2014中考数学压轴题练习(三)
杭州中考数学历年压轴题集锦(2014-2021)
杭州中考压轴题集锦2021年浙江省杭州市中考数学试卷10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+116．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE 折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝度．22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q ＝2，求证：P+Q＞6．23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．2019年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y ＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣116．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．2018年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S216．（4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．22．（12分）设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．（1）求证：AE＝BF．（2）连结BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝k tanβ．（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．2017年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜010．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan△ACB=y，则（）A．x﹣y2=3B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=2116．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3（用元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉千克．含t的代数式表示．）22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．23．（12分）如图，已知△ABC内接于△O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE△BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与△O交于点G，设△GAB=ɑ，△ACB=β，△EAG+△EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求△O半径的长．2016年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）（2016•杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0B．m2﹣2mn+n2=0C．m2+2mn﹣n2=0D．m2﹣2mn﹣n2=010．（3分）（2016•杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：△若a@b=0，则a=0或b=0△a@（b+c）=a@b+a@c△不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2△设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．△△△B．△△△C．△△△D．△△△16．（4分）（2016•杭州）已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是．22．（12分）（2016•杭州）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．△求证：2a+b=0；△当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．23．（12分）（2016•杭州）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若△MAB与△NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且△ACB=60°时，有以下两个结论：△△APB=120°；△AF+BE=AB．那么，当AM△BN时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出△APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长．2015年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．10．（3分）设二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2＝dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝dC．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x1+x2）2＝d15．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝．16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝．23．（12分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？2014年浙江省杭州市中考数学试卷10．（3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB＝B．2BC＝5CFC．∠AEB+22°＝∠DEF D．4cos∠AGB＝15．（4分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．16．（4分）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH＝AC，则∠ABC所对的弧长等于（长度单位）．22．（12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝4，动点P在线段BD上从点B向点D 运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP＝x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1＝S2，求x的值．23．（12分）复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．。
中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合.doc
