正态总体的参数精
高二数学(理)正态分布人教实验版(A)知识精讲
高二数学（理）正态分布人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：正态分布二. 重点、难点：1. 正态分布密度曲线，简称，正态曲线222)(21)(σμμσσπϕ--⋅=x ex （x ∈R ）2. 正态分布⎰=≤<dx x b x a P b a )()(μσϕ3. 特值（1）P （σμσμ+≤<-x ）=68.26% （2）P （σμσμ22+≤<-x ）=95.44% （3）P （σμσμ33+≤<-x ）=99.74%【典型例题】[例1] 一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64克，但因随机性误差，每袋具体重量有波动、据以往资料认为：每袋糖果的重量q 服从正态分布)5.1,64(2N 试问随机抽一袋糖果其重量超过65克的概率是多少？不到62克的概率是多少？解：设5.164-=q t )65(>q P )67.0()5.16465(>=->=t P t P )67.0(1)67.0(1φ-=<-=t P 2514.07486.01=-=)33.1()5.16462()62(-<=-<=<t P t P q P)33.1(1<-=t P )33.1(1φ-=9082.01-=0918.0=∴ 超过65克概率为25.14%，不足62克……9.18%。
[例2] q ～N ),(2σμ045.0)5(=-≤q P 618.0)3(=≤q P ，求μ、σ？解：)5()5()5(σμφσμ--=--≤=-≤t P q P045.0)5(1=+-=σμφ∴955.0)5(=+σμφ∴7.15=+σμ①618.0)3()3()3(=-=-≤=≤σμφσμt P q P∴3.03=-σμ②由①②⎩⎨⎧==⇒48.1σμ[例3] q ～)2,1(2N（1）求)75(≤≤q P （2）若)(2)(b q P b q P <=≥ 解：（1）)217215()75(-<<-=≤≤t P q P )2()3()32(φφ-=≤≤=P t P 0214.09772.09987.0=-=（2）)(b q P >)(2b q P ≤=∴)21(2)21(-≤=->b t P b t P ∴31)21(=-<b t P ∵1<b ∴01<-b ∴667.032)21(≈=-<b t P∴667.0)43.0(=φ43.021=-b14.0=b[例4] 假设数学会考成绩q 近似服从正态分布)10,70(2N 现知第100名学生的成绩为60分，试问第20名的学生成绩为多少分。
多元正态总体的统计推断.
0z
0z
条件 检验条件量 H0、H1
n1p1≥5 n1q1≥5n2
u
p2≥5
n2q2≥5
p1 p2
pq pq n1 n2
(1) H0：P1=P2 H1：P1 ≠P2 (2) H0： P1 ≤P2
H1：P1 ＞ P2
p
n1
p1
n2
p2
n1 n2
(3) H0：P1 ≥P2 H1：P1 ＜P2
总体参数
的值是多大？
推断估计
抽样分布
参数估计
统计量
随机原则
假设检验
检验未知参数
的值是 0 吗
一、参数估计
参数估计分为点估计和区间估计两种。
点估计：用某一具体的值去估计某一未知参数
区间估计：给出未知参数在一定把握程度 （概率或置信度下的取值区间，也称为置信 区间。
对总体的未知参数 作区间估计，就是要给出
确定α，就确定了临界点c。 1、随机抽样：样本均值
2、 X 标准化：
3、确定α值
4、查概率表，知临界值 | Z |
2
5、计算Z值，作出判断
检验步骤
1
建立总体假设 H0，H1
2
抽样得到样
3
选择统计量
4
根据具体决策
本观察值
确定H0为真 时的抽样分布
要求确定α
6
计算检验统
5
确定分布上的临
计量的数值
7
第四章 多元正态总体的统计推断
第一节 一元正态总体的统计推断
推断统计： 利用样本统计量对总体某些性质或数 量特征进行推断。
第四节正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
8.2正态总体的参数检验
正态总体参数假设检验
由于σ2 未知，故采用 t 检验法. H0 成立时，检验统计量
T X0 ~t(n1)
Sn
x1 6i 61xi13,1s 4 n1 1i 61 xix23.5,2
t x 131143 12.0 78 , 3 s n1 3.521 6
2
铁水温度的测量
电子科技大学
正态总体参数假设检验
采用不同的显著性水平α,常得到不同的结论. 即检验的结果取决于显著性水平α的选择.
