第二章多元正态分布
第二章多元正态分布
第二章多元正态分布（一）教学目的通过本章的学习，要求对多元分布的基本概念有所了解，掌握多元正态分布数字特征及其参数估计,尤其是多元正态分布的假设检验。
（二）基本要求要求了解多元分布的基本概念，掌握多元正态分布的参数估计和假设检验。
（三）教学要点1、多维随机向量的边缘密度、条件分布、数字特征2、多元正态分布数字特征及其参数估计3、三个常用的抽样分布4、正态分布总体均值向量的检验（四）教学时数3课时(五）教学内容1、多元分布的基本概念2、多元正态分布数字特征及其参数估计3、三个常用的抽样分布及多元正态分布的假设检验第一节多元分布的基本概念多元统计分析主要方法是建立在多元正态分布的假设之上的。
而多元正态分布又是多元分布中应用最广泛的一种.为此，在介绍多元统计分析方法之前，首先有必要介绍多元正态分布的有关内容.另外，多元统计分析涉及到的都是随机向量或着将多个随机向量放在一起组成的随机矩阵。
为此，学习多元正态分布还需要首先从随机向量的基本概念开始。
多元统计分析，简称多元分析，是指当总体的分布是多维（多元）概率分布时，处理该类总体的数理统计理论和方法的总称，是统计学中的一个重要的分支学科。
早在19世纪就出现了处理二维正态总体的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体的统计分析问题，则开始于20世纪。
人们常把1928年维希特（Wishart）分布的导出作为多元分析成为一个独立学科的标志。
20世纪30年代,R。
A。
费希尔、H。
霍特林、许宝騄以及S.N。
罗伊等人做出了一系列奠基性的工作,使多元统计分析在理论上得到了迅速的进展。
20世纪40年代，多元分析在心理、教育、生物等方面获得了一些应用。
由于应用时常需要大量的计算,加上第二次世界大战的影响，使其发展停滞了相当长的时间。
50年代中期，随着电子计算机的发展和普及，它在地质、气象、标准化、生物、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用,也促进了理论的发展。
一、随机向量我们知道，所谓随机变量通俗理解就是“其值随机会而定”的变量.比如,在某厂大批产品中随机地抽取出100个，其中所含废品数X 就是一个随机变量。
厦门大学《应用多元统计分析》习题第02章 多元正态分布的参数估计
思考与练习2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。
2.2 设随机向量12(,)X X ′=X 服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和1X 、2X 各自的边缘密度函数。
2.3 已知随机向量12(,)X X ′=X 的联合分布密度函数为：()()()()()()()()()121122222,d c x a b a x c x a x c f x x b a d c −−+−−−−−2⎡⎤⎣⎦=−−其中，。
求：12,a x b c x d ≤≤≤≤⑴ 随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差。
⑵ 随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数。
⑶ 判断1X 和2X 是否相互独立。
2.4 设随机向量12(,,,)p X X X ′=X L 服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明ΣX 的分量是相互独立的随机变量。
2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示： 职工编号目前工资 （美元）受教育年限（年）初始工资 （美元）工作经验（月）11 2 3 4 5 6 57,000 40,200 21,450 21,900 45,000 28,350 15 16 12 8 15 8 27,000 18,750 12,000 13,200 21,000 12,000 144 36 381 190 138 26设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协差阵的最大似然估计。
2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？ 2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)p N μΣ1~(,p N nX μΣ)。
2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S 为(,)p N μΣΣ的无偏估计。
