一元一次不等式的性质及解法
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
六年级下册 一元一次不等式的解法
等式的一个解.不等式一般都有无限多个解.
例如，5.4，6，139 都是3x>15的解.这样的解有无数个.
我们把不等式的解的全体, 叫不等式的解集.
例如 我们用x>5表示3x>15的解集.
求不等式的解集的过程，叫解不等式.
今后我们在解一元一次不等式时，将利用前面讲述的不等式的 基本性质，将原不等式化成形如x ≤a(或x<a，x>a，x≥a）的不等式， 就可得到原不等式的解集.
解：根据题意列出不等式：
2( y 1) 10 4( y 3)
解这个不等式，得 y 4
解集 y 4
中的正整数解是：1，2，3，4。
例 等3于0当？x并取求什出么所值有时满，足代条数件式的 13正x+整2数的.值大于或
解
根据题意，得
1 3
x
+2≥
0
解这个不等式，得 x ≤ 6 所以，当x≤6时，代数式 13x+2的值大于或等于0.
x≤6在数轴上表示如图所示：
-1 0 1 2 3 4 5 6 由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.
练习：
1.当x取什么值时，代数式3
2
x
的值小于3？
并求满足条件的负整数解.
2.求不等式10 4(x 3) 2(x 1)的非负整数解，
并把非负整数解在数轴 上表示出来 .
4 3k k 1
若k-1＜0，即k＜1时，x 4 3k
。
k 1
动脑筋
一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来.
如何在数轴上表示出不等式3x＞6的解集呢？
则点因A此右可边以所像有图的那点样表表示示的数 先都表容在示大3易x数的于>解6轴数2的，得上都解而不标小集点等出于xA式>表2左23示.边x＞2所的6有的点的解A点集是x＞2.
【K12学习】八年级数学上册知识点归纳：一元一次不等式的解法
八年级数学上册知识点归纳：一元一次不等式的解法知识点总结一．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其步骤为：1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1。
二．不等式的基本性质：1．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
四．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
五．解不等式的依据不等式的基本性质：性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，常见考法（1）考查一元一次不等式的解法；（2）考查不等式的性质。
误区提醒忽略不等号变向问题。
【典型例题】（XX年铁岭加速度辅导学校）在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破。
操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒。
为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（）A．66厘米B．76厘米c．86厘米D．96厘米【解析】设导火线的长度要超过x厘米，故本题选择D。
一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
将不等式化为ax>b的形式若a>0，则解集为x>b/a若a<0，则解集为x<b/a一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中的一种重要的关系，用于描述数值之间的大小关系。
解不等式是找到使得不等式成立的数的范围。
在解不等式的过程中，我们需要运用一些基本的不等式性质和方法。
本文将介绍常见的不等式类型以及相应的解法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单也是最基本的一类不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是已知的实数，x是未知数。
对于一元一次不等式ax + b > 0（或ax + b < 0）而言，我们需要找到x的取值范围使得不等式成立。
解决这类不等式的基本思路是将其转化为等价的方程，并找出使得方程成立的x的取值范围。
例如，对于不等式2x + 3 > 0，我们可以将其转化为等价的方程2x+ 3 = 0，然后解这个方程，得到x = -1.5。
由于方程的根是-1.5，此时不等式成立。
因此，不等式2x + 3 > 0的解集为x > -1.5。
二、一元二次不等式一元二次不等式是包含一元二次函数的不等式。
一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c ≥ 0（或ax^2 + bx + c ≤ 0），其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
要解决一元二次不等式，我们首先需要确定函数的零点。
通过求出函数的根及其对应的函数值，可以得到函数在不同区间上的符号。
根据函数值的符号，我们可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 4 > 0，我们可以通过将其转化为等价的方程x^2 - 4x + 4 = 0，并解这个方程得出x = 2。
由于该方程只有一个根且为重根，函数在x = 2的值等于零。
因此，函数在x < 2和x > 2两个区间上的值不为零，不等式成立。
因此，不等式x^2 - 4x + 4 > 0的解集为x < 2或x > 2。
三、绝对值不等式绝对值不等式是包含绝对值函数的不等式。
七下数学课件： 解一元一次不等式(课件)
再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x<10；
利用不等式的性质解不等式
根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：
5）-
x<-2
6）3x+5<0
5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，
1
得- 5x×(-5)> -2×(-5)，即x>10；
>
性质三：不等式的两边乘(或除)同一个负数，不等号方向发生改变。
表示为：如果a>b，c<0，那么ac<bc (或
<
)
)
学习目标
学习目标
1、掌握不等式的性质。
2、运用不等式性质解不等式。
3、用数轴表示不等式的解集。
重点
用数轴表示不等式的解集。
难点
运用不等式的性质解不等式。
练一练
设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
【详解】
解：解不等式3x−a≤0，得x≤3，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴3≤3＜4，
解得9≤a＜12．
故答案为：9≤a＜12．
解一元一次不等式
不等式(x－m)/3＞3－m的解集为x＞1，则m的值为___.
