第五课等距变换

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2d等距坐标变换

等距坐标变换（isometric coordinate transformation），简称2D等距变换，是指在平面上将一个点通过某种方式变换到另一个点，保持两点之间的距离不变。

2D等距坐标变换通常包括平移、旋转、缩放、反射等操作。

具体来说：平移：平移是指将一个点在平面上沿着指定的方向移动一定的距离。

平移变换可通过改变点的坐标完成，公式可表示为：P' = P + T，其中P表示原始点的坐标，T表示平移向量，P'表示平移后点的坐标。

旋转：旋转是指将一个点绕着另一个点或绕着坐标轴旋转一定角度。

旋转变换可通过矩阵运算完成，公式可表示为：P' = R * P，其中P表示原始点的坐标，R表示旋转矩阵，P'表示旋转后点的坐标。

缩放：缩放是指将一个点以某个中心点为基准进行放大或缩小。

缩放变换可通过矩阵运算完成，公式可表示为：P' = S * P，其中P表示原始点的坐标，S表示缩放矩阵，P'表示缩放后点的坐标。

反射：反射是指将一个点关于某个直线或者某个中心点进行对称。

反射变换可通过改变点的坐标进行，公式可表示为：P' = M * P，其中P表示原始点的坐标，M表示反射矩阵，P'表示反射后点的坐标。

综上所述，2D等距坐标变换可以通过平移、旋转、缩放和反射等操作实现从一个点到另一个点的变换，并保持两点之间的距离不变。

这个概念在计算机图形学、计算机动画和地理信息系统等领域有广泛的应用。

三年级数学上册四位置与变换第5课时教案

四走进新农村——位置与变换第五课时教学内容：教科书61页：实践活动教学目标：1、通过观察、操作、测量等一系列实践活动，了解同一物体在不同时刻影子的长短是不同的；在同一地点，正午时刻物体的影子最短。

2、经历观察、测量影子长短的过程，体会影子长短与时刻的关系，获得一些数学活动经验，形成初步的观察、分析问题的能力。

3、在与同伴合作、交流与解决问题的过程中，培养合作意识及对数学的兴趣。

教学重点：通过观察、操作、测量等一系列实践活动，了解同一物体在不同时刻影子的长短是不同的；在同一地点，正午时刻物体的影子最短。

教学过程：活动一：结合情境，提出问题［出示课本情境图］师：请同学们仔细观察画面，说说你看到了什么，想到了什么？［学生自由交流］师：你能提出哪些问题？［抽生交流，根据学生的回答板书］活动二：解决问题师：为什么越接近中午，树的影子越短？[学生自由交流]师：你认为怎样证明这个问题？［学生以小组为单位，谈自己的设想。

］师：谁愿意起来交流一下？［全班交流各组的活动计划］活动三：师：我们在操作的时候应该注意哪些问题？[学生自由交流]师：下面请同学们自制一张影子的长度与时刻变化记录表。

[全班交流，评出最优秀的]师：下面请各小组选择不同长度的物体，在不同时刻实际测量，记录影子长度与时刻变化情况。

活动四：后记亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。

希望我的文档能够帮助到你，促进我们共同进步。

孔子曰，三人行必有我师焉，术业有专攻，尺有所长，寸有所短，希望你能提出你的宝贵意见，促进我们共同成长，共同进步。

每一个都花费了我大量心血，其目的是在于给您提供一份参考，哪怕只对您有一点点的帮助，也是我最大的欣慰。

如果您觉得有改进之处，请您留言，后期一定会优化。

常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习只是一个习惯，只要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信你我不久的将来一定会取得更大的进步。

