第4讲 二进制乘法
二进制乘法
二进制乘法引言在计算机科学中，二进制乘法是一种重要的计算方法。
它是基于二进制表示的数字进行运算的一种方式，常用于逻辑门电路设计、计算机算术运算以及编程中。
本文将介绍二进制乘法的基本原理、计算方法和应用场景，并提供一些示例来帮助读者更好地理解和应用二进制乘法。
二进制乘法的基本原理二进制乘法实际上是将两个二进制数相乘的方法。
与十进制乘法类似，二进制乘法也是通过逐位相乘和相加的方式进行计算的。
二进制数由0和1组成，表示为二进制位。
在二进制乘法中，我们将乘数和被乘数的每一位逐个相乘，并将结果相加得到最终的乘积。
二进制乘法的计算方法以下是一种常用的二进制乘法计算方法：1.准备两个二进制数，即乘数和被乘数。
保证乘数和被乘数位数相同，不足的部分用0填充。
2.从乘数的最低位（即最右边）开始，逐个乘以被乘数的每一位。
如果乘数位上的数字为1，则将被乘数乘以2的乘数位的位置数次方。
3.将每一个乘积相加，得到最终的乘积。
以下是一个例子，展示了如何进行二进制乘法：乘数: 1011被乘数: 1101011 <- 乘数x 110 <- 被乘数----------------1011 <- 乘数的最低位为1，乘以被乘数，得到被乘数本身+ 0000 <- 乘数的次低位为0，乘以被乘数，得到0+ 1011 <- 乘数的次高位为1，乘以被乘数，得到被乘数的四倍----------------= 10001010 <- 二进制乘法的结果二进制乘法的应用场景二进制乘法广泛应用于计算机科学和数字逻辑电路设计中。
下面列举了二进制乘法的一些常见应用场景：•逻辑门电路设计：二进制乘法在逻辑门电路的设计中非常重要。
通过多个逻辑门的组合，可以实现二进制乘法运算。
•计算机算术运算：在计算机中，二进制乘法常用于数字的乘法运算。
计算机通过电路和算法实现二进制乘法运算，可以进行高效的数字计算。
•编程：在编程语言中，二进制乘法可以用于位运算和数值计算。
4 二进制乘除法
部分积
乘数Y
欠位C
说明
00.000000 1 0 0 1 1 1 0
(Pi–X)2–2 1→C
–X 11.011001
-X即+ [–X]补
11.011001
11.110110 0 1 1 0 0 1 1 右移两位,(Pi+2X)2–2,0→C
+2X 01.001110
+2X即X左移1位
1 01.000100
4
一.定点原码1位乘法
硬件实现
设置3个寄存器：部分积寄存器A，被乘数寄存器B， 乘数寄存器C（部分积寄存器）和1个计数器。
N位数乘N位数可以看做求N次N位数乘1位数，每求 出一个加数就与上次的部分积相加。
每次求出的部分积右移1位，以便与下一次的部分积 相加。一共右移N次，加N次。
部分积右移时，乘数寄存器也右移1位。乘数寄存器 最低位控制相加数，最高位接收移出的部分积。
01为+ [X]补 不右移
乘积高位
乘积低位
所以：[Z]补=1.0111 0001 ；
所以：Z=-0.1000 1111
13
三.定点原码2位乘法
原理:
00─部分积Pi 右移两位
01─部分积Pi+X 右移两位
10 ─部分积Pi+2X 右移两位
11 ─部分积Pi+3X 右移两位；Pi+3X 用(Pi﹣X)+4X 来替代, +4X用C=1来标志,归并到下一步执行
+ 000 1101
001 0011
000 0100 1 1 1 0 1.0
+ 000 1101
001 0001
二进制的乘法
二进制的乘法在计算机科学中，二进制是一种非常重要的数制系统。
它只有两个数字，0和1，但却可以表示任意的数字和字符。
在计算机中，二进制的运算也是非常常见的，其中乘法是一种基本的运算。
本文将介绍二进制的乘法，包括乘法的基本原理、算法和应用。
一、二进制的基本原理二进制的基本原理是用0和1表示数字。
在二进制中，每个数字位代表一个权值，从右往左依次为1、2、4、8、16、32、64、128……以2的幂次递增。
例如，二进制数1101表示的数字为13，因为1×1+0×2+1×4+1×8=13。
二进制的乘法基于十进制的乘法，但是只包含0和1两个数字。
在二进制中，乘法的规则与十进制相同，但是只需要记住两个乘数和积的每个位的值即可。
