【精准解析】天津市滨海新区七校(塘沽一中等)2021届高三上学期模拟考试数学试卷

2021年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考模拟考数学试卷共150分，考试时间120分钟.一､选择题(本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2|20B x x x =--<，则A B =（ ） A. [)2,2- B. (]1,1-C. ()1,1-D. ()1,2-【答案】C 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集的概念进行运算可得结果. 【详解】2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{|21}x x =-≤<，{}2|20B x x x =--<{|12}x x =-<<， A B ={|11}x x -<<.故选：C2. 为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)[)[)[)[]10,15,15,20,20,25,25,30,30,35，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（ ）A.110B.13C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】根据频率分布直方图求出产品数量在[10,15)和[15,20)内的频数，根据组合知识和古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】产品数量在[10,15)内的工人有200.0252⨯⨯=人，在[15,20)内的工人有200.0454⨯⨯=人，从这6人中随机地选取2位工人进行培训共有2615C =种，其中这2位工人不在同一组的有1124248C C =⨯=种，所以这2位工人不在同一组的概率是815. 故选：D【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.3. 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“0n n S na -<，对1n >，*n ∈N 恒成立”是“0d >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式()12n n a a n S +=代入0nn Sna -<中化简，并结合通项公式得到等价的不等式()10n d ->，然后根据不等式恒成立的意义得出充分必要条件. 【详解】()()11022n n n n na a n a a n S na na+--=-=<⇔()111n aa a n d <=+-⇔()10n d ->∴“0n n S na -<，对1n >，*n ∈N 恒成立”等价于“()10n d ->”对于1n >，*n ∈N 恒成立，显然“()10n d ->”对于1n >，*n ∈N 恒成立，等价于“0d >”,∴“0n n S na -<，对1n >，*n ∈N 恒成立”是“0d >”的充分必要条件 故选：C .【点睛】本题考查等差数列的求和公式和充分必要条件的判断，属小综合题，关键是根据题目中的条件，选用()12n n a a n S +=较为简便.4. 函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x xf x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈，所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ， 又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C. 故选：D5. 已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ） A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2xy =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.6. 直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，142AA =，则该球的表面积为（ ）A. 40πB. 32πC. 10πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积.【详解】解：如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，142AA =，∴可将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，其中2AB AC BM CM ====，1142AA BB ==对角线()222222221112242210CB CM MB CM MB BB =+=++=++=径，则球的半径r 10.∴球的表面积为224440S r πππ==⨯=.故选: A.【点睛】本题考查球的表面积，考查分析问题能力，属于中档题.7. 已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b顶点三等分，且两曲线1C ，2C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，则双曲线2C 的离心率为（ ）A.B.2C.D.2【答案】D 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF 的长度，由题意可得6p a =，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得,a b 的关系，利用离心率公式可求得结果. 【详解】抛物线22y px =的焦点为(,0)2pF ，准线方程为2p x =-，(,0)2p E -， ||EF p =，因为线段EF 被双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 顶点三等分，所以23p a =，即6p a =，因为两曲线1C ，2C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，所以两个交点为(,)2p p 、(,)2pp -， 将(,)2p p 代入双曲线22221x y a b-=得222214p p a b -=，所以2222363614a a a b -=，所以223691a b -=，所以2292b a =，所以双曲线2C 的离心率c e a ======故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．根据线段EF 被双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b顶点三等分得到6p a =，再求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得,a b 的关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A. 2280,,939⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B. 80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 280,,199⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D. (]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据图象变换求出()g x 的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果. 