根式的是（ ）
A． 18
B． 30
C． 48
D． 54
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一
D．1
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a、b 的关系，再代入求值.
解:∵ (x x2 2008)( y y2 2008) 2008，
|
∴ (x x2 2008)
2008
y y2 2008 ，
y y2 2008
( y y2 2008)
2008
x x2 2008 ，由以上两式可得 x＝y.
2 1
3 2
4 3
中找出规律，并利用这一规律计算：
初三数学培优教材(培训学校专用)
2016年初二升初三暑期培优教材（数学）第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
人教版九年级上册数学 一元二次方程(培优篇)(Word版 含解析)
用含 n 的算式表示出 PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克 达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从去年年底至今年 3 月 20 日，猪肉价格不断走高，3 月 20 日比去年年底价格上涨了
60%．某市民在今年 3 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 200 元钱，那么去年年底猪肉的
=4，从而得到 x=2 时，周长的最小值为 8；
（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油 量最小的形式速度． 【详解】
(1)∵x+ ≥2 ＝4，
∴当 x＝ 时，2(x+ )有最小值 8．
即 x＝2 时，周长的最小值为 8；
故答案是：2；8；
问题 2：
，
当且仅当
，即 x＝ 时，函数 y＝x+ 的最小值为 2 ．
阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题 1：
已知一个矩形的面积为 4，其中一边长为 x，则另一边长为 ，周长为 2(x+ )，求当 x＝
时，周长的最小值为
；
问题 2：
汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时 70～110 公里之间行驶时(含
，
即 x＝90 时，“＝”成立，
所以，当 x＝90 时，函数取得最小值 9，
此时，百公里耗油量为
，
所以，该汽车的经济时速为每小时 90 公里，经济时速的百公里耗油量为 10L． 【点睛】 本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料， 易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．
北师大版本数学九年级上册培优精品(全套)
北师大版本初三数学培优教案（精品资源）目录第一讲：相似三角形的判定及模型 (1)模块一：相似三角形的判定与性质 (1)模块二：Ａ字型与8字型 (4)模块三：射影定理 (7)第二讲：相似三角形的计算及证明 (9)模块一：共线三等角 (9)模块二：相似中的比例证明 (13)第三讲：动态几何专题一 (17)模块一：相似三角形 (17)模块二：特殊四边形 (20)第四讲：相似综合计算及应用 (24)模块一:相似应用 (24)模块二:相似的综合计算 (26)第五讲：反比例函数 (29)模块一:反比例函数定义和性质 (29)模块二:反比例函数k值意义初步 (34)第六讲:反比例K意义进阶 (37)模块一：反比例K意义进阶 (37)第七讲：反比例函数综合及应用 (45)模块一：函数应用 (45)模块二：函数综合 (48)第八讲：一元二次方程及其应用 (55)模块一：一元二次方程 (55)模块二：一元二次方程的应用 (60)第一讲：相似三角形的判定及模型模块一：相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似．（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．（4）由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．例题精讲知识点一：相似三角形的判定例1．（1）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：△△AED=△B ，△△ADE=△C ，△BC DE AB AE =，△ABAE AC AD =，△AC 2=AD·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）A ． △△△B ．△△△C ． △△△△D ．△△△△*（2）如图，已知△ABC，AB=AC，点E、F在边BC上，满足△EAF=△C，若BF=6，CE=4，则AC的值为．训练1-1．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE△△ABC成立，则这个条件是（）A．△D=△B B．C．D．△AED=△C训练1-2．如图，在四边形ABCD中，如果△ADC=△BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．△DAC=△ABC B．AC是△BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=训练1-3．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC=2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为．知识点二：相似三角形的性质例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，△BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG△AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8训练2-1．如图，在△ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．训练2-2．若△ADE△△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．模块二：Ａ字型与8字型1．A 字型及其变形：EC AE DB AD =，BCDE AC AE AB AD == AB AE AC AD ⋅=⋅2．8字型及其变形：CD AB CO BO DO AO == CDAB DO BO CO AO ==例题精讲知识点一：A 字型例1．（1）如图，在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另外两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15，BC 边上的高是10，则正方形的面积为（ ）A ．6B ．36C ．12D ．49（2）如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．训练1-1．（1）如图，要在一起△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型，其中G 、F 在BC 边上，D 、E 分别在 AB 、AC 边上，AH△BC 交于DE 于M ，若BC=12，AH=8，则正方形DEFG 的边长为（ ）A ．524 B ．4 C ．724D ．5训练1-2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二：8字型例2．（1）如图，点D 是AB 边的中点，AF△BC ，CG:GA=3:1，BC=8，则AF= ．（2）如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为．训练2．（1）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=．（2）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）模块三：射影定理1．射影定理射影定理图模：如右图所示，图中所有的直角三角形都是相似的，则有：AC2=AD·AB；CD2=AD·DB；BC2=BD·AB．2．广义射影定理图模如右图所示，当△ACD=△B时，△ACD△△ABC，则有：AC2=AD·AB例题精讲知识点一：射影定理例1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD:BD=9:4，AC:BC的值为．（2）如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且CF△BD于G，DG=2，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACP=△B，AC=4，AP=2，则AB=．3，则训练1-1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD=6，AC=6CB=．（2）如图，在矩形ABCD中，AF:BF=2:1，且CF△BD于G，DG=3，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACD=△B，AC=5，AD=3，则AB=．第二讲：相似三角形的计算及证明模块一：共线三等角1．三垂直及斜K模型△ABE△△ECD △ AB·CD = BE·EC2．共线三等角拓展模型特别地，当点E 是BC 的中点时，△ABE△△ECD△△AED，AE、DE 分别平分△ABD、△ADE．3．手拉手模型：结论：△ABC△△ADE△ABD△△ACE例题精讲知识点一：三垂直例1．（1）在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L 型”模板如图2放置，则BC边的长度为．（2）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为．训练1-1．（1）如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE 的长为．（2）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2△P2P3，P2P3△P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．训练1-2．（1）如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．D ．（2） 如图，直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A ，B 两点．以AB 为短边在第一象限作一个矩形ABCD ，使得AB ：AD=1﹕2．则D 点的坐标为 ．知识点二：斜K 模型例2．如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则BC 的长为 ．训练2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC 的周长为 ．知识点三：手拉手模型例3．（1）如图，△ABC 中，AC=3，分别以BC 、AB 为底边作顶角为120°的等腰△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于 ．（2）如图，Rt△ABC 中，△BCA=90°，AB=AC ，AC 边上有点 D ，连结BD ，以BD 为腰作等腰直角三角形的BDE ，DE 交BC 于F ，那么下面结论：△△ABD△△CBE ； △△BCE=90°△DF·EF=BF·CF ； △BC －CE=2CD ．