最后祝您生活愉快，学业进步。

人教版B版高中数学选修3-4(B版)等距变换及其性质

要点总结
那如果把上述情况中的两个点增加到三个点呢？思考这种情况，如果等距映射保持平面上不共线三个点不动会怎么样？
要点总结
如果等距变换作用与不共线的三个点，那么不管怎么变换，这三个点组成的图形都不会发生改变，即变换后仍是图形自身，这不正是我们学过的恒等变换的定义？因此，等距变换的另一个重要性质就是，如果等距变换作用于平面上不共线的三点，那么此时该变换是恒等变换。
谢谢观赏
要点总结
本节课有两个学习要点：（1）知道什么是等距变换（2）了解等距变换的性质
要Hale Waihona Puke 总结等距变换，顾名思义，是变换前后保持距离不变的一种变换。但是这样的说法不够严谨，所以，等距变换一般被理解为，如果变换不改变平面上任意两点之间的距离，那么这种变换被称为等距变换，也叫全等变换。我们学过的轴反射变换、旋转变换、平移变换都是等距变换。
练习测评
练习１：证明：若f是一个平面等距变换，则α 中不同的P，Q，R共线的充要条件是f(P)，f(Q)，f(R)共线，从而若Ｌ是一条直线，则f（Ｌ）也是一条直线。
练习测评
证明：设P，Q，R三点共线，选取记号使得R在P，Q 之间，则
｜PQ｜＝｜PR｜＋｜QR｜。假设f(P)，f(Q)，f(R)不共线，则他们是三角形的顶点，则｜f(P)f(Q)｜<｜f(P)f(R)｜+｜f(R)f(Q)｜，这与f是等距变换相矛盾，反之可类似证明。若f(Ｌ)不是直线，则他有不共线的三点f(P)，f(Q)， f(R)，其中P，Q，R共线于Ｌ上矛盾。从而结论得证。
典型剖析
例1：根据刚才讲过的平面等距变换的定义和性质，试证明在平面等距变换下，三角形的形状和大小都保持不变。

人教版高中选修(B版)3-41.2等距变换与刚体运动课程设计

人教版高中选修(B版)3-41.2等距变换与刚体运动课程设计一、课程目标•理解等距变换的概念及其应用；•理解刚体运动基本概念、原理和运动规律；•培养学生观察、探究和思考的能力；•提高学生科学实验设计和数据处理能力；•提高学生解决问题的能力。

二、教学内容1. 等距变换1.1 等距变换的概念和性质1.2 平移变换、旋转变换和镜像变换的基本概念1.3 等距变换的复合2. 刚体运动的基本概念2.1 刚体运动的基本概念2.2 刚体的平动和转动2.3 牛顿运动定律与刚体运动规律3. 等距变换与刚体运动3.1 刚体旋转的基本概念3.2 刚体的平动变换和旋转变换3.3 万有引力定律与刚体运动规律三、教学方法1.课前通过讨论或实验引入知识点，预测本节课的学习目标；2.课中通过讲解、示范、探究、实验等多种方式，引导学生进行知识的学习和掌握；3.课后通过作业、练习和复习，对学生的掌握情况进行检测和评估。

四、教学重点和难点教学重点•刚体运动的基本概念、原理和运动规律；•等距变换的复合。

教学难点•刚体运动与万有引力的关系；•难题解决方法的思维过程。

五、实验设计实验目的通过实验，让学生更好地理解等距变换的概念及其应用，培养学生观察、探究和思考的能力。

实验内容制作一个立方体并进行旋转变换和镜像变换。

实验步骤1.制作一个立方体模型；2.进行旋转变换，记录变换前后立方体各顶点的坐标；3.进行镜像变换，记录变换前后立方体各顶点的坐标；4.通过数据处理，得出旋转变换和镜像变换的结果，和等距变换的特点。

实验要求•实验过程中注意安全；•记录数据时精确记录；•结果图表清晰、准确。

六、教学评估本次课程主要通过实验设计的方式来评估学生是否掌握了课程内容。

具体评估方法包括：1.课堂讨论及互动；2.实验报告的撰写；3.课后小测验。

七、教学资源•人教版高中选修(B版)3-41.2等距变换与刚体运动课本；•计算机及绘图软件。

八、课程反思通过本次课程的教学，我了解到学生可能会对等距变换和刚体运动等概念存在理解上的难度，需要通过多种教学方式来解释和说明，同时在实验过程中要注意安全和精度，保障实验结果的准确性和可验证性。

第五节等距变换--作全等三角形

信息技术宋晓红初二2012.5 第五节：等距变换—作全等三角形了解变换的概念和“几何画板”中的变换命令会进行平移、旋转变换会作正三角形和全等三角形以及在绘图板上添加文字会作正三角形和全等三角形会作正三角形和全等三角形第五节: 等距变换—作全等三角形一、作边长为3厘米的正三角形二、作两个全等的任意三角形三、变换等距变换四、平移变换五、旋转变换六、在绘图板上添加文字引言板书通过实例简单介绍边演示边讲解变换是几何中的重要学习内容。