2.9 设()1x 、()2x 、…、()n x 是从多元正态总体中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵的分布。
第2章多元正态分布的参数估计
第2章多元正态分布的参数估计多元正态分布是统计学中常用的一种概率分布模型，在实际应用中经常被用来描述多个变量之间的关系。
在参数估计的过程中，我们通常需要估计多元正态分布的均值向量和协方差矩阵。
本章将介绍多元正态分布的参数估计方法。
多元正态分布的均值向量和协方差矩阵分别用μ和Σ表示。
在参数估计的过程中，我们可以使用样本的均值向量和协方差矩阵来估计总体的均值向量和协方差矩阵。
首先，我们需要收集一个包含n个样本的数据集，其中每个样本有d 个变量。
我们将这个数据集表示为X=[x1, x2, ..., xn]，其中xi是一个d维向量。
均值向量的估计可以通过计算样本向量的平均值来得到。
均值向量的估计公式为：μ̂ = (1/n) * Σxi其中，μ̂是均值向量的估计值。
协方差矩阵的估计可以通过计算样本向量之间的协方差来得到。
协方差矩阵的估计公式为：Σ̂ = (1/n) * Σ(xi - μ̂)(xi - μ̂)T其中，Σ̂是协方差矩阵的估计值。
这里需要注意的是，协方差矩阵是一个对称正定矩阵，因此需要对估计值进行修正，以保证估计出的协方差矩阵是对称正定的。
修正的常用方法有Ledoit-Wolf修正和修正。
在进行参数估计之后，我们还可以计算估计值的标准误差（standard error），以衡量估计值的可靠性。
在多元正态分布的参数估计中，均值向量估计值的标准误差为：SE(μ̂) = (√((2/n)(d(d+1)/2))) * (√(Σi î))协方差矩阵估计值的标准误差为：SE(Σ̂) = (√((1/n)(d(d+1)/2))) * (√(Σi î(Σj ĵ -Σi ĵ^2)))其中，Σi î表示协方差矩阵估计值的第i个对角元素，Σi ĵ表示协方差矩阵估计值的第i行第j列元素。
参数估计的过程中，还需要考虑到样本量的大小。
当样本量较大时，参数估计的精度会提高；而当样本量较小时，参数估计的精度会降低。
多元统计分析：第二章 多元正态分布及
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向
x11 x X 21 x n1
def
x12 x22 xn 2
x1 p X (1) def x2 p X (2) X xnp (n)
(d表示两边的随机向量服从相同的分布.) d
其中U=(U1,…,Uq),且U1,…,Uq 相互独 立同分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的性质2
Z=BX+d = B(AU+μ)+d = (BA)U+(Bμ+d) 由定义2.2.1可知 Z ～Ns(Bμ+d, (BA)(BA))， Z ～Ns(Bμ+d, BΣB). (这里Σ=AA).
X2 0 2 X ~ N 2 ( 0 , 0 3 0 ) 3
26
则有(1) X1 ~ N(2,1),
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的定义与基本性质—简单例子
X 2 0 1 0 X 1 令 Y X 3 0 0 1 X 2 BX , 1 0 0 X 3 X1
性质1的证明
根据随机向量特征函数的定义和性质，经计算即可 得出X的特征函数为 ΦX(t)= E(eitX)= E(eit (AU+μ) ) it AU 令t′A=s′=(s ,…s ) q 1
exp(it ) E(e ) i ( s1U1 s qU q ) exp( it ) E (e ) isqU q is1U1 exp( it ) E (e e )
du
e
e
第二章 多元正态分布
Σ11 Σ= Σ 21
Σ12 k Σ 22 k − p
µ1 k µ= µபைடு நூலகம்2 p − k
x1 k x= x 2 p − k
则给定 x 2 时 x1 的条件分布为 N k ( µ1⋅2 , Σ11⋅2 ) ，其中
µ1⋅2 = µ1 + Σ12 Σ −1 (x 2 − µ 2 ). 22
7.033 2.168 3.540 4.981 2.874 30.530 Σ=
1.681 1.276 4.638 3.107
1.276 5.213 1.161 2.939 5.864 19.532 1.851 4.069 3.860 4.525 27.363
p 元正态分布；
若 rank(A) < p( p ≤ q)，则Σ−1不存在， = Au + µ是退化 x
p元正态分布，不存在密度函数。
