初中数学培优教材
八上数学暑假培优班教材
目录第十六章二次根式 (1)第一讲二次根式 (1)第二讲同类二次根式 (8)第三讲二次根式的加减法 (13)第四讲二次根式的乘除法 (17)第五讲二次根式复习 (24)第六讲二次根式达标测试卷 (29)第十七章一元二次方程 (35)第七讲一元二次方程的概念及解法（1） (35)第八讲一元二次方程解法（2） (39)第九讲一元二次方程的解法（3、4） (45)第十讲一元二次方程的判别式 (50)第十一讲一元二次方程的应用 (55)第十二讲一元二次方程复习 (61)第十九章正比例函数与反比例函数 (69)第十三讲函数的概念及表示法 (69)第十四讲正比例函数及图像 (75)第十五讲反比例函数及图像 (81)第十六讲函数综合复习 (87)第十七讲反比例函数复习 (90)第十八讲函数综合测试 (92)第二十章几何证明 (98)第十九讲命题和证明 (98)第二十讲暑假班复习 (105)第十六章二次根式第一讲二次根式【教学目标】知识与技能：掌握积的算术平方根的性质，理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.过程与方法：在学生原有知识的基础上，经历知识的产生过程，探究积的算术平方根的性质.情感、态度与价值观：培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神和合作精神【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式. 【考点链接】掌握二次根式的化简.1、 代数式a （a 0≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数.举例说明：2、32、12+a 、)04(422≥--ac b ac b 等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以像2-，)0(<b b 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.2、二次根式的性质：（1）)0(2≥=a a a ； （2）()2(0)a a a =≥；（3）)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； （4）)0,0(>≥=b a bab a 3、2a 与a 的关系：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a4、最简二次根式：（1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：ab 3、y x +231、)(622b a m +等都是最简二次根式.【例1】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12-x （2）x -2 （3）2x + （4）21x + （5）x1（6）12x -（7）2(1)x -+ （8）23x x -- （9）232x xx ++--【变式1】求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）34x - （2）183a - （3）24m +（4）1x- （5） x x +- （6） 321xx -+【例2】求下列二次根式的值（1）(144)(169)-⨯- （2）233(945)34⨯-（3）2243ππ-+-（）（） （4）221a a ++,2a =-其中 （5）()2223(23)-++ （6）224323553⎛⎫--- ⎪⎝⎭;（7）2144x x x -+-+,()12x <<【变式2】求下列二次根式的值：（1）2)3(π- （2）122+-x x ，其中3-=x （3）c a-，其中a =2，c =12- （4）21(2)m +，其中m =-5（5）212x x ++，其中2x =-【例3】判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）35a（2）a 42 （3）324x （4）)1()12(32-≥++a a a （5）ab（6）22a b + （7）2961a a ++ （8）a b -【变式3】化简二次根式（1）72 （2）312a （3）)0(182≥x x（4）3a （5）x 25 （6）)0(92>b ab（7）3612y x（8）2329a bc （,,0a b c >）（9）23279(0)x x x -< （10）423- （11）3222aa ab ab a b-+-一、判断 1.()222ab ab-=-………………………………………………………（ ）2. 3－2的倒数是3＋2．…………………………………………………（ ）3. ()21x -＝()21x -．……………………………………………………（ ）4.8x ，13，29x +都不是最简二次根式．……………………………（ ） 二、选择5. 在式子()22234,,1,20,21x y a x x x x +--<-+，,4x 中，是二次根式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 三、简答6. 当x 取什么实数时，下列各式有意义? ⑴x -； ⑵()221x -； ⑶12x x -⋅-； ⑷()()12x x --；7. 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：()()222a a b c a b c -++-++．8. 已知10a -<<，化简221144a a a a ⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9. 已知|1－x |－2816x x -+＝2x －5,求x 的取值范围．10. 设1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,求2a-b 的值.11. 已知223,y x x =-+-+求22x xy y -+的值.12. 已知294203x x yx -+-=+，求x y ⋅.13. 在△ABC 中，a 、b 、c 是三角形的三边，化简2()a b c -+－2|c －a －b |14. 已知：22816123610x x x x +++-+=，化简：()228212.x x ++-15. 解下列各式：（1）已知0a a +=,试化简22(1)a a -+.（2）a 、b 、c 分别是三角形三边的长.化简：222()()()a b c b c a c b a --+-++--.16. 在实数范围内分解因式：⑴363x x - ⑵2233x x -+1. 当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）3x + （2）32x - （3）25x -- （4）32x x -- （5）()21x -+ （6）23x x --2. 将下列二次根式化成最简二次根式：（1）0.75 （2）215（3）23125a b c （0,0a b >>）（4）212(0)x x y> （5）322550(0)m m m +> （6）1149-数学黑洞对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质（包括运行速度最快的光）牢牢吸住，不使它们逃脱一样.这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路.123（即西西弗斯串）数学中的123就跟英语中的ABC 一样平凡和简单.然而，你按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的.黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个.奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个.总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个.新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510.重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134.重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123.结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123.换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞.第二讲 同类二次根式【教学目标】知识与技能：理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式；过程与方法：通过与同类项类比，体会类比思想.情感态度与价值观：通过合并同类二次根式，体会类比与迁移的认知方法. 【教学重点】判断几个二次根式是否为同类二次根式. 【教学难点】合并同类二次根式.【考点链接】掌握同类二次根式的概念及同类二次根式的合并.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式.同类二次根式可以合并.【例1】判断下列二次根式，哪些是同类二次根式： （1）12 ，24，271，b a 4，)0(23>a b a ，)0(3>-a ab（2）227和 2.16 （3）22345+和1149-（4）32a a a +和331bab b + （5）22329124a b a ab b +++和32aa b+【变式1】判断下列各组根式是否是同类根式： （1） 15231753851634-- （2） 02n m n m m n m n m n<<+-【例2】根据题意求值：（1）已知最简二次根式423m +和32m -是同类根式，求m 的值.（2）若最简二次根式2a b a b +-与3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值【变式2】若最简根式21x +与132x -是同类二次根式，求1x x+的值【例3】合并下列各式中的同类二次根式并计算. （1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-3（3）320.0852-+ （4）4051000510-+（5）(4543)2312--+ （6）2293273-+（7）318(182)2x x x -+ （8）3(3)(4)b b a b ab ab b +-+【变式3】计算：（1）1131842332⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪+⎝⎭ （2）111523⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭（3）3325212523162---+-【例3】m 为何值时，最简二次根式22364m m --=与22364m m --=是同类二次根式？【变式3】（1）如果最简二次根式5214x +与34x +时同类二次根式，则x = （2）如果最简二次根式m n -与32n m n ++时同类二次根式，则m = .n =_______ .