【详解】将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，得到5cos()6y x π=-的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω，周期2T πω=， 因为函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，所以3222T ππ-≤，得2T π≥，得22ππω≥，得01ω<≤，假设函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点， 令()0g x =，得562x k ππωπ-=+，k Z ∈，得43k x ππωω=+，k Z ∈， 则43232k ππππωω<+<，得8282933k k ω+<<+，k Z ∈，又01ω<≤，所以2293ω<<或819ω<≤， 又函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，且01ω<≤， 所以209ω<≤或2839ω≤≤. 故选：A【点睛】关键点点睛：求出函数()g x 的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.9. 已知函数()f x 、()g x 均是周期为2的函数，21()342,122x f x x x ≤≤=⎨⎛⎫--+<<⎪ ⎪⎝⎭⎩，3(1),02()33,222m x x g x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]0,5有10个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. 1,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 14,25⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】作出函数()f x 在[]0,5上的图象，作出()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭和7,42⎛⎫⎪⎝⎭上的图象，可知()f x 的图象与()g x 的图象在[)0,1上有2个交点，在3(1,]2上有一个交点，利用二次函数性质可解的结果.【详解】当01x ≤≤时，由0y =≥可得222y x x =-+，即()2211x y -+=，()f x =(1,0)为圆心，1为半径的圆的四分之一，作出函数()f x 在[]0,5上的图象，作出()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭和7,42⎛⎫⎪⎝⎭上的图象，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,42⎛⎫⎪⎝⎭上，()g x 的图象与()f x 的图象共有两个交点， 因为()f x 的图象与()g x 的图象在[0,5]上共有10个交点，所以()f x 的图象与()g x 的图象在3[0,]2、7[2,]2、[4,5]上共有8个交点， 又()f x 与()g x 的周期都是2，所以()f x 的图象与()g x 的图象在[)0,1上有2个交点，在3(1,]2上有一个交点，①2(1)2m x x x +=-+[)0,1上有2个实根，即2222(1)(22)0(0)m x m x m m ++-+=>在[)0,1上有2个实根，所以()()()222222222224102201211220m m m m m m m m ⎧∆=--+>⎪⎪-⎪<-<⎨+⎪⎪++-+>⎪⎩，解得21143m <<， 因为0m >，所以1323m <<； ②23(1)4()22m x x +=--+在3(1,]2上有1个实根，即24(12)70x m x m +-++=在3(1,]2上有1个实根，所以()()2121670123182m m m ⎧∆=--+=⎪⎨-<-≤⎪⎩或()9336412747042m m m m -⎛⎫+-++⨯+++< ⎪⎝⎭，或12382933647042m m m -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪⨯+++=⎪⎩，解得20m =-1425m <<，综上所述：12m <<故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解二､填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)10. i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________. 【答案】34i + 【解析】 【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =，最后利用复数相等即可求得.【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=，所以84z a bi i z ==++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以34z i =+， 故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.11. 已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数.【详解】由条件可知57n n C C =，所以5712n =+=，所以1213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式是12122112121133r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12210r -=，解得：1r =，所以函数10x 的系数是112143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭.故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是rn C ，这一点容易记错，需注意.12. 已知圆22:4210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,3，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =，则直线l 的方程为__________.【答案】1x =或34150x y +-= 【解析】 【分析】根据||AB =求出圆心C 到直线l 的距离为d ，讨论直线l 的斜率是否存在，当直线l 的斜率存在时，设出其点斜式方程，根据点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】圆22:4210C x y x y +--+=的圆心(2,1)C ，半径2r，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则1d ===， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =，满足1d =；当直线l 的斜率存在时，设:l 3(1)y k x -=-，即30kx y k -+-=，所以1d ===，解得34k =-，所以:l 34150x y +-=，综上所述：直线l 的方程为1x =或34150x y +-=. 故答案为：1x =或34150x y +-=【点睛】易错点点睛：容易漏掉直线的斜率不存在的情形.13. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为________.【答案】 (1). 0.38 (2). 0.9 【解析】 【分析】考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，故()()334310.310000p ξ==-=；()()2134410.310.310010p C ξ=⋅-==； ()()2231890.310.321000p C ξ=⋅-==；()3270.033100p ξ===.