2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
精品2019-2020人教版九年级数学上册第24章 圆单元培优试题含解析
人教版九年级数学上册《第24章圆》单元培优试题一．选择题（共10小题）1．如图，点A，B，C在圆O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．54°C．36°D．18°2．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．123．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（）A．4B．3C．2D．14．已知⊙O的半径为2，一点P到圆心O的距离为4，则点P在（）A．圆内B．圆上C．圆外D．无法确定5．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（）A．9B．3C．D．6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．10C．D．7．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等D．相等的弦所对的弧相等8．如图，C是半圆⊙O内一点，直径AB的长为4cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC 绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．πC．4πD．+π9．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断10．如图，在半径为6的⊙O中，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．27﹣9B．18C．54﹣18D．54二．填空题（共8小题）11．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）12．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝度．13．如图，有一座石拱桥，上部拱顶部分是圆弧形，跨度BC＝10m，拱高为（10﹣5）m，那么弧BC所在圆的半径等于．14．如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于度．15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是．16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm （结果保留π）．17．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为．18．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝50°，则∠A＝．三．解答题（共8小题）19．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数．20．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．21．如图，⊙O的直径AB为5，弦AC为3，∠ABC的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求AD的长．22．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB＝CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1＝∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．23．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，求此圆锥侧面展开图的圆心角．24．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．25．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝75°，D是⊙O上的点．（Ⅰ）如图①，求∠ADC和∠BDC的大小；（Ⅱ）如图②，OD⊥AC，垂足为E，求∠ODC的大小．26．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：∠BAC＝∠BOC＝×72°＝36°．故选：C．2．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选：D．3．解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．4．解：∵⊙O的半径分别是2，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：C．5．解：设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，∴＝3π，∴r＝，故选：C．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD ＝＝＝3，∴AD ＝OA +OD ＝5+3＝8，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AB ＝＝4，故选：D ． 7．解：A 、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意． B 、正确．C 、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．D 、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B ．8．解：∵∠BOC ＝60°，△B ′OC ′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B ′OC ′＝60°，△BCO ＝△B ′C ′O ，∴∠B ′OC ＝60°，∠C ′B ′O ＝30°，∴∠B ′OB ＝120°，∵AB ＝4cm ，∴OB 21cm ，OC ′＝1，∴B ′C ′＝，∴S 扇形B ′OB ＝＝π，S 扇形C ′OC ＝＝π，∴阴影部分面积＝S 扇形B ′OB +S △B ′C ′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C ′OC ＝S 扇形B ′OB ﹣S 扇形C ′OC ＝π﹣π＝π；故选：B ．9．解：∵x 2﹣3x ﹣4＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∵⊙O 的半径为一元二次方程3x ﹣4＝0的根，∴r ＝，4，∵d ＞r∴直线l 与⊙O 的位置关系是相离，故选：A ．10．解：设EF 交AH 于M 、交HD 于N ，连接OF 、OE 、MN ，如图所示：根据题意得：△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，∴EF＝OF＝6，∴△EFO的高为：OF•sin60°＝6×＝3，MN＝2（6﹣3）＝12﹣6，∴FM＝（6﹣12+6）＝3﹣3，＝4×（3﹣3）×3＝54﹣18；∴阴影部分的面积＝4S△AFM故选：C．二．填空题（共8小题）11．解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，又∠D﹣∠B＝40°，∴∠B＝70°；故答案为：70．13．解：设圆弧所在圆的圆心为O，半径为r，连接OB，过O作OA⊥BC于D交于A，则BD＝BC＝5，AD＝10﹣5，∴OD＝r﹣10+5，∵OB2＝BD2+OD2，∴r2＝52+（r﹣10+5）2，解得：r＝10，故答案为：10．14．解：相邻两齿间的圆心角α＝＝12°，故答案为：12．15．解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故答案为：2．16．解：连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝2可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：＝．故答案为17．解：①当点O在三角形的内部时，如图所示：则∠BAC＝∠BOC＝35°；②当点O在三角形的外部时，如图所示；则∠BAC＝（360°﹣70°）＝145°故答案为：35°或145°．18．解：连结ID、IF，如图，∵∠DEF＝50°，∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A+∠DIF＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°．三．解答题（共8小题）19．解：连结OC，如图，∵CE＝AO，而OA＝OC，∴OC＝EC，∴∠E＝∠1，∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，∵OC＝OD，∴∠D＝∠2＝2∠E，∵∠BOD＝∠E+∠D，∴∠E+2∠E＝75°，∴∠E＝25°．20．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间应是：320÷20＝16（秒）．21．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理，得（2）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴．22．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠PAC，∴△BEC≌△APC，∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴．（4分）（3）答：；证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴∴（7分）23．解：∵圆锥底面半径是3，∴圆锥的底面周长为6π，设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，＝6π，解得n＝180，答：此圆锥侧面展开图的圆心角是180°．24．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．25．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝75°，∴∠ADC＝105°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BD，∵OD⊥AC，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD＝×75°＝37.5°，∴∠ACD＝∠ABD＝37.5°，∵∠DEC＝90°，∴∠ODC＝90°﹣37.5°＝52.5°．26．解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB•BQ＝（5﹣t）•2t．∴（5﹣t）•2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．。
2019--2020学年度九年级(上)数学培优试卷3
2019--2020学年度九年级（上）数学培优试卷一.选择题（每题7分）1.抛物线c bx ax y ++=2的顶点为(4，-11)，且与x 轴的两个焦点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的是（ ）A.只有aB.只有bC.只有cD.有a 和b2.如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（ )A.b=a+cB.b=acC.222c a b +=D.b=2a=2b3.在△ABC 中，∠B=2∠C ，则下列结论正确的是（ ）A.ab c b =-22B.ab c b 222=-C.ac c b =-22D.ac c b 222=-4.矩形ABCD 中，AC 、BC 交于点G,E 为AD 中点，若BE ⊥AC ，则下列四对三角形①△BEA 与△ACD ②△FED 与△DEB ③△CFD 与△ABG ④△ADF 与△CFB ，其中相似的为（ ）A.①④B.①②C.②③④D.①②③第2题 第3题 第4题5.如图，梯形ABCD 中，AB ‖CD,AC 与BD 相交于点O,△BOC 的面积为1，证梯形的面积为S 1，△ABO 、△CDO 的面积分别为S 1、S 2，则（ ）A.S<4B.S>4C.S 1·S 2 >1D.S 1·S 2 <1二．填空题（每题7分）6.如图，O 为△ABC 内一点，过O 分别作三边的平行线，若三个三角形的面积分别为S 1=1，S 2=4，S 3=9，则△ABC 的面积为_________.7.在△ABC 中，∠A=900，AB=AC=2，E 为AC 中点，F 为BC 上一点，且FE ⊥BE,则△FCE 的面积为 .第5题 第6题 第7题 第9题8.设二次函数y 1的最大值为5，y 2的最小值为-2，且y 1+y 2=x 2+16x+13,如果x=a时，y 1=5,y 2=25,则y 2的关系式为y 2=_______________.9.△ABC 中，D 为BC 边中点，G 为AD 边中点，过点G 的直线分别交AC 、BC 于点P 、Q ，设CP:CA=m ，CQ:CB=n ，则nm 11 = . 10.用一个正方形硬纸片完全盖住边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的一个三角形盒子，这张正方形纸片的边长最小是_________cm.三．解答题（每小题15分）11.如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AD 上一点，且满足AE:ED=CD:DB,DF ⊥BE,求证：∠AFC=900.第11题12.已知A(8,0)、B(0，6)，两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（O→A→B→O）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位.(1)在前3秒内，求△OPQ的最大面积.(2)在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标.(3)在前15秒内，探究P、Q平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标.第12题。
人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册28.1二次函数的图象和性质自主学习培优训练题A(含答案)