中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，－3），反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求△BMN面积的最大值；（2）若MA⊥AB，求t的值．（1）将A（8，1）代入y＝kx，得k＝8∴y＝8 x易求直线AB的解析式为y＝12x－3则M（t，8t），N（t，12t－3），MN＝8t－12t＋3S△BMN＝12(8t－12t＋3)t＝－14t2＋32t＋4＝－14(t－3)2＋254∴当t＝3时，△BMN面积的最大值为25 4（2）作AQ⊥y轴于Q，延长AM交y轴于P ∵MA⊥AB，∴△ABQ∽△P AQ∴AQBQ＝PQAQ，∴84＝PQ8，∴PQ＝16∴P（0，17）∴直线AP：y＝－2x＋17令－2x＋17＝8x，解得x1＝12，x2＝8（舍去）∴t＝1 22、如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝5，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y ＝kx（k ＞0）的图象经过点D 且与边BA交于点E ，连接DE ． （1）若△BDE 的面积为103，求k 的值； （2）连接CA ，DE 与CA 是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）设D （k 5，5），E （3，k 3 ），则BD ＝3－k 5 ，BE ＝5－k3∵S △BDE＝10 3，∴1 2 ×(3－k 5)(5－k 3)＝10 3解得k ＝5或k ＝25（舍去）∴k ＝5（2）DE ∥CA∵BD ＝3－ k 5 ，BE ＝5－ k 3 ，∴BD BE ＝ 3－k 55－k 3＝35∵BC BA＝3 5，∴BD BE ＝BC BA又∠B ＝∠B ，∴△BDE ∽△BCA ∴∠BDE ＝∠BCA ，∴DE ∥CA（3）设点B 关于DE 的对称点F 在OC 上 过E 作EG ⊥OC 于G 则△DCF ∽△FGE ∴CF GE ＝ DF EF ，∴CF 3 ＝ 3－k 55－k 3＝ 3 5 ，∴CF ＝95在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2∴(k5)2＋(9 5 )2＝( 3－ k 5 )2，解得k ＝24 5∴D （245，5）备用图3、如图，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点A 、B （2，2），AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，AC 与BD 交于点F ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ． （1）若AC ＝32OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．（1）∵点B （2，2）在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上∴k ＝4，y ＝4x∵BD ⊥y 轴，∴D （0，2），OD ＝2 ∵AC ⊥x 轴，AC ＝32OD ，∴AC ＝3，即A 点的纵坐标为3 ∵点A 在y ＝4x的图象上，∴A （43，3） ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D∴⎩⎪⎨⎪⎧4 3a ＋b ＝3b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3 4b ＝2（2）设A （m ，4m），则C （m ，0）∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ， ∴四边形BCED 为平行四边形 ∴CE ＝BD ＝2∵BD ∥CE ，∴∠ADF ＝∠AEC ∵tan ∠ADF ＝ AFDF ＝ 4 m－2 m，tan ∠AEC ＝ACEC＝4m2∴4 m－2 m ＝ 4m2，解得m ＝1∴C （1，0），BC ＝54、如图，直线y＝ax＋b与双曲线y＝kx（x＞0）交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若b＝y1＋1，x0＝6，且AB＝BP，求A、B两点的坐标；（2）猜想x1、x2、x0之间的关系并证明．（1）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E则AD∥BE，AD＝y1，BE＝y2∵AB＝BP，∴BE＝12AD，即y2＝12y1，DE＝EP∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y＝kx上∴x1y1＝x2y2＝k∴x2＝2x1，∴OD＝DE＝EP＝x1∵x0＝6，∴OP＝6，∴3x1＝6，∴x1＝2 ∴x2＝2x1＝4∵AD∥OC，∴△P AD∽△PCO∴ADOC＝PDOP，∴y1y1＋1＝46解得y1＝2，∴y2＝12y1＝1∴A（2，2），B（4，1）（2）猜想x1＋x2＝x0令y＝ax＋b＝0，得x＝－ba，即x0＝－ba令ax＋b＝kx，即ax2＋bx－k＝0∴x1＋x2＝－b a∴x1＋x2＝x05、如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝mx的图象交于A（－4，12）、B（n，2）两点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D，P是线段AB上一点．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）若△PCA和△PBD的面积相等，求点P的坐标．（1）一次函数的解析式为y＝12x＋52反比例函数的解析式为y＝－2 x（2）作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N设P（m，12m＋52），则PM＝12m＋52，PN＝－m∵S△P AC＝S△PBD，∴12AC·CM＝12BD·DN即12(m＋4)＝(2－12m－52)，解得m＝－52∴P（－52，54）6、如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx（k＜0）相交于A（－1，a）、B两点，过点B作BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，△AOD的面积为1 2．（1）求m、k的值；（2）在x轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）由题意，OA＝OB，OD∥BC∴AD＝DC∵点A的横坐标为－1，∴点B的横坐标为1∴OC＝1∴S△BOC＝S△AOC＝2S△AOD＝1∴12OC·BC＝1，即12×1·BC＝1∴BC＝2，∴B（1，－2）∴m＝－21＝－2，k＝1×(－2)＝－2（2）易得A（－1，2），D（0，1），C（1，0）∠ACO＝45°，∠ACB＝135°∴满足条件的点P只能在点C的右侧易求AC＝22，则PC＝2或PC＝4∴P1（3，0），P2（5，0）7、如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝－12x＋b分别交边AB、BC于点M、N，反比例函数y＝kx的图象经过点M、N．（1）当b＝3时，求△MON的面积；（2）若将△BMN沿MN翻折后，点B恰好落在OC上，求b的值和反比例函数的解析式．（1）当b＝3时，直线y＝－12x＋3则M（2，2），N（4，1）AM＝BM＝2，BN＝CN＝1∴S△MON＝S矩形OABC－S△AOM－S△BMN－S△CON＝2×4－12×2×2－12×2×1－12×4×1＝3（2）设翻折后点B落在OC上点B′处过M作MH⊥OC于H，设M（m，2），N（4，12m）则MH＝2，MB′＝MB＝4－m，B′N＝BN＝2－1 2m∵∠MB′N＝∠B＝90°，∴∠MB′H＋∠NB′C＝90°∵∠B′NC＋∠NB′C＝90°，∴∠MB′H＝∠B′NC∴Rt△MB′H∽Rt△B′NC∴MHB′C＝MB′B′N＝4－m2－12m＝4－m12(4－m)＝2∴B′C＝12MH＝1∵B′C2＋NC2＝B′N2，∴12＋(12m)2＝(2－12m)2解得m＝32，∴k＝2m＝3∴反比例函数的解析式为y＝3 x把M（32，2）代入y＝－12x＋b，得2＝－12×32＋b∴b＝11 48、如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝kx（k 为常数，且k ≠0）的图象交于A （1，a ），B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使P A ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△P AB 的面积．（1）∵点A （1，a ）在一次函数y ＝－x ＋4的图象上 ∴a ＝－1＋4＝3，∴A （1，3） 将点A （1，3）代入y ＝kx中，得k ＝3 ∴反比例函数的表达式为y ＝3x联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝3 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝1 ∴点B 的坐标为（3，1）（2）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′ 交x 轴于点P 则点P 即为所求的点由B （3，1）得点B ′（3，－1）设直线AB ′ 的函数的表达式为y ＝mx ＋n ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝33m ＋n ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝5 ∴AB ′：y ＝－2x ＋5令y ＝0，即－2x ＋5＝0，得x ＝52∴点P 的坐标为（52，0）∴S △P AB＝S △ABB ′－S △PBB ′＝1 2 ×2×(3－1 )－ 1 2 ×2×( 3－ 5 2 )＝329、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例y＝mx的图象交于A（1，4），B（－4，n）两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点P是x轴上的一动点，使|P A－PB|的值最大，求点P的坐标及△P AB的面积．