多元正态分布的检验精品PPT课件
合集下载
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
多元统计分析——多元正态分布
一、多元正态分布的定义
1、一元正态分布的定义 若变量 X 的概率密度为：
x 2
2 2
1 f x e 2
， 0 ，
则称 X 服从一元正态分布，记为 X ～ N , 2 。 我们可以将上式改写为：
f x 2
1 2
1 exp x ' 2 2
量 X 的相关阵为
R rij p p
其中
rij
Var X i Var X j
covX i , X j
ij ii Байду номын сангаасj
i, j 1,2,， p
另证明：标准化数据的协方差阵正好是原始指标的相 关阵
第2节
多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、均值向量和协方差阵的估计 三、维希特（Wishart）分布 四、统计距离
三、多元变量的独立性
定义 3 两个随机向量 x 和 y 相互独立的充要条件为：
PX x, Y y PX x PY y
对任意的 x, y
若 F x, y 为 x, y 的联合分布函数； G x 和 H y 分别为 x 和 y 的分布函数， 则 x 与 y 独立当且仅当 F x, y G x H y 若 X ,Y ' 有密度函数 f x, y ， g x 和 h y 分别表示 X 和 Y 的分布密度， X 和 Y 用 则 独立当且仅当
X 1 X 2 X p q
q
μ 1 μ 2 μ p q
q
11 21
12 21 p q
多元正态分布参数估计与检验
则称随机向量 为X维正p态随机向量，
其中
称为均值向量， V为协方差矩阵(协差阵)，且
V0. 对于一般情形 V0, 仍可定义多维正
态随机向量， 记为 X～ Np(,V 。) 当 V0时，
X有前面的密度表示，而当
布是退化的正态分布。
时|V，|0 X的分
多元正态分布的性质：
（1） p维正态分布由其均值向量和协方差阵唯
即
～
H0
成立时， 1
时，
2
D 0 6 n 1 n 20 7(X Y )T V 0 8 1 (X Y )0 9 2 (p )1 0
n n 而当 不 1有偏2 大的趋
因此，对
给定的显著
当
H 成立时， 0
势。
D
性水平 ，
D n n 11 n n 22(X Y )T V 1 (X Y )1 2 (p )
体 Np(,V)的简单样本， 令
X
1n nk1
Xk
——样本均值向量
n
S (XkX)X (kX)T —样本离差阵
k1
定理18.1
态总体
的简单样本，
设 X 1 ,X 2 , ,X n ( n 是p ) 来自多元正
态总体 Np(,的V简)单样本，
且 V，0 则 X是
的极大似然估计，
1 S 是 V的极大似然估计。
体 Np(,V的) 简单样本，
其中 V已知。 考虑假设
检验问题
H 0 ： 0 ， H 1 ： 0
令 D n (X 0)T V 1(X 0),则可以证明当
H 0 成立时，即 时，0 D～ 2(p)
H0
D
01
0 2
03
04
多元正态分布(新) ppt课件
2 22
EX1 1, EX 2 2 ,
(1 0,2 0, 1)
Var(
X
1
)
2 11VBiblioteka r(X2)
2 22
,
( X1, X 2 ) cov(X PPT课件1, X 2 ) 11 22
5
二元正态分布曲面(
2 11
1,
2 22
X i1 X1
11
§2多元正态分布的参数估计
一、多元样本及其样本数字特征
１．多元样本阵
X11 X12
X
X
21
X 22
X
n1
X n2
记
X(i) ( Xi1, Xi2 ,Xip )
X1p
X
2
p
X
np
i 1,2n
PPT课件
12
2、多元样本的数字特征
样本均值：
一、多元正态分布的定义 定义1：若p维随机向量 X (X1,X p) 的密度函数为：
f (x1,xp )
1
(2 ) p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)1( x
μ)
其中， x (x1,xp ), μ 是p维向量 是p阶
正定矩阵，则称X服从p维正态分布，记为 X ~ N p(μ,)
第一章 多元正态分布及其参数估计
PPT课件
1
§1多元正态分布的定义及其性质
多元正态分布的重要性： （1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
多元正态分布的检验精品PPT课件
139..2376
199.26 88.38
S d
88.38
418.61
T 2 11 9.36
13.27
0.0055 0.0012
00.0.0002162 139..2376 13.6
取 0.05，求得
n2 i 1
yi
s12
1 n1 1
n1 i 1
( xi
x)2,
s22
1 n2 1
n2 i 1
( yi
y)2
sw2
1 n1 n2 2
(n1 1)s12 (n2 1)s22
或检验统计量：
F
t2
1 n1
1 n2
1
xy sw
2
x
y
1 n1
1 n2
s2w
1
x
y
当F Fα(1,n1 n2 2)时，拒绝H 0
i
2
n
i
i
2
n
i 的T 2 联合置信区间为：
1
1
Xi
T
S2 ii n
i
Xi
T
S2 ii n
i 的Bonferroni 联合置信区间为：
1
1
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
i
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
§2.2 两个正态总体均值 的成组比较
一元情形的回顾
设 x1, x2 ,, xn1和 y1, y2 ,, yn2 分别取自于
F
(
p,
n1
n2
p
1).
