正态概率图(normal probability plot)精编版
SPSS-5-假设检验与推断统计
二、SPSS的实现
3、正态性检验
许多统计过程，如方差分析，要求各组样本数据来自是有相同方差 的正态总体。因此，在选定统计假设之前，我们需要检验假设：各组数 据有相同方差，或者，所有样本来自正态总体。 由于正态分布对于统计推断非常重要，因此，我们经常想考察“我 们的数据来自一个正态分布”这样一个假设。
原假设 H0：各分组数据的方差是相等的（或齐性的）； 研究假设 H1：各分组数据的方差是不等的（或非齐性的） 。 SPSS实现：
Analyze → Descriptive Statistics → Explore →Plots… → Untransformed
4、方差齐性检验（Levene检验）
案例分析：检验2000级学生课堂调查数据.sav中男女生“身高”数据的离散程度
一、相关的概念
3、假设检验（Hypothesis Test）
（1）根据实际问题的需要提出假设,包括： 原假设： H0 研究假设：H1 原假设被否定时，即接受研究假设。
例：某高校的英语四级平均成绩是67.5分，改进教学 方法后，学生的英语四级成绩是否有显著变化？是 否有显著提高？是否有显著下降？ 是否有显著变化？ H : 1000
0
H1 :
1000
是否有显著提高？ 是否有显著下降？
H0 : H1 : H0 : H1 :
1000 1000 1000 1000
一、相关的概念
3、假设检验（Hypothesis Test）
（2）选择适当统计量及其分布
假设检验，基本上是根据抽样分布的原理。根 据H0假设来确定一个抽样分布，由此抽样分布来计 算各种情况出现的概率，如果实际样本出现的事件 属于小概率事件，然而小概率事件在一次抽样中就 出现了，这时我们就要怀疑所作的H0假设了，即： 否定H0，接受H1。
概率分布-正态分布
2
x
Z
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
由于引入了标准正态变量 Z 值，只需对标准正 态公式求定积分，求其曲线下从 -∞到任意Z 值的累 计面积，并制成专用的 Z 值表（见附表）；这样对 于其它任意的正态分布N(μ, σ2) ，都可以通过变量 代换转化为标准正态分布，通过查表就完成其概率 计算问题。
当x确定后， f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服从参数 为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)，记作X~N（ μ， σ2 ）。
当给定不同的 x 值后，就可以根据此方程求得相应的 纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线的图形，记 作X~N(μ,σ2) ：
正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对 称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。
μ 增大曲线沿横轴向右移， μ 减小曲线沿横轴向左移。
5.σ是正态曲线的形状参数，σ越大数据越分散，曲线越 “矮胖”，σ越小数据越集中，曲线越“瘦高” 。
三、正态曲线的标准化
为了应用方便，常将正态概率函数中的 x 作如 下变量代换，令：
Z
x
Z称为标准正态变量。把u代入概率密度函数 ， 得标准正态分布的概率密度函数：
引子：
【典型案例分析】
举例： 随机调查某医院1402例待分娩孕
妇，测得她们的体重，试述其体重频数分 布的特征。
表5-1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布
①
体重组段
48525660646872768084合计
②
频数
6 54 162 293 359 298 140 70 17
3 1402
③
频率 (频数/总频数)
⑤
数据的正态分布
数据的正态性检验汇总2012-11-21 00:01:04| 分类：统计学习|字号订阅如何在spss中进行正态分布检验一、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。
如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。
如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。
以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。
3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。
5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。
二、计算法1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）计算公式：g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。
两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。
由公式可见，部分文献中所说的"偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布"并不严谨。
2、非参数检验方法非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk（W检验）。
SAS中规定：当样本含量n≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W检验）为准，当样本含量n >2000时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D检验）为准。
SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算Shapiro-Wilk统计量。
对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3 和 5000 之间时，计算该统计量。
由此可见，部分SPSS教材里面关于"Shapiro – Wilk 适用于样本量3-50之间的数据"的说法实在是理解片面，误人子弟。
正态性检验方法
SPSS和SAS常用正态检验方法许多计量资料的分析方法要求数据分布是正态或近似正态，因此对原始独立测定数据进行正态性检验是十分必要的。
通过绘制数据的频数分布直方图来定性地判断数据分布正态性。
这样的图形判断决不是严格的正态性检验,它所提供的信息只是对正态性检验的重要补充。