（1）y＝4x，y＝x＋3（2）（－173，0），S△P AB＝20310、如图，一次函数y ＝kx ＋b （k ＜0）的图象经过点C （3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求该一次函数的解析式； （2）若反比例函数y ＝mx的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，且AC ＝2BC ，求m 的值．（1）设一次函数y ＝kx ＋b 的图象交y 轴于D 则S △OCD＝12OC ·OD ＝12×3×OD ＝3 ∴OD ＝2∵k ＜0，∴D （0，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2 3b ＝2∴一次函数的解析式为y ＝－23x ＋2（2）令－2 3 x ＋2＝m x，得2x2－6x ＋3m ＝0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝3作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F 则△ACE ∽△BCF∵AC ＝2BC ，∴CE ＝2CF ∴3－x 1＝2(x 2－3)∴x 1＋2x 2＝9，解得x 2＝6∴y 2＝－23×6＋2＝－2，∴B （6，－2）∴m ＝6×(－2)＝－1211、如图，□ABCD的顶点A、D在反比例函数y＝kx（k＜0，x＜0）的图象上，顶点B、C分别在坐标轴上．（1）求证：∠BAD＝2∠OBC；（2）若B（0，1），C（55－1，0），AB＝5AD，求k的值．（1）延长AB交x轴于G，作AE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F设A（a，ka），D（b，kb）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC ∴∠DCF＝∠AGC，∴∠BAE＝∠DCF∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝k b∴tan∠OBC＝x A－x Dy A－y D＝a－bka－kb＝－abktan∠OBG＝tan∠ABE＝AEBE＝－akb＝－abk∴∠OBC＝∠OBG∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC ∴∠BAD＝∠GBC＝2∠OBC（2）∵B（0，1），C（55－1，0），∴OB＝1，OC＝1－55∵∠ABE＝∠OBG＝∠OBC，∠AEB＝∠COB＝90°∴△ABE∽△CBO，∴AEOC＝BEOB＝ABBC＝ 5∴AE＝5OC＝5－1，BE＝5OB＝ 5 ∴A（1－5，5＋1）∵点A在反比例函数y＝kx的图象上∴k1－5＝5＋1，∴k＝－412、已知：一次函数y ＝－2x ＋10的图象与反比例函数y ＝kx（k＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （4，2）时，求反比例函数的解析式及B 点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数的图象的另一支上是否存在一点P ，使△P AB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）y ＝8x由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋10y ＝8 x得x2－5x ＋4＝0 解得x 1＝1，x 2＝4，∴B （1，8）（2）设直线EF 与x 、y 轴分别交于点E （5，0），F （0，10） 当∠P 1AB ＝90°时，设P 1（x 1，8x 1） 分别过A 、P 1作AA 1∥x 轴，P 1A 1∥y 轴，得Rt △P 1A 1A ∵∠P 1AB ＝90°，∴∠A 1AB ＝∠OEF ＝∠A 1P 1A tan ∠A 1P 1A ＝tan ∠OEF ，∴AA 1P 1A 1＝2∴4－x 12－8 x 1＝2，解得x 1＝－4（舍去正值） ∴P 1（－4，－2）同理，当∠P 2BA ＝90°时，设P 2（x 2，8x 2），作Rt △P 2B 1B则BB 1P 2B 1＝2，∴1－x 28－8x 2＝2，解得x 1＝－16（舍去正值） ∴P 1（－16，－12）∴满足条件的点P 的坐标为（－4，－2），（－16，－12）备用图。
2014年中考数学压轴题精编--浙江篇(试题及答案)
2014年浙江中考数学压轴题精编1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t2．（浙江省台州市）如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB ＝∠F ＝90°，∠A ＝∠E ＝30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察：①如图2、图3，当∠CDF ＝0°或60°时，AM ＋CK _______MK （填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF ＝30°时，AM ＋CK _______MK （只填“＞”或“＜”）．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ＋CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK的值．3．（浙江省台州市）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP ＝AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点，HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？4．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的D B C A F EM K 图1 D B C A (F ,K )EM 图2 D B C A FE K图3 (M ) D B C A FE M K 图4正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．5．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，AB ＝32．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转． （1）当点B 在第一象限，纵坐标是26时，求点B 的横坐标； （2）如果抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：①当a ＝45，b ＝－21，c ＝－553时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b ＝－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．6．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，32），点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G ． （1）求∠DCB 的度数；（2）当点F 的坐标为（－4，0）时，求点G 的坐标；（3）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′，记直线EF ′与射线DC 的交点为H ．①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE ； ②若△EHG 的面积为33，请直接写出点F 的坐标．（图2）（图1）（备用图）7．