均值差的T2置信区间
两个p维总体均值差 11 12，21 22，， p1 p2 的10（0 1）% T 2 联合置信区间为：
第二章 多元正态分布 《应用多元统计分析》 ppt课件
写字母表示； 随机变量用大写字母表示，其实现值用小写字母表示。
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
多元正态分布
专业课件讲义教材PPT文档 8
另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2
1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
专业课件讲义教材PPT文档 4
设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P
专业课件讲义教材PPT文档 1
u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )
T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
另，x1 和
1 x1 1 2 f1 ( x1 ) exp[ ( ) ] 21 2 1 2 1 1 x2 2 f 2 ( x2 ) exp 2 2 2 2 1
x2 的边际密度函数分别是
，其中 u ~ N 2 (0, I ) ，
1 0 ，则 X 的分布就是退化的三元正 A 0 1 1 1
态分布，即 x ~ N3 (0, ) ，其中
1 0 1 0 1 1 0 1 T AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1
(2 )
p 2
1 2
1 T 1 exp (x ) (x ) 2
专业课件讲义教材PPT文档 4
设随机向量 u ~ N P (0, I ) ， 为 p 维常 数向量， A 是一个 p q 常数矩阵，则称 x Au 的分布为多元正态分布，仍记 T X ~ N ( , ) 作 ，其中 AA 。 P
专业课件讲义教材PPT文档 1
u 的均值和协方差矩阵分别为
E (u) E (u1 ),, E (u p )
V (u) E (uuT )
T
0
u12 u1u2 u1u p 1 0 0 2 u2u1 u2 u2u p 0 1 0 E I u u u u u2 0 0 1 p 2 p p 1 u 的分布称为均值为 0 ，协方差矩阵为 I 的多元正态分布，记作 u ~ N P (0, I )
第三章
第一节
多元正态分布
多元正态分布的定义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
置信域和T2置信区间的关系
PaX
T
(aSa)
1 2
n
a
aX
T
(aSa)
1 2
n
, a
0 1
ห้องสมุดไป่ตู้ P
(X
)
S n
1
( X
)
T2
1
置信域和T2置信区间的关系（续）
2
1
2
2
1
1
p 2 时的情形
的k 个线性组合 a1，a2 ，，ak 的10（0 1）%
Bonferroni 联合置信区间为：
1 0.95
n
K=p
2
4 10
15
0.88 0.69 0.29
25
0.90 0.75 0.48
50
0.91 0.78 0.58
100
0.91 0.80 0.62
0.91 0.81 0.66
联合置信区间与单一置信区间的比较
的单一置信区间： i
X
t
S1 2
(n 1) ii
X
t
S1 2
(n 1) ii
i
2
n
i
i
2
n
i 的T 2 联合置信区间为：
S n
1
(X
0
)
给定显著性水平 ，当T 2 T2时，
拒绝原假设H . 0
其中：X
1 n
n i 1
Xi
（样本均值）
S
1 n1
n i 1
(Xi
X )( X i
X )（样本协方差）
或检验统计量
F n p T 2 p(n 1)
当F
F ( p, n
p )时，拒绝 H 0
注：
T2
p(n 1) n p F ( p, n
检验统计量 :
t
x
0
sn
给定显著性水平 ，当 | t | t (n 1)时，
2
拒绝原假设H0 .
或检验统计量为
F
t2
x s
0
n
2
(x
0
)
s2 n
1
(x
) 0
给定显著性水平 ，当F F (1, n 1)时，
拒绝原假设H . 0
注：F
(1,
n
1)
t2
(n
1)
2
单个多元正态总体均值的检验
的随机样本，检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 2已知
检验统计量 : U x 0 n
给定显著性水平，当 | U | u 时，
2
拒绝原假设H0 .