2) 双样本 t 检验法
X1,X2, ,Xn1来 自 正N 态 (1,总 12) 体
Y1,Y2,,Yn2来自正态 N(2总 ,22)体
未1 2 ， 知 2 2 ，但 1 22 2 有 2
例8.2.1 炼钢厂为测定混铁炉铁水温度，用测 温枪(主要装置为一种热电偶)测温6次，记录 如下(单位：oC)：
1318 1315 1308 1316 1315 1312
若用更精确的方法测的铁水温度为1310oC (可视为铁水真正温度)，问这种测温枪有无系 统误差？ 解 根据题意要求，需检验
H0: μ=1310，H1： μ≠1310
未知方差时,如何检验关于正态总体均值的 有关假设？
2. t 检验法 1) 单样本 t 检验法
电子科技大学
正态总体参数假设检验
X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本， μ,σ2 未知，检验
H0: μ= μ0，H1： μ≠μ0
原假设成立时， T X0 ~t(n1)
Sn
拒绝域为： t t(n1)
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否 与性别有关(α=0.01).
电子科技大学
正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。
假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。
根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。
设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。
⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。
以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。
对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。
《总体分布估计》课件
03
总体分布的参数估计
点估计
01
02
03
点估计的定义
点估计是依据样本数据对 总体参数进行估计的方法 ，通过一个具体的数值来 估计总体参数。
点估计的优点
简单明了，能够为决策者 提供具体的数值参考。
点估计的缺点
由于是基于样本数据的估 计，因此存在一定的误差 和不确定性。
区间估计
区间估计的定义
区间估计是依据样本数据 给出总体参数可能存在的 区间范围，而非具体的点 值。
感谢观看
THANKS
详细描述
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化样本数据的似然函数 来估计参数。在正态分布的情境下，最大似然估计与无偏估计一致，因此也可 以用来估计总体参数。
案例一：正态分布的总体参数估计
总结词
样本量和精度
详细描述
样本量的大小直接影响到估计的精度，样本量越大，估计的精度越高。在正态分布的情境下，可以通 过增加样本量来提高总体参数估计的精度。
假设检验的优点
假设检验的缺点
能够为决策者提供关于总体参数是否符合 某种假设的信息，有助于做出科学决策。
需要明确提出假设，且对样本数据的要求 较高，如果样本数据不满足假设条件，则 检验结果可能不准确。
04
非参数核密度估计
核函数的选择
总结词
核函数的选择对于非参数核密度估计至关重要，不同的核函数会对估计结果产生 不同的影响。
贝叶斯估计的步骤
01
02
03
04
步骤1
确定先验分布，根据先验知识 对未知参数进行初步的概率分
布估计。
步骤2
根据观察到的样本数据，计算 似然函数，即样本数据出现的
参数估计精讲及经典案例
第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。
教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。
教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。
教学时数：2学时。
教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩n ki i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。
若有参数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为n n n 2i=1i=1i=1111ˆ(,,,)ki i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。
2. 最大似然估计似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从ln()d d θθ=0中解得θ的最大似然估计θˆ。
3. 无偏性,有效性当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。
当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2ˆθ有效。
5. 两个正态总体均差值的区间估计当21σ和22σ已知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为当21σ和22σ未知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为二 、典型例题解析1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。
解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。
2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。
解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。
7正态分布与参考值
Normal P-P Plot of BLOOD
1.00
.75
.50
.25
0.00
0.00
.25
.50
Observed Cum Prob
.75
1.00
正态分布的应用
1. 估计医学参考值范围：利用正态曲线面积分布 规律； 2. 质量控制：如控制实验中的随机误差；
3. 正态分布是许多统计方法的理论基础：如t分
曲线下面积分布规律
N(0,1)
68.27%
-2.58 -1.96 -1
95.00%
99.00% 0
1 1.96 2.58
N ( , )
68.27%
95.00% 99.00%
.58 1.96 1.96 .58
标准正态分布
-1～1 -1.96～1.96 -2.58～2.58
四. 正态性检验(normality test)
正态分布的两个特征：1. 正态对称性 2. 正态峰：偏度、峰度
方法： 1. 图示法 Q-Q图，P-P图 2. 计算法
f (x)
x
Normal Q-Q Plot of BLOOD
90
80
70
60
60
70
80
90
Observed Value
图 108个原始数据的Q-Q图
1
u2
f (u)
2
exp
2
,
X
一般正态分布
N ( , )
u X
x
标准正态分布
N(0,1)
1
0
u
正态曲线下的面积分布有一定的规律。 求其一区间的面积，可通过下面积分公式得到。
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设测量值 X ~ N( , 2 ) , 2 0.00040
需考察改革后活塞直径的方差是否步大于改革前 的方差？故待检验假设可设为：
ch8-12
H0 : 2 0.00040 ； H1 : 2 > 0.00040.