（浙江省金华市）如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为（3，0）和（0，33）．动点P 从A 点开始沿折线AO －OB －BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点．设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO －OB －BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是___________________；（2）当t ＝4时，点P 的坐标为____________；当t ＝________，点P 与点E 重合；（3）①作点P 关于直线EF 的对称点P ′，在运动过程中，若形成的四边形PEP ′F 为菱形，则t 的值是多少？ ②当t ＝2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（浙江省绍兴市）如图，设抛物线C 1：y ＝a (x ＋1)2－5，C 2：y ＝－a (x －1)2＋5，C 1与C 2的交点为A ，B ，点A 的坐标是（2，4），点B 的横坐标是－2． （1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上，过D 作x 轴的垂线，垂足为点H ，在DH 的右侧作正三角形DHG ．记过C 2顶点M 的直线为l ，且l 与x 轴交于点N ． ①若l 过△DHG 的顶点G ，点D 的坐标为（1，2），求点N 的横坐标； ②若l 与△DHG 的边DG 相交，求点N 的横坐标的取值范围．9．（浙江省嘉兴市）如图，已知抛物线y ＝－21x2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．10．（浙江省义乌市）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S ＝36时点A 1的坐标； （3）在图1中，设点D 坐标为（1，3），动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．11．（浙江省舟山市）（本题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠BAD ＝60°，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC 方向以每秒32cm 的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P ，Q 同时停止运动，设运动的时间为x 秒． （1）当点P 在线段AO 上运动时．①请用含x 的代数式表示OP 的长度；②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x ＝0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由．（备用）图1图2OE ACQ DBP12．（浙江省东阳市调研测试卷）已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版
中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BECD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5∴BE =35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。
【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ； （2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。
2014中考真题二次函数压轴汇编
2014中考真题二次函数压轴汇编1、（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2014•黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．3、（2014•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA 垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；（4）抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m的值．4、（2014江西）．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。
2014年全国各地中考数学压轴题集锦
2014年全国各地中考数学压轴题集锦1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）x Oy AB C P Q M x A yO B C P F E D Q GN M3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动． （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（北京模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．动点P 从点A 出发，沿AC →CB →BA 边运动，点P 在AC 、CB 、BA 边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向移动，移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB 、AB 边交于点E 、F ．点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．（1）当t ＝_________秒时，点P 与点E 重合；当t ＝_________秒时，点P 与点F 重合； （2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点P ′ 落在EF 上，点F 的对应点为F ′ ，当EF ′⊥AB 时，求t 的值；（3）作点P 关于直线EF 的对称点Q ，在运动过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，求t 的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式及S 的最大值．x A y O C B D P QB C A Pl F E B C A 备用图5．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．（北京模拟）已知二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2的图象与x 轴交于点A （23，0）、点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 坐标；（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ ∥AC 交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形PQA ′C ′，设点P 的运动时间为t ．①当t 为何值时，点A ′恰好落在二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2图象的对称轴上； ②设四边形PQA ′C ′落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．7．（北京模拟）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，过E 点作射线EF ∥BC ，交CD 于点G ，AB 、AD 的长恰好是方程x2－4x ＋a2＋2a ＋5＝0的两个相等实数根，动点P 、Q 分别从点A 、E 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿AB 由A 向B 运动，点Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF由E 向F 运动，设点P 、Q 运动的时间为t （秒）．（1）求线段AB 、AD 的长；（2）当t＞1时，求△DPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式； （3）是否存在△DPQ 是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t ；如果不存在，请说明理由．A CB D P EB ′A C BD 备用图A BD Q CP E FG8．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y ＝－x ＋4错误！未找到引用源。