(2) 2 未知时
设x1, x2 ,, xn为取自于正态总体 N ( , 2 )
的随机样本，检验假设
H0 : 0 , H1 : 0 2未知
(1) 已知时
设X1
,
X
2
,,
X
为取自于
n
p维正态总体
N p ( , )的随机样本，检验假设 :
H0 : 0 , H1 : 0 已知
1
其中：
2
,
p
10
0
20
p0
马氏距离 的n倍
检验统计量
T0 2
(X
0
)
1
n
(X
0 )
给定显著性水平，当T02 2 (p)时，
T
(aiSai
)
1 2
n
ai
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
,i 1,2,, p 1
的 p 个分量 1，2，， p 的100（1 ）%
T 2 联合置信区间为：
1
1
Xi
T
S2 ii n
i
Xi
T
S2 ii n
i 1,2,, p
其中，X 是均值向量X的第i个分量， i
S 是协方差矩阵S第i个对角线上的元素。 ii
a aX
T
(aSa)
1 2
n
P aX
T
1
(aSa)2 n
a
aX
T
1
(aSa)2 n
, a 0
1
的 p 个线性组合 a1，a2 ，，ap 的10（0 1）%
T 2 联合置信区间为：
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
ai
aiX
T
(aiSai
)
1 2
n
i 1,2,, p
PaiX
p)
例题：
设一个容量为n 3的随机样本取自二维正 态总体， 其样本数据为
n
123
x1
6 10 8
x2
963
试对0 (9,5)计算T2的值。
多元正态总体均值的置信域
设X
1
,
X
2
,,
X
为取自于正态总体
n
N
p
(
,
)的随机样本，
则
F n p T2 p(n 1)
n p
(X
)
S
1
( X
)
~
F(
p, n
xx tt2((nn11))
2
ss nn
xx
tt 2
((nn
11))
2
ss nn
多元正态总体均值的T2置信区间
设X1, X 2 ,, X n为取自于正态总体N p (, ) 的随机样本， 未知，则的所有线性组合
a(a为任一非零常数向量)的10（ 0 1 ）%
置信区间为：
aX
(
aSa
)
1 2
T n
拒绝原假设H0 .
其中：X
1 n
n i 1
Xi
（样本均值）
(2) 未知时
设X1, X 2 ,, X n为取自于p维正态总体
N p (, )的随机样本，检验假设 : H0 : 0 , H1 : 0 未知
1
其中：
2
,
p
10
0
20
p0
检验统计量
T
2
(X
0
)
i 1,2,, p
如果仅考虑 的k 个线性组合，
且k较小时一般选择Bonferroni
联合置信区间作为 的区间估
计，为什么？
因为，当k较小时，t (n 1) T于是，在置信度相同 2k
的情况下，Bonferroni置信区间比T 2置信区间更短。
表2.1 Bonferroni区间宽度 T 2区间宽度
第二章 多元正态分布参数的检验
§2.1 单个正态总体均值的检验及置信区间 §2.2 两个正态总体均值的成组比较 §2.3 两个正态总体均值的成对比较
§2.1 单个正态总体均值的检 验及置信区间
一元正态总体均值检验的回顾
(1) 2 已知时
设x1, x2 ,, xn为取自于正态总体 N ( , 2 )
T2
置信域和T2置信区间的关系（续）
2
1
p 2 时的情形
一元正态总体均值的置信区间
设 x ,设x ,x1, x, x2 ,为,取xn自为于取正自态于总正体态总体
12
n
NN((,, 22))的的随随机机样样本本，，2未2未知知, 则, 则
的的1100（0（ 011））%%置置信信区区间间为为：：
p)
p(n 1)
n
PF F ( p, n p) 1 即
P( X
) S 1 ( X
n
)
p(n 1) n p
F
(
p,
n
p) 1
或：P
(
X
)
S n
1
( X
)
T2
1
于是， 的100（1 ）%置信域是一椭球，它由 满足
下式的的集合所构成：
(X
)
S n
1
( X
)
aiX
t
(n
1)
(aiSai
1
)2
2k
n
ai
aiX
t
(n
1)
(aiSai
)
1 2
2k
n
i 1,2,, k
特别地， 的 p 个分量 1，2，， p 的10（0 1）%Bonferroni 联合置信区间为：
1
1
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n
i
Xi
t (n 1)
2p
S2 ii n