人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.1二次函数的图象和性质自主学习培优训练题A （含答案）1．抛物线y ＝x 2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为【 】A ．()232y x =++B ．()232y x =+-C ．()232y x =-+D ．()232y x =--2．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若，则x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．0＜x ＜3C ．2＜x ＜3D ．x ＜0或x ＞3 3．二次函数2y ax bx c =++图象的大致位置如图，下列判断错误的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0c >D ．02b a> 4．二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是( )A ．抛物线开口向上B ．y 最大值为4C ．当x>1时，y 随著x 的增大而减小D ．当0<x<2时，y>2 5．下列说法中错误．．的是（） A ．在函数中，当时有最大值 B ．在函数中，当时随的增大而增大C ．抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线的开口最大 D ．不论是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点 6．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ．y=3x-1B ．y=a +bx+cC ．s=2-2t+1D ．y=+7．抛物线y=（x ﹣2）2的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（﹣2，0）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）8．正方形的边长为3，若边长增加x 时，面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．y ＝x 2＋9B ．y ＝(x ＋3)2C ．y ＝x 2＋6xD ．y ＝9－3x 29．抛物线269y x x =-+的顶点坐标是______，对称轴是_____.10．抛物线2y ax bx c =++经过点A （-3，0），B （1，0），则抛物线的对称轴是__________．11．已知（-1， 1y ），（3， 2y ）是抛物线24y x x m =++图象上的点，请将12,y y 用“＜”号连接________．12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y =x 2与y =–x 2的图象，则阴影部分的面积是__________．13．如图将抛物线L 1：y=x 2+2x+3向下平移10个单位得L 2，而l 1、l 2的表达式分别是l 1：x=﹣2，l 2： 12x =，则图中阴影部分的面积是_____．14．二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是_________．15．如果函数()23231k k y k x kx -+=-++是二次函数，那么k 的值一定是_______.16．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1，若y 随x 增大而增大，则x 的取值范围是____. 17．已知二次函数y=-x 2-2x+3．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）设抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，求A ，B ，C 的坐标（点A 在点B 的左侧），并画出函数的图象；（3）根据图象，写出当y <0时， x 的取值范围.18．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+8（a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣2，0）， B （4，0）与y 轴交于点C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（Ⅱ）求△BCD 的面积；（Ⅲ）若直线CD 交x 轴与点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 与点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．19．三、解答题12．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y＝x2的关系；(6)当x取何值时，y随x增大而减小；(7)当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?(9)当y取何值时，－4＜x＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．20．已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．21．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．22．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？（2）若要使商场平均每天的盈利最多，请你为商场设计降价方案．23．已知抛物线经过点（0,3），（1,0），（3，0），求此抛物线的函数解析式.24．已知函数y=0.5x2+x﹣2.5．请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标．参考答案1．D【解析】抛物线y ＝x 2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为()232y x =--，故选D.2．C【解析】 试题分析：∵二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），∴由图象得：若，则x 的取值范围是：2＜x ＜3．故选C ．考点：二次函数与不等式（组）．3．D 【解析】试题解析：由图象可看出：a ＜0，b ＞0，c ＞0，则A 、a ＜0，正确；B 、c ＞0，正确；C 、b ＞0，正确；D 、2b a ＞0，错误，对称轴为直线x=−2b a ＞0， 2b a＜0． 故选D ．4．D【解析】 将表中的前三对对应值代入解析式得：，解得： ， ∴二次函数解析式为：，化为顶点式为：， ∴抛物线的开口向下，最大值是4.25，对称轴是直线：， ∴①A 、B 选项的说法错误；②当时，随的增大而增大. ∴选项C 的说法错误； ∵在中，当时，；当时，，且抛物线开口向下，对称轴为直线：， ∴当时，，即选项D 的说法正确.故选D.5．C【解析】A ．在函数y =-x 2中，当x =0时y 有最大值0，正确，因为：此抛物线顶点坐标在原点，开口方向向下，故当x =0时y 有最大值0；B ．在函数y =2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大，正确；因为此抛物线对称轴为y 轴，开口方向向上，则x ＞0时y 随x 的增大而增大；C ．抛物线y =2x 2，y =-x 2，y =-x 2中，抛物线y =2x 2的开口最小，抛物线y =-x 2的开口最大；错误；根据绝对值越大开口越小，可得抛物线y =2x 2的开口最小，抛物线y =-x 2的开口最大； D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点，正确，因为y =ax 2（a ≠0）的顶点始终为原点．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大．6．C【解析】A 、y ＝3x−1是一次函数，故A 错误；B 、y ＝ax²＋bx ＋c （a≠0）是二次函数，故B 错误；C 、s ＝2t²−2t ＋1是二次函数，故C 正确；D 、y ＝x²＋不是二次函数，故D 错误；故选：C ．7．A ．【解析】试题分析：因为抛物线y=（x ﹣2）2是顶点式，顶点坐标是（2，0）．故选A ．考点：二次函数的性质．8．C【解析】原正方形的边长为3，增加x ，则边长为3＋x ，面积为(3＋x)2，∴y ＝(3＋x)2－32＝9＋6x ＋x 2－9＝x 2＋6x.故选C.9． ()30， 3x =【解析】试题分析：对于二次函数()2y a x m k =-+的顶点坐标为(m ，k)，对称轴为直线x=m ．将原二次函数配方成顶点式可得： ()2y x 3=-，则函数的顶点坐标为(3,0)，对称轴为直线x=3．10．1x =-【解析】因为二次函数与x 轴的交点是关于对称轴对称的两点,根据对称性可得:抛物线的对称轴1231122x x x +-+===-,故答案为: 1x =-. 11．12y y <．【解析】把（-1， 1y ），（3， 2y ）代入抛物线有， 123,13y m y m =-+=+,显然12y y <.12．8【解析】函数y =x 2与y =–x 2的图象关于x 轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4×=8. 点睛：本题考查了抛物线的性质，熟知与的图象关于x 轴对称是解决问题的关键.13．25【解析】如图所示：阴影部分即为矩形DEFG 的面积，∵y=x 2+2x+3向下平移10个单位得L 2，∴DE=10，∵l 1、l 2的表达式分别是l 1：x=-2，l 2：x ＝，∴DG=52， ∴则图中阴影部分的面积是：10×52=25，故答案为：25．14．(1,3)【解析】解：∵抛物线解析式为y =-（x ﹣1）2+3，∴二次函数图象的顶点坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）．15．0【解析】∵函数()2k3k 2y k 3x kx 1-+=-++是二次函数，∴k 2−3k+2=2，则k 2−3k=0， 故k 的值一定是0.故答案为：0.16．x ≤1【解析】试题解析：二次函数221y x x =-++的对称轴为： 1.2b x a=-= y 随x 增大而增大时， x 的取值范围是 1.x ≤故答案为： 1.x ≤17．（1）顶点M 的坐标为（-1,4）；(2)略；（3）x < -3或x >1【解析】试题分析:(1)先配方得到顶点式: ()214y x =-++,则可写出顶点坐标,(2)把x =0代入解析式可求得对应函数值,即可求得抛物线与y 轴交点C 的坐标,把y =0代入解析式求得对应的自变量,即可求得抛物线与x 轴的交点A ,B 的坐标,然后描点画图,(3) 观察二次函数图象y <0的部分所对应的自变量x 的取值范围,可得x < -3或x >1.试题解析:（1）y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4, ∴ 抛物线顶点M 的坐标为（-1,4）,(2) 把x =0代入()214y x =-++可得y =3,所以点C (0,3), 把y =0代入()214y x =-++,解得: 1x =-32x =1,所以点A (-3,0),B (1,0),（3）由图象可知, x < -3或x >1.18．（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法求出抛物线的解析式，通过对解析式进行配方能得到顶点D 的坐标；（Ⅱ）先求出直线BC 解析式，进而用三角形的面积公式即可得出结论．（Ⅲ）首先确定直线CD 的解析式以及点E ，F 的坐标，若抛物线向上平移，首先表示出平移后的函数解析式；当x=﹣8时（与点E 横坐标相同），求出新函数的函数值，若抛物线与线段EF 有公共点，那么该函数值应不大于点E 的纵坐标．当x=4时（与点F 的横坐标相同），方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位． 试题解析：（Ⅰ）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得：428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）； （Ⅱ）如图1，∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，∴C（0，8），∵B（4，0），∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12×3×1+12×3×3=6．（Ⅲ）如图2，∵C（0，8），D（1，9）；代入直线解析式y=kx+b，∴89 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：18 kb=⎧⎨=⎩，∴y=x+8，∴E点坐标为：（﹣8，0），∵B（4，0），∴x=4时，y=4+8=12∴F点坐标为：（4，12），设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；当x=﹣8时，y=m﹣72，当x=4时，y=m，∴m﹣72≤0 或m≤12，∴0＜m≤72，∴抛物线最多向上平移72个单位．考点：二次函数综合题．19．(1)y＝2(x＋1)2－8；(2)开口向上，直线x＝－1，顶点(－1，－8)；(3)与x轴交点(－3，0)(1，0)，与y轴交点(0，－6)；(4)图略；(5)将抛物线y＝x2向左平移1个单位，向下平移8个单位；然后图像上所有点横坐标扩大为原来的2倍，得到y＝2x2＋4x－6的图象；(6)x≤－1；(7)当x＜－3或x＞1时，y＞0；当x＝－3或x＝1时，y＝0；当－3＜x＜1时，y＜0；(8)x＝－1时，y最小值＝－8；(9)－8≤y＜10；(10)S△＝12．【解析】试题分析：（1）将函数表达式配方成顶点式形式，先将二次项、一次项分别提取a，然后加上，再减去即可得到y＝2(x＋1)2－8.（2）由a值的正负，或图像可判断开口方向。
2019--2020学年度九年级(上)数学培优试卷9
2019--2020学年度九年级（上）数学培优试卷一、选择题（每小题7分，共35分）1、已知三条抛物线222123,24,1y x x m y x mx y mx mx m =-+=++=++-中至少有一条与x 轴相交，则实数m 的取值范围是（ ）A.423m << B.43m ≤且0m ≠ C.2m ≥ D.43m ≤且0m ≠或2m ≥ 2、正实数,x y 满足1xy =，那么44119x y +的最小值为（ ) A.23B.54C.121 D.142 3、如果,a b 为给定的实数，且1,a b <<那么1，1,2,1a a b a b ++++这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） A.1 B.214a - C.12 D.144、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，有下列结论；①240b ac ->；②0abc >③80a c +>④930a b c ++<其中正确的个数有（ ）A.1B.2C.3D.45、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点（1,0-），且满足420a b c ++>，以下结论：①0a b +>；②0a c +>；③0a b c -++>；④2225b ac a ->.其中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、选择题（每小题7分，共35分）1、若2121x x a ++->对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是 .2、设已知二次函数2()f x ax bx c =++的系数,,a b c 都是整数，并且(19)(99)1999,1000f f c ==<，则c = .3、已知252000x =，802000,y =则11x y+= .4、已知当123,,x a x b x c ===时，二次函数212y x mx =+对应的函数值分别为123,,y y y ，若正整数,,a b c 恰好是一个三角形的三条边，且当a b c <<时，都有123y y y <<，则实数m 的取值范围是 . 5、设正实数,,x y z 满足21x y z ++=，则19()x y x y y z++++的最小值为 .三、解答题（每小题15分，共30分）1、已知m 为整数，方程230x mx n -+-=有两个不相等的实数根，方程2(6)70x m x n +-+-=有两个相等的实数根，方程2(4)50x m x n +-+-=没有实数根，求2011()m n -的值。