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△训练3．（1）如图，△ABC 中，AC=5，分别以BC 、AB 为底边作等边△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于（ ）A ．5B ．52C ．55D ．5（2）如图，在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)．若BD=4，，DE=5，CE=3，则AD= ，AE= ．模块二：相似中的比例证明例题精讲例4．（1）如图，已知正方形ABCD中，BE平分△DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．①求证：△BDG△△DEG；②若EG•BG=4，求BE的长．（2）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF△DE，垂足为F，BF交边DC于点G，求证：GD•AB=DF•BG．（3）如图，已知DE△BC，AO，DF交于点C．△EAB=△BCF，求证：OB2=OE•OF．训练4．（1）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME△AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：△AM=AD+MC；△AM=DE+BM；△DE2=AD•CM；△点N为AM的中点其中正确的结论为．（4）如图，已知在△ABC中，△BAC=2△B，AD平分△BAC，DF△BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且△E=△C．①求证：AD2=AF•AB；②求证：AD•BE=DE•AB．（3）如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形，其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G．求证：=．拓展（辅助线）△ABC，点D是AB的中点，过点D任作一条直线DF，交BC的延长线于F点，交AC于E点；求证：AE•CF=BF•EC．第三讲：动态几何专题一模块一：相似三角形例题精讲知识点一：直角相似例1．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？训练1-1．如图所示，已知直线l的表达式为y=﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B 两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？知识点二：非直角相似例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD△y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，△BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模块二：特殊四边形例题精讲（菱形+直角三角形）例3．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF△BC 于F，过F作FE△AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．训练3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当四边形AEDF为菱形，请求出此时t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（面积+平行四边形）例4．如图△，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．（1）直接填空：B（，），F（，）；（2）如图△，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图△，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．训练4．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．第四讲：相似综合计算及应用模块一:相似应用例题精讲例1．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A 的高度AB是多少？训练1．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1．6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=．例2．（1）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1．6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么塔高AB为m．训练2．（1）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=12m，DE=18m，小明和小华的身高都是1．5m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是米．模块二:相似的综合计算深圳中考真题训练1．如图，四边形ABCD 是正方体，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．2．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分CAB ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC = ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，△MPN=90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= ．4．如图，CB=CA ，△ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG△CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：△AC=FG ；△2:1==CEFG FAB S S 四边形△；△△ABC=△ABF ；△AC FQ AD •=2，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例题精讲例3．（1）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分△CGE时，BM=2，AE=8，则ED=．（2）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．训练3．（1）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为．（2）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为．（3）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作△AEG=△AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH△AG于H，连接DH，则DH 的长为．第五讲：反比例函数模块一:反比例函数定义和性质1．反比例函数的定义形如y=（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．三种形式：y=（k 为常数，k≠0）、y=kx ﹣1（k 为常数，k≠0）、k y x =⋅（k 为常数，k≠0）2．反比例函数图象的对称性反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：△二、四象限的角平分线y=﹣x ； △一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．3．反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．例题精讲例1．（1）下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=2xD ．y=（2）函数y=（m+1）x是y 关于x 的反比例函数，则m= ．（3）反比例函数y=（2m ﹣1）x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是．训练1．（1）下列函数是反比例函数的是（）A．B．y=x2+x C．D．y=4x+8（2）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．（3）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为．例2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+2和y=（m≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．训练2．（1）已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25例3．（1）如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．（2）函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0训练3．（1）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（1，3）和点B，则点B的坐标为．（2）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．（3）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1例4．（1）已知函数y1=，y2=x+1，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1（2）如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．训练4．（1）已知直线y1=ax与双曲线y2=相交，如图所示，y1＞y2时x的范围是．（2）如图，直线y1=﹣x+b与双曲线y2=交于A、B两点，点A的横坐标为1，则不等式﹣x+b＜的解集是．模块二:反比例函数k 值意义初步1．k 的计算方法（1）一点坐标乘积xy=k （2）两点坐标乘积相等，列方程求k（3）三角形面积求k （4）矩形面积求k2．k 的几何意义（1）k =AOBP S 矩形 （2）ABO S △2k =（3）ABC S △=2|k| （4）ABM S △=|k|**3．面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形；△最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．例题精讲例5．（1）已知反比例函数图像上有两点A （a ，2）、B(m ，4)，已知a 和m 是方程0862=+-x x 的两个不等的解，则该反比例函数的解析式为 ．（2）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．训练5．（1）已知反比例函数图像经过二、四象限，并经过两点（a ，a+2）与（1，6a+5），则该反比例函数图像的解析式为 ．