一、填空题：1. 3-，a b -，21a -+，2(1)a -中是二次根式的有 .2. 当01x ≤≤时，221212x x x x +++-+的值是 .3. 当x ，y 时，()()()()2323x y x y +-=+-4.2233x x y y ++=--成立的条件是 . 5. 计算：1250147⨯⨯= .6. 化简：2248xy y -= （当0y ≥时）322(1)x x x x -+>= .7. 如果21a a=-，那么2(2)1a a ---= . 二、化简求值. 8. 化简：2192334x x xx++9. 已知a ＝12,b ＝14,求b a b-－ba b +的值．三、计算题（1）630.1248++ （2）12462a b a b +-+（3）38218532-+ （4）535452+- （4）12112127333-+ （5）1(40.540.125)2123--+10. 合并同类二次根式：337834(0,0)y x xy x y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫---<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1. 下列说法中，正确的是（ ）A.被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B.m1与m 是同类二次根式C.m 与3m 是同类二次根式D.只有被开方数相同的二次根式才是同类二次根式2. 若最简根式1243+x 与24+x 是同类根式，那么x = . 3. 若最简二次根式5a b a +和8a b +是同类二次根式，则ab 的值为_________.4. 如果最简二次根式2m n n +与3m n +是同类二次根式，那么m ，n 的值为________.5. 合并下列各式中的同类二次根式： （1）5x +x 2x （x ≥0）； （2）3xy -4xy +a xy ；（3）3x 2+5x 8+7x 18； （4）21a +6b -2a +4b ；（5）121126321262366---- （6）332(0,0)b a ab a b ab a b a b-+->>柳卡趣题法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士.他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献.如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市，O 点代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(假设是十五号)，O 点的右侧数代表出发后的日期，O 点的左侧数代表出发前的日期.过点.作一条垂轴OS 垂直于这两条平行线，设OS 与代表纽约的平行线交于A ，A 点就代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(也是十五号).我们将每艘轮船的出发日期与它到达日期之间用线段相连，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程图线.最后我们将这艘从哈佛出发的轮船的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合.看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“柳卡问题”的解应为15艘轮船.柳卡图第三讲 二次根式的加减法【教学目标】知识与技能:了解同类二次根式的定义.能熟练进行二次根式的加减运算. 过程与方法：探索实际问题引入二次根式的加减法则，再进行归纳与运用. 情感态度价值观：培养学生由特殊到一般的思维能力. 【学习重点】二次根式加减法的运算.【学习难点】快速准确进行二次根式加减法的运算. 【考点链接】掌握二次根式加减法混合运算.【例1】计算：（1）483752+ （2）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式1】计算：（1）9818- （2）14813250335+-（3）324020.15-+ （4）4131251520--【例2】化简：（1）m m m 21643932-+（2）x x x x 12463621-+（3）qp q p -+-8)(50（先判断出()q p -大于零）【变式2】（1）3256b a ⨯ （2）223a a b ⨯-（3）23285022a a a a a a+-+【例3】解方程： （1）27582723++=x （2）954452->+x x【变式3】解方程：（1）218798x x +<- （2）454224x x -<+（3）20.75312x x ->+ （4）22623-=-x1. 计算： （1）483752+ （2）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）23916234m m m +- （4）11366224x x x x+-（5）850()p q p q-+- （6）11112.5300524.5363--+-（7）3258718x x x -+ （8）2748()a b a b-+-（9）0221(32)44-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（10）0(2009)1232π-++-（11）3116943a a + （12）2196234x x x x+-（13）3234535a x a ax x a ⋅ （14）325x y xy÷2. 解下列方程及不等式：（1）111482752751233--+ （2）x x 53365>+（3）x x 3262>+ （4）()1251455x x -=-（5）155353x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）()1381182x x -<+3. 解方程组：32261x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩232321x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩二次根式与算术平方根之区别一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算根据二次根式的定义，形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式．可见，二次根式是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式，判别一个代数式是不是二次根式，需要先看它是否含有根号“”？再看它的被开方数a 是否为非负数？而算术平方根是指一种运算，一种与平方互逆关系的运算．如9的算术平方根是3，即9=3．这里的9作为9的算术平方根时需要进一步计算，结果等于3．而9作为代数式时，它是二次根式，不能说因为9=3，而9是二次根式，所以3也是二次根式；也不能说因为3不是二次根式，所以9也不是二次根式．二、二次根式比算术平方根内涵更丰富二次根式虽然建立在算术平方根上，但它比算术平方根的含义更丰富．对于二次根式a 来说，它表示的意义仍然是非负数a 的算术平方根．用二次根式的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．公式()2a a =（a≥0），2||a a =，ab ab =（a ≥0，ab ≥0），a ab b=（0a ≥，0b >）充分体现了这一点． 三、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式任何一个二次根式都表示某个非负数的算术平方根，而只有用根号表示的算术平方根才是二次根式．如二次根式3x -表示3x -这个非负数的算术平方根，16的算术平方根16是二次根式．第四讲 二次根式的乘除法【教学目标】 知识与技能：掌握二次根式乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式乘法运 算． 会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简过程与方法：体验二次根式乘除法法则的应用过程，培养逆向思维 解决问题 引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．情感态度与价值观：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.【教学重点】掌握二次根式乘除法的运算法则【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用 【考点链接】掌握二次根式的乘除法混合运算.1. 二次根式的乘除法运算法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.2. 分母有理化的方法：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.3. 二次根式比较大小的常见方法 （1）平方法：平方法比较两数a 、b 的大小时，当a >0且b >0时，如果22a b >，那么a>b ；如果22a b <，那么a<b ；当a <0且b <0时，如果22a b >，那么a<b ；如果22a b <，那么a>b. （2）作差法：作差法比较比较两数a 、b 的大小时，如果a-b>0,那么a>b ；如果a-b<0,那么a<b.（3）作商法：作商法比较比较两数a 、b 的大小时，当a >0且b >0时，如果1a b >，那么a>b ；如果1a b <，那么a<b ；当a <0且b <0时，如果1a b >，那么a<b ；如果1ab<，那么a>b.（4）倒数法（分子有理化法）：当a >0且b >0时，如果11a b>，那么a<b ；如果11a b <，那么a>b ；当a <0且b <0时，如果11a b>，那么a<b ；如果11a b <，那么a>b .【例1】计算：（1）3224⨯ （2）4ab b ⨯ （3）22abc abc ⨯（4）b a 32÷ （5）v u u 32106÷（u>0）（6）c b c a b a 22-÷+（a>b>0） （7）122⨯ （8）b a a +÷【变式1】（1）)0(22322>>+÷-b a b a b a（2）()548327⨯- （3）121520⨯⨯（4）226(0)x xy y ⨯>（5）10521-÷ （6）132624523÷ （7）22224652a b a bx bx++-÷【例2】计算、化简： （1）312（2）72ab（3）221a b+ （4）133+（5）23341+ （6）)(n m nm n m ≠--【变式2】化简：（1）nm n m 3294+- （2）22a b a b -+ （3）()()2x xy y x y -+÷-【例3】计算:（1） 2b a b aa b a b ++-- （2）(0,0)xy y xy xy x y x y x xy ⎛⎫--÷>> ⎪ ⎪-+⎝⎭【变式3】（1）()()362185438-÷+ （2）535353--+【例4】比较下列各式的大小：（1）811+与613+ （2） 257+与358+【变式4】计算： （1）()13223-与（2）19151511--与【例5】先化简再求值.4()()()a b a ba b a b ab b a ab ⎡⎤+-+÷⎢⎥+--⎣⎦，其中a =3，b =4【变式5】已知3232,3232x y -+==+-，求代数式22353x xy y -+的值.