1 0 例：设随机向量 u ~ N2 (0, I ) ， = Au， = 0 1 ，则 x 的分布是 A x 退化的三元正态分布。 1 1
1 1 =I = O 1
二、一般的正态分布 设随机向量 x = (x1, x2 ,L, xp )′ ,若其的密度函数为
f (x1, x2 ,L, xp ) = (2π )
− ∞ < xi < +∞
协方差为
−p 2
Σ
−1 2
1 exp[− (x − µ)′Σ−1(x − µ)] 2
1 0 1 0 1 0 11 0 1 = 0 1 1 Σ = AA′ = 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 = 1 1 + 0 1 = 2 −1−1 = 0 Σ= 1 2 1 1 1 1 2
多元统计分析_第2章_多元正态分布_s
第2章多元正态分布§2.1 多元分布§2.2 多元正态分布的定义及基本性质§2.3 正态分布的条件分布和独立性§2.4 矩阵正态分布§2.5 参数的极大似然估计§2.6 极大似然估计的性质13),21′=p ξξξ (ξ随机向量：pn ij ξξ×=)(随机矩阵：注：随机矩阵拉直后就是随机向量，二者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同.4一、多元分布函数1212121122122.1.1 (,,,)()(,,,) ()(,,,)(,,,)(,,,)~.p p p p p pp ξξξξξξF x F x x x P ξx ξx ξx x x x x R F ξξ′===≤≤≤′=∈ 定义设是一随机向量，它的多元分布函数的联合分布函数定义为式中，记作512122112(1)(,,,)(1,2,,)(2)0(,,,)1(3)(,,,)(,,,)(,,,)0(4)(,,,)1p i p p p F x x x x i p F x x x F x x F x x F x x F =≤≤−∞=−∞==−∞=+∞+∞+∞= 是每个变量的单调非降右连续函数.多元分布函数的性质：71)( )2( ,0)( )1()(=∈∀≥⋅∫dx x f R x x f R f pR pp 当且仅当随机向量的分布密度，中某个能作为一个多元函数9二、边缘分布.)( 3.1.2)1(的边缘分布的分布称为个分量组成的随机向量的维随机向量，由它为若定义ξξξp q q p <10),,,,,,(),,,,,),,)111111)1()2()1(∞∞∞=∞≤∞≤≤≤=≤≤=≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+ q p q q q q q u u F u ξu ξP u ξu ξP u ξP ξξξξξξ((((1)的分布函数为，则不妨假设11(1)(1212112111)(,,)(,,)q q u u u p p u u u p q p q P ξu f t t dt dt dt f t t dt dt dt dt ∞∞∞−∞−∞−∞−∞−∞−∞∞∞∞+−∞−∞−∞−∞−∞−∞≤=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 若ξ有分布密度函数f (x )，则12p q p q q q dt dt t t x x f x x f ξ1111)1(),,,,,(),,(++∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫=的边缘分布密度为(1)13注：（1）有分布密度函数，则它的任何边缘分布也有分布密度函数；（2）若的任何边缘分布有分布密度函数，并不能推出有分布密度.ξξξ两个随机向量独立的充分必要条件：①联合分布函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.1621).()(~),(~),(~,)4(t t t t ηηηξηξηξΦΦ+ΦΦξξ则量的随机向是相互独立且维数相同与若).()(),( ,)()(,,)5()2()1()2()1(t t t t t t q p ηξξΦΦ=Φ⇔ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ独立和则的特征函数和分别为和特征函数的表示维随机向量和分别为和若ηξηξηξηξη22(7) .p a ξξ′若为维随机向量，则它的分布由一切形如的分布所唯一决定).()exp()( ,),(~ )6(t A a t i t a A t ′Φ′=Φ+=Φξηξηξ则若ξ23).