故()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.38 ；0.9.【点睛】本题考查了概率计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.14. 在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+，则CP BP ⋅的最小值为________． 【答案】6425- 【解析】 【分析】由数量积的定义通过解三角形求出ABC 中各边．发现这是一个直角三角形，然后以以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则条件||||CA CBCP xy CA CB =+为点(,)P x y ，且满足134x y +=．用坐标求出CP BP ⋅，结合几何意义可得最小值． 【详解】依题意得：cos 9,sin cos ,sin 1sin 6,2b c A B b A C c b c A ⎧⎪⋅⋅=⎪⎪==⎨⎪⎪⋅⋅=⎪⎩解得4tan 3A =，3cos 5A=，3b =，5c =， 4a ===， 所以ABC 为Rt ，所以90︒∠=C ．以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则由题目条件得点(,)P x y ，且满足134x y+=．222(4)(2)4CP BP x y y x y ⋅=+-=+--，点(0,2)到直线134x y+=即43120x y +-=的距离为226126543d -==+， 则CP BP ⋅最小值为26644525⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故答案为：6425-． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理的边角转化，余弦定理，考查转化与化归思想，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示数量积的运算，从而利用几何意义求得最值．15. 已知函数321()23f x ax x cx =-+在R 数上单调递增，且4ac ≤，则|sin |sin ac x x +的最小值为__________，2244a cc a +++的最小值为__________. 【答案】 (1). 5. (2). 12. 【解析】 【分析】根据条件分析出4,0,0ac a c =>>，根据函数()4h x x x=+的单调性分析出s in in s ac x x +的最小值.将待求式子变形为关于c 的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出2244a cc a +++的最小值.【详解】解：因为321()23f x ax x cx =-+在R 上单调递增，则()240f x ax x c '=-+≥， 所以0,=1640a ac >∆-≤，所以4ac ≥，又因为4ac ≤，所以4ac =，则0c >， 又因为4sin sin sin sin x ac x x x +=+，(]sin 0,1x ∈， 令函数()4h x x x =+，()2410h x x'=-<在(]0,1恒成立， ()4h x x x=+在(]0,1上单调递减， 所以()()min 15h x h ==，所以s in in s acxx +的最小值为5，取等号时sin 1x =±， 所以()2242222324416816164444444444c c a c c c c c c c a c c c c c c c c ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭+=+===+++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14844c c c c ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+-⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为44c c +≥=，取等号时2c =， 且函数()8g t t t=-，()2810g t t =+>'，()8g t t t=-在[)4,+∞上递增，所以()()min 42g t g ==，所以2244a c c a +++的最小值为112=42⨯，取等号时2a c ==； 故答案为： 5；12. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.三､解答题(本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16. 已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b =，3c =，三角形ABC（1）求BC 边上的高：（2）求()sin A C -.【答案】（1）3217（2）2114-【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出sin A ，根据A 为锐角，求出A ，用余弦定理求出a ，再根据面积公式求出所求的高；（2）利用余弦定理求出cos C ，根据同角公式求出sin C ，再根据两角差的正弦公式求出结果.【详解】（1）1133sin 23sin 222ABC S bc A A ==⨯⨯=△，得3sin A =， 因为A 为锐角，所以3A π=.所以2212cos 492232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯7=， 设BC 边上的高为h ，则1332ah =，得337h =3217=. （2）2227cos 2272a b c C ab +-===⨯⨯,227321sin 1cos 11414C C =-=-=, 所以sin()sin cos cos sin A C A C A C -=-3713212121421414=⨯-⨯=-. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式、余弦定理求解是解题关键.17. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝4，四边形EDCF 为矩形，DE ＝2，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；(3)若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)7；(3)6. 【解析】 【分析】（1）由DE ⊥CD ，及面面垂直的性质定理得线面垂直，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所求的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出平面ABE 的一个法向量，由法向量与DF 的方向向量垂直，再由DF 不在平面ABE 内可证线面平行； （2）求出平面ABE 与平面BEF 的法向量，由法向量的夹角正弦值得二面角正弦值； （3）点P 在线段EF 上，由EP EF λ=，用λ表示出P 点坐标，由AP 与平面BEF 方向向量λ，从而可得线段长． 