一、选择 1. 已知x ＝()1752+，y ＝()1752-，则代数式22x xy y -+的值为（ ）A ．13B ．112C ．7D ．5 2.若15m m +=，那么1m m-等于（ ）A ．1B ．－1C ．±1 D．±5 3. 化简x yx y--等于（ ） A ．x y + B ．x y - C ．x y -+ D ．x y -- 4. 已知A ＝1322+，B ＝，则1111A B +-+等于________________. 5. 当a ＜－b ＜1，化简()21a bb ++的结果是______________.二．计算6. ()()236236-++-7. 2x y xy x yx y x y++---+8. 已知11,5353x y ==-+，求下列各式的值 （1）225x xy y -+ （2）x y x yx y x y+---+9. 已知32a b -=+，32b c -=-，求222a b c ab bc ac ++---的值.10. 已知451a =-，求出321212a a a ---的值.11. 已知2222a b =+=-，求代数式：ba ab a b ab bab a a b a b -⎛⎫+÷⋅ ⎪+-++⎝⎭的值.12. 计算： （1）104551-- （2）221111xx x x +-+++（3）()233633⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭ （4）111654246⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭（5）1122323--- （6）63223-13. 化简求值： （1）已知2231+=x ，求211xx ++的值（2）已知21x =-，分别求2221x x x x ---和223111xx x -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值14. 计算： （1）112315353----+ （2）625- 2. 化简（计算）：（1）64332(63)(32)++++（2）222694+4+1025x x x x x x +++--+（5x ≥）15. 已知171a =-，求54321999(2171817)a a a a a +--+-的值16. 化简已知11,11n n n nx y n n n n+-++==+++-（n 为自然数），问n 为何值时，代数式221913619x xy y ++的值为1998.从小立志 科学救国------ 熊庆来的故事熊庆来（1893-1969）是云南弥勒县人，中国现代数学的先驱，为中国数学事业的发展做出了杰出贡献.熊庆来的父亲熊国栋，精通儒学，但更喜欢新学，思想很开明，对熊庆来的影响很大.少年时的熊庆来从他父亲那里常听到有关孙中山民主革命的事情，这在幼年熊庆来的心田播下了爱国的种子.1907年，熊庆来考入昆明的云南方言学堂，不久又升入云南高等学堂.当时满清王朝已日薄西山，各地的反清斗争风起云涌，抗捐、抗税、罢课、罢市、兵变遍及全国，清政府陷入于风雨飘摇之中.熊庆来由于参加了“收回矿山开采权”的抗法反清的示威游行而遭到学校的记过处分.现实的生活与斗争命命名熊庆来认识到：要使国家富强，必须掌握科学，科学能强国富民.1913年，熊庆来赴欧留学.1914年，第一次世界大战爆发，他从比利时经荷兰、英国，辗转到了法国巴黎.8年间先后获得高等数学、力学及天文学等多科证书，并获得理学硕士学位.1921年，28岁的熊庆来学成归国，一心想学以致用，救民于水火.1949年6月，国民党反动政府趁熊庆来去巴黎参加国际会议的机会，解散了熊庆来苦心经营12年的云南大学.年近花甲的熊庆来怀着“壮志难酬，报国无门”的心情，决定滞留在法国继续从事函数论的研究.“……祖国欢迎你，人民欢迎你！欢迎你回来参加社会主义建设的伟大事业……”1957年4月，周总理给熊庆来写信，动员他回国.同年6月，熊庆来在完成了函数论专著稿后，毅然启程，回到了祖国的怀抱.他表示，愿在社会主义的光芒中鞠躬尽瘁于祖国的学术建设事业.在回国后的7年中，他在国内外学术杂志上发表了近20篇具有世界水平的数学论文.还培养了杨乐、张广厚等一批数学人才，为祖国赢得了荣誉，表现了这位七旬老人热爱祖国的赤子之心.第五讲二次根式复习【教学目标】知识与技能：理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由，了解最简二次根式的概念，理解二次根式的性质；掌握二次根式的加、减、乘、除运算性质，会用它们进行有关实数的简单四则运算；了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程发展学生的归纳概括能力.同时学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力.情感态度与价值观：培养学生善于思考，认真细致、一丝不苟的科学精神.二、重难点分析【教学重点】掌握本单元知识体系，理解各知识点之间的关联，会在理解二次根式的概念及性质基础上进行相关计算，解决问题.【教学难点】理解二次根式的性质和运算法则的合理性灵活应用本单元知识解题，会将本单元知识与其他单元知识综合运用.【考点链接】对重点类型及综合性比较强的题型作重点分析，养成独立的思维方式，达到举一反三的目的.1.二次根式的概念：代数式()0a a≥叫做二次根式. a有意义的条件是0a ≥.2. 二次根式的性质性质1()20a a a =≥；※2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质2()2()0a a a =≥;性质 3 ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥ ※(0,0)ab a b a b =-⋅-≤≤ 性质 4a ab b=（0,a b ≥>0）一般地,我们有22ab a b b a =⋅=. 3. 最简二次根式化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如()0m a a ≥的式子叫做最简二次根式.4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式.5. 二次根式的混合运算6. 分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术. 分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.上述的适当代数式即是指有理化因式.【例1】求下列各式有意义的所有x 的取值范围.（1）32x - （2）31x + （3）12x x +-（4）311x x++- （5）21x x -- （6）245x x --【变式1】若02=+m m ，则m ；若()111--+x 有意义，则x 的取值范围是 . 【例2】最简二次根式：根式225,4,17,,26,123ma a x x +中最简二次根式为__________________. 同类二次根式根式为_________________________.【变式2】二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0最简二次根式是A.①②B.③④⑤C.②③D.只有④若最简二次根式1522+x 与－172-x 是同类二次根式，则x =__________； 【例3】将下列二次根式分母有理化 （1）242a a ++ （2）22a a -+（3）512x（4）222p q p q --（p>q ）【变式3】分母有理化： （1）yx y y x x -- （2）21aa a ++ （3）53212-+【例4】化简： （1）()4442a ba ab b a b-÷++-（2）2224422222a a a a a a++++++-【变式4】运算与化简： （1）125-51125+14165； （2）ab ab b ab a b a ab -⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭；（3）642642+-； （4）5322-+；【例5】化简求值：已知：3232,22a b +-==，求: 33ab a b +的值.【变式5】已知实数x 满足118,x x x x +=>,求1x x-的值.一、填空题：1. 若a 是a 的算术平方根，则a 的最小值为__________.2. 下列根式中是同类二次根式的个数是__________.（1）23a b 、（2）24ab 、（3）239a b 、（4）25123ab 、（5）52a b3. 2332+的有理化因式是____________________.4. 当a ≥0时，化简：23a =______________.5. 比较1413-________1312-的大小.6. 若三角形的两条边长分别为32+和132+，则第三边x 的取值范围是___ ____.7. 已知：2a a =-1，则2(1)a --∣1-2a ∣=________.8. 使21aa--有意义的条件是___ _________.9. 若5>a>4,则22(4)(5)a a ---＝___________________. 10. 不等式()231x -≤的解集为__________.11. 设21的整数部分为x ，小数部分为y ，则25()x y y-+=______________. 12. 已知21,a =+121b =-，则a 与b 的关系是（ ）.A ． a ＝b ；B ab ＝1；C a ＝-b ；D ab ＝-1.13. 如果等式()011x +=和2(32)23x x -=-同时成立，则需要条件（ ）. Ａ．1x ≠-；Ｂ．23x <且1x ≠-；Ｃ．23x ≤或1x ≠-；Ｄ．23x ≤且1x ≠-二、计算：14. 化简3244a a a --+15. 已知： 112323x y ==+-，求：225x xy y -+.16. 若5的整数部分为a ，小数部分是b ，求：1a b-的值.17. 点P （）是第二象限的点,则2445a a a -++-=_________.18. 已知2218102x xx x ++=,则x 的值是____________. 19. 已知3,2a b ab +=-=,计算b aa b+的值.20. 若,a b 分别是613-的整数和小数部分,则求()()11a b +-的值.21. 已知a,b 分别为等腰三角形的两条边长,且a,b 满足43632b a a =+-+-,求此三角形的周长？22. 阅读理解题： 化简352-时，甲的解法是：352- =3(52)(52)(52)+-+=52+，乙 的解法是：352-=(52)(52)52+--=52+；（1）甲和乙的解法是否都正确？（2）对正确的解法请说明使用的方法或技巧，对错误的解法请加以改正.第六讲 二次根式达标测试卷21.1 二次根式：1. 