（2）如图，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．例6．（1）如图，已知函数y=kx 与函数y=的图象交于A 、B 两点，过点B 作BC△y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为．（2）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为．训练6．（1）如图，正比例函数y=﹣x与反比例函数y=﹣的图象相交于A、C两点，AB△x 轴于B，CD△x轴于D，则四边形ABCD的面积为．（2）如图，已知直线y=﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB 翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y=（x＞0）经过点C，则k的值为．第六讲:反比例K 意义进阶模块一：反比例K 意义进阶面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形； △最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．中考真题训练1．如图，A B 、是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是（ ）△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=．A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△2．如图，四边形ABCO 是平行四边形，,6,2==AB OA 点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数)0(y <=x xk 的图像上，则k 的值为_________．3．如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线xk y =(k ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于4．如图，双曲线y=经过Rt△BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．例题精讲考点一：边长比例类例1．（1）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y 轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．（2）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为．训练1．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为．（2）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，，△AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于，则k的值是．考点二：两个反比例函数例2．（1）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．（2）如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB 的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．（3）如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．训练2．（1）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB△x轴，BC△x轴于点C，则四边形ABCO的面积为．（2）如图，反比例函数y=﹣和y=上分别有两点B、C，且BC△x轴，点P是x轴上一动点，则△BCP的面积是．（3）如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC 的面积为．考点三：面积综合例3．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在双曲线y=（k是常数，且k≠0）上，过点A作AD△x轴于点D，过点B作BC△y轴于点C，已知点A的坐标为（4，），四边形ABCD的面积为4，则点B的坐标为．（2）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x 轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为．（3）如图，△AOB和△BCD均为等边三角形，且顶点A、C均在双曲线y=（x＞0），AD 与BC相交于点P，则图中△OAP的面积为．训练3．（1）如图，点E、F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．（2）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为．（3）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．拓展题1．如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣4，0），过点C（4，0）作直线l交AO 于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数的解析式为y=．2．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使△POA=45°，则点P的坐标为．第七讲：反比例函数综合及应用模块一：函数应用例题精讲例1．（1）某市一蔬菜生产基础用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20△的新品种，图中是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（△）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线y=的一部分．请根据图中的信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大鹏温度在15△及15△以上的时间有多少小时？（2）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？训练1．（1）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．①根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．②问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？（2）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800△，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600△．煅烧时温度y（△）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（△）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32△．①分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；②根据工艺要求，当材料温度低于480△时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？。
九数大培优全一册(学用)
九年级数学大培优第二十六章反比例函数第19讲反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y=k x(k为常数,kʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.解析式:y=k x(kʂ0)或x y=k(kʂ0)或y=k x-1(kʂ0).▶题型一根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ下列函数:①y=x2;②y=2x;③y=-2x;④y=12x;⑤y=1x+2;⑥y=1x-2;⑦x y=2;⑧y= 2x-1,⑨y=2x2.其中y是x的反比例函数的有(填序号).▶题型二根据定义确定k值或解析式ʌ例2ɔ(1)反比例函数y=-32x,化为y=k x的形式,相应的k=;(2)函数y=k x中,当x=2时,y=3,则函数的解析式为.362▶题型三根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ(1)如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数,则m的值为;(2)若函数y=(m+2)x m2-5(m为常数)是关于x的反比例函数,求m的值及函数的解析式.针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是()A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= 32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线;当k<0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点,,也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线,对称,关于点00成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ1818ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.▶题型四 反比例函数中k 的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.1212ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.148128针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.12|5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.k xk x k a k 2a43x 43a 8343a 83a 1243a 83a 43x 323x43x 323x九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后的直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.4ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.426x6642426m 43▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.33▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图1221221221221221212212ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 4269 .44=42-4242九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.23.