人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册期中综合复习培优训练题4(含答案)
人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册期中综合复习培优训练题4（含答案） 1．已知⊙O 的半径为4，点O 到直线m 的距离为3，则直线m 与⊙O 公共点的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线为（ ）A ．y=﹣2（x ﹣1）2﹣2B ．y=﹣2（x+1）2﹣2C ．y=﹣2（x ﹣1）2+4D ．y=﹣2（x+1）2+43．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）A ．y =﹣（x ﹣2）2﹣1B ．y =﹣（x ﹣2）2﹣1C ．y =（x ﹣2）2﹣1D ．y = （x ﹣2）2﹣14．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC=11，AB=8，BC=9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ）A ．6B ．9C ．11D ．12 5．已知，二次函数的图象上有三个点，，，则有（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭在函数24612y x x =++的图像上，则1y ， 2y ， 3y 的大小关系为（ ）．A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >> 7．如图，△ABC 是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm ，AC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△PAQ 的最大面积是（ ）A ．8cm 2B ．9cm 2C ．16cm 2D ．18cm 2 8．反比例函数6y x=图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 2＜y 1＜y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 19．已知∠AOB=30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M 与OA 相切，切点为N ，则△MON 的面积为_________________. 10．如图，直线y x b =-+与双曲线1(0)y x x=>交于、A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交干E 、F 两点， AC x ⊥轴于点,C BD y ⊥轴于点D ，当b =_____时， ACE ∆、BDF ∆与ABO ∆面积的和等于EFO ∆面积的34.11．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．12．某拖拉机油箱内有24升油，请写出这些油可供使用的时间y 小时与平均每小时耗油量x 升/时之间的函数关系式：________ ． 13．已知反比例函数的图象经过点，则m 的值为______．14．如图，△ABC 内接于⊙O ，要使过点A 的直线EF 与⊙O 相切于A 点，则图中的角应满足的条件是________(只填一个即可)．15．如图，已知菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，反比例函数（x ＞0）的图象恰好经过点C ，且与AB 交于点D ，若△OCD 的面积为2，则点B 的坐标为__________.16．如果点(a,－3a)在双曲线y=上，那么k_________0.17．如图，将一个的直角三角形板的斜边放在轴上，直角顶点在反比例函数的图象上，，求点的坐标．18．有这样一个问题：探究函数y=x﹣2x的图象和性质．小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：．19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，圆心O是正方形的对称中心，⊙O的面积为S1，正方形的面积为S2，则以圆心O为顶点，作∠MON=90°，将∠MON绕O点旋转，OM、ON分别与⊙O交于E、F，分别于正方形ABCD交于G、H，设由OE、OF、EF及正方形ABCD的边围成的图形（阴影部分）的面积为S，那么：（1）如图①，当OM经过点A时，S、S1、S2之间的关系（用S1、S2的代数式表示S）为；（2）如图②，当OM⊥AB交于点G时，①中的结论还成立吗？并说明理由；（3）如图③，∠MON旋转到任意位置时，则①中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．20．如图，抛物线y=﹣（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A 在B的右侧），与y轴交于点c．（1）求△AOC的周长，（用含m的代数式表示）（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2=PC•PA，求tan∠APO 的值及用含m的代数式表示点P的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n的取值范围．21．某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x 元，每周的销售利润为y 元．（1）用含x 的代数式表示：每件商品的销售价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品销售量为 件；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？ 22．如图，将一矩形放在直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点是边上的一个动点（不与点、重合），过点的反比例函数的图象与边交与点．若、的面积分别为、，且，求的值；在的结论下，当，时，求三角形的面积．23．如图，直线132y x =-与抛物线2y x bx c =-++相交于A (),4m -和B （4，n ）两点，点P 是抛物线位于线段AB 上方异于点A ，B 的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，交线段AB 于点Q ． （1）求抛物线的解析式；（2）在P 点运动过程中，线段PQ 的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）直线AB 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，若△PBQ 与△ODC 相似，求点P 的坐标．24．点，都在反比例函数的图象上，则________．参考答案1．C【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论.【详解】解：∵d=3＜半径=4,∴直线与圆相交,∴直线m与⊙O公共点的个数为2个,故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l 和⊙O相离⇔d＞r．2．B【解析】【分析】写出抛物线的顶点坐标，根据点的平移规律，得到平移之后的顶点坐标，写出抛物线的解析式即可.【详解】抛物线的顶点坐标为(0,1)，向左平移1个单位,再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为(−1,−2)，所以,平移后的抛物线的解析式为故选：B.【点睛】考查二次函数图形的平移，平移不改变的大小，解题的关键是通过点的平移规律得到新抛物线的顶点坐标.3．C【解析】解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k．∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入得a=1，所以y=（x﹣2）2﹣1．故选C．点睛：主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y=a（x﹣h）2+k．4．D【解析】【分析】设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M．根据切线长定理得到NC=MC，QE=DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．【详解】如图，设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=11-x．则有9-x+11-x=8，解得：x=6．所以△CDE的周长=CD+CE+QF+DQ=2x=12．故选D．【点睛】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．5．D【解析】【分析】由二次函数可知，此函数的对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0），二次项系数-a＞0，故此函数的图象开口向上，有最小值；函数图象上的点与y轴越接近，则函数值越小，因而比较A、B、C三点与对称轴的距离的大小即可．【详解】函数的对称轴为x=0，二次函数y=-ax2开口向上，有最小值，∵A到对称轴x=0的距离是2；B到对称轴x=0的距离是1；C到对称轴x=0的距离是3．∴y3＞y1＞y2．即.故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．6．C【解析】x=-1时，y1=4×（-1）2+6×（-1）+12=10；x=132-时，y2=4×272⎛⎫-⎪⎝⎭+6×72⎛⎫-⎪⎝⎭+12=40；x=12时，y3=4×（12）2+6×12+12=16，所以，213y y y>>．故选B.7．C【解析】【分析】设经过t时间s运动停止，列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．【详解】根据题意，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP=2t，AQ=t，S△APQ=t2，∵0＜t≤4，∴△PAQ的最大面积是16cm2．故选：C．【点睛】考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题，难度较大，关键列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．8．A【解析】k=6＞0，所以反比例函数图像位于一三象限，并且当x＜0时，y随着x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3.故选A.点睛：已知反比例函数解析式和点的横坐标要比较纵坐标大小，可以数形结合，借助图像的性质进行比较.9．2cm2【解析】【分析】根据题意，画出图形（如图所示），连接MN，N为切点，根据MN⊥AO、∠AOB=30°，2cm 为半径，利用直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半可得OM=4cm，根据勾股定理求得ON=cm，最后由三角形的面积公式求解即可．【详解】根据题意，画出图形（如图所示），连接MN，∵⊙M与OA相切，∴MN⊥AO，∵∠AOB=30°，2cm为半径，∴OM=2MN=2×2=4cm．∴ON=cm.∴△MON的面积为：ON·MN=( cm2).故答案为：2cm2.【点睛】本题考查了切线的性质、30°角直角三角形的性质，根据直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半求得OM=4cm是解决本题的关键．10．【解析】解:直线y x b =-+得:y=b,OF=b , 令y=0,解得:x=b ,则OE =b,则S △EOF =21b OE OF 22=,S △OBD =S △AOC =12, 又ACE BDF ABOEFO3SS SS 4++=,OBD AOCEOF,1SSS 4∴+=211b 1,42∴⨯=∴b=±,b ..点睛：（1）一次函数与方程的关系：求一次函数图像与x 轴交点，令y =0(与x 轴的方程联立),求一次函数图像与y 轴的交点，令x =0(与y 轴的方程联立). (2)过反比例函数y=kx（k ≠0），图像上一点P （x,y ），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S=x y k =.过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为12k .所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数从而有k 的绝对值.在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便. 11． 向下 相同， (0，0) y 轴．【解析】解：抛物线y ＝－2x 2的开口方向是向下，它的形状与y ＝2x 2的形状相同，它的顶点坐标是（0，0），对称轴是y 轴．故答案为：向下；相同； （0，0） ；y 轴． 12．24y x=【解析】解：由题意得：这些油可供使用的时间y 小时与平均每小时耗油量x 升/时之间的函数关系式为24y x =．故答案为： 24y x=．【解析】【分析】把A点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出答案．【详解】∵反比例函数y=的图象经过点A（m，-2），∴代入得：-2=，解得：m=-4，故答案为：-4．【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标，能理解函数图象上点的特点是解此题的关键．14．∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B【解析】所填写的条件只需要使EF垂直于过点A的半径即可.故答案为∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B.15．（，2）【解析】【分析】设点A的坐标为（a，0），点C的坐标是（c，），根据反比例函数的性质和已知条件：△OCD的面积为2，可得到关于a和c的方程组，解方程组求出a和c的值即可得到B的坐标．【详解】由题意设点A的坐标为（a，0），点C的坐标是（c，），∴，解得，，∴点A的坐标是（2，0），点C的坐标是（2，2），∴点B的坐标是（2+2，2），故答案为：（2+2，2）．