()exp()])([exp()exp()][exp()exp())]([exp()][exp()(t A a t i t A i E a t i A t i E a t i a A t i E t i E t ′Φ′=′′′=′′=+′=′=Φξηξξξη证明：（6）24.,3,,),()][exp()1( 1)][exp()( )7(:的分布它决定了知由性质的特征函数恰好是的函数把它看成得取的特征函数为证明ξξξξa a a i E t a it E t a a a Φ=′=Φ=′=Φ′′′ξξξξ25五、矩2.1.6 ()(), 1, 2, , ,1, 2, , ,()(), .ij ij ij n p E i n j p E ξξξεξξξ=×=== 定义设为随机矩阵，假定存在且有限记称为随机矩阵的均值)()( ij E ξξε=26,(1) ,,,( )(),()()A B C A B C A B CA A εξεξξεξεξ+=+=若为常数矩阵则特别当为随机向量时有注：以下总假定公式中用到的随机矩阵的矩是存在的.均值的性质：27)]([)]([)] )4()()( , )3()()( ,, )2(ξεξεξξηεξεηξεηεξεηξεA tr A tr A E n p A p n b a b a b a B A B A B A ==××+=++=+[tr()()(则常数矩阵，为随机矩阵，为若为常数，则若则为常数矩阵若注：以上四个性质均体现均值的线性性.28().),,cov()(),cov(])()][([),cov( ),,cov(,)(),), 7.2.1 2121的协方差称为时，记作当即其元素是矩阵定义为一个简称协差阵阵的协方差维随机向量，它们之间维和分别为和设定义ξξξξηξηξηεηξεξεηξηξηηηηξ===′−−=×′=′=D p n p n ξξξj i j i p n ((29() ),cov(),cov( j i ηξηξ=()),cov(),cov(j i ξξξξ=31.])(][)([)())()()( ,)2(.})(){() (),cov(,})(){() (),cov()1(′−−+=′−−=+′−′=′−′=a a D a a D a D a ξεξεξξξεξξξεξεξξεξξηεξεηξεηξ(则为常向量若特别协差阵的性质：32A AD A DB A B A B A ′=′=)()( ),cov(),cov( ,)3(ξξηξηξ特别则为常数矩阵和设协差阵的性质（续）35则记值和协差阵存在的均若随机向量定理 ),( ),( ,),,, 1.1.221ξξεμD ξξξξn =Σ=′= ()()( μμξξA A tr A E ′+Σ=′36μμμμξξξξξξA A tr A tr A Etr A Etr A E ′+Σ=′+Σ=′=′=′)()}({)()()(μμξξεξεξεξξεξ′+Σ=′′−′=) (,})(){() ()(:所以因为证明D。
第二章 多元正态分布及参数的估计
27
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第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布的定义与基本性质—简单例子
y BxB
0 0 1
1 0 0
100 110
1 2 0
003 100
0 0 1
1 0 0
1 0 1
2 0 1
003 100
2
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第二章 多元正态分布及参数的估计
目录
§2.1 随机向量 §2.2 多元正态分布的定义与
基本性质
§2.3 条件分布和独立性 §2.4 随机矩阵的正态分布 §2.5 多元正态分布的参数估计
3
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第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.1 随 机 向
本课程所讨论的是多变量总体.把 p个随机变量放在一起得
第二章 多元正态分布及参数的估计
§2.2 多元正态分布性质2的推论
例2.1.1
f (x1, x2
()X1,X212)的e联 12合( x12密 x22度) [1函数x为1 x2e
1 2
(
x12
x22
)
]
我们从后面将给出的正态随机向量的联合密
度函数的形式可知, (X1,X2)不是二元正态随机向 量.但通过计算边缘分布可得出:
本节有关随机向量的一些概念(联合分布, 边缘分布,条件分布,独立性;X的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X与Y的协差阵)要求大家 自已复习.