使式子4x -有意义的条件是 .2. 当__________时，212x x ++-有意义.3. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 . 4. 当__________x 时，()21x -是二次根式.5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=.6. 若242x x =，则x 的取值范围是 .7. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 . 8. 化简：()2211x x x -+<的结果是 . 9. 当15x ≤<时，()215_____________x x -+-=.10. 把1a a-的根号外的因式移到根号内等于 . 11. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 . 12. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=.13. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x x x x y >+=--<++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D.a b15. 若23a <<，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()424A a =+，则A =（ ）A. 24a +B. 22a +C. ()222a + D. ()224a + 17. 若1a ≤，则()31a -化简后为（ ）A. ()11a a --B. ()11a a --C. ()11a a --D. ()11a a --18. 能使等式22x xx x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥19. 计算：()()222112a a -+-的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()()222323121232312223233224=⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=-⨯=∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421. 若2440x y y y -+-+=，求xy 的值.22. 当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值.23. 去掉下列各根式内的分母：()()21303y x x> ()()()51211x x x x ->+24. 已知2310x x -+=，求2212x x+-的值.25. 已知,a b 为实数，且()1110a b b +---=，求20052006a b -的值.21.2 二次根式的乘除26. 当0a ≤，0b <时，3__________ab =. 27. 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==.28. 计算：23________;369__________⨯=⨯=. 29. 计算：()483273_____________-÷=.30. 长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为 （精确到0.0（1）.6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. 21a + B. 21x + C.24bD. 0.1y 31. 已知0xy >，化简二次根式2yx x-的正确结果为（ ）A. yB. y -C. y -D. y --32. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A. ()2a b a b +=+ B. 22a b a b +=+ C.()22222a b a b +=+ D.()2a b a b +=+33. 23-和32-的大小关系是（ ）A. 2332->-B. 2332-<-C. 2332-=-D. 不能确定 34. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 35. 计算：（1）232⨯ （2）353x x ⨯（3）()()3540,0ab a b a b ⋅-≥≥ （4）212121335÷⨯（5）532332b ab a b b a ⎛⎫⋅-÷ ⎪⎝⎭36. 化简：()()351.0,0a b a b ≥≥ ()2.x y x y-+ ()3213.a a a ---37. 把根号外的因式移到根号内：()11.55- ()()12.11x x --21.3 二次根式的加减38. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A. 24 B. 12 C.32D. 18 39. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 8与80是同类二次根式C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式40. 与3a b 不是同类二次根式的是（ ）A.2ab B. b a C. 1abD. 3b a 41. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. 0.2bB. 1212a b -C. 22x y -D. 25ab 42. 若12x <<，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 43. 若2182102x x x x++=，则x 的值等于（ ）A. 4B. 2±C. 2D. 4±44. 若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x y -的值是（ ） A. 333- B. 3 C. 1 D. 345. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是 .46. 若最简二次根式125a a ++与34b a +是同类二次根式，则____,____a b ==. 47. 一个三角形的三边长分别为8,12,18cm cm cm ，则它的周长是 cm.48. 若最简二次根式23412a +与22613a -是同类二次根式，则______a =. 49. 已知32,32x y =+=-，则33_________x y xy +=.50. 已知33x =，则21________x x -+=.51.()()200020013232______________-⋅+=.52. 计算： ⑴. 11221231548333+-- ⑵. ()1485423313⎛⎫-÷+-+ ⎪⎝⎭⑶.()()()2743743351+--- ⑷.()()()()222212131213++--53. 计算及化简：⑴. 2211a a a a ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑵.2a b a b aba b a b-+----⑶.x y y x y x x y x y y xy x x y-+-+- ⑷.2a ab b a b aa b a ab b ab b ab ⎛⎫++--÷ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭54. 已知：3232,3232x y +-==-+，求32432232x xy x y x y x y -++的值.55. 已知：1110a a+=+，求221a a +的值.56. 已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+.第十七章 一元二次方程第七讲 一元二次方程的概念及解法（1）【教学目标】 知识与技能：1. 掌握一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否是一元二次方程.2.记住一元二次方程的一般形式，能准确求出各项的系数.3.能根据实际问题的需要，通过设未知数列出一元二次方程2. 掌握一元二次方程的解法一：开平方法.过程与方法：通过观察，归纳一元二次方程概念的教学 ；使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式.情感态度与价值观 ：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】一元二次方程系数含“-”号时不容忽视，常数中含字母时要一起带上.【教学难点】运用直接开平方法时注意通常有两个根.【考点梳理】掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的解法一1. 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2. 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成20ax bx c ++= （a 、b 、c 是已知数，0a ≠）的形式，这种形式简称一元二次方程的一般式.其中2ax 叫做二次项， a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项．3. 一元二次方程的解法 解法1：直接开平方法如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一方是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合()()20x h k k +=≥的形式.其解为x h k =-+.说明：对于一般形式下的一元二次方程不能直接用开平方法求解. 解法2：因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，这种解法，叫做因式分解法.一般步骤： 将方程右边化为0将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程. 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程.分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【例1】判断下列方程是否为一元二次方程.（1）2235x =+ （2）250x x -= （3）2230x xy --= （4）5x x +=【变式1】判断下列方程是否为一元二次方程. （1）22(3)21x x x -=+ （2）133x x x+=-（3）2()10abx a b x +++= （4）23340x x -+=【例2】当m 取何值时，方程()11320m m x x +-+-=是一元二次方程.【变式2】（1）关于x 的方程()23120k x x k --+=，当k ，方程为一元二次方程.