【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．【解析】【分析】根据k=xy即横纵坐标相乘得比例系数解答:k=a×（-3a）=-3a2，-3a2一定是负数，所以k＜0．【详解】∵点（a，-3a）在双曲线y=kx上，∴k=a×（-3a）=-3a2，-3a2一定是负数，所以k＜0．故答案为：＜【点睛】本题考核知识点：反比例函数性质.解题关键点：熟记反比例函数性质.17．或．【解析】【分析】因为点A在反比例函数的图象上，且Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，能求出点A的纵坐标，进而求出横坐标到点C的长，从而能求出C的坐标．【详解】作AD⊥BC于D点，∵∴∵A在反比例函数的图象上，∴A的横坐标为∴当C点在D点的左侧时,其横坐标为：当C点在D点的右侧时,其横坐标为：故答案为：或．【点睛】本题考查反比例函数的综合题,关键知道直角三角形中角所对的边和斜边的关系,以及反比例函数知道纵坐标求横坐标的知识点.18．（1）x≠0；（2）m=﹣1；（3）图象见解析；（4）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x ＞0时，y随x的增大而增大（一条即可）．【解析】分析：(1)分母不等于0即可得; (2)将代入解析式即可得m的值; (3)将各点分y轴左右两侧,按自变量总小到大用平滑曲线依次连接可得; (4)结合图象可从函数的增减性、与y轴交点情况及对称性解答均可.本题解析：（1）函数y=x﹣的自变量x的取值范围是x≠0，故答案为：x≠0．（2）当x=1时，y=1﹣2=﹣1，即m=﹣1．（3）此函数的图象如右图所示．（4）此函数的性质：①当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而增大．②关于原点成中心对称．③函数的图象与y轴无交点．故答案为：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而增大（一条即可）．点睛：本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．19．（1）；（2）成立；（3）成立.【解析】【分析】（1）如图①，利用正方形的性质得到∠AOB=90°，则可判断OM经过点A时，ON经过点B，根据扇形的面积公式，利用S=S扇形EOF﹣S△AOB得到S=•（S1﹣S2）；（2）如图②，先证明ON⊥BC，利用S=S扇形EOF﹣S矩形OGBH得到S=•（S1﹣S2），从而判断（1）的结论成立；（3）如图③，连接OB、OA，先证明∠AOE=∠BOH，则判断△AOG≌△BOH，从而得到S△AOG=S△BOH，所以S四边形OGBH=S△AOB，然后利用S=S扇形EOF﹣S四边形OGBH=S扇形EOF﹣S△AOB得到S=•（S1﹣S2），于是可判断（1）中的结论成立．【详解】（1）如图①．∵正方形ABCD内接于⊙O，圆心O是正方形的对称中心，∴∠AOB=90°．∵∠MON=90°，∴OM经过点A时，ON经过点B，∴S=S扇形EOF﹣S△AOB=•S1﹣S2=•（S1﹣S2）．故答案为：•（S1﹣S2）；（2）成立．理由如下：如图②，当OM⊥AB交于点G时．∵∠ABC=90°，∠GOH=90°，∴∠OHB=90°，∴ON⊥BC，∴S=S扇形EOF﹣S矩形OGBH=•S1﹣S2=•（S1﹣S2）；（3）成立．理由如下：如图③，连接OB、OA．∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°．∵∠AOB=90°，∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOH．在△AOG和△BOH中，∵，∴△AOG≌△BOH，∴S△AOG=S△BOH，∴S四边形OGBH=S△AOB，∴S=S扇形EOF﹣S四边形OGBH=S扇形EOF﹣S△AOB=•S1﹣S2=•（S1﹣S2）．【点睛】本题是圆的综合题．熟练掌握与圆有关的性质、圆的内接正方形的性质和旋转的性质；灵活利用全等三角形的性质；会利用面积的和差计算不规则几何图形的面积．20．（1）3m+3m；（2）tan∠APO=，P（﹣）；（3）≤n≤2．【解析】【分析】（1）分别令x=0和y=0，计算抛物线与两坐标轴的交点C和A的坐标，再根据勾股定理计算AC的长，根据三角形的周长可得结论；（2）根据特殊三角函数值可得∠CAO=30°，证明△OP A∽△CPO，则∠POC=∠OAC=30°，可得tan∠APO=，过P作PE⊥x轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；（3）根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得x0的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．【详解】（1）当x=0时，y=﹣××（﹣3m）=m，∴C（0，m），∴OC=m，当y=0时，﹣=0，解得：x1=﹣，x2=3m．∵A在B的右侧，其中m＞0，∴A（3m，0），由勾股定理得：AC===2m，∴△AOC的周长=OA+OC+AC=3m+m+2m=3m+3m；（2）Rt△AOC中，tan∠OAC===，∴∠CAO=30°．∵OP2=PC•P A，∴．∵∠OPC=∠OPC，∴△OP A∽△CPO，∴∠POC=∠OAC=30°．∵∠ACO=∠POC+∠APO，∴∠APO=60°﹣30°=30°，∴tan∠APO=．过P作PE⊥x轴于E．∵∠APO=∠OAC=30°，∴PO=OA=3m，∠POE=60°，Rt△PEO中，∠EPO=30°，∴OE=OP=，PE=．∵点P在第二象限，∴P（﹣）；（3）由（2）知：P（﹣）．∵点Q恰好为OP的中点，∴Q（﹣）．∵Q在抛物线上，则=﹣，解得：m=，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+）（x﹣3）=﹣，对称轴是：x=﹣=，作抛物线的对称轴交抛物线于点F．∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），∴0≤x0≤，n≤，设w1=．∵1＞0，∴w1随x0的增大而增大，∴当x0=时，w1有最大值，即有最小值为2，∴n≤2，对于不等式2n﹣，n≥﹣2，n≥﹣2（x0﹣）2+，设w2=﹣2（x0﹣）2+．∵﹣2＜0，∴w2有最大值．∵0＜＜，∴当x0=时，w2有最大值为，∴n≥．综上所述：n的取值范围是≤n≤2．【点睛】本题是二次函数综合题．考查了相似三角形的判定和性质、抛物线与两坐标轴的交点、勾股定理、不等式的解及函数的增减性等知识，有难度，计算量大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．21．（1）x+40，x+10，180﹣5x ；（2） y=﹣5x 2+130x+1800；（3）当售价为53元时，可获得最大利润2645元．【解析】试题分析：（1）根据题意分别表示每件商品的销售价以及每件商品的利润和每周的商品销售量；（2）利用每件利润×每周销量=总利润，进而得出答案； （3）利用公式法求出二次函数最值进而得出答案．试题解析：解：（1）每件商品的销售价为：（x +40）元，每件商品的利润为：（x +10）元，每周的商品销售量为：（180﹣5x ）件； 故答案为：x +40，x +10，180﹣5x ；（2）所求函数关系式为：y =（x +10）（18﹣5x ）即y =﹣5x 2+130x +1800；（3）∵在y =﹣5x 2+130x +1800中，a =﹣5＜0，b =130，x =1800，∴当x =﹣2b a =﹣13025⨯-（）=13时，x +40=13+40=53，y 有最大值且最大值为： 244ac b a -=1800﹣213045⨯-（）=2645（元），∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元．点睛：本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． 22．(1)k=2;(2). 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标性质,设，，代入解析式求出即可；（2）首先得出E，F点坐标，再利用S△OEF=S矩形AOCE-S△AOE-S△OCF-S△BEF求出即可．【详解】解：∵点、在函数的图象上，∴设，，∴，，∵，∴，∴；∵四边形为矩形，，，∴，，∴，，，，∴．【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,根据题意得出E,F点坐标是解题关键.23．（1）255 2y x x=-++；（2）线段PQ的长的最大值为9，此时P点坐标为（1，132）；（3）点P的坐标为（32-，－1）或（12，6）．【解析】试题分析：（1）把A、B的坐标代入直线132y x=-，即可得到m，n的值，从而得到A、B的坐标，再把A、B的坐标代入抛物线的解析式，解方程即可得到结论；（2）设点P的横坐标为a，则P（a，255 2a a-++），Q（a，132a-），用含a的代数式表示出PQ，配方即可得到结论；（3）分两种情况讨论：①当∠BPQ =90°时，②当∠PBQ =90°时． 试题解析：解：（1）∵A （m ，－4）和B （4，n ）在直线132y x =-上，∴1432m -=-， 1432n =⨯-，解得：m =－2，n =－1，∴A （－2，－4），B （4，－1）， ∴424{ 1641b c b c --+=--++=-，解得： 5{ 25b c ==， ∴抛物线的解析式为2552y x x =-++．（2）设点P 的横坐标为a ，则P （a ， 2552a a -++），Q （a ， 132a -）， ∴PQ =()2225153281922a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-++--=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当1a =时，线段PQ 长取得最大值为9，此时P 点坐标为（1，132）．（3）∵PQ ∥y 轴，∴∠PQB =∠OCD ．∵∠COD =90°，∴当∠PBQ =90°或∠BPQ =90°时，△PBQ 与△ODC 相似． ①当∠BPQ =90°时，PB ∥x 轴，∴P 点的纵坐标为-1，由25512x x -++=-得：4x =或32-，∴P （32-，－1）； ②当∠PBQ =90°时，设PB 与x 轴交于点M ，由132y x =-得：C （0，－3），D （6，0），∴OC =3，OD =6，∴CD=∵B （4，－1），∴BDDBM =∠DOC =90°，∠BDM =∠ODC ，∴△BDM ∽△ODC ，∴BD DM OD CD =，即6=DM =52，∴OM =57622-=，∴M （72，0），∴直线PB 的解析式为y =－2x +7．由227{ 552y x y x x =-+=-++得： 114{ 1x y ==-， 221{ 26x y ==，∴P （12，6）． 综上可知：点P 的坐标为（32-，－1）或（12，6）． 点睛：本题是二次函数的综合题．正确表示出PQ 的长再结合二次函数最值求法是解答第（2）问的关键，分类讨论是解答第（3）问的关键．24．【解析】【分析】根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为定值解答即可．【详解】∵A (m ,m +1),B (m +3,m −1)都在反比例函数的图象上，∴m (m +1)=(m +3)(m −1)，解得m =3.∴k =m (m +1)=3×4=12.故答案为：12.【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.。
2019--2020学年度九年级(上)数学培优试卷9
2019--2020学年度九年级（上）数学培优试卷主备人：石道庆 满分：150分 一、选择题（每小题6分，共48分）1、如图，l m ∥，等边△ABC 的顶点A 、B 分别在直线l m 、上，∠2与∠1满足的关系一定是（ ） A.∠2=∠1 B.∠2＞∠1 C.∠2＜∠1 D.∠2+∠1=60°2、11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ) A.118 B.136 C.133 D.1663、若5040303,4,5,a b c ===则c a b 、、的大小关系为（ ） A.a b c << B.c a b << C.c b a << D.b c a <<4、已知13x x-=，那么多项式3275x x x --+的值是（ ） A.11 B.9 C.7 D.55、无论m 为何实数，直线2y x m =+与直线3y x =-+的交点都不可能在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6、将n 个边长都为1 cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的面积和为（ ）A.14 cm ²B.4n cm ²C.14n - cm ²D.14n cm ²7、对于两个数，M=2008×20 092 009，N=2009×20 082 008，则（）A.M=NB.M＞NC.M＜ND.M+N=2008×2009×1048、已知函数22(1)1(3)(5)1(3)x xyx x⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，则使y k=成立的x的值恰好有三个，则k的值为（）A.0B.1C.2D.3二、选择题（每小题6分，共36分）9、对于实数,,,a b c d，规定一种数的运算：a bad bcc d=-，那么当24103x=-时，则x= .10、不等式组35223(1)4(1)3xx ax x-⎧≤-⎪⎨⎪-<+-⎩有六个整数解，则a的取值范围为 .11、已知平面直角坐标系中，两点M(0，2）、N（﹣3，6）到直线L 的距离分别为1、4，则满足条件的直线L的条数有条. 12、已知01a<<，化简1122a aa a++-+-= .13、如图，n个边长皆为1的正方形的一边均在同一条直线上，设三角形A1A2B2的周长为C1，三角形A1A3B3的周长为C2……三角形A1A n+1B n+1的周长记为C n，则C n= .14、按下列程序进行运算（如图），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算.若x=5，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则x 的取值范围是 . 三、解答题（共66分）15、（12分）已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯L ，请你根据以上规律回答以下问题：（1）若21515(,aa ab bb +=⨯为正整数），请写出a b 和的值；（2）若记2222233+=⨯为第1个等式，请写出第n 个等式，并证明你写出的等式的正确性.16、（12分）在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，AD 是△ABC 的中线，求∠ADC 的度数.17、（14分）已知关于x 的方程220x x k +-=有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若,αβ是这个方程的两个实数根，求：11αβαβ+++的值； （3）根据（2）的结果你能得出什么结论？18、（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =与反比例函数ky x=在第一象限内的图象交于点A （m ，2），将直线2y x =向下平移后与反比例函数ky x =在第一象限内的图象交于点P ，且△POA 的面积为2.（1）求k 的值.（2）求平移后的直线的函数解析式.19、（14分）设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a xb ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b .对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值. （1）函数242y x x =-+-在区间[0，5]上的最小值是 ；（2）求函数21324y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. （3）求函数244y x x =--在区间[]2,t 1t --（t 为任意实数）上的最小值min y 的解析式.。