【详解】(1)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ， 又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD ＝CD ， ∴ED ⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (﹣2，4，0)，E (0，0，2)，F (﹣2，4，2)， 设平面ABE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， ∵BE ＝(﹣2，﹣4，2)，AB ＝(0，4，0)，由242040BE m x y z AB m y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取z ＝1，得m ＝(1，0，1)，又DF ＝(﹣2，4，2)，∴DF m ⋅＝﹣2+0+2＝0， 则DF ⊥m ，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ． (2)解：设平面BEF 的法向量n ＝(a ，b ，c )， ∵BE ＝(﹣2，﹣4，2)，EF ＝(﹣2，4，0)由2420240BE n a b c EF n a b ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取b ＝1，可得n ＝(2，1，4)，∴cos ＜,m n ＞＝||427||||221m n m n ⋅==，∴sin ＜,m n ＞＝427149-=， 即平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值为7． (3)解：∵平面BEF 的法向量n ＝(2，1，4)，点P 在线段EF 上，设P (m ，n ，t )，EP EF λ=，则(m ，n ，t ﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)， 解得P (﹣2λ，4λ，2)，∴AP ＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)， ∵直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为22163， ∴222||||||(22)(4)221AP n AP n λλ⋅=--++⋅＝22163， 解得λ＝1，∴线段AP 的长为222(4)426AP =-++=|．【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角，直线与平面所成的角，从而求得空间线段长，解题关键是建立空间直角坐标系．考查了空间想象能力与运算求解能力． 18. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}n b 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n nb nc a n ≤⎧=⎨≥⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值. 【答案】（1）131()22n n b -=⨯-（2）211,152327927,62232nn n T n n n ⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+-≥⎪⎩（3）1712【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式；（2）对n 分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和； （3）1()n nf n S S =-，讨论当n 为奇数和偶数时，()f n 的单调性，可得()f n 的最值，结合不等式恒成立可得,A B 的范围，进而可得所求最小值. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，0d ≠， 因为数列{}n b 是等比数列，所以2213b b b =，所以2314a a a =，所以()()111232a d a a d =++，所以2140a d d +=，因为0d ≠，所以140a d +=，又132a =，所以38d =-，所以1132b a ==，数列{}n b 的公比321111(2)1112()42a b a d q b a a --+====--⨯-=-， 所以11131()22n n n b b q--==⨯-. （2）由（1）知131()22n n b -=⨯-，133315(1)(1)2888n a a n d n n =+-=--=-+，所以131,522315,6n n n c n n -⎧⎛⎫⨯-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，当15n ≤≤时，131122(1)1112nnnb q T q⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭112n⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当6n ≥时，()()5531531122n n n T --+-⎛⎫=--+⎪⎝⎭=23279272232n n -+-，所以211,152327927,62232nn n T n n n ⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+-≥⎪⎩. （3）n S =131122(1)1112nnb q q⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭112n⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 11112112nn nn S S ⎛⎫-=---⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 令11()12112nnf n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，11()12112nn f n ⎛⎫=+-⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭0>，且()f n 递减，可得()f n 的最大值为5(1)6f =， 当n 为偶数时，11()12112nnf n ⎛⎫=--⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭0<，且()f n 递增，可得()f n 的最小值为7(2)12f =-， 所以()f n 的最小值为712-，最大值为56，因为1nn AS BS≤-≤对*n N∈恒成立，所以71256AB⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，所以571761212B A-≥+=，所以B A-的最小值为1712.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.19. 已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点()2,1P，1F、2F分别为椭圆C的左、右焦点，且121PF PF⋅=-.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线1l与椭圆C有且只有一个公共点，直线2l平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于A、B两点，与直线2x=交于点M（M介于A、B两点之间）.（i）当PAB△面积最大时，求2l的方程；（ii）求证：||||||||PA MB PB MA⋅=⋅.【答案】（1）22182x y+=；（2）（i）122y x=；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出,a b ，即可写出椭圆方程； （2）（i ）设直线2l 的方程为12yx t =+，联立椭圆方程，表示出PABS ，可求出PABS最大时t 的值，即可得出2l 的方程；（ii ）要证明结论，只需证明||||||||PA PB MA MB =，即证直线2x =为APB ∠的平分线，转化成证明：0PA PB k k +=.