本节课将学习几何画板“中变换的操作方法同时完成作特殊三角形和全等三角形的任务。

第五节：等距变换—作全等三角形一、作边长为3厘米的正三角形要作定长的线段，可以利用“平移”变换来制作。

作正三角形有多种方法我们用“两边相等且它们平角为600的三角形是正三角形”的性质来制作而作一定角度可以用“旋转”变换来实现。

1、作定长为3厘米的线段1）用点工具画一个点。

2）选定点A，然后执行“变换→平移”命令，打开“平移”对话框。

3）把“数量”栏中的数改为“ 3.00”后单击“确定”按钮。

出现平移点A’。

2、旋转点A’4）选择选定工具后，双击点A，把A点定为旋转中心。

5）选定A’点，执行“变换→旋转”命引发学习兴趣记笔记观看实例仔细观察思考板书简单说明边演示边讲解令。

6）把对话框中旋转度数输入框中的数改为“60”，再单击“确定”按钮，出现旋转点A’’。

3、作三角形7）选定A,A’,A’’三点，执行“作图线段”命令，出现三角形。

我们还有没有其他方法呢？二、作两个全等的任意三角形全等三角形有多种作法，可以用定义，出可以根据判定定理。

下面用“依据向量平移”的变换命令来制作1）选定线段工具，画一个任意三角形ABC。

2）在三角形ABC外用点工具画任意点D。

3）选择选定工具把鼠标指针移到字母D上，指针变成手时双击，出现“重设标签”对话框。

4）把对话框“标签”输入框中的字母改为“A”，单击“确定”按钮。

5）依次选定A点和A’点，再执行“变换思考记笔记了解仔细观察提问想一想板书概念讲解演示说明板书→标记向量A→A’”命令。

等距变换正交矩阵

等距变换正交矩阵
等距变换（isometric transformation），也称为等度变换，是
指在原空间中，保持距离不变的一种变换。

正交矩阵（orthogonal matrix）又称为正交变换矩阵，是指n
阶方阵A满足A的逆矩阵等于A的转置矩阵的一种特殊矩阵。

在数学中，等距变换可以通过正交矩阵来实现。

一个n维空间的
等距变换可以表示为一个n × n的正交矩阵。

这意味着在等距变换下，向量的长度和角度都保持不变。

正交矩阵有很多重要的性质和应用，如保持向量的长度、保持内积、保持行列式等。

在计算机图形学、物理学等领域中，正交矩阵经
常被用于旋转、缩放和镜像等操作。

等距变换和正交矩阵在几何学、线性代数、计算机科学等领域中
都有广泛的应用，并且在处理几何形状、图像处理、模式识别等方面
发挥着重要作用。

等距变换.doc

性质1，等距变换保角，从而保持内积不变。

证明：任取两向量,，作==,。

记等距变换为σ，)(),(),(B B A A O O σσσ='='='。

，以及)(),(v O u σσ='=''='。

（1）若,共线且同向，不妨设||||≤，则有||||||||||||B O B A O ''==+=''+''，于是v u '',同向；若反向，则有||||||||||,||B A AB OB OA B O A O '==+='+'，从而v u ,也反向。

（2）若v u ,不共线，则BO AB OA ,,连成三角形，而O B B A A O '''''',,则构成与其对应边相等的三角形，从而有B O A AOB '''∠=∠。

综上可知等距变换保角，从而有：),(cos ||||v u v u v u ∠=⋅。

推论：设σ为等距变换，{v u ,}为幺正基，则)(),(v u σσ 也是。

注：设{,}为右手幺正基，若)(),(σσ 也是右手的，则称σ保定向。

性质2，若平面等距变换有不动点，且保定向，则它是一个绕定点的旋转。

证明：记等距变换为σ，不动点为O 。

并取},;{O 为右手直角坐标系，==,。

则)}(),(;{v u O σσ，)()(,)()()()(B O v A O A O u σσσσσσ=== 也是为右手直角坐标系。

记)(),(v u σσ 为v u ,。

若),(u u ∠=θ则知v u ,可由v u ,绕O 旋转θ得到。

记στθ-=r ，则},;{)}(),(;{v u O v u O =ττ。

平面上任取一点P ，设v y u x OP +=，则y P O P O x P O P O =∙=∙=∙=∙)(((,)(((ττττττ，从而y x P O +=(τ，即P P =)(τ，由P 的任意性知id =τ，从而θσr =。