三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X,Y为随机向量,A,B为常数阵,则
E(AX)=A·E(X) E(AXB)=A·E(X)·B
6
多元统计分析第二章 多元正态分布
第2章 多元正态分布多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。
多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。
虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。
所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。
限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard （2003），朱道元（1999）等。
现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。
2.1随机向量2.1.1随机向量定义2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。
类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。
设()1,,p X X X '= 是1p ⨯随机向量，其概率分布函数定义为：(){}111,,,,p p p F x x P X x X x =≤≤ ，1,,p x x 为任意实数多元分布函数()1,,p F x x 有如下性质： （1）()10,,1p F x x ≤≤ ；（2）()1,,p F x x 是每个变量,1,2,,i x i p = 的非降右连续函数； （3）(),,1F ∞∞= ；（4）()()()211,,,,,,,0p p F x x F x x F x -∞=-∞==-∞= 。
多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。
连续型随机向量()1,,pX X X '= 的分布函数可以表示为 ： ()()1111,,,,px x p p p F x x f t t dt dt -∞-∞=⎰⎰，()1,,pp x x R ∈ (2.1)称()1,,p f x x 是()1,,p X X X '= 的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。
多元概率密度()1,,p f x x 有以下性质： （1）()1,,p f x x 非负； （2）()11,,1p p f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ；（3）()()111,,,,p p p nF x x f x x x x ∂=∂∂2.1.2边缘分布、条件分布和独立性 边缘分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，由其q 个分量组成的向量()1X （不妨设()()11,,q X X X '= ）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：()()()1111,,,,X q p q p f x x f x x dx dx ∞∞+-∞-∞=⎰⎰ (2.2)条件分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，()()11,,q X X X '= ,()()()()2112,,,,,0q p X q p X X X f x x ++'=> ,在给定()2X 的条件下,()1X 的条件概率密度函数为：()()()()21111,,,,,,,,p q q p X q p f x x f x x x x f x x ++=(2.3)独立性设()1,,n X X 是连续型随机向量,则1,,n X X 相互独立当且仅当()()()111,,n n X X n f x x f x f x = 对任意1,,n x x 成立。
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i1
i
S
n
(
i1
Xi
X)(Xi
X)
则有
S
n
X
j Xj
nXX
i1
1、
~
N
p
(,
1 n
)
2、和S相互独立
3、S ~ Wp (n 1,)
证明：
*
设
*
1
n
*
* 1 n
*
*
ij
nn
1
那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答
时肯定的。
定义： 设 ~ Wp (n,)和u ~ N p (μ,)相互独立,则
2 nu1u ~ T 2 ( p, n,μ)
称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。
当 μ 0时，2 nu1u 服从自由度为n的中心霍特林分布， 记为 2 nu1u ~ T 2 ( p, n) 。
a
)
,
x(a 2
)
,,
x(a na
)
1 k na x x
n a1 i1
(a) i
x 1 x a
na
i 1
(a) i
na
W
(x k na
a1 i1
(a) i
x)(x(ia)
x)
E
(x k na
a1 i1
(a) i
xa
)(x(ia)
xa )
B
分布近似。
2、Λ统计量和Λ分布
设k个总体G1,,Gk ，它们服从 N p ( (i) ,) 。分别抽出