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;6(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.666ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2k xn m n mC MD F D N CE ʑB C B D A D A C C D B D =C D A C性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.16O 16性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图112|A E C E B E D E A C A E B DB E九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.12ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.888128a k 88216性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.k a222性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.212212121313针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .2332334333九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.992339a2x 181212391323234.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2552212ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.44412,4a 4a针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.323221232123213412362134362134362ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 8 .ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x 在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.13881326263九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x(k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F的坐标.154154针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.333.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图3232九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.8828x 针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 21;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 465.65731-71x 4(6ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .6666166▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .22222222ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.10101052325232253222253232494324946712494九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M .(1)m的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.44224=2x 22.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.32663232x 3266666t 6t 66262121212t 12A 121242第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为()A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.22522511ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗为什么?1265651212x针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?23150231503.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害200200九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形;2.平行线分线段成比例定理;3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置;2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.A D FBC C E 35ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .AM MN B M DMAM MN M P AM▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .针对练习11.如图,直线l 1,l 2,l 3分别交直线l 4于A ,B ,C 三点,交直线l 5于点D ,E ,F ,且l 1ʊl 2ʊl 3,已知D E ʒD F =3ʒ8,A C =24.(1)求B C的长;(2)当A D =4,C F =20时,求B E 的长.3815258522.如图,A B 是☉O 的直径,C D 是弦,A E ʅC D ,B F ʅC D ,垂足分别为点E ,F .(1)求证:D E =C F ;(2)若B F =1,A E =2,E F =4,求A B 的长.223.如图,在正方形A B C D 中,点E 在D A 的延长线上,A E =A B ,点F 在C D 上,M 为A F 的中点,过点M 作MN ʅM C 交B E 于点N .求证:MN =M C .九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.1213ʑMN =32213131414B 132▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .1212▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.121▶题型四 利用角平分线+平行线构X 型相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C =5,B C =6,øA B C 的平分线交A C 于点D ,C E ʅB C 交B D 的延长线于点E ,求B D D E的值.265661148114011181183针对练习21.如图,在▱A B C D 中,M 为A B 的中点,DM ,D B 与A C 分别相交于点P ,Q .(1)求A P P Q的值;(2)若D B ʅB C ,B C =5,P Q =1.求P M 的长.121322D B 2+B C 221122121213DM 2162.如图,在әA B C 中,D 是B C 的中点,点F 在A C 上,F C =2A F ,B F 交A D 于点E .(1)求证:A E =E D ;(2)若A B =A D ,求B F A C的值.1212B F B M 23B F A C 233.如图,A D 为әA B C 的角平分线,点E 在A B 边上,C E 交A D 于点F ,C F =C D ,若A F =3F D ,E F =3,求C D 的长.34九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 作平行线构造A 型相似方法技巧1.求部分线段与整体线段的比的问题,往往构A 型相似求解;2.过线段端点或分点作平行线构双A (X )图或A X 型图;3.三条平行线构成X 型㊁A 型图中隐藏关系式:1a +1b =1c;4.等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形.▶题型一 直接或间接作平行线构造A 型图求比值.ʌ例1ɔ 如图,在әA B C 中,点E 为线段B C 的中点,点D 在线段A C 上,B D 交A E 于点F .若B F =3F D ,求A F A E的值.12B 141212▶题型二 直接或间接作平行线构造A 型图转化比.ʌ例2ɔ 如图,在әA C B 中,点D 为边A C 的中点,点E 为B D 上任意一点,延长C E 交A B 于点M ,延长A E 交B C 于点N ,连接MN .求证:MN ʊA C .B NB C ▶题型三 直接或间接作平行线构造双A 型解题ʌ例3ɔ 如图,在R t әA B C 中,øA C B =90ʎ,C D ʅA B ,垂足为点D ,M 是C D 的中点,E F ʅA B ,垂足为点F .若E F =4,C E =3.2,求A E 的长.4432▶题型四1a+1b=1c型问题ʌ例4ɔ如图,A BʊC D,B D与A C交于点G,过点G作A B的平行线分别交B C,A D于点H,E.(1)求证:1A B+1C D=1G H;(2)过点H作H FʅA D,垂足为点F,若F G=2,A B=3,求C D的长.1111 A B 1C D1G H121 3112针对练习31.如图,点D是әA B C的边C B的延长线上一点,点F在A C上,D F交A B于点E,若B D=B E,C D=4A E,A C=5,求A F的长.152.如图,四边形A B C D中,A DʊB C,A FʊC D交B C于点F,E是A B上一点,A E=A D,E C交A F于点M.求证:C M㊃B F=A B㊃M E.3.如图,在әA B C中,点P是A B上一点,A P=4,B P=6,点M是P C的中点,øA C P=øP B M.(1)求A C 的长;(2)过点A作A DʊP C交B C的延长线于点D,B M的延长线交A D于点N.若N D=33,øC A D=30ʎ,求C D的长.1243336323F2+F D227九年级数学 大培优ʌ板块四ɔ 边边边法证明三角形相似方法技巧网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值,常用三边对应成比例证三角形相似.▶题型一 网格中的相似三角形ʌ例1ɔ 已知әA B C 中,A B =25,A C =45,B C =6.如图,是由100个边长为1的小正方形组成的10ˑ10的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.请在网格中画一个与әA B C 相似且对应边的比最大的格点三角形,并加以证明.0204102,1021022102100272+122329210111111102▶题型二 非网格相似三角形ʌ例2ɔ 已知正方形A B C D ,点E ,F 分别在边A D ,C D 上,且A E =E D ,C F =3D F .