第1章 多元正态分布的参数估计
多元正态分布参数的估计与假设检验-判别分析
注 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的.
三、贝叶斯风险
1、贝叶斯风险的定义 由第一小节内容可知，给定损失函数以后， 由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风 险函数定义为
R(d ) = inf R(d ),
* d ∈D
∀d ∈ D
则称d * ( X )为参数θ的贝叶斯估计量
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 、 函数. 函数 2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计 、不同的先验分布， 2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计 定理4.2 定理 设θ的先验分布为π(θ)和损失函数为 的先验分布为π θ 和损失函数为
Θ
=∫
Θ
∫
Χ
L(θ , d ( x ))q( x | θ )π(θ )dxdθ
=∫
Θ
∫θ | x )g(x )dxdθ
Θ
= ∫ g(x ){ ∫ L(θ , d ( x ))h(θ | x )dθ }dx
Χ
四 、贝叶斯估计
1、贝叶斯点估计 定义4.6 若总体 的分布函数F(x,θ)中参数θ为随机 定义 若总体X的分布函数 中参数θ 的分布函数 θ 中参数 变量， θ 为 的先验分布，若决策函数类D中存在 变量，π(θ)为θ的先验分布，若决策函数类 中存在 一个决策函数使得对决策函数类中的任一决策函数 均有
第8.2节 节
判别分析
一、先验分布和后验分布 二、共轭先验分布 三、贝叶斯风险 四、贝叶斯估计
一、先验分布与后验分布
上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏， 上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏，但 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 贝叶斯通过引入先验分布， 的指标. 贝叶斯通过引入先验分布，给出了整体比较 的指标 1、先验信息 在抽取样本之前， 在抽取样本之前，人们对所要估计的未知参数 先验信息. 所了解的信息，通常称为先验信息 所了解的信息，通常称为先验信息 例1(p121例4.6) 某学生通过物理试验来确定当地 1(p121例 的重力加速度，测得的数据为(m/s²): 的重力加速度，测得的数据为 9.80, 9.79, 9.78, 6.81, 6.80 试求当地的重力加速度. 试求当地的重力加速度
应用多元统计分析讲稿(朱建平)
精心整理第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解、H.Hotelling 、、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显着成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
在20世纪末与本世纪初，人们获得的数据正以前所未有的速度急剧增加，产生了很多超大型数据库，遍及超级市场销售、银行存款、天文学、粒子物理、化学、质学、社会学、考古学、环境保护、军事科学、文学等方面都有广泛的应用，这里我们例举一些实际问题，进一步了解多元统计分析的应用领域，让读者从感性上加深对多元统计分析的认识。
1、城镇居民消费水平通常用八项指标来描述，如人均粮食支出、人均副食支出、人均烟酒茶支出、人均衣着商品支出、人均日用品支出、人均燃料支出、人均非商品支出。
这八项指标存在一定的线性关系。
为了研究城镇居民的消费结构，需要将相关强的指标归并到一起，这实际就是对指标进行聚类分析。
2、在企业经济效益的评价中，涉及到的指标往往很多，如百元固定资产原值实现产值、百元固定资产原值实现利税、百元资金实现利税、百元工业总产值实现利税、百元销售收入实现利税、每吨标准煤实现工业产值、每千瓦时电力实现工业产值、345他们每个人若干项症状指标数据。
多元正态分布下贝叶斯估计法
多元正态分布下贝叶斯估计法贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，可以用于在已有数据的情况下估计未知参数的分布。
在统计学中，多元正态分布是一种常见的概率分布，描述了多个变量之间的关系。
本文将介绍多元正态分布下的贝叶斯估计法，并详细讨论其原理、应用和计算方法。
一、多元正态分布及其性质多元正态分布是一种连续型概率分布，用于描述多个随机变量之间的关系。
假设有一个d维随机向量x=(x₁, x₂, ..., x d)服从多元正态分布x(x, Σ)，其中x是一个d维均值向量，Σ是一个d×d的协方差矩阵。
多元正态分布的概率密度函数可以表示为：x(x; x, Σ)=(2x)⁻ᵈ/²|Σ|⁻¹/²exp[−½(x−x)ᵀΣ⁻¹(x−x)] 其中x表示向量的转置，|Σ|表示协方差矩阵Σ的行列式。
多元正态分布具有许多重要的性质，例如，线性组合仍然服从多元正态分布，条件分布也是多元正态分布等。
这些性质使得多元正态分布在实际问题中的应用非常广泛。
二、贝叶斯估计法的原理贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通过引入先验分布和后验分布来估计未知参数的分布。
其基本思想是将参数视为随机变量，并基于已有数据对参数进行推断。
在多元正态分布中，我们通常需要估计的参数包括均值向量x和协方差矩阵Σ。
贝叶斯估计法假设这些参数服从先验分布，然后通过观测数据来更新先验分布，得到后验分布，进而对参数进行估计。
具体而言，假设我们有n个样本x₁, x₂, ..., x n，那么贝叶斯估计法的步骤如下：1.选择参数的先验分布。
通常先验分布会根据领域知识或经验进行选择，常见的先验分布包括共轭先验、非信息先验等。
2.根据先验分布和样本数据，计算参数的后验分布。
根据贝叶斯定理，后验分布可以表示为：x(x, Σ | x₁, x₂, ..., xn)∝x(x₁, x₂, ..., x n|x, Σ)x(x, Σ)其中x(x₁, x₂, ..., x n|x, Σ)表示给定参数x和Σ的情况下样本数据的似然函数。
第三讲多元正态分布
二元正态分布的密度曲面图
2 2 下图是当 1 2 , 0.75 时二元正态分布的钟形密
度曲面图。
多元正态分布性质
（1）、若 X ( X1, X 2 , X p )T ~ N p (, )， 是对角阵， 则 X1, X 2 , X p 相互独立。 （2）、若 X ~ N p (, ) ， A 为 s p 阶常数阵，则