【解析】
去分母得，x﹣m＞3（3﹣m），
去括号得，x﹣m＞9﹣3m，
移项，合并同类项得，x＞9﹣2m．
∵此不等式的解集为x＞1，
∴9﹣2m=1，解得m=4．
课后回顾
课后回顾
一元一次方程不等式解法
一元一次方程不等式解法一元一次方程不等式是数学中比较基础的知识，对于初学者来说，理解并掌握它是非常重要的。
本文将为大家介绍一元一次方程不等式的概念、解法以及常见的问题和注意事项。
一、什么是一元一次方程不等式？一元一次方程不等式是指一个只有一个未知数x的不等式，其形式一般为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数且a ≠ 0。
二、一元一次方程不等式的解法1. 移项法将不等式中的常数项b移到一边，未知数项ax移到另一边，然后将方程两边同除以系数a。
例如，对于ax + b > 0，我们可将b移到另一边，得到ax > -b，再将两边同除以a，即可得到x > -b/a的解。
2. 加减法一元一次方程不等式的加减法是指将不等式两边同时加上或减去同一量，从而改变不等式符号后比较大小。
例如，对于ax + b < 0，我们可将b移到另一边，得到ax < -b，再将两边同时减去b/a，即可得到x < -b/a的解。
三、一元一次方程不等式的常见问题和注意事项1. 一元一次方程不等式的解可能是整数、有理数或无理数。
2. 当a为正数时，不等式ax + b > 0的解集为x > -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x < -b/a。
3. 当a为负数时，不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x > -b/a。
4. 在解一元一次方程不等式时，最好画出数轴，从而更直观地判断解的区间。
5. 如果在方程中遇到分母为0的情况，就必须将其排除在方程的解的范围之外。
综上所述，理解一元一次方程不等式的概念和解法，以及注意事项，有助于我们更好地学习数学，提高解题能力。
希望本文能为大家提供一些参考和帮助。
一元一次不等式和一元一次不等式组讲义
一元一次不等式和一元一次不等式组知识点一：不等式1、 不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。
若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
若a>b 且c>0，则ac>bc 。
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
若a>b 且c<0，则ac<bc 。
2、同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。
知识点二：一元一次不等式1、定义：像276x x -<，39x ≤等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的标准形式： 0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。
3、一元一次不等式组的解集确定：若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时，则a x >，即“大大取大” （2）当⎩⎨⎧<<bx a x 时，则b x <，即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧><b x a x 时，则a x b <<，即“大小小大取中间”（4）当⎩⎨⎧<>b x a x 时，则无解，即“大大小小取不了” 知识点三：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：， 。
要点诠释： 在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点四：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
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Unit 4 Then and now教学设计Part B Read and write课时目标：1.能读懂、理解“Read and write”的故事，并完成后面的阅读和写作练习。
2.培养学生的阅读技巧和阅读兴趣。
3.掌握一般过去时在实际情景中的应用。
4.复述“Read and write”的故事。
重难点：重点：1. 能读懂、理解“Read and write”的故事，并完成后面的阅读和写作练习。
2. 培养学生的阅读技巧和阅读兴趣。
3.掌握一般过去时在实际情景中的应用。
难点：1. 复述“Read and write”的故事。
2. 写一篇关于做梦的小短文。
教学准备：PPT、词组卡片、教学过程：一、Warm-up:1. Greeting:T: Are you ready for class? Stand up. Good morning, boys and girls. This is my first time to stand here, so you don’t know me, and I don’t know you, right? I want to know some of you.(There are some questions: What’s your name? What is your hobby? What did you do last night? How was your weekend? Where did you go? What’s your favorite animal? ...)2. Information Card:T: Do you want to know sth about me? Look at the screen, wow, what a lovely girl. Look, you can find sth in this information card. Follow me information, information card. From this card, you can find 3 points here.The number one, Lydia.The number two, run.The number three, zoo.T: Can you get some information from three points? Lydia is my English name.T: How about run? What do you think of when you see the word? I like running. I couldn’t run fast before, but now I can run fast. Can you run?T: The last one: zoo.二、Presentation:1. 引出cheetahT: Last weekend I went to the zoo. I saw many wild animals. And I took many pictures. I want to share them with you. Look, what animals can you see?