(1)求证:әA B E ʐәE B F ;(2)连接A C 与B E ,B F 分别相交于点M ,N ,求证:B C B N =AM MN.52AMMN 针对练习41.如图,是由81个边长为1的小正方形组成的9ˑ9的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.(1)请你计算出әA B C各边的长;(2)请在网格中画一个与әA B C 相似且与әA B C 三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形,并加以证明(A ,B ,C 的对应点分别为A 1,B 1,C 1).2256262=623262351111112.如图,在四边形A B C D 中,点E 在B D 上,且A B A E =B C E D =A C A D.B C =4,øB A E =30ʎ,求C D 的最小值.12ʌ板块五ɔ 边角边法证三角形相似方法技巧1.旋转型㊁子母型图常运用两边对应成比例,其夹角相等证相似;2.求形如a +n mb 的最值,常通过构 边角边 相似去求解.▶题型一 旋转型相似ʌ例1ɔ 如图1,在R t әA B C 中,øC =90ʎ,A B =15,B C =9,点P ,Q 分别在边B C ,A C 上,C P =3x ,C Q=4x (0<x <3),把әP C Q 绕点P 旋转,得到әP D E ,点C ,Q 的对应点分别为点D ,E .(1)如图1,若点D 落在线段P Q 上,且A D 平分øC A B ,求x 的值;(2)如图2,当点E 落在边A B 上且Q E ʊC B 时,求C D 的长.图1 图212412693535185▶题型二 将a 2=b c 型问题转化为 子母型 相似问题.ʌ例2ɔ 如图,在әP E F 中,P E =P F ,O 为E F 的中点,G 为P F 上一点,øP E G =27ʎ,N 为O G 的中点,P N ʅE G ,垂足为点M ,若øM O N =18ʎ,N G 2=NM ㊃N P .求øF 的度数.九年级数学大培优针对练习51.如图,P是正方形A B C D边B C上一点,点M在边C D上,B M与A P交于点Q,B P2=P Q㊃P A.(1)求证:C M=B P;(2)若P为B C中点,求øP Q C的度数.2.如图,在正方形A B C D中,点E,F分别在边B C,C D上,连接A F交B D于点H,E C=2DH.(1)求证:øE A F=45ʎ;(2)求证:AH=E H.23.如图,在等腰直角三角形A B C中,A C=B C,点E在边B C上,以A E为边作正方形A E MN,E M交A B于点F.(1)求证:B MʅA B;(2)若C E=2B E,求A E E F的值.2222221415E F A E15ʌ板块六ɔ 角角判定法证三角形相似方法技巧1.共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似;2.用反A 型相似证明a b =c d 型等式;3.善于发现或构造一线三等角型相似;4.共角且一对角互补的两个不相似三角形,构造等腰三角形转化为相似三角形.▶题型一 用角角判定法证明三角形相似ʌ例1ɔ 如图,D 是әA B C 边B C 的中点,点M 在A B 上,øA C M =øB .(1)求证:A C 2=AM ㊃A B ;(2)点O 在A D 边上,且A O =2O D ,过点O 作E F ʊM C ,分别交A B ,A C 于点E ,F ,若A E =6,E M =1,求A F ㊃A C 的值.▶题型二 构造等角,运用角角法证相似求边长ʌ例2ɔ 如图,点D 在A B 上,A B =3B D =12,点E 在B C 的延长线上,D E =2A C ,øA C B +øB D E =180ʎ,øB =60ʎ,求A C 的长.12123221213131▶题型三 一线三等角问题ʌ例3ɔ 如图,在әA B P 中,A P =A B ,O 为A B 上一点,O A =2,O B =1,A Q ʊB P ,且øQ O P =øB ,求A Q ㊃B P 的值.A Q O E232313x Q F O B1九年级数学 大培优针对练习61.如图,A B =A C ,øB A C =90ʎ,D 为边A B 上任意一点,A E ʊB C ,øC D E =45ʎ,求证:C D D E=2.222.如图,әA B C 中,A B =A C =15,B C =24,D ,E 分别是B C ,A B 上的点,øA D E =øB ,当әB D E 为直角三角形时,求B D 的长.1215125421162142143.如图,点E ,F 分别在线段A C ,B C 上,øF E C =øB ,øA C B =60ʎ,C H 平分øA C B 交E F 于点H .(1)求证:B C A C =E H H F;(2)若E C =43,H C =5,求B C A C的值.E H H F E M F N1212B C A C E C F C B C A C E H H F 12E 2312F =3x =3M -3x MH HN E M F N ,15-3x 23x03-1073C 754.如图,正方形A B C D 中,B C =4,对角线A C ,B D 交于点O ,P 是O B 的中点,N 在线段C D 上(不与C ,D 两点重合),P M ʅP N 交B C 于点M .求B M +13DN 的值.1213P E P D 1313D 12B 13ʌ板块七ɔ 作垂线构造三角形相似方法技巧作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.▶题型一 利用对顶角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例1ɔ 如图,B D 为әA B C 的高,点E 在A B 边上,øB E C =60ʎ,B E =2C D ,C E 与B D 相交于点F .求B FF C的值.32333▶题型二 利用同角或等角的补角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例2ɔ 如图,在R t әA B C 中,øB A C =90ʎ,A D ʅB C ,垂足为点D ,点O 是A C 边中点,连接B O 交A D 于点F ,O E ʅOB 交BC 边于点E .若A C A B =n ,求O F O E的值.▶题型三 利用角平分线作垂线构造直角三角形相似ʌ例3ɔ 如图,在әA B C 中,øB A C =60ʎ,A B =6,A C =4,A D 平分øB A C 交B C 于点D .求B D 的长.121233233323535322657▶题型四 面积问题作高构造直角三角形相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,øC =45ʎ,点D ,E ,F 分别在边B C ,A C ,A B 上,A B =B D =2A E ,连接E F交A D 于点G ,øA G F =45ʎ,若A D =4,F G =32,求әA F G 的面积.1234九年级数学 大培优针对练习71.如图,在әA B C 中,øA C B =90ʎ,点E 在A C 上,A C =2B C =4C E .C D ʅB E 交B E 于点F ,交A B 于点D .求B D A D的值.12122.如图,在R t әA B C 中,øA B C =90ʎ,A B =6,D 为A C 的中点,过点A 作A E ʊB C ,连接B E ,øE B D=øC B D ,B D =5,求B E 的长.2452543.如图,B ,C ,E 三点在一条直线上,әA B C 与әD C E 均为等边三角形,D B 与A C ,A E 分别相交于点H ,F ,连接F C .(1)求证:әAH B ʐәF H C ;(2)若B F =2F E ,求B C C E的值.M N B C E C32324.如图,在四边形A B C D 中,øA B C =øA D C =90ʎ,A B =A D =2B C =2C D ,E 为C D 上一点,B F ʅA E交A D 于点F .求B F A E的值.12535383858545ʌ板块八ɔ用相似法证明线段相等方法技巧1.证明a=b的方法技巧之一:若a c=b c,则a=b;2.证明a=b的方法技巧之二:若a c=b d,c=d,则a=b.▶题型一双A双X并排型ʌ例1ɔ如图,D,E分别是әA B C的边A B,A C上的点,D EʊB C,D C交B E于点O,直线A O分别交D E,B C于点M,N.求证:B N=N C.▶题型二普通型相似ʌ例2ɔ如图,D为R tәA C B斜边A B的中点,点M在A C上,点N在B C的延长线上,øMDN=90ʎ.(1)求证:øC A B=øMN D.(2)如图2,分别过点M,N作直线A B的垂线,垂足分别为点G,H.求证:A G=DH.针对练习81.如图,在等边әA B C中,点E在C A的延长线上,点D在B C的延长线上,A E=C D,延长D A交B E 于点F.(1)求证:øE A F=øA B E;(2)过点E作E GʊF C交A D于点G.求证:E F=A G.。
九年级上下册数学培优系统讲义
九年级上下册数学培优系统讲义第1讲 一元二次方程㈠★知识点精讲1.一元二次方程的概念⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .2.一元二次方程的解法⑴直接开平方法：针对()()02≥=+an n a m x⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a注：① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.注：⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.典型例题讲解及思维拓展●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .拓展变式练习11.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .●例2 解下列方程：⑶0182=+-x x ⑵()()2221239x x -=-拓展变式练习2解下列方程:⑶8632+-=x x⑵()()2221239x x -=-⑶()()1232=--x x⑶()222596x x x -=+-⑸04)32(5)23(2=+-+-x x⑹()()02123122=++-+x x⑺()2223n n m x m x =+--⑻a x a ax x -=+-222●例3 已知0132=-+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()211223-+---x x x 的值.2.已知0132=+-a a ，求2219294a a a ++--的值.■ 巩固训练题一、填空题1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.4.若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.5.已知06522=--y xy x ，则yx 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.二、解答题1. 解下列方程：⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292=-+x⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？■思维与能力提升1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.3.