人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册28.3二次函数与实际问培优练习题1(含答案)
人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.3二次函数与实际问题培优练习题1（含答案）1．如图，已知在ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P由点A出发，沿AC向点C 运动，到点C停止，速度为2c m/s，同时，点Q由AB中点D出发，沿DB→BC向点C 运动，到点C停止，速度为1cm/s，连接PQ，设运动时间为x（s），ΔAPQ的面积为y （cm），则y关于x的函数图像大致为（）A．B．C．D．2．2011年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+bx+c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( )A．y＝﹣x2+x+1 B．y＝﹣x2+x﹣1C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2﹣x﹣13．已知：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，两动点、分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度从、两点同时出发向点运动（运动到点停止）；过点作交抛物线于、两点，交于点，连结、．若抛物线的顶点恰好在上且四边形是菱形，则、的值分别为（）A．、B．、C．、D．、4．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润万元和月份n之间满足函数关系式，则企业停产的月份为A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月5．某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如果每件售价每涨元（售价每件不能高于元），那么每星期少卖件．设每件售价为元（为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，应为多少元？( )A．41 B．42 C．42.5 D．436．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）m．A．1 B．2 C．D．7．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线x＝2；②当y≤0时，x < 0或x > 4；③函数解析式为y＝－x2＋4x；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④8．如图所示，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG 边长也为2，且AC 与DE 在同一直线上，△ABC 从C 点与D 点重合开始，沿直线DE 向右平移，直到点A 与点E 重合为止，设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知老王一个月销售某种服装（件）与获得利润（元）满足关系式：，则当一个月卖出________件衣服时，获得最大利润________元．10．二次函数223y x x =--的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为单位长度，以AB 为边作等边ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为__________．11．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇宽门的长方形花圃．设花圃宽为，面积为，则与的函数表达式为________．12．如图，是自动喷灌设备的水管，点在地面，点高出地面米．在处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头与水流最高点的连线与水平线成角，水流的最高点与喷头高出米，在如图的坐标系中，水流的落地点到点的距离是________米．13．如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图象．现观察图象，铅球推出的距离是________．14．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为_______元.15．如图，一位篮球运动员在距篮球筐下米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为米时达到最高高度米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为米，该运动员的身高为米，在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为________米．16．如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A （﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．18．规定：若y表示一个函数，令M=|y|，我们则称函数M为函数y的“幸福函数”．（1）请写出一次函数y=x﹣3的“幸福函数”M的解析式（解析式中不能含有绝对值）；（2）若一次函数y=与反比例函数y=（k＞0）的“幸福函数”M有三个交点，从左至右依次为A，B，C三点，并且BC=，求点A的坐标；（3）已知a、b为实数，二次函数y=x2+ax+b的“幸福函数”M，M=2恒有三个不等的实数根．①求b的最小值；②若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．19．研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH.基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点.（1）在点，，，中，抛物线的关联点是_____ ；（2）如图2，在矩形ABCD中，点，点，①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是________. 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A 时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？22．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，－3)，C(1，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.23．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租客房的收入为y元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？(3)当x为何值时，宾馆每天的客房收入最多，最多为多少？24．太平商场销售一批名牌恤，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采用适当的降价措施，经调查，如果每件恤每降价元，商场平均每天多售出件，①若商场平均每天要盈利元，则每件恤应降价多少元？②每件恤降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利多少元？请说明你的理由．参考答案1．A【解析】分析：应该分段进行讨论. 当时，当时，当时.详解：当时，过点Q作QH⊥AC于点H，∠C=90°，AC=6，BC=8，∵BC⊥AC，∴QH∥BC，∴△AQH∽△ABC，∴,即解得∴当时，当时，故选A.点睛：考查动点问题，涉及三角形的面积，相似三角形的判定与性质.难度较大，对学生综合能力要求较高.2．A【解析】根据已知出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，得出B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），代入解析式y＝－x2＋bx＋c，即可求出b=，c=1，即可得出这条抛物线的解析式是：y=-x2+x+1．故选：A．点睛：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B，A两点的坐标是解决问题的关键．3．A【解析】【分析】首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标，由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若平行四边形ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OD，列方程求出t的值，进而得出G、E点坐标，求出直线BG的解析式，即可得出M点坐标，进而得出a、h的值．【详解】在直线解析式中，令x=0，得y=3；令y=0，得x=1，∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=，∴AB==2，∴∠OBA=30°，∴BF=2EF，∵BE=，BF2=EF2+BE2，∴EF=t，∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形，若平行四边形ADEF是菱形，则DE=AD=t，由DE=2OD，即：t=2（1-t），解得：t=，∴t=时，四边形ADEF是菱形，此时BE=，则E（0，），G（2，），设直线BG的解析式为：y=kx+b，将（0，），（2，）代入得：，解得：，故直线BG的解析式为：y=-x+，当x=1时，y=，即M点坐标为（1，），故抛物线y=a（x-1）2+，将（0，）代入得：a=-，则a、h的值分别为：、，故选A．【点睛】本题考查了二次函数综合以及菱形的判定和待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握相关知识，得出M点坐标是解题关键．4．D【解析】【分析】利用利润y和月份n之间函数关系式，求利润y≤0时x的取值．【详解】由题意知，利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，∴y=-（n-2）（n-12），当n=1时，y＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，故停产的月份是1月、2月、12月．故选D．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，判断二次函数y＞0、y=0、y＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x轴的交点，结合开口分析，进行判断．5．B【解析】【分析】售价为x元，则涨价为（x-40）元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围．根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，利用二次函数的最值可得出答案.【详解】解：由题意得，涨价为（x-40）元，（0≤x≤5且x为整数），每星期少卖10（x-40）件，∴每星期的销量为：150-10（x-40）=550-10x，设每星期的利润为y元，则y=（x-30）×（550-10x）=-10（x-42.5）2+1562.5，∵x为非负整数，∴当x=42或43时，利润最大为1560元，又∵要求销量较大，∴x取42元．答：若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x应为42元.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式，另外要求我们熟练二次函数最值的求法. 6．C【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x 2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2-4， 故选C.．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系然后得出二次函数解析式是解决问题的关键．7．D【解析】由图象可知对称轴为x=2，图象过原点，∴c=0，-()21b ⨯-=2，∴b=4， ∴二次函数的解析式为y=-x 2+4x ，由图象可知当0≤0或x≥4时，y≤0；当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，正确的有①③④，故选D．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，结合图形熟练应用相关知识是解题的关键．8．A【解析】分析：此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．详解：设CD的长为与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为当C从D点运动到E点时，即时，．当A从D点运动到E点时，即时，，与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．故选：A．点睛：本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．9．【解析】【分析】根据函数的单调性，在x=600左边为增函数，右边为减函数，找到最值点，把x=600代入数值求解y即可．【详解】∵y=-x2+1200x-120000，∴变形得y=-（x-600）2+240000，当x=600时取得最大值，最大值为240000元．故答案为：600 ；240000.【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质和配方法是解题的关键．10．)()1,3,2,3-【解析】∵ABC 为等边三角形， AB =∴高3h =，∴点C 的纵坐标为3±，①2233x x --=2260x x --=．