（2）关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m 时为一 元一次方程；当m 时为一元二次方程.【例3】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. （1）2435x x -=； （2）()()22831x x x ++=-（3）3(1)2(1)8x x x -=++ （4）2(3)3y y -=-（5）234x x =+ （6）26y y =【变式3】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. （1）2()2a b x a b a -++= （a 、b 是常数，且a b ≠） （2）2(3)5726m x mx m mx --+=-（3）22(21)(1)(3)(2)y y y y --+=+- 【例4】用开平方法解下列方程：（1）()()224319310x x --+= （2）()2226x -=（3）()222312x -= （4）()()22212x +=+【变式4】用开平方法解下列方程：（1）()232x += （2）()23120x +-=（3）()23210x --= （4）()242510x ++=（5）()23127y -= （6）()()111x x -+=一、填空题 1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 3．若（k ＋4）x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______． 4．把（x ＋3）（2x ＋5）－x （3x －1）=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______．5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______．7．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是__________，一次项系数是______．8．把关于x 的一元二次方程（2－n ）x 2－n （3－x ）＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 9．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______． 二、选择题10．下列方程：（x ＋1）（x －2）=3，x 2＋y ＋4=0，（x －1）2－x （x ＋1）=x ，,01=+xx ,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是（ ）． A ．a 是任意实数 B ．与b ，c 的值有关 C ．与a 的值有关 D ．与a 的符号有关12．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是（ ）． A ．5± B ．±1 C ．±2 D ．2±13．关于x 的一元二次方程（x －k ）2＋k =0，当k ＞0时的解为（ ）．。
初中数学九年级培优教程整理(全)
【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导 】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组 】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７ 】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（ ）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故 【变式题组 】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有 对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（ ）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲 二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１ 】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导 】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组 】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２ 】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组 】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３ 】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导 】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组 】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４ 】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是 【解法指导 】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0） 【变式题组 】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ； （一）3 2 2 3 33 36 ； （二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５ 】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导 】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ， 则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形， 而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组 】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（ ）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲 一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。
初中数学培优教材
初中数学培优教材在中国的教育体系中，初中阶段是学生们打下数学基础的关键时期。
在这个阶段，一本好的数学培优教材不仅可以帮助学生掌握基础知识，还可以提升他们的思维能力和解决问题的能力。
本文将探讨如何编写一本优质的初中数学培优教材，以帮助学生在这个阶段取得更好的成绩。
在编写初中数学培优教材时，首先要注重知识结构的系统性。
一本好的教材应该按照数学知识的难易程度和内在逻辑关系，将知识点进行合理安排和组织。
同时，要注重与小学教材的衔接，以及与高中教材的过渡，使得学生在不同阶段的学习能够连贯、有序。
初中数学培优教材要强调基础知识的巩固和掌握。
教材中应该包含大量的例题和练习题，这些题目应该涵盖初中数学的所有知识点，并且难度适中，适合大多数学生的学习水平。
同时，教材中还应该设置一些进阶的题目，供学有余力的学生挑战和提高。
初中数学培优教材不仅要注重基础知识的掌握，还要培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教材中应该设置一些具有启发性的问题，引导学生主动思考和探索，培养他们的创新能力和解决问题的能力。
同时，要注重数学与实际生活的，让学生能够将数学知识应用到实际生活中去。
每个学生都是独一无二的，他们的学习需求和能力也是不同的。
因此，初中数学培优教材要学生的个性化需求，设置一些个性化的学习模块和拓展内容，供学生自主选择和学习。
同时，教材中还应该设置一些学习方法和策略的指导，帮助学生掌握正确的学习方法和技巧。
随着信息技术的发展，初中数学培优教材也应该注重与信息技术的结合。
教材中可以设置一些数字化的学习模块和在线测试系统，让学生能够随时随地进行学习和自我检测。
同时，也可以利用信息技术手段，如人工智能和大数据等，为学生提供更加精准的学习指导和个性化学习方案。
初中数学培优教材是帮助学生掌握数学知识、提升思维能力和解决问题能力的重要工具。
在编写教材时，要注重知识结构的系统性、基础知识的巩固和掌握、数学思维和解决问题能力的培养以及学生的个性化需求和与信息技术的结合等方面。
七年级数学培优教辅
七年级数学培优教辅一、教材知识巩固板块。
1. 有理数。
- 知识点梳理。
- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
例如，2是正整数， - 3是负整数，0.5是有限小数属于分数，(1)/(3)是无限循环小数也属于分数。
- 有理数的分类：- 按定义分类：有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数- 典型例题。
- 例1：将下列数分类： - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，π，3.14159，-(22)/(7)。
- 解：有理数有 - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，3.14159，- (22)/(7)；π是无理数（不属于有理数范畴）。
2. 整式的加减。
- 知识点梳理。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，3x是单项式， - 5也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如3x的系数是3，次数是1；-5的系数是 - 5，次数是0。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如，2x^2+3x - 1，它有三项，分别是2x^2、3x、 - 1，其中 - 1是常数项，这个多项式的次数是2。
- 整式：单项式与多项式统称为整式。
- 整式的加减：实质就是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
例如，3x^2y和-5x^2y是同类项。
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
- 典型例题。
- 例2：化简3a + 2b - 5a - b。
- 解：3a+2b - 5a - b=(3a - 5a)+(2b - b)= - 2a + b。
初一 上册 数学培优班培训教材