已知()012009200720082=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()2003b a +.4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS为无理数.DS 金牌数学专题二 一元二次方程㈡★知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有 的实数根；⇔=∆0方程有 的实数根；⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根.2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，ac x x =⋅21 ⑵ 推论：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.4.常见题型⑴ 面积问题；⑵ 平均增长（降低）率问题；⑶ 销售问题；⑷ 储蓄问题.典型例题讲解及思维拓展●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.拓展变式练习11.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值： ⑶2112x x x x + ⑶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -拓展变式练习21. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑶ 321231x x x x + ⑶ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.已知关于x 的方程()024122=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？拓展变式练习31. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).⑴求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？■巩固训练题一、填空题1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为 ，m = . 2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，12222=-x x ，则=21x x .3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .4.以2与－6为根的一元二次方程是 .5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 .二、解答题1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？■思维与能力提升1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根？2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，()()0211211=+++x x xx ，求q p +的值.4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的 最小值.■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题三反比例函数★知识点精讲1.反比例函数⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫 做 ，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质0>k 0<k反 比 例 函 数 图 象性 质两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而⑶ k 的几何意义=AOBP S 矩形_________.=∆AOP S Rt __________.3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．①当 时，直线与双曲线有两个交点． ②当 时，直线与双曲线有一个交点．y P(m,n) AoxB③当 时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限.⑴求k 的值.⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.拓展变式练习11.若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值是 .2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________.1y 2y 3y x k y 22--=k 1y 2y 213y 1y 2y 3y●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点.（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值拓展变式练习21. 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)ky k x=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，求k 的值和Q 点的坐标.2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.x yO A P C QBOxyBA D C 3.已知函数221y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，437=y .求y 关于x 的函数关系式.●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.拓展变式练习31.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=∆ABO .（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y xk 的图象上，且点A 、B•的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． （3）求△AOB 的面积．O xyA C DB●例4 若一次函数12-=x y 和反比例函数x k y 2=的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．拓展变式练习41.已知反比例函数x k y 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数图像经过（a ，b ）（a ＋1，k b +）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结论，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，所符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．2. C 、D 是双曲线x my =在第一象限内的点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于 A 、B 两点，设C 、D 坐标分别是(1x ，y 1)、(2x ，y 2)，连结OC 、OD.∠AOD=∠BOC=α，作CE⊥y 轴 ，DF⊥x 轴，且31==OF DFOE CE ，10=OC . ⑴求C 、D 的坐标和m 的值.⑵求OCD S ∆.⑶双曲线上是否存在一点P ，使得POD POC S S ∆∆= 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.3.已知双曲线()0163>=x y x，与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于点P 、Q ，连结OP 、OQ.⑴求证：ΔOAQ≌ΔOBP⑵若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA=a ，(0<a <1)，CD⊥AB 于D ，DE⊥OB 于E.①a 为何值时，CE=AC ？②在线段OA 上是否存在点C ，使点CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.xyCDA B EF OA ． x y OB ． x y OC ．x y O D ． x y O■巩固训练题一、选择题 1.函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中在xk y =图象上的是（ ） A.（3，8） B.（3，－8） C.（－8，－3） D.（－4，－6） 2.已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定 3.已知点P 是反比例函数()0≠=k y xk 的图像上任一点，过P•点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．44.如图，已知函数ky x=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（ ）5.已知关于x 的函数()1-=x k y 和y=-kx(k ≠0),它们在同一坐标系内的图像大致是下图中的( )二、解答题1.如图，正比例函数()0>=k kx y 与反比例函数xk y =的图象交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．2.制作一种产品，需先将材料加热到60C ︒后，再进行操作，设刻材料温度为y C ︒，从开始加热计算的时间为x 分钟，据了解，该材料加热后，温度y 与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C ︒，加热5分钟后温度达到60C ︒. ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系；⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C ︒时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3-）， 点B 的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数x y 36=的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）. ①当α=30时点B 恰好落在反比例函数x k y =的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.y xO56015■思维与能力提升1、如图，在直角坐标平面内，函数x my =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD 、DC 、CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．2.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在()5.01，C 处，两直角边分别与y x ，轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m y x m的交点．（1）求m 和k 的值；（2）设双曲线)0(>=m y xm 在B A ,之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于N M ,两点，请探究是否存在点P 使得AB MN 21=，写出你的探究过程和结论．B A ，yONM CP3.