例如，计算二进制数101×11，可以按照如下方法进行计算：101× 11-----1011010------1111在这个例子中，我们将乘数11写在上面，将被乘数101写在下面，然后从右往左依次计算每一位的乘积。
第一位是1×1=1，第二位是1×0=0，第三位是1×1=1，然后将这些乘积相加得到101。
接下来，我们将乘数11向左移动一位，变成110，然后再次计算乘积。
第一位是1×0=0，第二位是1×1=1，第三位是1×0=0，然后将这些乘积相加得到1010。
最后，我们将这两个乘积相加得到1111，即为所求的积。
二、二进制的乘法算法二进制的乘法算法有许多种，下面介绍两种常见的算法：加法法和移位法。
1. 加法法加法法是二进制乘法的最基本算法。
它的原理是将乘数的每一位与被乘数相乘，然后将每个乘积相加得到最终的积。
例如，计算二进制数101×11，可以按照如下方法进行计算：101+ 101-------1010-------1111在这个例子中，我们将乘数11拆分成1和1，然后将乘数的每一位与被乘数相乘，得到101和101。
二进制的乘法
二进制的乘法在计算机科学中，二进制是一种十分重要的基础概念。
而在二进制中进行乘法运算也是常见的操作。
本文将探讨二进制的乘法运算方法及其应用。
一、二进制概述二进制是一种由0和1组成的数字系统。
与我们熟悉的十进制不同，二进制采用了“逢二进一”的原则。
每一位上的数值表示的是2的幂次方。
例如，二进制数1011，可以表示为：(1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 11二、二进制的乘法运算与十进制的乘法原理类似，只不过运算的基数变成了2。
下面我们以两个二进制数的乘法为例，来介绍一种简单而常用的计算方法——“逐位相乘法”。
例子：1011× 110步骤一：将被乘数（1011）的末位与乘数（110）的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1× 1 1 0----------1 0 1 1（末位）1 0 1 1----------1 1 0 1 0```步骤二：将被乘数的次低位与乘数的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1（次低位）× 1 1 0----------1 1 0 1（次低位）1 1 0 1----------1 0 1 1 0 0```步骤三：将被乘数的次高位与乘数的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1（次高位）× 1 1 0----------1 0 1 1（次高位）1 0 1 1----------1 1 0 1 0 1 0```步骤四：将被乘数的最高位与乘数的每一位相乘，并记录结果。
```1 0 1 1（最高位）× 1 1 0----------1 0 1 1（最高位）1 0 1 1----------1 1 0 1 0 1 0 1```步骤五：将所有结果相加。
```1 0 1 1（次高位）1 1 0 1（次低位）1 1 0 1（末位）+ 1 0 1 1（最高位）-----------------1 1 1 1 1 0 1 0```因此，二进制数1011乘以二进制数110等于二进制数1111010。
第4讲二进制乘法
（4）展开为部分积的累加和形式：
[XY]补 = X补(0.Y1Y2……Yn)+[-X]补Y0 = X补(0.Y1Y2……Yn)-X补Y0 = X补(-Y0+2-1 Y1+2-2 Y2+……+2-nYn) = X补 -Y0+(Y1-2-1Y1)+(2-1 Y2-2-2 Y2)+……
+(2-(n-1)Yn-2-n Yn) = X补 (Y1-Y0)+2-1(Y2-Y1)+2-2(Y3-Y2)+……
11.0101 11.1010 + 00.0000 11.1010 11.1101 + 11.0101 11.0010 11.1001 + 11.0101 10.1110 11.0111
1101
初值[z0]补=0 Y4=1，+[x]补
1110