1x =-+∵在y 轴右侧，∴1x =， )1,3C -． ②2233x x --=-，10x =， 22x =，∴()2,3C -．11．【解析】【分析】根据已知条件得到花圃的长为（24-2x +t ）m ，宽为，根据长方形的面积公式即可得到结论.【详解】解：根据题意可得：花圃的长为（24-2x +t ）m ，宽为， 则面积为=x （24-2x +t ）=； 故答案为：. 【点睛】本题关键是用含x 的代数式表示花圃的长，门的宽度容易漏加，需要注意.12．【分析】根据所建坐标系，易知B点坐标和顶点C的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD长就是求y=0是x的值．【详解】如图，建立直角坐标系，过C点作CE⊥y轴于E，过C点作CF⊥x轴于F，∴B（0，1.5），∴∠CBE=45°，∴EC=EB=2米，∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5，∴C（2，3.5）设抛物线解析式为：y=a（x-2）2+3.5，又∵抛物线过点B，∴1.5=a（0-2）2+3.5∴a=-，∴y=-（x-2）2+3.5=-x2+2x+，∴所求抛物线解析式为：y=-x2+2x+，∵抛物线与x轴相交时，y=0，∴，∴x1=，x2=（舍去）∴D（，0）∴水流落点D到A点的距离为：米．故答案为：此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．13．10【解析】【分析】当y=0时，x就是铅球推出去的距离.【详解】解：由图可知，铅球推出的距离是10m.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.14．5【解析】【分析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可写出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接得解.【详解】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则y=﹣(135﹣x﹣100)(100+4x)，即y=﹣4(x﹣5)2+3600，∵﹣4＜0，∴当x=5时，每天获利的y值最大.故答案为5.【点睛】解此题先根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值.15．0.2【解析】【分析】建立合适的平面直角坐标系，求出二次函数解析式，把相应的x的值代入抛物线解析式，求得球出手时的高度，减去0.25和运动员的身高即为该运动员离地面的高度．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a+3.5，∵（1.5，3.05）在抛物线上，∴3.05=2.25a+3.5，解得a=－0.2，∴y=－0.2+3.5；当x=－2.5时，y=2.25，∴运动员离地面的高度为2.25－0.25－1.8=0.2m，故答案为0.2．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，属于中等难度的题型．建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点；求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．16．-3或6【解析】【分析】到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n的值即可.【详解】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，由题意得，抛物线必经过点E，∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），∴AB=2，BO=2，∵正方形ABCD，∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，∴AF=BF=EF=1，∴E（﹣3，﹣1），∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，解得n=﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A、B、C、D四个点距离相等的点的位置是解题的关键.17．(1) 抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；(2)4；D（2，3）．【解析】【分析】（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出解析式即可；（2）连接OD，设出D坐标，四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+三角形OBD面积，表示出三角形BCD面积S与m的二次函数解析式，求出最大面积及D坐标即可．【详解】（1）将点A（﹣1，0），点C（0，2）纵、横坐标分别代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，当m=2时，S△BCD取得最大值4，此时y D=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．18．(1) M=;(2) A(﹣1，8）;(3)①-2；②a=﹣16,b=62.【解析】【分析】（1）根据“幸福函数”求解即可；（2）由题意设B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n，由BC=，得到，解得n=m+1，则C（m+1，﹣m+﹣），由B、C都在反比例函数y=上，可得m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，解方程组可得的A坐标；（3）①由题意：抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标的纵坐标为﹣2，由此构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；②当y=2时，2=x2+ax+b，可得x2+ax+b﹣2=0，设方程的两个根为x1，x2，（x1＜x2），则x1+x2=﹣a，x1•x2=b﹣2，由方程M=2的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，则有：x22=x12+（﹣）2，构建方程组求出a、b即可．【详解】（1）M=．（2）由题意设B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n．∵BC=，∴，解得：n=m+1，则C（m+1，﹣m+﹣）．∵B、C都在反比例函数y=上，∴m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，∴B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，由，解得：或，∴A（﹣1，8）．（3）①由题意：抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标的纵坐标为﹣2，∴﹣2=，∴b=a2﹣2．∵＞0，∴b有最小值，最小值为﹣2．②当y=2时，2=x2+ax+b，∴x2+ax+b﹣2=0，设方程的两个根为x1，x2，（x1＜x2），则x1+x2=﹣a，x1•x2=b﹣2．∵方程M=2的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，则有：x22=x12+（﹣）2，∴（x2+x1）（x2﹣x1）=，∴x2﹣x1=﹣，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=a2，∴a2﹣4（b﹣2）=a2①b=a2﹣2②由①②可得：b=62，a=±16．∵x1+x2=﹣a＞0，∴a＜0，∴a=﹣16．【点睛】本题是二次函数综合题、考查了反比例函数的性质、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程组解决问题，学会构建二次函数解决最小值问题，属于中考压轴题．19．(1) （2）①②【解析】【分析】（1）根据关联点的定义逐一进行判断即可得；（2））①当时，，，，，可以确定此时矩形上的所有点都在抛物线的下方，所以可得，由此可知，从而可得；②由①知，分两种情况画出图形进行讨论即可得.【详解】（1），x=2时，y==1，此时P（2，1），则d=1+2=3，符合定义，是关联点；，x=1时，y==，此时P（1，），则d=+=3，符合定义，是关联点；，x=4时，y==4，此时P（4，4），则d=1+=6，不符合定义，不是关联点；，x=0时，y==0，此时P（0，0），则d=4+5=9，不不符合定义，是关联点，故答案为：；（2）①当时，，，，，此时矩形上的所有点都在抛物线的下方，∴，∴，∵，∴；②由①，，如图2所示时，CF最长，当CF=4时，即=4，解得：t=，如图3所示时，DF最长，当DF=4时，即DF==4，解得t=，故答案为：【点睛】本题考查了新定义题，二次函数的综合，题目较难，读懂新概念，能灵活应用新概念，结合图形解题是关键.20．（1）抛物线的解析式为y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.【解析】分析：（1）应用待定系数法求解析式（2）①分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值；②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值．详解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A（1，0），B（﹣4，0），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），∵点C（0，﹣）在抛物线上，∴﹣，解得a=.∴抛物线的解析式为y=.（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，则tan∠ACO=，∵tan∠OAD=，∴∠OAD=∠ACO，∵直线l的解析式为y=，∴D（0，﹣），∵点C（0，﹣），∴CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，只需或，则有或，解得t1=，t2=，∵t1＜2.5，t2＜2.5，∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=，在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，在△ADC中，由S△ADC=，∴CN=，∴S△AQP+S△AQC=，∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想．21．（1）y2＝―0.4(x―75)2＋2250；（2）当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．【解析】分析：（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y=kx+b，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根据：销售利润W=该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．详解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．所以，解得所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．当0＜x≤80时，w＝（y1－40）x―y2＝(－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．∵－0.2＜0，0＜x≤80∴当x＝50时，w有最大值，最大值为500．当80＜x≤84时，w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，∴当x＝84时，有最大值，最大值为470.4．综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．点睛：本题考查了一次函数和二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，解答本题的关键是根据图象找出图象中所包含的有用信息.22．（1）时，S最大为（3）（－3，3）或或或（3，－3）【解析】试题分析：（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合，即可得出结论．试题解析：解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A（－3，0），B（0，－3），C（1，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：．（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，），∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×3×（-）+×3×（-m）-×3×3=-（m+）2+，当m=-时，S有最大值为：S=-．（3）设P（x，）．分两种情况讨论：①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ，∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得：|-x-（）|=3解得：x=0（不合题意，舍去），-3，，∴Q的坐标为（－3，3）或或；②当BO为对角线时，如图，知A与P应该重合，OP=3．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=3，Q横坐标为3，代入y=﹣x得出Q为（3，﹣3）．综上所述：Q的坐标为：（－3，3）或或或（3，－3）．点睛：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．23．（1）y=﹣0.4x2+128x+36000；（2）200元或480元；（3）x=160，最大值为46240元．【解析】【分析】（1）由题意得单价为（180+x）元，销量为（200﹣0.4x）件；（2）令y=38400并解一元二次方程即可；（3）当x为对称轴时，宾馆每天的客房收入最多.【详解】解：（1）由题意得：y=（200﹣0.4x）（180+x）=﹣0.4x2+128x+36000；（2）y=38400代入上式，解得：x=20或300，180+20=200，180+300=480，故：这天每间客房的价格是200或480元；（3）函数的对称轴是x=160，则此时函数取得最大值，y=-0.4×1602+128×160+36000=46240元．【点睛】本题考查了二次函数的应用及其与一元二次方程的关系.24．（1）每件恤至少应降价元；（2）每件降价元时，商场平均每天盈利最多．【解析】【分析】①设每件T恤应降价x元，根据均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，要降价，如果每件T恤降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，可列方程求解；②设每件降价x元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以件数，得出y与x的函数关系即可，根据配方法求出二次函数的最值，进而得出答案．【详解】解: ：①设每件T恤应降价x元，据题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20．因题意要尽快减少库存，所以x取20.∴每件恤至少应降价元；②设每件降价元，商场平均每天赢利元，则，，当时，有最大值为元，当每件降价元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，表示出降价后的盈利与销售的件数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的函数关系式是解题的关键．。