1. 正数：像3．1．+0.33等的数，叫做正数．在小学学过的数，除0外都是正数．正数都大于0． 2. 负数：像1-．3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0． 3.0既不是正数，也不是负数．4. 一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号．正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 5. 用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义． 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -．“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量． 6. 非正数：负数和0统称为非正数． 7. 非负数：正数和0统称为非负数．【例1】填空：（1）如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为___________． （2）高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示___________．（3） 向东走200-米，表示___________．模块一 正数与负数的概念有理数的概念知识精讲典型例题【巩固】冬季的一天，室内的温度是20C ︒，室外温度是12C -︒，则室内外的温差是____________度．【例2】可口可乐的外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ，627mL ，问抽查产品的容量是否合格？【例3】（1）对于“0”的说法正确的有（ ）①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0为正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数． A ． 3个 B ．4个 C ． 5个 D ．2个（2）下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ） A ． 0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例4】为了简记我班某小组同学的数学成绩，采用了以80分为标准的办法，高于80分的记为正，低于80分的成绩记为负，现有10名同学的成绩记录如下：20,10,5,15,9,3,10,8,4,16+--++-+++-，求这10名同学的平均成绩．【巩固】一位出租车司机对自己两小时的运营状况进行记录：自A 地出发，向东记为正，则向西记为负．所走路程（单位：千米）为：862452+--+-+，，，，， 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A 地的什么位置？答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在A 地的正 ______方向，距A 地 ____千米． ②若每千米耗油1．5升，则今天共耗油 _______升．能力提升1. 有理数的定义：正整数，零，负整数，正分数，负分数统称为有理数．2. 有理数的分类：整数和分数统称为有理数，其中整数包括：正整数，零和负整数．分数包括：正分数和负分数．()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数【例5】（1）下列各数中：+3、 2.1-、23-、9、 75，负有理数有（ ）A ． 2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）在192-与122-之间的整数有_________________________________．（3）有理数中，是整数而不是正数的是____________，是分数而不是正分数的是____________．【例6】（1）下列说法正确的是（ ）A ．非负有理数就是正有理数B ．非正有理数就是负有理数C ．正整数和负整数统称为整数D ． 整数和分数统称为有理数模块二 有理数的分类知识精讲典型例题（2）下列说法正确的是（）A．正数、零、负数统称为有理数B．正有理数、负有理数统称为有理数C．整数和分数统称为有理数D．小数一定是有理数能力提升【例7】在下表适当的空格里打上“√”号．模块三数轴知识精讲1．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．2．三要素：原点、正方向和单位长度．3．单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．数轴的画法①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．注意：数轴上的点不都代表有理数，如π．利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．典型例题【例8】（1）数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（）A． 3 B．5 C．3-D．2（2）有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）a11A．a＞b B．a＞b-C．a＜b D．a-＜b【例9】在数轴上，下面说法中不正确的是( )．A．两个正数，小的离原点近B．两个有理数，大数对应的点在右边C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大的离原点较远能力提升【例10】（1）与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（ ）A ．1-B ．5C ．3或3-D ．1-或5（2） 数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________【例11】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )A ．0m <，0n <，m n >B ．0m <，0n >，m n >C ．0m >，0n >，m n <D ．0m <，0n >，m n <1. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0．2. 代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．3. 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．【例12】填空：（1）3的相反数是_______，2-的相反数是_______，0的相反数是_______； （2）m -的相反数是_______，1m -+的相反数是_______，m n a b +-+的相反数是_______．（3）( 2.4)--的相反数是____________，(4)+-与_________互为相反数M模块四 相反数知识精讲典型例题【巩固】下列说法错误的是( )A ．(3)+-与(3)--互为相反数B ．(3)+-与(3)++互为相反数C ．(3)+-与(3)-+互为相反数D ．3-与(3)--互为相反数【例13】（1）如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）A ．a +和()a --互为相反数B ．a +和a -一定不相等C ．a -一定是负数D ．()a -+和()+a -一定相等（2）若a ，b 互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）A ． 2a -和2b -B ．1a +和1b +C ．1a +和1b -D ．2a 和2b（3）已知(1)a -与5-互为相反数，则_____a = 【例14】下列说法:①一个数的相反数不是负数，则这个数一定是负数； ②一个数的相反数大于它的相反数，则这个数是正数； ③若“a -”是正数，则“a ”是负数；④一个数不小于它的相反数，则这个数是正数， 正确的序号有___________1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．模块五 绝对值能力提升知识精讲2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5．3. 求字母a 的绝对值：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩4. 绝对值相同的数有两个，它们互为相反数．5. 若几个数的绝对值的和为0，那么这几个数也分别为0．6. 一个数的绝对值是非负数． 绝对值最小是数是0．【例15】（1）下列说法，不正确的是（ ）A ．数轴上的数，右边的数总比左边的数大B ．绝对值最小的有理数是0C ．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D ．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大 （2）绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例16】有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确 ( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例17】（1）已知||7||12x y ==，，且x y >，求x y +的值． 典型例题能力提升（2）已知|3||2|0x y -++=，求xy 的值．【习题1】某轿车的车圈零件的半径设计标准是200mm ，估计误差0.5±mm ，甲工人制作的零件半径为200.4mm ，乙工人制作的零件半径为199.2mm ，则__________工人制作的产品合格【习题2】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是___________ 【习题3】与原点距离不大于3个单位长度的点表示的整数是__________________ 【习题4】如下四个命题：①有理数由负有理数和正有理数组成． ②有理数由分数和整数组成． ③正有理数由正分数和正整数组成． ④负有理数由负分数和负整数组成． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【习题5】数轴上的点A 、B 分别表示数3-和2，点C 是A 、B 的中点，则点C 所表示的数是_________．【习题6】0|3||2|=++-b a ，则=a _________；=b ________ 【习题7】已知n m ,互为相反数，试求：3222nm n m +-++的值【习题8】如果||4,||3a b ==，且a b <，，试求a b +的值．课后作业【习题9】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置；（2）小明家距离小彬家多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【习题10】数轴上，N点与点O的距离为N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c ++=++【例1】计算：（1）(25)(35)-+-； （2）(12)(3)-++；（3）(8)(7)++-； （4）0(7)+-。