→1位，得[z1]补，乘数同时→1位 Y3=0，加[0]补
解：因为乘数y<0，需要校正。[-X]补 =00.1011
部分积
乘数
说明
00.0000 + 11.0101
11.0101 11.1010 + 00.0000
11.1010 11.1101 + 11.0101
11.0010 11.1001 + 11.0101
10.1110 11.0111 + 00.1011 00.0010
1101
初值[z0]补=0 Y4=1，+[x]补
1110
→1位，得[z1]补，乘数同时→1位 Y3=0，加[0]补
0111
→1位，得[z2]补, 乘数同时→1位 Y2=1，+[x]补
二进制乘法规则
二进制乘法规则二进制乘法是指在二进制数系统中进行乘法运算的规则。
在二进制数系统中，只有0和1两个数字，因此乘法的运算规则也与十进制数系统中的乘法规则有所不同。
在二进制乘法中，乘数和被乘数的每一位都可以是0或1。
乘法的结果是两个二进制数相乘的积。
下面我们来详细介绍二进制乘法的规则。
1. 乘法表我们可以根据乘法表来进行二进制乘法运算。
乘法表列出了0和1相乘的结果，如下所示：0 × 0 = 00 × 1 = 01 × 0 = 01 × 1 = 1根据乘法表，我们可以得出以下结论：- 0乘以任何数都等于0；- 1乘以任何数都等于这个数本身。
2. 单位进位在二进制乘法中，当两个二进制数的位数不同时，需要进行单位进位的操作。
单位进位是指将进位的数值加到下一位的操作。
例如，当乘数为1时，被乘数的每一位都需要乘以1，并将结果相加。
如果某一位的乘积大于1，就需要进行进位操作。
3. 乘法运算步骤下面我们来看一个具体的例子来说明二进制乘法的运算步骤。
假设有两个二进制数：1011和110。
我们将乘数和被乘数对齐，如下所示：1 0 1 1× 1 1 0然后，从右到左，将乘数的每一位与被乘数相乘，并将结果写在相应的位置上：1 0 1 1× 1 1 0__________0 0 0 0 （0 × 1）1 0 1 1 （1 × 1，不需要进位）1 0 1 1 （1 × 0，不需要进位）+____________1 1 1 0 1 0 （结果）我们将所有结果相加得到最终的乘积。
在这个例子中，最终的乘积为111010。
4. 乘法规则总结通过以上例子，我们可以总结出二进制乘法的规则：- 乘数的每一位与被乘数相乘，并将结果写在相应的位置上；- 如果某一位的乘积大于1，就需要进行进位操作；- 将所有结果相加得到最终的乘积。
需要注意的是，在二进制乘法中，进位是非常重要的。
二进制数的乘法和除法运算
二进制数的乘法和除法运算在计算机科学和数字电路中，二进制数是一种重要的表示方式，它以0和1表示数字。
除了进行基本的加法和减法运算外，二进制数也可以进行乘法和除法运算。
本文将详细介绍二进制数的乘法和除法运算方法。
一、二进制数的乘法运算二进制数的乘法运算方法与十进制数的乘法非常类似，只是运算的基数为2。
下面以两个二进制数A和B的乘法运算来进行说明。
1. 将被乘数A和乘数B对齐，并从右向左逐位相乘。
例如，给定二进制数A=1011和B=110，将它们对齐：1011× 110-------------2. 逐位相乘，得到部分乘积。
如果某一位为0，则相应位的部分乘积为0，如果某一位为1，则相应位的部分乘积等于被乘数。
对于上述例子，我们可以进行如下计算：1011× 110-------------1011 （部分乘积1）+ 0000 （部分乘积2）+ 1011 （部分乘积3）-------------= 10011010 （乘积）3. 对所有部分乘积进行相加，得到最终的乘积。
对于上述例子，我们有：1 0 0 1 1 0 1 0+ 1 0 1 1----------------------= 1 1 0 0 0 0 1 0因此，二进制数1011乘以二进制数110的结果为1100010。
二、二进制数的除法运算二进制数的除法运算同样类似于十进制数的除法运算，下面以被除数A和除数B的除法运算来进行说明。
1. 比较被除数A的高位和除数B。
如果被除数的高位小于除数，则商的对应位为0。
如果被除数的高位大于或等于除数，则商的对应位为1，并将被除数的高位减去除数。
