非齐次Burgers方程周期解的大时间行为
笔记梳理：计数过程+泊松过程+非齐次泊松过程
笔记梳理：计数过程+泊松过程+非齐次泊松过程Abstract泊松过程是一类较为重要的随机工程,其在排队论理论中有着广泛的应用.泊松过程是特殊的计数过程,其可分为(齐次)泊松过程和非齐次泊松过程.本文主要是对泊松过程(包含非齐次)概念的梳理和总结.一、计数过程和泊松过程Definition1.1(计数过程):如果是在时间段内某一特定事件发生的次数,则称为计数过程(counting process).Remark:计数过程具有以下基本性质:(1) 该过程状态空间为(因为次数总是非负整数)(2) 单调不减性(,);(3) 的样本函数是单调不减右连续的阶梯函数.介绍计数过程的目的是为了引出泊松过程,这是由于泊松过程也是一类计数过程.然而,在教材中,泊松过程的定义有两个并且二者是等价的.Definition1.2(泊松过程定义1):我们称计数过程为参数为的泊松过程,如果其满足(1) ;(在时刻时次数为0)(2) 过程具有独立增量性;(3) ,有Remark:定义中的条件(2)其实意味着泊松过程是一个独立增量过程,而条件(3)则意味着其是一个平稳增量过程.换句话说,泊松过程是一个平稳独立增量过程(),这也是定义2的其中一个条件.同样地,定义2与定义1的第一个条件是一致的.我们根据条件(3)可以得到泊松过程的均值函数与方差函数这两个数字特征:值得说明的是,我们把这里的称为泊松过程的强度,它所代表的含义有如下两点:其一,是事件在单位时间内发生的平均次数;其二,是单位时间内平均出现的质点数.下面我们将给出定义2的另两个条件.定义2的另两个条件:(1)当时,;(2)当时,.泊松过程的应用:排队论. eg: 到达120急救中心的呼叫次数;到达某服务设施的顾客数. 换句话说,现实中遇到跟排队有关的建模问题,可以考虑用泊松过程.我们先前说过代表在时间段内某一特定事件发生的次数,现在考虑设表示第次事件发生的时刻,表示第次与第次事件发生的间隔.假设是泊松过程,下面我们探究和满足怎样的分布.Theorem1.3:服从参数为的指数分布,且相互独立.Theorem1.4:服从参数为和的埃尔根分布.Remark:事实上,如果每次事件发生的时间间隔相互独立,且服从同一参数为的指数分布,则计数过程是参数为的泊松过程.换言之,时间间隔的特性也为泊松过程判定提供了充分条件.二、非齐次泊松过程我们在前面介绍的泊松过程均是"齐次",那里的参数是一个正数,而我们现在所要考虑的非齐次泊松过程中的强度函数是跟时间有关的.这主要是由于在现实生活中强度函数往往并非是一个常数,即某一事件在单位时间内发生的平均次数往往与时间是有关的.注意到,非齐次泊松过程也有两个定义.Definition2.1(非齐次泊松过程定义1):我们称计数过程为强度函数为的非齐次泊松过程,如果其满足以下条件:(1) ;(2) 具有独立增量性;(3) 当时,;(4) 当时,.Remark:这里需要注意的是,此时的称为强度函数,并非是参数.也不难看出,非齐次泊松方程的定义1是跟齐次泊松方程的定义2是相似的.而对于非齐次泊松方程的另一定义,其满足的前两个条件与定义1一样的.即若一个计数过程如果仅满足定义1的前两个条件,那么还需要添加什么条件才能使其是一个非齐次泊松过程呢?定义2的第三个条件: 服从参数的泊松分布.类比泊松过程的定义1中第三个条件,注意到如果等于常数,那么此时同样地,上述条件3我们可以写成另外,我们同样地可以求出非齐次泊松方程的均值函数与自相关函数:<参考文献>钱伟民,梁汉营,杨国庆. 应用随机过程.北京:高等教育出版社,2014.。
Burgers方程的数值结果
Burgers 方程的数值结果对于有效的数值模拟来说，非线性代数系统在每个时间节点的结果都是至关重要。
这里本文将用灵活的牛顿迭代方法来计算Burgers 方程的数值解。
1.1时间方向的收敛性首先本文通过试验验证了当时间步骤K →0，隐格式在2L 范数下的收敛性。