【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)
初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)第3讲一元二次方程的解法(P13----16)第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26)第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38)第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46)第9讲圆的基本性质(P47----51)第10讲圆心角和圆周角(P52----61)第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）第12讲圆内等积证明及变换((P70----76)第13讲弧长和扇形面积(P76----78)第14讲概率初步(P78----85)第15讲二次函数的图像和性质(P85----91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108)第18讲相似三角形的性质(P109----117)第19讲相似三角形的判定(P118-----124)第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)每天进步一点点！坚持就是胜利！第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y -=，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.是同类二次根式的是（ ）AC D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A ．=； B 不能化简；=D ==故本题应选D.【变式题组】6是同类二次根式，则a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）ACD8．已知最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=4=C= D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. 2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．==C3= D3=-10．计算：200720074)(4⋅-=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝的值为（）AB．2 CD．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式 ）A B C ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15．===，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006+++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a =，b =⑵已知x =，y =________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =b =ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A. 05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．BC ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a ---，其中12a =. 培优升级01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国）设a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3 D08．（全国）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例１】2=的值等于__________【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x++=，12x x += ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=- ） A ．1a a-B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-.【解法指导】视x －2，x 2-4x 为整体，=移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++，222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a aa a a a a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x xx -÷----的值.5．（五羊杯）已知1m =+1n =且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（）A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国）如图，点A 、C 都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则，CFb ，所以，点A 、C 的坐标为（aa ）、（2a ＋b b ），所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D 的坐标为（）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（22n ++++【例５】（五羊杯）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S 长方形ABCD＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京)已知a 、b 均为正数，且a＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ． 24B ．25C ．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京）若有理数x 、y 、z 1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京）正数m 、n 满足430m n +-=，=__________06．（河南）若1x =，则32(2(15x x x -+++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =，c =则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级01．（信利）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉）如果a b +=a b -=3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴）当12x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0 B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（34947+（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x aa +=>12．已知自然数x 、y 、z 0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。
八年级数学培优资料(全套)
八年级数学培优资料（全套）目录第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115演练巩固反馈提高119培优升级奥赛检测120第19讲勾股定理122经典·考题·赏析122演练巩固·反馈提高127培优升级•奥赛检测129第20讲平行四边形131经典•考题•赏析131演练巩固反馈提高135培优升级奥赛检测137第21讲菱形与矩形139经典·考题·赏析139演练巩固反馈提高141培优升级奥赛检测143第22讲正方形145经典•考题•赏析145演练巩固·反馈提高150培优升级·奥赛检测152第23讲梯形154经典•考题•赏析154演练巩固反馈提高. 155培优升级奥赛检测158第24讲数据的分析161经典·考题·赏析161演练巩固·反馈提高165培优升级·奥赛检测166模拟测试卷（一）169模拟测试卷(二) 172模拟测试卷（三）174A F CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O FE A C EFBD点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P ∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC PQ E F D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图 a αc ca50° b72°58°10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，Pcm /s , Qcm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌D A C .QP.BD B AC EFAE BF D CA EF C D B △A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1A B C DEAE B D C 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
初中数学培优教材
初中数学培优教材第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
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(3)在 （ ）中，a,b,c通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x的取值使得这个方程中的 的值为0，x的值即是一元二次方程 的解。
３、一元二次方程解的估算:当某一x的取值使得这个方程中的 的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程 的解。
Ａ. ﻩＢ.- ﻩﻩﻩＣ. ﻩD.