2. 将除数右移一位，并将商左移一位。
再将被除数的下一位与新的除数进行比较：如果被除数的下一位小于除数，则商的对应位为0。
如果被除数的下一位大于或等于除数，则商的对应位为1，并将被除数的下一位减去除数。
3. 重复上述步骤，直到被除数的所有位都比较完毕。
小学奥数讲座标准教案-学案-六年级第4讲 二进制
第4讲二进制从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？31二进制就是只用0和1两数字，在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位。
二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化。
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。
将十进制数改写成二进制数的过程，正好相反。
2，十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3，二进制数的计算法则：（1）加法法则：0＋0=0 0＋1=1 1＋0=1 1＋1=10（2）乘法法则：0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1改写成十进制数。
例1：把二进制数110（2）分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1。
二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数码0和1来表示；（2）它是“满二进一”。
改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式，然后按通常的方法把二进制数110（2）进行计算即可。
=1×22＋1×21＋0×20110（2）=1×4＋1×2＋0×1=4＋2＋0=6把下列二进制数分别改写成十进制数。
（1）100（2）（2）1001（2）例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数，直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以二倒取余数”。
2 38 02 19 (1)2 9 (1)2 4 02 2 01 (1)即：38（10）=100110（2）把下列十进制数分别改写成二进制数。
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1110
0111
0011
0001
故乘积[x·y]补=0.00100001 注意：符号位参加运算！ 故乘积
（4）展开为部分积的累加和形式： 展开为部分积的累加和形式： [XY]补 = X补(0.Y1Y2……Yn)+[-X]补Y0 Y )+[= X补(0.Y1Y2……Yn)-X补Y0 Y -1 -2 -n = X补(-Y0+2 Y1+2 Y2+……+2 Yn) + -1 -1 -2 +(Y )+(2 )+…… = X补 -Y0+(Y1-2 Y1)+(2 Y2-2 Y2)+ +(2 +(2
按补码规则移位：右移补1 按补码规则移位：右移补1，第二符号位一起移 乘数的补码[y] 去掉符号位，当成一个正数与[x] “乘数的补码[y]补去掉符号位，当成一个正数与[x]补相 乘”——y仍然是补码 y
符号位参与运算，自动生成 符号位参与运算，自动生成——与原码的不同之处 与原码的不同之处 考虑到运算时可能出现绝对值大于1的情形（ 考虑到运算时可能出现绝对值大于1的情形（但此 刻并不是溢出），故部分积和被乘数取双符号位。 ），故部分积和被乘数取双符号位 刻并不是溢出），故部分积和被乘数取双符号位。
高位) Yn(高位) 0 0 1 1 低位) 操作(A Yn+1(低位) 操作(A补为部分积累加和) 0 ( 0 ) 1/2A补 1 ( 1 ) 1/2(A补+X补) 0 (-1 ) 1/2(A补-X补) 1 ( 0 ) 1/2A补