求解二维黏性Burgers 方程（1），其中主体力f 和初始和边界条件以下面的定义，解析解的形式定义：()()121251ˆ,,,1t e u t x x u x x e -=- (37) 这里()()()12ˆ,sin 3sin 3ux x x y ππ= (38) 函数ˆu在边界∂Ω为零，解u 在t →0时等于0，当t →5时u 收敛到ˆu 。
()(),,k k e u T u T =⋅-⋅ (39)这里(),u T ⋅是（1）在T 时刻的解析解，而(),k u T ⋅在T 时刻的数值解通过方法（7）-（9）得到。
假设误差满足这样的公式：a k e Dk ≈ (40)这里0D >是不依赖于k 并且a 是时间阶精度的方法。
本文定义局部实验收敛阶通过：()1log()log /1kl kl l l l e e a k k --=- (41) 1.2空间方向的收敛性数字实验中2L 范数的收敛依赖于网格大小h 。
因为误差主要依赖于空间方向的离散，而对于时间方向的离散k 是次要的。
为了减少在时间方向离散产生的误差，数值试验采用的时间步为12k e =-。
在时间5T =时，计算误差在2L 范数下()(),,h e U T u T =⋅-⋅的估计， (),U T ⋅表示在时间T 通过隐格式（7）-（9）获得的数值解。
可以假设，根据所述的误差估计，在空间方向上估计有如下形式：heDhβ≈（42）其中D>0是与h无关的常数，β是关于h 的收敛阶。
可以定义试验收敛阶()1log()log/1hl hlll le eh hβ--=-（43）图1图2图3图3显示了在网格节点得到的相对误差，我们观察到数值解在网格细化之后，结果更接近解析解。
burgers 方程
burgers 方程Burgers程是非线性平衡流体力学的重要组成部分。
它由瑞典数学家JanBurgers于1945年提出，在其后的几十年里，不断地受到物理学家和数学家的重视和研究。
Burgers程可以研究复变函数和复空间中的各种问题。
它是用来模拟空气湍流和结晶生长等常见物理问题的理论基础。
Burgers程包含三个参数：x，t和u。
在原始形式中，其定义为： u/t + uu/x +2u/x2 0其中，u是一个复变函数，取值为实数，表示速度；x一个实变量，表示时间；t一个实变量，表示空间。
Burgers程的解可以用来研究空气湍流、结晶生长、噩梦涡、高斯分布、偏执流体力学等物理问题。
Burgers程的解可以通过求解各种不同的非线性方程的连续的变化来推求出。
它的解的解析形式有时比较复杂，但可以用数值方法求出比较精确的解。
一般情况下，Burgers程的解可以用具有特定参数的简单函数来解决，例如Burgers斯型，KPP和其他常见的函数。
在求解 Burgers程的解时，泊松迭代法是一种常用的解法。
它将复杂的数学问题分解成更容易理解和解决的部分，从而达到求解复杂问题的目的。
使用泊松迭代法求解 Burgers程的解有时可以得到比较精确的结果。
Burgers程也可以应用在其它组成非线性平衡流体力学的理论当中。
例如，它可以用来模拟屋架热流和电磁力场。
此外，Burgers程与生物力学方程也有一定的关联和部分的重合。
从生物力学方程中可以提取出 Burgers程的思路和方法，从而可以用来推断生物力学方程的解。
Burgers程在科学界的得到的重视和研究为物理学家和数学家们提供了一个工具，让他们能够更加深入地研究和解决复杂的物理问题。
Burgers程的出现，开启了实验物理学和数学之间的沟通，为物理学家研究许多问题提供了方向和指导。
它也为工程界提供了一种解决和预测实际物理问题的有效工具，促进了物理学和工程学的发展。
Burgers程的研究一直是物理学家和数学家们关注和研究的重要课题。
非齐次泊松过程的仿真方法
．
（ ） 中止 时刻 为 Ｔ， 知 Ｎ（ ）的 分 布 ， 生 １设 易 丁 产
（ ）产生 个 ［ ， ］上 的均匀 分 布的 随机数 ． ２ ＯＴ
（） ３ 把这 个 均匀 分布 随机 数从小 到 大排列 ， 记
为 Ｓ ， ， １ … ５ 即得．
（） ３ 将保 留的 Ｓ， 别记 为 Ｓ ， ， ， 并 输 分 ㈩ ５ … Ｓ ㈦
（ ｉ Ｎ （ ）＝ ） ０ ＝ ＝０；
ｌ， ０
其 ． 他
