集合与函数练习题附答案

集合与函数综合练习
一、填空题：
1．设函数x x
x f =+-)11(
，则)(x f 的表达式为 2．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 3. 函数f(x)=)24(log 122x x -+-的定义域为
4．已知集合}023|{2
=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 .
5．函数||2x x y +-=，单调递减区间为
6．构造一个满足下面三个条件的函数实例，
①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0； .
7．=+34-3031-]2-[5
4-0.064）（）（___________ ____； 8．已知)(x f ＝x x +1，则111(1)(2)()(3)()(4)()234
f f f f f f f ++++++= 。

9．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，(2)(3)f f ---=_______ 10．)(x f ＝21(0)2(0)
x x x x ⎧+≤⎨->⎩，若)(x f ＝10，则x ＝ ．
11．若f （x ）是偶函数，其定义域为R 且在[0，＋∞）上是减函数，则f （－
43）与f （a 2－a ＋1）的大小关系是____．
12．log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于=
13．函数y=log 21(x 2-5x+17)的值域为 。

14．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。

二、解答题：
15．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a
+∈-。

（1）若3a =-，求出A 中其它所有元素；
（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？
16．已知函数[]5,5,22)(2
-∈++=x ax x x f .（1）求实数a 的范围，使)(x f y =在区间[]5,5-上是单调递增函数。

（2）求)(x f 的最小值。

17. 已知函数x x x f 21
2)(-=
（1） 若2)(=x f ，求x 的値；
（2） 若0)()2(2≥+t mf t f t
对于[]2,1∈t 恒成立，求实数m 的取値范围。

18. 已知函数)0()(2
3≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立．
19．设函数21()ax f x bx c
+=+是奇函数（,,a b c 都是整数，且(1)2f =，(2)3f <. （1）求,,a b c 的值； （2）()f x 在(,1]-∞-上的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．
参考答案 1.x x
+-11
2.]2,7[--
[)2,0
=0或
89≥
a
5.]0,21[-和),21[+∞
6.
R x x y ∈=,2 7.1623
8.
（a 2一a +1）≤f （43
）
12.221
13.(-3,-∞)
15.解：(1)由，则，又由，得,
再由，得，而，得，
故中元素为．
(2) 不是的元素．若，则，
而当时，不存在，故0不是的元素．
取，可得．
16.解：（1）因为)(x f 是开口向上的二次函数，且对称轴为a x -=，为了使)(x f 在[]5,5-上是增函数，故5-≤-a ，即5≥a （5分）
（2）当5-≤-a ，即5≥a 时，)(x f 在[]5,5-上是增函数，所以a f x f 1027)5()(min -=-= 当55≤-<-a ，即55<≤-a 时，)(x f 在[]a --,5上是减函数，在[]5,a -上是增函数，所以
2min 2)()(a a f x f -=-=
当5>-a ，即5-<a 时，)(x f 在[]5,5-上是减函数，所以a f x f 1027)5()(min +==
综上可得
⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤--≥-=)5(,1027)55(,2)5(,1027)(2min a a a a a a x f
17.解答;(1)当0x π时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=。

由条件可知
2212=-
x x ，即012222=-⋅-x x 。

解得212±=x 。

因为0φx ，所以)21(log 2+=x 。

（2）当[]2,1∈t 时，0)212()212(222≥-+-t t t t t m 。

即)12()12(42--≥-t t m ，因为0122φ-t ，所以
)12(2+-≥t m 。

因为[]2,1∈t ，所以
[]5,17)12(2--∈+-t 。

故m 的取值范围是[)+∞-,5。

18.答案：（Ⅰ）)0()(23≠++=a cx bx ax x f
c bx ax x f ++='23)(2
由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒=+-=-+--=++⇒=-'=--=9310235110)1(5)1(11)1(c b a c b a c b a c b a f f f
因此，
x x x x f 93)(23--=，)3)(1(3)(-+='x x x f 当 ),3()1,(+∞--∞∈Y x 时，，当)3,1(-∈x 时，，
所以函数单调增区间为)1,(--∞，),3(+∞，单调减区间为)3,1(-.
在处取得极大值5，在3=x 处取得极小值–27 ． （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
93)(23--=x x x f 在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减， 所以，)3,3(-∈x 时，5)1()(=-≤f x f ，27)3()(-=±>f x f 所以，对任意)3,3(-∈恒有 32|)27(5||)()(|21=--<-x f x f ．（12分）
19.答案：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++x x x x x x 241224141log log 3,
log log log 3,log 3 3分 解x
x 241log log 3=+得4=x ．又函数x
y 411log 3+=在),0(+∞内递减，x y 22log =在),0(+∞内
递增，所以当40<<x 时，x
x 241log log 3>+；当4≥x 时，x
x 241log log 3≤+． 4分 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<=4,log 340,log )(412x x x x x f ． 1分
（2）2)(<x f 等价于：⎩⎨⎧<<<2log ,402x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<+≥2log 3,441x x ②． 3分
解得：440><<x x 或，即2)(<x f 的解集为),4()4,0(+∞Y ．3分
20.解：（1）由是奇函数，得对定义域内x 恒成立，则对对定义域内x 恒成立，即 ． （或由定义域关于原点对称得）
又由①得代入②得，
又是整数，得．
（2）由（１）知，，当，在上单调递增，在上单调递减.下用定义证明之.
设，则＝
，因为，，．
，故在上单调递增．。