人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册期中综合复习培优训练题3(含答案)
人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册期中综合复习培优训练题3（含答案）1．在同一直角坐标系中,正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像没有交点，则下列不等式一定成立的是( )A．K1+k2>0 B．k1-k2≤0 C．k1k2>0 D．k1k2<02．如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（32，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（）A．（6048，0）B．（6054，0）C．（6048，2）D．（6054，2）3．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别于函数1yx=-，4yx=的图像交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为( )A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变4．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，弧AC＝弧AE，∠B＝118°，则∠D的度数为（）A．122°B．124°C．126°D．128°5．在同一直角坐标系中，函数y＝kx和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1，3），B（3，1）两点，在第一象限，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜3 C．x＞3 D．x＞47．已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在函数y=-x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为() A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y2<y1<y38．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；(2)当时，y＜0；(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09．如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝____．10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，若∠BCD＝24°，则∠ABD的度数为___度．11．抛物线()()y 2x 1x 3=+-的对称轴是______．12．若实数 m 、n 满足m +n ＝mn ，且n ≠0时，就称点 P （m ，）为“完美点”，若反比例函数y ＝的图象上存在两个“完美点”A 、B ，且 AB ＝4，则 k 的值为_____． 13．将如图所示的抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是______．14．如图所示，为的内切圆，，，则________．15．如图，在直角坐标系中，一直线l 经过点M ，1）与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且MA ＝MB ，可求得△ABO 的内切圆⊙O 1的半径r 11；若⊙O 2与⊙O 1、l 、y 轴分别相切，⊙O 3与⊙O 2、l 、y 轴分别相切，…，按此规律，则⊙O 2014的半径r 2014＝_____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．17．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？18．如图，直角坐标系中，抛物线y＝a(x－4)2－16（a>0）交x轴于点E，F（E在F的左边），交y轴于点C，对称轴MN交x轴于点H；直线y＝13x＋b分别交x，y轴于点A，B．（1）写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标（用含a的代数式表示）.（2）若AF=AH=OH，求证：∠CEO=∠ABO.19．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP于点E，∠DBA＝22.5°．⑴若OC＝2，则AC的长为；⑵试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；⑶连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）20．如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．（2）当OD＝时，求CP的长．（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．21．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？22．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝mx图象相交于点A(﹣1，2)与点B(﹣4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在第二象限内，观察函数图像，直接写出不等式ax+b＜mx的解集．23．设AB=3cm，画图说明：到点A的距离小于或等于2cm，且到点B的距离大于或等于2cm的所有点组成的图形．24．如图，已知：是的内接三角形，是延长线上的一点，连接，且.（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求弦的长.参考答案1．D【解析】【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．【详解】解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y＝的图象没有公共点，∴k1与k2异号，即k1•k2＜0．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．判断正比例函数y=k1x和反比例函数y＝的图象在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x 和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．2．D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．【详解】∵A（32，0），B（0，2），∴OA＝32，OB＝2，∴Rt△AOB中，AB52 =，∴OA+AB1+B1C2＝32+2+52＝6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，即B2018的坐标是（6054，2）．故选D．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．3．D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到BM OMON AN=；设B（−m，1m），A（n，4 n ），得到BM＝1m，AN＝4n，OM＝m，ON＝n，进而得到mn＝2，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB＝12，为定值，即可解决问题．【详解】解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；∵∠AOB＝90°，∴∠BOM＋∠AON＝∠AON＋∠OAN＝90°，∴∠BOM＝∠OAN，∵∠BMO＝∠ANO＝90°，∴△BOM∽△OAN，∴BM OM ON AN=；设B（−m，1m），A（n，4n），则BM＝1m，AN＝4n，OM＝m，ON＝n，∴mn＝4mn，mn＝2；∵∠AOB＝90°，∴tan∠OAB＝OBOA①；∵△BOM∽△OAN，∴112OB BMOA ON mn===②，由①②知tan∠OAB＝12为定值，∴∠OAB的大小不变，故选：D．【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．4．B【解析】【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE ，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：连接AC、CE，点A、B、C、E都是O上的点，∴∠AEC=180°-∠B=62°，∵弧AC=弧AE，∴∠AEC=∠ACE=62°，∴∠CAE=180°-62°-62°=56°，∵点A、C、D、E都是O上的点，∴∠D=180°-56°=124°，故选：B．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．5．B【解析】【分析】比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．【详解】k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝kx的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合；k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝kx的两个分支分别位于第二、四象限，选项B符合．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6．B【解析】【分析】根据图像即可判断.【详解】解：由图象可知：当x＜1时，反比例函数大于一次函数的函数值，当x＝1时，反比例函数等于一次函数的函数值，当1＜x＜3时，一次函数大于反比例函数的函数值，当x＝3时，反比例函数等于一次函数的函数值，当x＞3时，反比例函数大于一次函数的函数值，即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1＜x＜3，故选：B．【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知交点的性质.7．B【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．【详解】当x=-3时，y1=-x2=-9；当x=-1时，y2=-x2=-1；当x=2时，y3=-x2=-4，所以y1＜y3＜y2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．B【解析】【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【详解】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y 轴两侧，故（3）正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．9．cm【解析】【分析】先根据切线的性质得∠ABP=90°，再在Rt△ABP中利用勾股定理计算出AP=5，接着利用圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，然后利用面积法求BC的长．【详解】∵PB是⊙O的切线，∴AB⊥PB，∴∠ABP=90°，在Rt△ABP中，∵AB=3，PB=4，∴AP==5，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AP，∵AB•PB=BC•AP，∴BC==（cm）．故答案为cm：．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和三角形面积公式, 正确应用三角形的面积公式是解题的关键．10．66【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理可求∠ADB=90°，由同弧所对圆周角相等可得∠DCB=∠DAB，即可求∠ABD的度数．【详解】解：连接AD，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠BCD ＝24°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝24°，∴∠ABD ＝66°，故答案为：66【点睛】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB=90°是本题的关键．11．x 1=【解析】【分析】函数与x 轴交点是()3,0，()1,0-，即可求解．【详解】令y 0=，则：x 1=-或x 3=，即：函数与x 轴交点是()3,0，()1,0-， 故：对称轴是()1x 33112=-+= 答案是x 1=．【点睛】主要考查了对称点的特点和求抛物线的顶点坐标的方法．12．【解析】【分析】首先得出完美点所在的函数解析式，进而利用韦达定理求出k 的值，进而得出答案.【详解】∵m+n=mn且n≠0，∴+1=m，即=m-1，∴P（m，m-1），即“完美点”P在直线y=x-1上，设点A、B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），令=x-1化简得x2-x-k=0，∵AB=4，∴|x1-x2|=2，由根与系数的关系得x1+x2=1，x1x2=-k，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=8，∴1+4k=8，解得：k=，此时x2-x-k=0的△＞0，∴k=；故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数综合以及完美点的新定义、根与系数的关系等知识，正确利用分类讨论得出t的值是解题关键．13．y=2（x-1）2+1【解析】【分析】先求出抛物线的解析式，然后根据平移规律，得出答案．【详解】由图象，得：y=2x2﹣2．由平移规律，得：y=2（x﹣1）2+1．故答案为：y=2（x﹣1）2+1．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键．14．