•有些现象服从多元正态分布
•许多多元统计分布的抽样分布是近似正态分布
23
多元正态分布
它是一元正态分布的推广
X ~ N p ,
设随机向量 X ( x1 , x2 ,, x p )' 服从P维正态分布，则有，
f ( X ) 2
p 2
1 2
1 1 exp x x 2
12
随机向量的数字特性
随机向量的均值
E ( X 1 ) 1 E( X 2 ) 2 E( X ) E( X ) p p
性质
E ( AX ) AE( X ) E ( AXB) AE( X ) B E ( AX BY ) AE( X ) BE(Y )
15
性质
1)若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yq)’不相关。则
cov(x1 , y1 ) cov(x1 , y2 ) cov(x1 , yq ) cov(x2 , y1 ) cov(x2 , y2 ) cov(x2 , yq ) 0 cov(x , y ) cov(x , y ) cov(x , y ) p 1 p 2 p q
(1) q
应用多元统计分析北大
8
第9页/共86页
第一章 绪 论
§1.1 引言--多元分析的研究 对象和内容
由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些 变量又是随机变化，如学生的学习成绩随着被 抽取学生的不同成绩也有变化（我们往往需要 依据它们来推断全年级的学习情况）。所以要 讨论多维随机向量的统计规律性。
两组变量的相关分析
1
第2页/共86页
使用的教材
普通高等教育”十一五”国家级教材
北京大学数学教学系列丛书
本科生 数学基础课教材
应用多元统计分析
(北京大学出版社,高惠璇,2006.10)
2
第3页/共86页
参考书（一）
1. 实用多元统计分析(方开泰,1989,见参考文献[1]) 2. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 2003,见[2]) 3. 实用多元统计分析(王学仁,1990 ,见[6]) 4. 应用多元分析(王学民,1999 ,见[8]) 5. 实用统计方法与SAS系统(高惠璇,2001, 见[3]) 6. 多元统计分析(于秀林,1999 ,见[9]) 7. 多元统计方法(周光亚,1988 ,见[28]) 8. 多元分析(英 . M . 肯德 尔,1983 ,见[15]) 9. SAS系统使用手册等资料(1994-1998 ,见[17]-[21])
主成分分析方法为样品排序或多指标系 统评估提供可行的方法.
23
第24页/共86页
教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
这里把12门课的成绩看成12个变量，这些 变量是相关的，有的相关性强些，有的相关 性一般些。用主成分分析方法从12个相关的 变量中可以综合得出几个互不相关的主成分 －－它们是原始变量的线性组合。其中第一 主成分综合原始变量的信息最多（一般在70 ％以上），我们就用第一主成分（即单个综 合指标）替代原来的12个变量；然后计算第 一主成分的得分并进行排序。
多元统计分析——多元正态分布
一、多元正态分布的定义
1、一元正态分布的定义 若变量 X 的概率密度为：
x 2
2 2
1 f x e 2
， 0 ，
则称 X 服从一元正态分布，记为 X ～ N , 2 。 我们可以将上式改写为：
f x 2
1 2
1 exp x ' 2 2
量 X 的相关阵为
R rij p p
其中
rij
Var X i Var X j
covX i , X j
ij ii Байду номын сангаасj
i, j 1,2,， p
另证明：标准化数据的协方差阵正好是原始指标的相 关阵
第2节
多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、均值向量和协方差阵的估计 三、维希特（Wishart）分布 四、统计距离
三、多元变量的独立性
定义 3 两个随机向量 x 和 y 相互独立的充要条件为：
PX x, Y y PX x PY y
对任意的 x, y
若 F x, y 为 x, y 的联合分布函数； G x 和 H y 分别为 x 和 y 的分布函数， 则 x 与 y 独立当且仅当 F x, y G x H y 若 X ,Y ' 有密度函数 f x, y ， g x 和 h y 分别表示 X 和 Y 的分布密度， X 和 Y 用 则 独立当且仅当
X 1 X 2 X p q
q
μ 1 μ 2 μ p q
q
11 21
12 21 p q
多元正态分布实验报告
一、实验名称多元正态分布实验二、实验目的1. 理解多元正态分布的概念及其在统计学中的应用。
2. 掌握多元正态分布的概率密度函数及其计算方法。
3. 学习使用Python进行多元正态分布的模拟与数据分析。
三、实验原理多元正态分布是描述多个随机变量联合分布的一种重要概率分布。
在多元正态分布中，每个随机变量都服从正态分布，且不同随机变量之间存在相关性。
多元正态分布的概率密度函数由均值向量、协方差矩阵以及维度决定。
四、实验过程1. 数据准备本实验采用Python编程语言进行模拟和分析。
首先，我们需要准备一个二维随机向量，其服从二元正态分布。
具体操作如下：```pythonimport numpy as np# 定义均值向量mean = [0, 0]# 定义协方差矩阵cov = [[1, 0.5], [0.5, 1]]# 生成1000组二元正态分布样本data = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 1000)```2. 概率密度函数计算根据多元正态分布的概率密度函数，我们可以计算样本点的概率密度值。
具体操作如下：```pythonfrom scipy.stats import multivariate_normal# 计算样本点的概率密度值prob_density = multivariate_normal.pdf(data, mean, cov)```3. 数据可视化为了直观地展示多元正态分布的特征，我们可以绘制样本点的散点图。
具体操作如下：```pythonimport matplotlib.pyplot as plt# 绘制散点图plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], c=prob_density, cmap='viridis', alpha=0.5)plt.colorbar(label='Probability Density')plt.xlabel('X')plt.ylabel('Y')plt.title('Scatter plot of bivariate normal distribution')plt.show()```4. 协方差矩阵变化对分布的影响为了观察协方差矩阵变化对多元正态分布的影响，我们可以改变协方差矩阵中的元素。