5、若关于x的方程（aｘ+ｂ）（d-ｃx)＝m(ac≠０）的二次项系数是ac，则常数项为(）
A.ｍﻩﻩB．-ｂdﻩﻩﻩﻩC.bd-ｍD．－(bd－m)
６、若关于x的方程a(ｘ－１)2=2x2-２是一元二次方程,则a的值是(）
A.2ﻩＢ.-2ﻩﻩﻩC.0ﻩD．不等于2
例6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为８ｍ，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?
【经典练习】
一、选择题
1、下列关于x的方程：①１.5x2＋1=0；②2.3x2+ +1=０;③3.４x2＝ax(其中a为常数);④2x2＋3ｘ＝0;⑤ =2x;⑥ =２x中,一元二次方程的个数是（）
2、方程x2-2(3ｘ－2)+（x+１)＝0的一般形式是 （)
A.x２－5x+5＝0ﻩB.ｘ2+5x＋5=0Ｃ．ｘ2+５ｘ－5=０ﻩD.ｘ2+５=0
３、一元二次方程 的二次项、一次项、常数项依次是()
A．７x２,2ｘ,1ﻩＢ.７x2，-２x,无常数项C.7ｘ２,0，２xﻩﻩD.7x2,-2x,－４
4、方程x2－ =( － ）x化为一般形式，它的各项系数之和可能是(）
Ａ.５(1＋x）=９B．5（1＋ｘ）2=9
C．5(1+ｘ）+5（1+x)2＝９D.５+5(1+ｘ)＋５(1+x)2=9
(2)某商品成本价为30０元，两次降价后现价为160元,若每次降价的百分率相同，设为x,则方程为＿_____＿__＿__＿.
例５、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8m，宽为５ｍ，如果地毯中央长方形图案的面积为１8 m2，那么花边有多宽？（列出方程并估算解得值)
４、若x=１是方程aｘ２＋bx＋c＝0的解，则
Ａ．a+b+c=1B.ａ－b＋c=０Ｃ.a+b+c=０D.ａ-ｂ-ｃ=0
二、填空题
１、将 化为一般形式为_＿___＿＿＿＿_，此时它的二次项系数是. ___＿___＿＿_，一次项系数是_______＿＿_，常数项是______＿_＿＿。
2、如果（a＋２)x2＋４ｘ+３=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为_________＿_．
A、1B、2 C、3D、4
2、方程x2－２(3x－２)＋（x＋１）＝0的一般形式是
Ａ．x2-5x＋5=0ﻩＢ.ｘ２+5x+5=０C.x２+５x-5=0ﻩD.x２+5=0
3、一元二次方程7ｘ2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是
A.7x２,2ｘ，0ﻩﻩB．7ｘ2，－2ｘ，无常数项
Ｃ.7x2，0,2xD.7ｘ２,-2x,0
(3)关于x的方程 是一元二次方程吗?为什么？
例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)２x2―ｘ+1=0(２)－5x2＋1＝6ｘ（3)(x＋1）2＝2x(４）
例4、(1)某校办工厂利润两年内由５万元增长到９万元，设每年利润的平均增长率为ｘ,可以列方程得（）
三、解答题
1、某商场销售商品收入款:3月份为２5万元,5月份为36万元,该商场４、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
【课后作业】
一、填空题
１、方__＿_＿____,其二次项是_＿_____＿__，一次项是___＿＿_＿＿_＿，常数项是_____＿____.
2、若关于x的方程 是一元二次方程，这时a的取值范围是_＿__＿＿＿＿
3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由3０万亩增加到42万亩,若设植树面积年平均增长率为x,根据题意列方程____＿_＿＿_.
二、选择题
１、下列方程中，不是一元二次方程的是（)
Ａ.2x2+7=0B.２x２＋2 x+１=０C.5x2＋ +４＝0D.3x2+(1＋ｘ) +1＝0
3、已知两个数之和为６,乘积等于５，若设其中一个数为x，可得方程为＿_＿＿_＿＿______.
4、某高新技术产生生产总值,两年内由5０万元增加到7５万元,若每年产值的增长率设为ｘ,则方程为___________.
5、某化工厂今年一月份生产化工原料１5万吨,通过优化管理,产量逐月上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x,可列出方程为____＿____＿___.
7、若x=-1是方程ax2+ｂx＋c=0的解,则()
A.a+ｂ+c=１Ｂ．a-b+c=0C.-a＋b＋ｃ=0ﻩﻩD.a－b－ｃ=0
第二讲一元二次方程(配方法)
【学习目标】
1、会用开平方法解形如 的方程。
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
【经典例题】
例1、下列方程中,是一元二次方程的是
① ；② ；③ ；④ ;⑤ ；
⑥ ;⑦ ;⑧ ；⑨ ；⑩
例２、（1)关于x的方程(m－4)ｘ２+(ｍ+4)x+2ｍ+3＝0，当m__＿_＿__＿__时，是一元二次方程，当m＿_________时，是一元一次方程.
(2）如果方程aｘ2+5=(x＋2）(ｘ－1)是关于x的一元二次方程,则ａ_＿________.
初中数学培优教材
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初中数学培优教材
第一讲 一元二次方程
【学习目标】
1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
２、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
【知识要点】
１、一元二次方程的定义:只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为 (a、b、c、为常数, )的形式,这样的方程叫做一元二次方程。
(１）定义解释:①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是２。这三个条件必须同时满足,缺一不可。