(出示四副动物图片)S1: I can see...S2: I can see...T：What can they do? The monkey can climb. The bird can fly. The tiger can walk. How about this one? What’s this? It’s a cheetah.(教读cheetah)2.引出worried,揭示课题(1)T：What animal can run fast?Ss：The cheetah can run very fast.T：Animals are funny, right? But some of them are dangerous. So we are afraid of them. And sometimes we are worried about something.(2)What makes you feel worried?T: I want to know what makes you feel worried. Maybe animals, maybe something?A: What makes you feel worried?B: ...T: Last night, I got a dream. I felt very worried, I lost my PPT. You know today I have an important English class for you. But it was OK, it was just a dream.3.教授新课(1) 通读全文，了解文章大意T：Last night, Wu Yifan had a dream, too. L et’s read it. But I have two questions for you. I will give you two minutes.Q1：What happened in his dream?Read and tick:S: There were two races in his dream.T: Time’s up. OK, who can give me the answer? Hands up.Right,Wu Yifan had a race in his dream. How many races in his dream? En, good, There were two races in his dream.(2)阅读全文，图片排序Part A: Number the picturesT: Let’s read it again, there are 3 pictures, now number the pictures.T: Let’s check the answer. Who can give me your answer?Part B: MatchT: Look and match.并出示句子：1.He could run fast.2.He had a race with his father and Max.3.He tripped and fell.T: OK, from the third picture, what can you see? It was too bad, Wu Yifan tripped. Follow me, trip--tripped. He tripped and fell.(3)精读全文，突破重难点Part A: Answer my question: Why did he run fast in the second picture?T：At first, Wu Yifan couldn’t run fast. But why did he run fast in the second picture? Please read it carefully.引出词组：gave him some water、drank some waterT: Wonderful. Robin gave Wu Yifan some water. Wu Yifan drank it. So he could run fast again.(出示图片，和句子.带领学生读)Part B: Pair works:T: There were two races in Wu Yifan’s dream. What happened in the first race? And what happened in the second race?(出示重要词组，让学生进行分组)Wu Yifan’s dreamin the second raceHe had a race with his father and Max. ran like a cheetahran fast. tripped and fellcouldn’t run fast. woke upgave him some water.could run fast.Part C:In the first race(4)Listen and readT: Let’s listen the story and read it loudly.(5)Retell the story三、Consolidation：(1) Listen and fill in the blanks:Wu : Mum, I ____ an interesting dream last night.Mum: What did you dream about?Wu : I had a race with Dad and Max, but I ___ ____ ____ .Mum: What happened then?Wu : Robin ___ me some water. I ____ it and then could run very fast.Suddenly I tripped and fell. Then I woke up.Mum: What a dream!(2)Read with your partnerT：Now, read it with your partner. I will give you two minutes. Are you ready? Go, go,go!(选四组展示)(3) Make a dialogueA: I had ______dream last night.B: What did you dream about?A: I ___________ .B: What a dream!A: How about you?B: __________________________.(四) Writing:Did you have an interesting dream? Write several sentences about it.eg:I had a dream last night. In my dream, I was happy. I read a funny book. It wasinteresting. It talked about a lot of animals. I liked animals very much.What a dream!四、Homework1. Listen and read P38.2. Tell your dream to your friends板书设计：Unit4 Then and nowPart B Read and write。