微分几何

（5）陈维桓编《微分几何》，北京：北京大学出版社，2006年.
二、教学内容
第一章向量函数
教学目的
引入向量函数的定义，并使学生掌握向量分析的有关概念，为曲线论和曲面论的展开打下基础。
主要内容
第一节向量函数的极限
第二节向量函数的连续性
第三节向量函数的微商
第四节向量函数的泰勒(Taylor)公式
第五节向量函数的积分
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
（三）基本要求
掌握经典微分几何中曲线论与曲面论的基本知识，培养直观能力，以及应用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，深刻理解微分几何研究中所涉及的各种数学思想，充分体会对于一种数学对象从多种不同角度去认识、去理解、去研究的意义与价值。
（四）主要内容
三维欧氏空间中经典的曲线和曲面的几何理论和曲面的内蕴几何学。
教பைடு நூலகம்要求
掌握：向量函数的极限、连续、微分及积分的概念；向量函数的微积分运算；向量函数具有固定长的充要条件。
第二章曲线的概念
教学目的
引入参数曲线，切向量，切线，正则参数曲线，参数变换的有关概念，使学生掌握正则曲线能选取弧长作为参数，体会参数是弧长参数的便利。
主要内容
第一节曲线的概念
第二节光滑曲线曲线的正常点
5．学分分配：4学分
（二）开设目的
微分几何是一门历史悠久的学科，它对数学中其它分支的影响越来越深刻，对自然科学中其它学科的影响范围也越来越扩大，例如在机械工程、力学、引力理论及理论物理等其它领域都有广泛应用。微分几何课的目的是使学生学好作为数学基础的微分几何课，提高学生在几何方面的理论水平和综合应用能力，为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面，通过本课程的学习，提高学生的数学素养，扩大学生的数学知识面。

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课题：第五课等距变换
教学内容：1.用旋转变换构建图形
2. 用平移变换构建图形
课型：示范教学课
日期：月日
教学目标:
【知识与技能目标】
1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象。

2. 会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；
3. 培养利用几何画板变换菜单变换几何图形的能力。

【过程与方法】
通过实例操作，让学生进一步掌握几何画板菜单命令方式能按标记的
角旋转构建图形。

【情感态度与价值观】
通过几何画板的变换功能培养学生的研究精神、探索精神和创新精神。

教学重点:
1.会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象;
教学难点:
1. 会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；学情分析：学生已经在数学中学习过相关的几何知识，并具备了比较熟练的电脑
操作技能，但汉语基础一般，刚学过了用菜单命令方式构建一些图形
的方法。

教法:激发兴趣，实例演示法，提问法，指导法，鼓励法等。

学法：观察，独立操作法，提问法，合作学习法。

教学步骤:
1、创设情景，导入新课
2、演示操作，叙述讲解
3、学生观察，动手实践模仿
4.提出问题，引导思考
5、自主任务，合作探究
6、开展交流，评价反思
7、教学小结
教与学的具体活动方式：
【1、创设情景，导入新课】
观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的
求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换
数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。

我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射等变换。

几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是现在介绍的变换菜单。

说明：“变换”菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。

另外，对于“旋转”、“缩放”，要基于一个标记中心，对于“反射”，要先“标记镜面”。

如果要按可变的量进行变换，还要标记相关的量。

每个菜单项的详细使用方法见附录，在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方法
【2、演示操作，叙述讲解】
★功能范例
（一）旋转对象
例1 画一个正方形
运行结果：
画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。

基本思路：
本例将学习按固定的角度来旋转对象，
1、画一条线段，用来做正方形的一边；
2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转90º（逆时针方向），得第二条边；
3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边；
4、连结出第四条边。

操作步骤：
1、画线段AB。

2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。

3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图9的设置。

图9
4、双击点B，标记新的中心。

5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图10的设置。

图10
6、连结上方两个顶点得第四边。

（二）平移对象
平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。

平移是一个保距变换，又是一个保角变换。

几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。

例2 全等三角形
运行结果：
图11
拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。

基本思路：
本例学习根据标记的向量平移对象，
1、画好一个三角形。

2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。

3、在线段上画一点。

4、标记线段左端点到线段上一点的向量。

5、将三角形按标记的向量平移。

操作步骤：
1、画△ABC。

2、画线段DE，在DE上画一点F；
3、用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”---“标记向量”，标记从点D到F的向量。

4、选取△ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图12的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。

图12
5、用文本工具标记新三角形的三个顶点。

【3、学生观察，动手实践模仿】
学生用心观察老师操作过程，按掌握自主手动模仿。

【4.提出问题，引导思考】
学生问操作过程中遇到的问题，老师指导大家思考，同学们说一说自己的看法，老师总结。

【5.自主任务，合作探究】
同学们练一练。

练习：
1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？
【6、开展交流，评价反思】
老师评价学生的操作，请几位同学来进行操作，介绍制作过程，下面的同学要看清楚他们是怎样操作的，要是发现他们有错误的话，可以给他们纠正过来。

【7、教学小结】
数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。

我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射等变换。

几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是变换菜单。

旋转是指：按固定的角度来旋转对象，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是原形。

操作过程如下：
选取标记中心和旋转对象，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中输入角度。

平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。