由引理 １ 知 ， ［ ，］上独立 均 匀分 布 随机 变 量 可 ｎ个 Ｏ ￡
的 Ｘ Ｘ ， ， 顺 序统计 量 分布 为 ， … Ｘ
（ｉ）具有 平稳 独立增 量 ； ｌ
收 稿 日期 ：０ ９０ —９ 修 改 日期 ：０ 卜Ｏ 一Ｏ ２ ０ ～８０ ； ２ １ ５ｌ
间 的变化 而变 化． 实上 ， 事 更多 的 随机现象 事件 发生
（ｉ Ｉ）Ｐ｛ （ ＋ ＾ 一 Ｎ（） ２ ｝ Ｎ ￡ ） ￡ ≥ ）一 Ｏ ； （ ）
（Ｖ）Ｐ｛ ｉ Ｎ ＋ ＾ 一 Ｎ（）一 １ 一 （ ） ０ ）． ） ｝ 矗＋
可 以证 明 ｌ ＿ ４ ］
１
Ｐ｛ （）一 是 Ｎ ｝＝
， ， … Ｓ 强 度 为 为
性质 １１２。 Ｎ（ ＋ 一Ｎ（） ＿６ Ｊ ｓ ） ｓ 服从 泊松 分布 ， 其 参数 为 ｍ（ ＋ 一 （） ｓ ） ｓ．
２ ２ 仿 真 方 法 ．
（）的非 齐 次泊松 过程 事件 发生 的时 刻． ￡ 该方 法 只要产 生单 位强 度 的齐次 泊松 过程 的点 发 时刻 ， 进行 变化 即可 ， 需要 ｒ（） 反 函数 ． 在 但 ｅ ｔ的
１ 齐 次 泊 松 过 程 的 仿 真
一类多维非齐次gbbm方程初边值问题解的长时间行为
一类多维非齐次gbbm方程初边值问题解的长时间行为1、“氓之蚩蚩”中“氓”的意思是民众、百姓，诗中指那个人，读音是“máng”。
[判断题] *对错(正确答案)2、1祥林嫂是孙犁《荷花淀》中的人物形象。
[判断题] *对(正确答案)错3、1人们常用唐诗、宋词、元曲、明清小说概括唐、宋、元、明、清这几个时期突出的文学形式。
[判断题] *对(正确答案)错4、1形散神不散是散文的主要特点之一。
形散主要指散文取材广泛自由，表现手法不拘一格；神不散指表达的主题必须明确集中。
[判断题] *对(正确答案)错5、下列选项中加着重号字读音不相同的一项是（）[单选题] *A、消灭逍遥销路烟硝火药B、水淀纱锭靛蓝皮开肉绽(正确答案)C、菱角丘陵凌晨绫罗绸缎D、飘飞漂泊剽悍虚无缥缈6、1《南州六月荔枝丹》是一篇介绍荔枝的科学小品，属说明文。
[判断题] *对错(正确答案)7、10．下列加点字注音完全正确的一项是（）[单选题] *A．蜷伏（quán）麾下（hūi）哄堂大笑（hōng）恹恹欲睡（yān）B．滑稽（jī）宽宥（yòu）畏罪潜逃（qián）毋（wù）庸置疑C．晌午（shǎng）褴褛（lán 1ǚ）强聒不舍（guō）怏怏不乐（yàng）(正确答案)D．游弋（yì）竹篾（miè）人迹罕至（hǎn）矫揉造作（jiāo）8、1《沁园春雪》中的“沁园春”是词牌名，“雪”是这首词的题目，词的内容与沁园春有密切的联系。
[判断题] *对(正确答案)错9、4．下列词语中加点字的注音完全正确的一项是（）[单选题] *A．羞怯（qiè）粗犷（kuàng）褴褛（lǚ）戛然而止（jiā）B．蹒跚（pán）徘徊（huái）揩（kāi）油抑扬顿挫（cuò）(正确答案)C．恣睢（zì）教诲（huì）两栖（xī）吹毛求疵（chī）D．沉淀（diàn）炽热（zhì）告罄（qìn）桀骜不驯（jié）10、40. 下列词语中加双引号字的读音完全正确的一项是（）[单选题] *A．“翩”然（piān）记“载”（zǎi）流“逝”（shì）“戛”然而止（giá）B．农“谚”（yàn）“萌”发（méng）悬“殊”（shū）阳奉阴“违”（wéi）(正确答案) C．骨“骼”（gé）“漂”移（piāo）连“翘”（qiào）招摇“撞”骗（zhuàng）D．“携”带（xié）两“栖”（xī）“彗”星（huì）“瞬”息万变（shùn）11、1《诗经》“六义”指风、雅、颂、赋、比、兴。
一类多维非齐次gbbm方程初边值问题解的长时间行为
一类多维非齐次gbbm方程初边值问题解的长时间行为多维非齐次gbbm方程初边值问题是一类重要的非线性反问题，其解的长时间行为受到初边值的影响。
因此，研究多维非齐次gbbm方程初边值问题解的长时间行为，对于理解反问题的长时间行为，提高反问题的解的准确性具有重要意义。
0,T]$$其中，A(x,t)和B(x,t)是多维非齐次gbbm方程的系数，$\Omega$是定义域，T是时间的终止点。