3.运算实例 3.运算实例
无符号数的移位
左移： 左移：
10001111 00011 110
算术移位 ：数码位置变化，数值变化 数码位置变化，数值变化, 变化 有符号数的移位 符号位不变。 符号位不变。 1001111 算术左移： 算术左移：1 0 1 1 1 1 0
(-15) (-30)
2.正数原码移位规则 正数原码移位规则 正数原码
正数 负数
不同码制机器数算术移位
对于正数，三种机器数移位后符号位不变 符号位不变， 对于正数，三种机器数移位后符号位不变，如果左 正数 移时最高数位丢1 结果“出错” 移时最高数位丢1，结果“出错”；如果右移时最 低数位丢1 影响精度。 低数位丢1，影响精度。 对于负数，三种机器数移位后符号位均不变。 符号位均不变。 对于负数，三种机器数移位后符号位均不变 负数 如果负数的原码左移时，高位丢1，结果出错；低 如果负数的原码左移时，高位丢1 结果出错； 位丢1 影响精度。 位丢1，影响精度。 如果负数的补码左移时，高位丢0 结果出错； 如果负数的补码左移时，高位丢0，结果出错；低 位丢1 影响精度。 位丢1，影响精度。 如果负数的反码左移时，高位丢0 结果出错； 如果负数的反码左移时，高位丢0，结果出错；低 位丢0 影响精度。 位丢0，影响精度。
（3）移位规则 符号位不变； 数符不变（单：符号位不变；双：第一符号
位不变）。 位不变）。
左移空位补0 左移空位补 右移空位补1 第二符号位移至尾数最高位） 右移空位补 （第二符号位移至尾数最高位）
不同码制机器数算术移位后的 空位添补规则
码 制 原码、补码、 原码、补码、反码 原码 补码 反 码 添补代码 0 0 左移添0 左移添0 右移添1 右移添1 1
校正法
当乘数y为正时， 当乘数y为正时，可按类似原码乘法的规则进 行运算。 行运算。 当乘数为负时，把乘数的补码[y] 去掉符号位， 当乘数为负时，把乘数的补码[y]补去掉符号位， 看成一个正数与[x] 相乘，然后加上[ 看成一个正数与[x]补相乘，然后加上[-x]补进 校正。 行校正。
按补码进行运算
（3）移位规则 数符不变（单：符号位不变；双：第一符号 符号位不变；
位不变） 位不变）
空位补0 右移时第二符号位移至尾数最高位） 空位补 （右移时第二符号位移至尾数最高位）
5.负数补码移位规则 负数补码移位规则 负数补码
）双符号位： （1）单符号位 ： （2）双符号位： ）
1 1011 左移 1 0110 右移 1 1011 右移 1 1101 11 0110 左移 10 1100 右移 11 0110 右移 11 1011
（1）单ห้องสมุดไป่ตู้号位 ： ）
0 0111 左移 0 1110 右移 0 0111 右移 0 0011
（2）双符号位： ）双符号位：
左移 左移 右移 右移 00 0111 00 1110 01 1100 00 1110 00 0111
（3）移位规则 数符不变（单：符号位不变；双：第一符号 符号位不变；
位不变） 位不变）
0.1101 ×0.1011 1101 1101 部分积 0000 1101 0.10001111 上符号： 上符号：1.10001111 问题： 加数增多（由乘数位数决定）。 问题：1）加数增多（由乘数位数决定）。 加数的位数增多（与被乘数、 2）加数的位数增多（与被乘数、乘 数位数有关）。 数位数有关）。 分步累加、 改进：将一次相加改为分步累加 移位。 改进：将一次相加改为分步累加、移位。
C Cn .1011 .1011 1.101 .101 11.10 11.10 .1 111. 111.1 1111
2.算法流程
0 A、 A 、X B、 B 、Y C、 C 、0 N 1/2（A+0） 1/2（A+0） A，C CR
Cn = 1 ？ Y 1/2（A+B） 1/2（A+B） A，C CR + 1 N CR
CR = n ？ Y SX + SY SP
3.运算规则 3.运算规则
操作数、结果用原码表示； （1）操作数、结果用原码表示； 绝对值运算，符号单独处理； （2）绝对值运算，符号单独处理； （3）被乘数(B)、累加和(A)取双符号位； 被乘数(B)、累加和(A)取双符号位； (B) (A)取双符号位 乘数末位(Cn)为判断位 为判断位， （4）乘数末位(Cn)为判断位，其状态决定 下步操作； 下步操作； 次循环（累加、右移）。 （5）作n次循环（累加、右移）。