如下的样本：
x(1) 1
,
x(1) 2
,,
x(1) n1
x1(
2
)
,
x(2 2
)
,,
x(2 n2
)
x1(
k
)
,
x(k 2
)
,,
x(k nk
)
n
n k
a1
a
xa
x1(
Z
2 p
~
（2 p)
相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 p 的卡方分布。
在一元正态的情形下，我们有样本的统计量
Z x ~ N (0,1) n
当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差
S *2
n
1
1
n
(
i 1
xi
x)2
来代替总体的方差，则
t
x S*
n
~
t(n
1)
x2 (x21, x22,, x2 p ) x1 (x11, x12,, x1p )
… xn (xn1, xn2 ,, xnp )
令
1 n
n
i
i 1
样本均值
S
(X n
i 1
i
X)(Xi
X)样本叉积矩阵
则 2 (n 1)n(x )S 1(x ) ~ T 2 ( p, n 1)
定理1：若 ~ Wp (n,) ，且 0 ，n p ，则 的分布密度
为
|
a
1(n p1)
|2
exp( 1 tr1A)
F (a)
np
22
p ( p1 ) 2
n
| |2
2
,a
p
(
n
i
1)
0
i1
2
特别，当 p 1和 1 时， 服从 2 分布。
且 T 2 ( p, n) np F ( p, n p 1) n p1
定理：设 x1,x2,,xn1 是来自多元正态总体 N p (,) 的简单
随机样本，
x2 (x21, x22,, x2 p )
x1 (x11, x12,, x1p )
…
xn1 (xn11, xn1 2 ,, xn1p )
x2 )
~
n1 n2 n1n2
T
2(
p, n
1)
Sp
(n1 1)S1 (n2 1)S2 n1 n2 2
四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量
在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 2 分布随机变量比值
的F统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量和 分布。
设随机矩阵 X
x21
x22
x2
p
xn1
xn2
xnp
矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量
x x11 x1p x21 x2 p xn1 xnp 的分布。
定义 维希特（Wishart）分布的统计量 设 n 个随机向量 Xi ( X i1, X i2 ,, X ip )(i 1,2,3,, n)
2
为一正交矩阵n 令 (1 2 n ) X1 X2 Xn
由于Xi (i 1,2,3,4,n)独立同正态分布,且为正交矩阵，所以
(1 2 n )独立同正态分布
n
1 n
n
i 1
i
E(n)
1 n
x12
x22
xn 2
x21
x22
x2
p
x1
p
x2 p
xnp
xn1
xn 2
xnp
n
X il X lj
l 1
服从自由度为 n 的非中心维斯特分布，记为 ~ Wp (n,,。μ)
特别当 X是 p 阶对称阵，则X 的分布为的下三角部分组 成的长向量
p
(
,
1 n
)
n
S
(X
i1
j
X)(X
j
X)
S
n
X
i1
j Xj
nXX
S
n
i1
X
j
Xj
n n
S nn
S
n1
j 1
j
j
与S相互独立
S
n1
j 1
j
j
~ Wp (n 1,)
当 1，p 1时，由卡方分布的定义可知
为Wm (n,CC) 分布。
三、 抽样分布
定理1：设X1,X2,……Xn是来自多元正态总体Np(,) 的简单随机样本，有
x1 (x11, x12 ,, x1p )
x2 (x21, x22 ,, x2 p )
xn (xn1, xn2 ,, xnp )
令
1 n
n
第2章 抽样分布
Sampling Distributions
§1 样本的联合概率密度函数
设x ~ N p (,), 0, 则总体的密度函数为
f
( x1 ,
x2 ,,
xp
)
(2
)
p
2
1
2
exp[
1 2
(x
) 1 ( x
)]
X1，X2，……，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，
x x11 x1p x22 x2 p xp1, p1 xp, p1 xp, p
在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 2 分布，在多元
正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当
于一元统计中的 2 分布。
维希特（ Wishart）分布的密度函数
X11 X12 X1p
X
X 21
X 22
X
2
p
X (1) X (2)
X
n1
X n2
X
np
n
p
X
(n)
独立同分布于
Np
(μ, )
，则随机矩阵
n
i
i
i1
A X X
x11 x21 xn1 x11 x12 x1p
证：
由于样本均值
x
~
Np
(
,
1 n
)
令
1
n 2 (X )
1
E() E[ n 2 (X )]
1
D() D[ n 2 (X )] p
1
n 2 (X ) ~ N p (o,I)
所以
2
Z12
Z
2 2
n
i 1
(2 ) p
2
1
2
exp[
1 2
(
xi
)1(xi )]