【详解】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1(2,1)PF c =---，2(2,1)PF c =--， 212411PF PF c ⋅=-++=-，c ∴=又(2,1)P 在椭圆上，故22411a b+=， 又226a b =+，解得28a =，22b =，故所求椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）（i ）由于12OP k =，设2l 的方程为12y x t =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得222240x tx t ++-=， 由韦达定理可得：()12212222244404x x tx x t t t ⎧+=-⎪⎪=-⎨⎪∆=-->⇒<⎪⎩，则||AB ====又点P 到2l的距离d ==所以()22422PABt t S +-==≤=△.当且仅当224t t -=，即22t =时，等号成立. 又M 介于A、B 两点之间，故t =故直线AB 的方程为：12y x =. （ii ）要证结论成立，只须证明||||||||PA PB MA MB =， 由角平分线性质即证：直线2x =为APB ∠的平分线， 转化成证明：0PA PB k k +=. 由于12121122PA PB y y k k x x --+=+-- ()()()()1221121112122222x t x x t x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-- ()()()()()()()21212121212(2)4(1)242(2)4(1)44440222222x x t x x t t t t t t t x x x x x x +-+--------+-+====------因此结论成立.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，考查椭圆中三角形面积利用基本不等式求最值问题，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于难题. 20. 已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性； （2）当0m =且1a e ≥-时，1()()h x af x x=-+，求函数()h x 在(]0,e 上的最小值； （3）当0m =时，设1()()(1)g x f x a a x=+->.记0x 为函数()y g x =在(1,)+∞上的唯一零点，证明：2001322ln 2a x e a a x +⎛⎫->>- ⎪⎝⎭.其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）函数()f x 在()0,1的单调递增（2）1a e-+（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；（2）求导后，对a 分类讨论，得函数的单调性，根据单调性可得最小值；（3）令01t x =，得到0102003121x x e x x ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭()21231te t t t=---，构造函数21()12xx e x x ϕ=---(01)x <<，利用导数求得其单调性和最值可证得2001322a x e x +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，再构造函数()ln x x x μ=-，1x >，利用导数求得其单调性和最值可证得20012ln x a a x +-<，即可求解.【详解】（1）当1m =时，()sin(1)ln f x x x =-+，1()cos(1)f x x x'=--+， 因为01x <<，所以1cos(1)0x -<--<，11x>，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在()0,1的单调递增. （2）当0m =且1a e≥-时，1()()h x af x x =-+1ln a x x=-+， 2211()a ax h x x x x+'=--=-，当0a ≥时，()0h x '<，()h x 在(]0,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为1()h e a e=-+； 当10a e-≤<时，因为0x e <≤，所以10ax +≥，所以()0h x '≤，()h x 在(]0,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为1()h e a e =-+综上所述：()h x 的最小值为1a e -+.（3）当0m =时，11()()ln g x f x a x a x x=+-=+-，因为()g x 在(1,)+∞上有唯一零点0x ，所以001ln 0x a x +-=，001ln a x x =+010ln x x e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，01x >，所以2001322a x e x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭010003122x x e x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭0102003121x x e x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭， 令01t x =，(01)t <<， 所以0102003121x x e x x ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭()21231te t t t=---， 构造函数21()12x x e x x ϕ=---(01)x <<，则()1xx e x ϕ'=--，()1x x e ϕ''=-0>，所以()x ϕ'在(0,1)上递增，所以()(0)0x ϕϕ''>==，所以()ϕx 在(0,1)上递增，所以()(0)0x ϕϕ>=，即21102xx e x --->，所以22220x e x x --->， 所以102003121x x e x x ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭()21231t e t t t=---()()221122311t t t t t t t >++---=-0>， 所以2001322a x e x +⎛⎫->⎪⎝⎭. 因为0000112ln 2ln ln ln a a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则20000000011112ln 2ln ln ln x a a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00000011ln ln ln ln x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦构造函数()ln x x x μ=-，1x >，则1()10x xμ'=-<， 所以()x μ在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1x μμ<=-， 所以00000ln 111x x x x x +<-+<且00n 1l 1a x x +=>， 所以0001()(ln )x x x μμ<+， 即00000011ln ln ln ln x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-<+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00000011ln ln ln ln 0x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而20012ln x a a x +-<，综上所述：2001322ln 2a x e a a x +⎛⎫->>- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：第三问中作差、换元，再构造函数，利用导数判断函数的单调性、求出最值进行求解是解题关键.。