（1）手算
（2）分步乘法 每次将一位乘数所对应的部分积与原部分 积的累加和相加，并移位。 积的累加和相加，并移位。 设置寄存器： 设置寄存器： 部分积累加和、 存放部分积累加和 A：存放部分积累加和、乘积高位 存放被乘数 B：存放被乘数 存放乘数 乘数、 C：存放乘数、乘积低位 设置初值： 设置初值： A = 00.0000 B = X = 00.1101 C = Y = .1011
1 00101原 1 11011补
0 0011原 1 0011原 1 1101补
1 定点数乘法运算
乘法 部分积累加、移位。 部分积累加、移位。
1 原码一位乘法
每次用一位乘数去乘被乘数。 每次用一位乘数去乘被乘数。
1.算法分析 1.算法分析
X原
Y原
例. 0.1101×1.1011 × 乘积 P = X × Y 积符 SP= SX SY
例 已知：[x]补=1.0101，[y]补=0.1101，求：[x·y]补。
解：因为乘数y>0，不用校正。
部分积 00.0000 + 11.0101 11.0101 11.1010 + 00.0000 11.1010 11.1101 + 11.0101 11.0010 11.1001 + 11.0101 10.1110 11.0111 乘数 1101 初值[z0]补=0 Y4=1，+[x]补 →1位，得[z1]补，乘数同时→1位 Y3=0，加[0]补 →1位，得[z2]补, 乘数同时→1位 Y2=1，+[x]补 →1位，得[z3]补，乘数同时→1位 Y1=1，+[x]补 →1位，得[z4]补 说明
（3）移位规则
符号位不变； 数符不变（单：符号位不变；双：第一符号 位不变）。 位不变）。
空位补0 空位补
4.正数补码移位规则 正数补码移位规则 正数补码
（1）单符号位 ： ）
0 0111 左移 0 1110 右移 0 0111 右移 0 0011
（2）双符号位： ）双符号位：
左移 左移 右移 右移 00 0111 00 1110 01 1100 00 1110 00 0111
1110
0111
0011
0001
故乘积[x·y]补=1.01110001 故乘积
注意：符号位参加运算！
例 已知：[x]补=1.0101，[y]补=1.1101，求：[x·y]补。
解：因为乘数y<0，需要校正。[-X]补 =00.1011
部分积 00.0000 + 11.0101 11.0101 11.1010 + 00.0000 11.1010 11.1101 + 11.0101 11.0010 11.1001 + 11.0101 10.1110 11.0111 + 00.1011 00.0010 乘数 1101 初值[z0]补=0 Y4=1，+[x]补 →1位，得[z1]补，乘数同时→1位 Y3=0，加[0]补 →1位，得[z2]补, 乘数同时→1位 Y2=1，+[x]补 →1位，得[z3]补，乘数同时→1位 Y1=1，+[x]补 →1位，得[z4]补 y<0,+[-X]补 说明
习题
在进行原码乘法时， 在进行原码乘法时，乘积的符号位是由被乘 数的符号位和乘数的符号位通过__(8)__运算 数的符号位和乘数的符号位通过 C 运算 来获得的。 来获得的。 (8) A．或 B．与 ． ． C．异或 D．分别取反后再进行或 ． ．
2 补码一位乘法 1.算法分析 1.算法分析
X补 = X0.X1X2……Xn X （1）Y为正：Y补 = 0.Y1Y2……Yn 为正： Y [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn] Y 为负： （2）Y为负：Y补 = 1.Y1Y2……Yn Y [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]+[-X]补 Y ]+[符号任意： （3）Y符号任意： [XY]补 = X补[0.Y1Y2……Yn]+[-X]补Y0 Y ]+[符号位