如图，已知直线AB 交两坐标于A 、B 两点，且OA=OB=1，点P （a 、b ）是双曲线x y 21=上在第一象内的点过点P 作PM⊥x 轴于M 、PN⊥y 轴于N ．两垂线与直线AB 交于E 、F ．（1）写出点E 、F 的坐标（分别用a 或b 表示） （2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 表示）； （3）△AOF 与△BOE 是否相似？请说明理由；（4）当P 在双曲线x y 21=上移动时，△OEF 随之变动，观察变化过程，△OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题四直角三角形的边角关系㈠★知识点精讲1.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______tan =A ；锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cot =A .2.坡比、坡角①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做________，用字母i 表示，即________=i ，坡面与水平面的夹角α叫________，即_______tan =α. ②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的_______和________的比称为坡度或坡比，坡度是坡角的_______，坡度______，坡面越陡. 3.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______sin =A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cos =A .4.在ABC Rt ∆中，若︒=∠+∠90B A ，则A sin 与A cos 的关系是_______，由此可得()_______90sin =-︒A ，()_______90cos =-︒A .典型例题讲解及思维拓展● 例1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，且24=AC ，求：⑴BC 和AB 的长；⑵A sin 和A cos 的值.拓展变式练习11. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果135tan =A ，且26=AC ，求：⑴BC 和AB 的长； ⑵A sin 和A cos 的值.2.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是BC 上的一点，34tan =∠ADC ，21tan =B ，BD=5，求AD 的长.3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 的中点，且BC=AC ，求CDA ∠tan 和DAC ∠sin 的值.●例2.如图，某县为了增强防洪能力，加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝.要讲大坝加高1米，背水坡的坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，问大坝的横截面积增加了多少平方米？增加了多少立方米土方？拓展变式练习21. 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度.2. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度3:1i，斜坡CD的坡度为c，求斜坡AB的坡角(精确到'1），坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到1.0m)3. 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，斜坡DC 的坡度为i 1，在其一侧加宽DF=7.75米，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，斜坡FE 的坡度为i 2(i 1<i 2).设路基的高DM=h 米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF 的面积为s 米2. (1)已知i 2=1:1.7，h=3米,求ME 的长.(2)不同路段的i 1、i 2、、、h 是不同的，请你设计一个求面积S 的公式(用含i 1、i 2的代数式表示).● 例3. 计算︒+︒-︒-︒︒30tan 345sin 260cos 45cos 30sin拓展变式练习3 1.计算下列各题：⑴()()2121145sin 260tan 130sin 2-︒+︒---︒-； ⑵()212321+-+÷-x x x ，其中︒-︒=60cos 245sin 4x .2. 在ABC ∆中，若()0cos 1tan 223=-+-B A ，其中A ∠、B ∠均为锐角，求C ∠的度数.3. 已知31tan =α且α为锐角，求ααααcos sin 2cos 2sin 3+-的值.■巩固训练题1.已知211(sin )sin 22αα-=-，则锐角α的取值范围是 .2.在△ABC 中，90C ∠=︒且两直角边a b 、满足22560a ab b -+=，则sin A = .3.如图，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足2:3AE EC =:，那么tan ADE ∠= .二.解答题1.如图，在四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC CDA ∠=∠=︒,2CD =，3BC =，求AB 的长.2. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图 (1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 (2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 (3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转 △DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα 的值.A B E FC D 图 (1)A B E F CD 图 (2)A B() (F )C D 图 (3) Eα■ 思维与能力提升在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c . ⑴若()A A 22sin sin =，()A A 22cos cos =，请根据三角形函数的定义证明：①1cos sin 22=+A A ； ②BBB cos sin tan =.⑵根据上面的两个结论解答：①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值；②若2tan =B ，求B B BB sin cos 2sin cos 4+-的值.■ 补充讲解■反思与归纳DS金牌数学专题五直角三角形的边角关系㈡★知识点精讲1.仰角、俯角：①当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的角叫；②当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的角叫.2.方位角：指北或指南方向与_____________所成的夹角叫方位角.典型例题讲解及思维拓展●例1.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）拓展变式练习11.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30︒，B村的俯角为60︒（如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）QB C PA450 60︒30︒图72.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据．）3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°； （2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23 1.732≈≈60o4.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离. 结果保留根号，参考数据：42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒.● 例2. 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60方向上，港口D 在港口A 北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．拓展变式练习21.根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.（o o o sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）2.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递， 途经A 、B 、C 、D 四地，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最后结果．．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）A CB3.如图，A 、B 、C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A 、B 两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的53支援C粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的52支援C 粮仓，这时A 、B 两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=） （1）A 、B 两处粮仓原有存粮各多少吨？ （2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？ （3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．■巩固训练题 一、选择题1. 已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°北南 西东CB A262.如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900，∠Ａ＝300，Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）32353A 53333、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、3.已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m4.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ） A ．154B ．14C ．15D ．４5.已知α为锐角，则ααcos sin +=m 的值（ ） A ．1>m B ．1=m C ．1<m D ．1≥m6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半 圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．