2014年中考数学压轴题精编--浙江篇(试题及答案)
初中数学公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
以四边形为载体的几何压轴问题(北京真题+模拟35道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
专题03以四边形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟35道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考数学倒数第二道压轴题会以四边形为载体的几何压轴题出现，要求学生理解和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2018·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2014·北京·中考真题）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1．（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数．（3）如图2，若45°<∠PAB<∠90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．2．（2015·北京·中考真题）在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）3．（2013·北京·中考真题）请阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交F A，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为_________；(2)求正方形MNPQ的面积；(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=√3，求AD的长．34．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京昌平·模拟预测）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置(1)如图①，求证：四边形ABCD是菱形．(2)如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16√2，PB＝2，①求∠BAD的度数；②求DF的长．2．（2021·北京四中模拟预测）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．（1）依题意，补全图形；（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．3．（2021·北京门头沟·一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°)得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG//AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC=2∠AEB；（2）当（45°<a<90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．4．（2020·北京亦庄实验中学二模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，过点D作DF AP于F．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示线段BP与线段AF之间的数量关系，并证明．（3）连接PC，若正方形的边长为√2，直接写出△BCP面积的最大值．5．（2020·北京四中模拟预测）在△ABC中，点D在AB边上（不与点B重合），DE⊥BC，垂足为点E，如果以DE为对角线的正方形上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称该正方形为△ABC的内正方形．（1）如图，在△ABC中，AB=4，∠B=30°，点D是AB的中点，画出△ABC的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；t,0)．（2）在平面直角坐标系xOy中，点A(t,2)，B(0,0)，C(32①若t=2，求△ABC的内正方形的顶点E的横坐标的取值范围；②若对于任意的点D，△ABC的内正方形总是存在，直接写出t的取值范围．6．（2020·北京延庆·一模）四边形ABCD 中，∠A＝∠B= 90°，点E 在边AB 上，点F 在AD 的延长线上，且点E 与点 F 关于直线CD 对称，过点E 作EG∥AF 交CD 于点G，连接FG，DE．（1）求证：四边形DEGF 是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC=8，求四边形DEGF 的面积．7．（2019·北京·一模）如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF．设BE=x．(当点E与点B重合时，x的值为0)，DF=y1，CF= y2．小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值；x012345y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y20 1.41 2.83 4.24 5.657.07(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ， y1) ， (x ， y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为cm．8．（2017·北京顺义·一模）在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；（2）如图2，连接AH，GH．小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．…请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）9．（2018·北京顺义·一模）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、cm(P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、54Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是ΔAPD的面积s(cm2)和运动时间x(秒)的图象．(1)求出a值；(2)设点P已行的路程为y1(cm)，点Q还剩的路程为y2(cm)，请分别求出改变速度后，y1,y2和运动时间x(秒)的关系式；(3)求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P，Q两点相距3cm？10．（2021·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形”．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形”的顶点的是；（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y＝x+b有公共点时，写出b的取值范围．11．（2021·北京四中九年级开学考试）定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．（1）如图1，已知△ABC，请用尺规作出△ABC的一条面积等分线．（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴的正半轴上、OC在y轴的正半轴上，OA=6,OC=4．①请判断直线y=43x−83是否为矩形OABC的面积等分线，并说明理由；②若矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．