多维非齐次gbbm方程初边值问题的初边值条件为：$$u(x,0) = f(x),\quad x \in \Omega $$其中，f(x)是多维非齐次gbbm方程初边值问题的初边值函数。
从理论上来看，多维非齐次gbbm方程初边值问题的解的长时间行为受到初边值的影响，由此可以推出，当初边值函数f(x)的形式越复杂，解的长时间行为就越复杂，解的精确度也就越高。
因此，研究多维非齐次gbbm方程初边值问题的解的长时间行为，需要考虑初边值函数f(x)的形式，考虑函数f(x)中包含的各种特性，如位势函数、噪声等。
从实际应用来看，多维非齐次gbbm方程初边值问题的解的长时间行为可以用来表示复杂系统的长时间行为，如气象、地球物理等等。
因此，研究多维非齐次gbbm方程初边值问题的解的长时间行为，不仅有助于理解反问题的长时间行为，还可以用来模拟实际复杂系统的长时间行为，进而提高模拟精度和准确性。
综上所述，研究多维非齐次gbbm方程初边值问题解的长时间行为，对于理解反问题的长时间行为，提高反问题的解的准确性具有重要意义。
在理论上，需要考虑初边值函数f(x)的形式，考虑函数f(x)中包含的各种特性。
在实际应用上，多维非齐次gbbm方程初边值问题的解的长时间行为可以用来模拟实际复杂系统的长时间行为，进而提高模拟精度。
非线性分数阶演化方程的新解
非线性分数阶演化方程的新解刘银龙;夏铁成;刘泽宇【摘要】通过使用改进的分数阶sub-equation方法寻求一些非线性分数阶演化方程的精确解,如分数阶Burgers方程、耦合分数阶Burgers方程与非线性分数阶Klein-Gordon方程等,并得到了这些非线性分数阶演化方程的新解.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(022)004【总页数】8页(P469-476)【关键词】改进的分数阶sub-equation方法;分数阶Burgers方程;耦合分数阶Burgers方程;分数阶Klein-Gordon方程【作者】刘银龙;夏铁成;刘泽宇【作者单位】上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O1781695年，莱布尼兹定义了分数微积分-普通微积分的推广.但直到最近几十年分数微分方程才重新得到学者们的关注，这是因为其对复杂现象有确切的描述，例如非布朗运动、系统识别、流体流动、控制问题、信号处理、黏弹性材料、聚合物和其他的学科领域的问题.众所周知分数阶方程的最大优势是其非本地属性，这意味着未来系统的状态不仅取决于其当前状态也取决于其所有的历史状态.例如，部分衍生品、流体动力交通模型可以消除由连续交通流的假设［1］引起的缺陷.最近，许多学者开始研究分数阶的函数分析，如把Yang-Laplace转换和Yang-Fourier转换的性质和定理应用到分数阶微分方程、微分系统和偏微分方程等.为了更好地理解复杂的非线性物理现象及其在实际生活中进一步的应用，一个自然而然的问题出现了，即怎样才能得到分数阶偏微分方程（fractional partial differential equation，FPDE）的精确解.目前，已经建立和发展了很多有效的方法，从而获得了FPDE的数值和分析解，如有限差分法［2］、有限元法、Adomian分解方法［3］、微分转换方法［4］、变分迭代法［5］、摄动法［6］等.另外，一些偏微分方程已经被研究和解决，如脉冲分数微分方程［7］、分广义Burgers流体［8］、分数阶热和波动方程［9］等.最近，He等［10］和Geng等［11］应用Exp-function方法寻求偏微分方程精确解.这种Expfunction方法得到了广泛的应用，并被用来寻找非线性演化方程的孤波解和周期解，如Maccari系统［12］、Klein-Gordon方程［13］、KdV-mKdV方程［14-15］、Broer-Kaup系统、Kaup-Kupershmidt方程和Toda lattice方程等.这表明，通过Exp-function方法可以得到含参数的解，并且从中可以发现一些大多数现有方法的已知解.