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
ch8-14
原假设 H0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
X Y
U
2 1
2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
U z
2
U z
U z
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
ch8-15
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 <
T X Y
1 n
1S m
w
~ T (n m 2)
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
T t
其中
Sw
两个正态总体
ch8-13
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 ),
两样本 X , Y 相互独立,
样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym ),
显著性水平
ch8-1
§9.3-- §9.4 正态总体的参数
一个正态总体
（1）关于 的检验
拒绝域的推导
给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn )
设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
H0 : 0 ； H1 : 0
构造统计量
U
X
0
~
N (0,1)
ch8-2
P(拒绝HH0|0H0H为0真)
P ( X 0 k 0 ) PH0 ( X 0 k )
（2）关于 2 的检验 2检验法
ch8-9
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
2
2 0
2<
2 0
n
(Xi )2
2 i1
2 0Leabharlann ~ 2(n)拒绝域2
2
1
2
(n)
或
2
2
(n)
2
2
2 1
(n)
2
2 0
2>
2 0
( 已知)
2 2 (n)
ch8-10
此时可采用效果相同的单边假设检验
H0 : 2 = 0.00040 ； H1 : 2 > 0.00040.
取统计量
2
(n
1)S
2 0
2
~
2 (n
1)
拒绝域
0：
2
2 (n 1)
2 0.05
(24)
36.415
0
2
24 0.00066 0.00040
39.6
36.415
落在0内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于 改革前的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向 进行.
原假设 备择假设
H0
H1
2=
2 0
2
2 0
2
2 0
2<
2 0
检验统计量及其在 H0为真时的分布
2
(n
1)S
2 0
2
~ 2(n 1)
拒绝域
2
2
1
2
(n
1)
或
2
2
(n
1)
2
2
2 1
(n
1)
2
2 0
2>
2 0
( 未知)
2 2 (n 1)
ch8-11
例2 某汽车配件厂在新工艺下对加工好的 25个活塞的直径进行测量,得样本方差S2=0.00066. 已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.00040. 问 进一步改革的方向应如何？ ( P.244 例6 )
T X ~ T (15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为
x 0.8 1.753 x 0.8 1.753 0.32 0.94
s/ n
4
现 x 0.92 0.94
故接受原假设, 即不能否定厂方断言.
解二 H0 : 0.8 ； H1 : < 0.8
ch8-7
选用统计量: T X ~ T (15)
S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域
x 0.8 1.753 x 0.8 1.753 0.32 0.66
s/ n
4
现 x 0.92 0.66
故接受原假设, 即否定厂方断言.
由例1可见: 对问题的提法不同(把哪个 ch8-8 假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.
由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就 是 H0 得到特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者尽量使后果严重 的错误成为第一类错误.
上述两种解法的立场不同，因此得到不同 的结论.第一种假设是不轻易否定厂方的结论； 第二种假设是不轻易相信厂方的结论.
U z
0 > 0
U z
T 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
0 0 0 < 0 0 > 0
T X 0
S n ~ t(n 1)
ch8-4
拒绝域
T t
2
T t
T t
ch8-5
例1 某厂生产小型马达, 其说明书上写着: 这 种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会 超过0.8 安培.
现随机抽取16台马达试验, 求得平均消耗 电流为0.92安培, 消耗电流的标准差为0.32安 培.
假设马达所消耗的电流服从正态分布,
取显著性水平为 = 0.05, 问根据这个样本,
能否否定厂方的断言?
解 根据题意待检假设可设为
ch8-6
H0 : 0.8 ； H1 : > 0.8 未知, 故选检验统计量:
PH0 (
X 0
k
)
PH0 (
X 0
Z )
2
n
n
n
取k Z
2n 所以本检验的拒绝域为
0： U z
2
U 检验法
U 检验法 (2 已知)
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
0 0 0 < 0
~ N (0,1) n
U
X 0
ch8-3
拒绝域
U z
2
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
ch8-16
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
2 1
=
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
2 1
<
2 2
F
S12 S22
~
F(n 1, m 1)
F F12 (n 1, m 1)