第1章多元正态分布的参数估计(精)
第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有)v (p )u (p )uv (p =，则称X 与Y 相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 横截面 数据。
3．多元正态向量()'=X X X p ,,1 的协方差阵∑是 对角阵 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条 件是 p 'p 21p 21R )x ,,x ,x (,0)x ,,x ,x (f ∈∀≥和1dx dx dx )x ,,x ,x (f p 21-p 21-=⎰⎰+∞∞+∞∞ 。
5.若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= ),n (W k1i i p ∑∑=。
二、判断题1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。
正确2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。
错误3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B 正确4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。
正确5．一般情况下，对任何随机向量()'=X X X p ,,1 ，协差阵∑是对称阵，也是正定阵。
错误6．多元正态向量()'=X X X p ,,1 的任意线性变换仍然服从多元正态分布。
正确7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。
错误8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。
正确9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
第一章 多元正态分布的参数估计
一、填空题
1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。
2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。
5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X ， ，p X 是相互独立的。
6.多元正态分布的任何边缘分布为 。
7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵，d 为s 维常数向量，则~d AX + 。
8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。
9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、
S n 1
1-具有 、 和 。
12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则 ~X ，X 和S 。
13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵
()()()()∑='--=n X X X X S 1~ααα 。
14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。
二、判断题
1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。
2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。
3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：
（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B 4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。
5．一般情况下，对任何随机向量()'=X X X p ,,1 ，协差阵∑是对称阵，也
是正定阵。
6．多元正态向量()'=X X X p
,,1 的任意线性变换仍然服从多元正态分布。
7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。
8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。
9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。
10．
S n 1是∑的无偏估计。
2
11.Wishart 分布是2
χ分布在p 维正态情况下的推广。
12．若()()∑,~μαp N X ，n ,,1 =α，且相互独立，则样本离差阵()()()()()∑-'--=∑=,1~1n W X X X X S n
p ααα
13．若()∑,~n W X p ，C 为奇异矩阵，则()c c n W C CX p '∑',~
三、简答题
1.多元正态分布有哪些基本性质?
2.均值向量和协差阵的最大似然估计量有哪些优良性质?
3.维希特分布有哪些基本性质?
4.试述多元联合分布和边缘分布之间在关系。
四、证明题
1.样本均值向量和离差阵也可以用样本资料X 直接表示如下： n X n X 11'=，X n I X S n n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-'=111 其中：()'=1,,1,11 n ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001 I 试分别给以证明。
五、计算题
1.已知随机向量()'
=21,X X X 的联合分布密度函数为 ()()()()()()()[]
()()2221212122,c b a b c x a x c x a b a x c d x x f -------+--=
其中,b x a ≤≤1,d x c ≤≤2.求:
(1)随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差;
(2)随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数;
(3)判断1X 和2X 是否相互独立。