（3）如图3，在△ABC中，点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(4,3)，点C的坐标为(2,0)，点D的坐标(0,−2)，求过点D的一条△ABC的面积等分线的解析式．（4）在△ABC中点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,1)，直线y=ax+b(a>0)是△ABC的一条面积等分线，请直接写出b的取值范围．12．（2021·北京·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=4，求BF和AD的长．513．（2021·北京·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF．（1）依题意补全图1；（2）若DM=1，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．14．（2021·北京石景山·九年级期末）已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB=BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO．点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N．（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上．①依题意补全图1；②写出线段PM与PN的数量关系并证明．（2）如图2，若∠OMB=α，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系．15．（2020·北京·北师大实验中学九年级开学考试）如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF．（1）当DM=2时，依题意补全图1；（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系________．16．（2017·全国·九年级专题练习）猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]①②17．（2020·北京通州·一模）已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC=AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点．以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE,B的对应点为D,N的对应点为E．(1)当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A,M,E,D为顶点的四边形是矩形．(2)连接EM，若AB=4，从下列3个条件中选择1个：①BP=1，②PN=1，③BN=√2，当条件______(填入序号)满足时，一定有EM=EA，并证明这个结论．18．（2020·北京一七一中九年级阶段练习）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，直接写出线段AD、AB、AC的数量关系．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，求边AD、AB与对角线AC的数量关系．请证明．（3）如图3，若∠DAB=2α，直接写出边AD、AB与对角线AC的数量关系（用α来表示）19．（2020·北京四中九年级阶段练习）在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE．若AB=4，求线段EC的长．（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A，C重合），以AM为边向上构造等边三角形△AMN，线段AN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点．连接DQ，MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，若AC=√3，请你直接写出DM+CN的最小值．20．（2020·北京顺义·九年级期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F，连接EF（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．21．（2022·北京·九年级单元测试）图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l 于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．22．（2022·北京·九年级单元测试）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是，AE的值是；BE(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：.23．（2019·北京·101中学九年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作射线EF，(1)若∠DAB=60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并直接写出四边形ABHE的形状；(2)如图2，若∠DAB=90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.请在图2中补全图形，并证明点A，E，B，G在同一个圆上；(3)如图3，若∠DAB=α(0°<α<90°)，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.请在图3中补全图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹)，并求出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含α的式子表示)；24．（2022·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：MN=DE；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明．25．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．。
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压 轴 题 周 周 练 之3：由比例线段产生的函数关系
1 、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，5
3sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．
（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；
（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外
切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．
图1 图2 图3
2、如图，甲、乙两人分别从A (1,3)、B(6,0)两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方
向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．
（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；
（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之
间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
3、在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE
⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13
EMP ∠=
． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关
于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．。