45D ．357.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是（ ）A.21B. 2C. 55D. 258.已知ABC ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（ ） A. 35B. 45C. 53D. 349. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m10.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）．Ａ.250ｍ Ｂ．2503ｍ Ｃ．50033ｍ Ｄ．2502ｍ．A O B东北A DB E 图6 i =1:C 二.解答题1. 如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里处，小岛C 位于港口O 北 偏西60°方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏西30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用一小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送.⑴快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？⑵快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？2. 如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅 直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）。
初中数学培优教程
初中数学培优教程初中数学培优教程前言•介绍初中数学培优的重要性和意义第一部分：数学基础知识1. 数的概念和计数•什么是数•自然数、整数、有理数、无理数的概念•基本计数方法和技巧2. 分数与小数•分数的定义和运算•小数的定义和运算•分数与小数的互相转换3. 平方根和立方根•平方根和立方根的概念•求平方根和立方根的方法4. 百分数和比例•百分数的概念和运算•比例的概念和求解方法•百分数与比例的应用第二部分：代数与方程1. 代数表达式与多项式•代数表达式的定义和运算•多项式的定义和运算•多项式的因式分解和乘法公式2. 一元一次方程•一元一次方程的定义和解法•方程的实际应用案例3. 一元一次不等式•一元一次不等式的定义和解法•不等式的实际应用案例4. 平面直角坐标系与图形•平面直角坐标系的概念与性质•图形的概念和基本特征•根据坐标确定图形方程第三部分：几何与测量1. 图形的基本性质与分类•三角形、四边形、多边形的基本性质与分类•同位角、对位角的定义和性质2. 平行线与相交线•平行线和相交线的概念与判定•平行线与相交线的性质和关系3. 圆的基本性质•圆的定义和性质•利用圆的性质解决几何问题4. 空间几何与立体图形•空间几何的基本概念和性质•立体图形的种类和特征•空间几何与立体图形的关系第四部分：统计与概率1. 统计数据的整理与分析•数据的收集、整理和表示方法•统计指标的计算与解读2. 概率的概念与计算•概率的基本定义和性质•概率计算的常用方法和技巧3. 事件与样本空间•事件的定义和性质•样本空间的概念和意义4. 排列与组合•排列和组合的定义和计算方法•排列和组合在实际问题中的应用第五部分：解题方法与应用1. 解题思路与策略•解题思维的培养方法和技巧•解题策略的掌握与应用2. 实际问题的数学建模•实际问题中数学模型的建立方法•利用数学模型解决实际问题的步骤3. 常见题型的解法与技巧•常见题型的解题思路和解法•解题中需要注意的技巧和要点结语•总结初中数学培优教程的重点知识和学习方法•鼓励学生继续深入学习和探索数学的魅力。
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最新九年级数学培优教程整理篇(全)考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.【例２】(黔东南)方程480x -，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．34．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（ ）A B C D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A =； B 不能化简；=；D ==.故本题应选D.【变式题组】6a ＝________． 7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A B C D8．已知最简二次根式b a ＝_______，b ＝______.【例４】下列计算正确的是（ ）A =B 4=C =D ．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D. 2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ） A．= B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________ 11．22-=_____________12．(济宁)已知a） A ．a B ．－a C ．－1 D ．013．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝的值为（ ）A．2 B ．2 CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式 ）ABC．D．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0.故原式=选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C三边的长，则化简a b c --_______. 15===算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1=_________. 【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a ab ++++，其中a =b =⑵已知x=，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，b =时，ab ＝1，a ＋b.⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．是正整数，则实数n 的最大值为（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．B ．．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b =那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a ---，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设12a =，则5432322a a a a a a a +---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13B ．12C ． 23D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏板【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形.解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式511-【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=- ） A ．1a a - B ．1a a - C ．1a a+ D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷--.【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++，222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a aa a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x xx x -÷----的值.5．（五羊杯竞赛）已知1m =+1n =，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A．－5 B ．5 C ．－9 D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则，CF，所以，点A 、C的坐标为（aa）、（2a＋b ），所以2(2)a b =+=a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D 的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（22n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BFEFBE ，从而知△BEF 就是－a )c ＋12(d 题设的三角形，而S △BEF ＝S 长方形ABCD＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b－c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U ＝演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________ 02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ． 24B ．25C．10D．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．（北京竞赛）若有理数x 、y、z 1()x y z=++，则2()x yz -=__________05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n n n ++-=，则=__________06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15xx x -+++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a满足2000aa -=，那么22000a -的值是（） A．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b 09．已知1x =培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --665x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当x =32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001a b c++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定 09．计算：（1（2（34947+++（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=>12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。