张盛等［16］提出了一种新的寻求偏微分方程精确解的直接方法，该方法被称为分数阶sub-equation方法，是基于齐次平衡原则［17］、修正的Jumarie黎曼——刘维尔导数［18］和符号计算.张盛等使用这种方法成功地获得了非线性分数阶演化方程的精确解.众所周知，当使用直接法找到非线性偏微分方程精确解时，选择一个适当的拟设是非常重要的.本研究正是通过运用改进的分数阶sub-equation方法［19］来寻找在流体力学中分数阶方程的精确解.首先，考虑分数阶Burgers方程与耦合分数阶Burgers方程［20］：Esipov导出了这个耦合系统.耦合Burgers方程系统的研究是非常重要的，因为这个系统在流体悬浮液或胶体中受到的重力的影响是一个简单的模型沉降或进化了体积浓度的两种粒子，其中常量p,q是依赖于系统参数沛克莱数、由重力引起的斯托克斯粒子速度和布朗扩散系数.另外，尝试对非线性分数阶Klein-Gordon方程［21］进行了求解，可知非线性分数阶Klein-Gordon方程描述了许多非线性类型，且该Klein-Gordon方程在一些实际应用程序中起着重要作用，如固态物理、非线性光学和量子场论等.修正的α阶Jumarie's Riemann-Liouville导数的定义如下：上述定义的分数阶导数具有3种性质：上面的这些性质在后续的分数阶方程计算中非常重要.对于改进的分数阶sub-equation方法的步骤如下.步骤1 给定一个分数阶偏微分方程，式中，x与t是两个独立的变量，且是未知函数，P是关于ui以及分数阶导数的多项式.步骤2 通过行波变换式中，c是待定常数.方程（6）便可以约化成关于Uj=u（ξ）分数阶常微分方程步骤3 假定式中，aj,i（i=-mj,-mj-1,…,mj）为待定常数，mj为通过平衡方程（6）或（8）中最高次项与非线性项得到的正数，并且φ=φ（ξ）满足这里，其中是含一个参数的Mittag-Leffler函数.步骤4 把方程（9）和（10）代入方程（8）中，并利用修正的Riemann-Liouville导数的性质［22］，得到一个关于φ（ξ）的多项式.令φ（ξ）k（k=0,1,…,-1,-2,…）的系数为0，得到一组关于c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）的超定方程组.步骤5 假定这些常数c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）可以通过上述超定方程组求得，则将这些常数代入方程（9）中就可以得到方程（7）的精确解.下面将用改进的分数阶sub-equation方法去求偏微分方程（1）～（3）的解.2.1 分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（1）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：通过平衡方程（11）中最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10），（13）代入方程（12），令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1的超定方程.用Maple计算这组方程，有情形1式中，c,α,η是任意的常数.情形2式中，c,α,η是任意的常数.通过情形1，利用方程（10）和（13）的解可以得到方程（1）的解：式中，σ＜0,ξ=x+ct.这里，σ＜0,ξ=x+ct.式中，σ＞0,ξ=x+ct.在这里，σ＞0,ξ=x+ct.式中，σ=0,ξ=x+ct,ω是常数.当然，通过情形2可以得到更多的解，这里就不一一列出了.2.2 耦合分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,v=v（ξ）,ξ=x+ct，方程（2）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：根据前面所描述的方法，可以设方程（14）有如下解的形式：这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10）和（15）代入到方程（13）中，令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1,b-1,b0,b1超定方程组.