因式分解之配方法与主元法
因式分解技巧十法
因式分解技巧这里介绍了10种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分解问题上必然有质的提升。
首先提取公因式，然后考虑用公式。
十字添拆要合适，待定主元要试试。
几种方法反复试，最后必是连乘式。
一、提取公因式法多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。
例1：分解因式12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2解：仔细观察，其中3abcx2y2 是它们的公因式所以原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出来。
注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。
例2：分解因式3x2y(a+b)(b+c)+3xy2(a+b)(b+c)若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，则在后面的分解过程中会有很大的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。
解：含有公因式3xy(a+b)(b+c)所以原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解过程中，利用好整体思想。
二、公式法利用常见的公式进行因式分解。
常用公式a2-b2=(a+b)(a-b)a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2补充公式当n为正奇数时有a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-……-ab n-2+b n-1)当n为正整数时，有a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+……+ab n-2+b n-1)例3：分解因式16(m+x)2-9(n+y)2解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3n+3y)2原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2=(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y)技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。
因式分解的八种方法
因式分解的八种方法一、提公因式法。
这就好比是从一群小伙伴里找出那个大家都有的东西。
比如说多项式3x + 6，3就是公因式呀，提出来就变成3(x + 2)啦。
有时候公因式可能不太好找，像是4x²y - 8xy²，这里的公因式就是4xy，提出来就成了4xy(x - 2y)。
提公因式法是最基础的方法，就像盖房子的地基一样重要。
二、公式法。
这里面有好几个小公式呢。
像平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，超级好用。
比如说9x² - 25，9x²就是(3x)²，25就是5²，那按照公式就可以分解成(3x + 5)(3x - 5)啦。
还有完全平方公式，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。
像x² + 6x + 9，这里的x相当于公式里的a，3相当于b，因为2ab = 2×x×3 = 6x，所以就可以分解成(x + 3)²。
三、分组分解法。
这个方法就像是给多项式里的项分组，让每一组都能找到分解的办法。
比如说ax + ay + bx + by，咱们可以把前面两项ax + ay看成一组，提出公因式a就得到a(x + y)，后面两项bx + by看成一组，提出公因式b就得到b(x + y)，这样整个式子就变成了(a + b)(x + y)。
有时候分组可能要试几次才能找到最合适的分组方法，不过没关系呀，就当是玩拼图游戏啦。
四、十字相乘法。
这个方法很神奇呢。
对于二次三项式ax²+bx + c（a≠0），咱们要把a分解成两个因数，把c也分解成两个因数，然后交叉相乘再相加等于b。
就像x²+5x + 6，把1分解成1×1，6分解成2×3，1×3+1×2 = 5，那这个式子就可以分解成(x + 2)(x + 3)。
因式分解方法归纳
因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。
说明：（1） 因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。
（2） 因式分解可以限定范围，有有理数范围内，实数范围内，复数范围内。
（3） 所有三次或三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解；所有二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。
方法一、提取公因式法若多项式的各项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。
方法二、运用公式法常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。
方法三、分组分解法若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。
方法四、十字相乘法形如2ax bx c ++的二次多项式，如果有,mn a pq c ==，且mq np b +=，则有 ()()2ax bx c mx p nx q ++=++。
说明：判别式240b ac =-≥且是一个完全平方数。
也就是方程2ax bx c ++有根。
图示为：方法五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。
（1） 拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提取公因式；（2） 拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。
例题：分解因式330x x ++解：把30分成333+，再与其余项组合，有， ()()()()()()()33322303333933310x x x x x x x x x x x ++=+++=+-+++=+-+。
类似的“3x x c ++”的模型有32x x ++，39x x ++ 。
方法六、配方法将一个多项式通过配方，添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。
说明：（1）为方便计算，可以先提取最高次项系数，使最高次项系数为1；（2）对形如2x bx c ++的二次三项式，有222222b b x bx c x bx c ⎛⎫⎛⎫++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）对于齐次多项式22x bxy cy ++，将,x y 其中之一当作常数处理。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
因式分解的12种方法
3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6解：令y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
七年级(上)数学培优班--第4讲 因式分解--(配方、拆添项、双十字、主元)---学生版
第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。
数学因式分解的方法
数学因式分解的方法数学因式分解的方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解的14种方式
因式分解的14 种方式因式分解没有普遍的方式，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则：1 分解要完全2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技能：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技能掌握：①等式左侧必需是多项式；②分解因式的结果必需是以乘积的形式表示；③每一个因式必需是整式，且每一个因式的次数都必需低于原来多项式的次数；④分解因式必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在肯定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
大体方式：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
若是一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方式叫做提公因式法。
具体方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
若是多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法大体步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并肯定另一个因式：①第一步找公因式可依照肯定公因式的方式先肯定系数在肯定字母；②第二步提公因式并肯定另一个因式，注意要肯定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式别离除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
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第6讲 因式分解
-----配方法与主元法、换元法
知识要点】
配方法：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。
主元法：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题。
换元法：换元法是根据代数式中的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的文字（新元）代替之，从而使这个代数式的结构简化，便于解题。
【经典例题】
例1、分解因式:（1）2616x x +- （2）()444y x y x +++
例2、已知,19911990,19901990,19891990+=+=+=x c x b x a 那么ca bc ab c b a ---++2
22的值是多少？
例3、若c b 、、a 是不全相等的实数，且ab c z ca b y bc a x -=-=-=222,,，求证：z y 、、x 中至少有一个大于0
例4、分解因式：291032
2-++--y x y xy x
例5、分解因式：)()()(222y x z x z y z y x -+-+-
例6、分解因式：2005)12005(200522---x x
例7、2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
例8、分解因式：262234+---x x x x
【经典练习】
1、分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++
2、分解因式：90)384)(23(22+++++x x x x
3、分解因式：222222)3(4)5()1(+-+++a a a
4、分解因式：56422-++-y x y x
5、分解因式：67222-+--+y x y xy x
6、分解因式：613622-++-+y x y xy x
7、分解因式：36355622-++-+b a b ab a
8、分解因式：()()
222228438
4x x x x x x ++++++
9、分解因式：144234+++-x x x x
【课后作业】
1、 分解因式：44
+x
2、 分解因式：222255372z yz xz y xy x +-++-
3、分解因式：()()()12422+++-n n n n。