【解析】【分析】 由三角形内切圆定义可知：、是、的角平分线；再利用角平分线的定义可知，代入数值即可求 【详解】∵ 、是、的角平分线，∴，∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握定义是解题的关键15【解析】【分析】连接OO 1、AO 1、BO 1，作O 1 D ⊥OB 于D ，O 1 E ⊥AB 于E ，O 1 F ⊥OA 于F ，将三角形ABO 分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO 的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O 2，⊙O 3…的半径大小，找出规律即可．【详解】连接OO 1、AO 1、BO 1，作O 1 D ⊥OB 于D ，O 1 E ⊥AB 于E ，O 1 F ⊥OA 于F ，如图所示： 则O 1 D ＝O 1 E ＝O 1 F ＝r 1，∵M 是AB 的中点，∴B （0，2），A （ ，0），则S △OO1B ＝12×OB×r 1＝r 1，S △AO1O ＝12×AO×r 11AO1B 1111S AB n r 2r 22=⨯⨯==AOB 1S 22=⨯⨯=∵S △AOB ＝S △OO1B +S △AO1O +S △AO1B ＝1(3=∴11r ==同理得：23r r ==…∴n r =依此类推可得：⊙O 2014的半径r 2014＝201313故答案为：201313【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理、规律型，解此类题目时要根据题意列出等式，适当地对图形进行分解，总结出规律是解题的关键．16．3．【解析】【分析】连接PC ．先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC ＝2，再依据三角形的三边关系可得到PM ≤PC +CM ，由此可得到PM 的最大值为PC +CM ．【详解】解：如图连接PC ．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝12A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，解题的关键是掌握本题的辅助线的作法．17．（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大【解析】【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；（2）利用二次函数的性质得出销售单价.【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，当时，销售利润最大此时销售单价为：10+25=35（元）答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．18．（1）顶点D 坐标为（4，－16）；点C 的纵坐标为16a －16；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数顶点式的性质解答即可得顶点坐标，令x=0，即可得C 点纵坐标；（2）根据顶点坐标及AF=AH=OH 可得F 、A 、E 点坐标，把F 和A 点坐标分别代入二次函数和一次函数解析式可得a 、b 的值，进而可求出C 点坐标及OC 的长，利用∠CEO 和∠ABO 的正切值相等即可证明∠CEO=∠ABO.【详解】（1）∵二次函数解析式为y ＝a( x －4 )2－16（a>0），∴顶点D 坐标为（4，－16），当x=0时，y=a(0-4)2-16=16a-16，∴点C 的纵坐标：16a －16.（2）∵D （4，－16），∴OH=4，∵AF=AH=OH ，EH=HF ，∴F(12，0)，A(8，0)，E(－4，0)，∴()20a 12416=--，1a 4=， 18b 03⨯+=，8b 3=-， ∴C(0，－12)，OC=12，B （0，-83），OB=83， OC 12tan CEO 3OE 4∠===，OA tan ΟΒΑ3OB∠==， ∴∠CEO=∠ABO.【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.19．⑴ 2；⑵ 见解析；⑶ y =2x【解析】（1）如图，连接OD，则有∠AOD=45°，所以△DOC为等腰直角三角形，又OC=2，所以,故可求出AC的长；（2）连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F. 证AC=PF或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE，故可证出PE=2AC；（3）首先求出OD==，再求AB=,再证△DGE≌△DBA,得GE=AB=，由PE=2AC得PE=2)x-，再根据GP=GE－PE可求结论. 【详解】（1）连接OD，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC⊥AB∴△DOC为等腰直角三角形，∵OC=2，∴,∴，∴AC=AO-OC=2-.⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F. ∵OP⊥AB,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD，∵△DOC为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO，∴DC=DF，∴Rt△DAC≌Rt△DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=12 PE∴PE=2AC（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD==∴AB=2OD=∵AB是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE≌△DBA∴GE=AB=∵PE=2AC∴PE=2)x-∴GP=GE－PE=-)x即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键. 20．（1）OA＝OP，理由见解析；（2）PC＝2；（3）当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4【解析】【分析】（1）证明四边形OGBH是正方形，得BG＝BH，∠GOH＝90°，再证明△AGO≌△PHO（ASA），则OA＝OP；（2）如图2，作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ＝DQ＝1，证明△ADO≌△CDO（SAS），可得PC的长；（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，根据S△AOD＝S△COD，则S1﹣S2＝S△POC＝＝﹣x2+4x，配方后可得结论．【详解】解：（1）OA＝OP，理由是：如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，∴OG＝OH，∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，∠GOH＝90°，∵∠AOP＝∠GOH＝90°，∴∠AOG＝∠POH，∴△AGO≌△PHO（ASA），∴OA＝OP；（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，∴∠OQD＝90°，∵∠ODQ＝45°，∴△ODQ是等腰直角三角形，∵OD＝，∴OQ＝DQ＝1，∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SAS），∴AO＝OC＝OP，∵OH⊥PC，∴PH＝CH＝OQ＝1，∴PC＝2；（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，由（2）知：△AOD≌△COD，∴S△AOD＝S△COD，∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键．21．（1）AB 解析式为：y 1=2x+20（0≤x≤10）．曲线CD 的解析式为：y 2=1000x（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB 和CD 的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【详解】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+20，把B （10，40）代入得，k 1=2，∴AB 解析式为：y 1=2x+20（0≤x≤10）．设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2=2k x ， 把C （25，40）代入得，k 2=1000，∴曲线CD 的解析式为：y 2=1000x（x≥25）； （2）当x 1=5时，y 1=2×5+20=30， 当x 2=30时，y 2=100030， ∴y 1＜y 2∴第30分钟注意力更集中．（3）令y 1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴36=1000x，∴x2=100036≈27.8，∵27.8-8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用．解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围．22．（1）y＝﹣2x，y=522x+（2）154（3）﹣5＜x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）将点A（-1,2）代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式，将两点代入一次函数即可求得一次函数解析式.（2）求得C点的坐标后利用S AOB S AOC S BOC=-求面积即可.（3）根据图像即可得到结论.【详解】（1）将点A（﹣1，2）代入函数y＝mx，解得：m＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣2x，将点A（﹣1，2）与点B（﹣4，12）代入一次函数y＝ax+b，解得：a＝12，b＝52∴一次函数的解析式为y＝x2+52；（2）C点坐标（﹣5，0）∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣54＝154；（3）由图象知，不等式ax+b＜mx的解集为：﹣5＜x＜﹣4或﹣1＜x＜0．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键。
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2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
1．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结
论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b
2a ＞0．其中正确的结论有( )
A ．只有①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第
二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。
3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。
①BDF ∆是等腰三角形 ②BC DE 2
1
=
③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠
4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有
正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = .
(2题)
5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1
个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，
平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，
d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”
{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
6.如图，已知抛物线42
12
++-
=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；
（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为
（第5题）
图1
对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．
培优8答案
1.D
2. 6
3. ①②④
4.3 133
8 1
3342+n n 5.（1）{3，1}+{1，2}={4，3}． ——1分
{1，2}+{3，1}={4，3}． ——1分 （2）①画图 ——2分 最后的位置仍是B ．——1分
② 证明：由①知，A （3，1），B(4，3)，C （1，2） ∴OC=AB =2221+=5，OA=BC =2213+=10， ∴四边形OABC 是平行四边形． ——3分 （3） {2，3}+{3，-1}+{-5，-2}={0, 0}． ——2分
所以直线AB 的解析式为4+-=x y ． ——2分 （2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，
当点)2
,2(x
x Q 在直线AB 上时，422+-=x x ，解得4=x ．
O
A
B
P E
Q
F
x
y （第6题）
所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ． ——2分 （3）当点)2
,(x
x E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上）
42
+-=x x ，解得38
=x ． ——1分
①当3
8
2<
≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ， 此时，42)4(-=+--=x x x PC ，
又PC PD =， 所以22)2(22
1
-==
∆x PC S PCD ， 从而，22)2(241
--=x x S
884
72
-+-
=x x 7
8)716(472+--=x ．
因为387162<≤
，所以当716
=x 时，7
8max =S ． ——2分 ②当43
8
≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，
此时，42)42(+-=-+-=x x
x QN ，
又QN QM =， 所以22)4(2
1
21-==
∆x QN S QMN ， 即2)4(2
1
-=x S ．
其中当38=
x 时，9
8
max =S ． ——2分 综合①②得，当7
16
=x 时，78max =S ． ——1分
O
A
B
x
y （第6题 备用）
P
E
Q
F
M N
O
A
B
P
E
Q F
x
y （第6题）
C
D。