用Maple计算该方程组，有式中，η,q,a0是任意的常数.式中，a0,b0,b-1是任意的常数.利用方程（10），（15）和（16a）的解可以得到方程（2）的解：式中，这里，式中，这里，式中，ω是常数.2.3 非线性分数阶Klein-Gordon方程重复上述过程，通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（3）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：平衡方程（16）中的最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（11）和（17）代入方程（16）中，同样可以得到一组关于c,a-2,a-1,a0,a1,a2超定方程组.用Maple计算这组方程得利用方程（10），（18）和（19f）的解可以得到方程（3）的解：式中这里，式中在这里式中是常数.本研究利用一个改进的分数阶sub-equation方法解决了在流体力学系统中的非线性偏微分方程，并成功获得了关于分数阶Buregers方程、耦合Buregers方程及分数阶Klein-Gordon方程的一些精确解析解.这些解包括广义双曲线函数、广义三角函数的解（目前所知这些解都是新解），而且这些解可能有利于进一步了解复杂的非线性物理现象和偏微分方程.此外，通过使用直接的方法选择适当的拟设在解决非线性分数阶偏微分方程过程中具有重要意义.【相关文献】［1］HE J H.Analytical solution of a nonlinear oscillator by the linearized perturbation technique［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,1999,4（2）：109-113.［2］CUI pact finite difference method for the fractional diffusion equation［J］.J Comput 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一类KdV-Burgers方程的概周期解
一类KdV-Burgers方程的概周期解
施秀莲
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2014(000)001
【摘要】KdV-Burgers方程出现在许多物理模型中，是非线性科学领域中的重要模型之一。
本文讨论一类具有阻尼和非齐次项的KdV-Burgers方程的概周期解存在性问题。
首先利用Galerkin方法构造出方程的有界解，并利用一些数学不等式给出这个解的先验估计；然后利用所得的先验估计和标准的紧致性方法证明方程广义解的存在性；最后证明当方程的非齐次项函数是关于时间变量的概周期函数时，该广义解就是方程的概周期解。
【总页数】8页(P67-74)
【作者】施秀莲
【作者单位】肇庆学院数学与信息科学学院，肇庆 526061
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.利用一类辅助方程求解(1+1)维KdV-Burgers方程的精确孤立波解 [J], 乌敦其其格
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3.一类奇摄动Kdv-Burgers方程与孤波解 [J], 李瑞翔;包立平;吴立群
4.一类KdV-Burgers方程的奇摄动解与孤子解 [J], 包立平;李瑞翔;吴立群
5.一类KdV-Burgers方程的间断有限元解法 [J], 王晓峰;王守印
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