正态性检验主要有三类方法:一、计算综合统计量如动差法、夏皮罗-威尔克Shapiro-Wilk 法(W 检验) 、达戈斯提诺D′Agostino 法(D 检验) 、Shapiro-Francia法(W′检验) .二、正态分布的拟合优度检验如皮尔逊χ2检验、对数似然比检验、柯尔莫哥洛夫Kolmogorov-Smirov 法检验.三、图示法(正态概率图Normal Probability plot)如分位数图(Quantile Quantileplot ,简称QQ 图) 、百分位数(Percent Percent plot ,简称PP 图) 和稳定化概率图(Stablized Probability plot ,简称SP 图) 等.下面介绍几种较统计软件中常用的正态性检验方法1、用偏态系数和峰态系数检验数据正态性偏态系数Sk,它用于检验不对称性;峰态系数Ku,它用于检验峰态。
S k= 0, K u= 0 时, 分布呈正态, S k> 0 时, 分布呈正偏态,S k < 0 时, 分布呈负偏态。
适用条件：样本含量应大于2002、用夏皮罗-威尔克(Shapiro-Wilk)法检验数据正态性即W检验,1965 年提出,适用于样本含量n ≤50 时的正态性检验;。
3、用达戈斯提诺(D′Agostino)法检验数据正态性即D检验,1971提出,正态性D检验该方法效率高，是比较精确的正态检验法。
4、Shapiro-Francia 法即W′检验,于1972 年提出,适用于50 < n < 100 时的正态性检验。
5、QQ图或PP图散点聚集在固定直线的周围，可以认为数据资料近似服从正态分布SPSS&SAS规则：SPSS 规定:当样本含量3 ≤n ≤5000 时,结果以Shapiro - Wilk (W 检验) 为准,当样本含量n > 5000 结果以Kolmogorov - Smirnov 为准。
正态概率图(normal probability plot)
正态概率图(normal probability plot)之阳早格格创做要领演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q)➢概括正态概率图用于查看一组数据是可遵循正态分集.是真数与正态分集数据之间函数闭系的集面图.如果那组真数遵循正态分集，正态概率图将是一条直线.常常，概率图也不妨用于决定一组数据是可遵循任一已知分集，如二项分集大概泊紧分集.➢适用场合·当您采与的工具大概要领需要使用遵循正态分集的数据时；·当有50个大概更多的数据面，为了赢得更佳的截止时.比圆：·决定一个样本图是可适用于该数据；·当采用做X战R图的样本容量，以决定样本容量是可脚够大到样本均值遵循正态分集时；·正在估计历程本领指数Cp大概者Cpk之前；·正在采用一种只对付正态分集灵验的假设考验之前.➢真施步调常常，咱们只需简朴天把数据输进画图的硬件，便会爆收需要的图.底下将详述估计历程，那样便不妨知讲估计机步调是怎么去编译的了，而且咱们也不妨自己画简朴的图.1将数据从小到大排列，并从1～n标号.2估计每个值的分位数.i是序号：分位数＝(i－0.5)/n3找与每个分位数匹配的正态分集值.把分位数记到正态分集概率表底下的内里.而后正在表的左边战顶部找到对付应的z值.4根据集面图中的每对付数据值做图：每列数据值对付应个z值.数据值对付应于y轴，正态分位数z值对付应于x轴.将正在仄里图上得到n 个面.5画一条拟合大普遍面的直线.如果数据庄重意思上遵循正态分集，面将形大概一条直线.将面产死的图形与画的直线相比较，推断数据拟合正态分集的佳坏.请参阅注意事项中的典型图形.不妨估计相闭系数去推断那条直线战面拟合的佳坏.➢示例为了便于底下的估计，咱们仅采与20个数据.表5. 12中有逆序次排佳的20个值，列上标明“历程数据”.下一步将估计分位数.如第一个值9，估计如下：共理，第2个值，估计如下：÷20，第4个分位数＝3 5÷20以此类推直到末尾1个分位数＝19. 5÷20.当前不妨正在正态分集概率表中查找z值.z的前二个阿推伯数字正在表的最左边一列，末尾1个阿推伯数字正在表的最顶端一止.如第1个分位数＝0.025，它位于止家与0.06天圆列的接叉处，故z＝－1.96.用相共的办法找到每个分位数.如果分位数正在表的二个值之间，将需要用插值法举止供解.比圆：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736与0.1762之间.0.1736对付应的z值为－0.94，0.1762对付应的z值为－0.93，故那二数的中间值为z＝－0.935.当前，不妨用历程数据战相映的z值做图.图表5. 127隐现了截止战脱过那些面的直线.注意：正在图形的二端，面位于直线的上侧.那属于典型的左偏偏态数据.图表5.128隐现了数据的直圆图，可举止比较.➢概率图( probability plot)该要领不妨用于考验所有数据的已知分集.那时咱们没有是正在正态分集概率表中查找分位数，而是正在感兴趣的已知分集表中查找它们.➢分位数-分位数图（quantile-quantile plot）共理，任性二个数据集皆不妨通过比较去推断是可遵循共一分集.估计每个分集的分位数.一个数据集对付应于x轴，另一个对付应于y轴.做一条45°的参照线.如果那二个数据集去自共一分集，那么那些面便会靠拢那条参照线.➢注意事项·画造正态概率图有很多要领.除了那里给定的步调以中，正态分集还不妨用概率战百分数去表示.本质的数据不妨先举止尺度化大概者间接标正在x轴上.·如果此时那些数据产死一条直线，那么该正态分集的均值便是直线正在y轴截距，尺度好便是直线斜率.·对付于正态概率图，图表5.129隐现了一些罕睹的变形图形.短尾分集：如果尾部比仄常的短，则面所产死的图形左边往直线上圆蜿蜒，左边往直线下圆蜿蜒——如果倾斜背左瞅，图形呈S型.标明数据比尺度正态分集时间越收集结靠拢均值.少尾分集：如果尾部比仄常的少，则面所产死的图形左边往直线下圆蜿蜒，左边往直线上圆蜿蜒——如果倾斜背左瞅，图形呈倒S型.标明数据比尺度正态分集时间有更多偏偏离的数据.一个单峰分集也大概是那个形状.左偏偏态分集：左偏偏态分集左边尾部短，左边尾部少.果此，面所产死的图形与直线相比进与蜿蜒，大概者道呈U型.把正态分集左边截去，也会是那种形状.左偏偏态分集：左偏偏态分集左边尾部少，左边尾部短.果此，面所产死的图形与直线相比背下蜿蜒.把正态分集左边截去，也会是那种形状.·如果翻转正态概率图的数轴，那么蜿蜒的形状也跟着翻转.比圆，左偏偏态分集将是一个U型的直线.·记着历程该当正在受控状态下对付图形做出灵验推断.·纵然做直圆图能赶快知讲数据的分集，但是它却没有是推断那些数据是可去自共一特定分集的佳办法.人眼没有克没有及很佳天判别直线，其余的分集也大概产死相似的形状.而且，用遵循正态分集的少量数据集做成的直圆图大概瞅起去没有是正态的.果此，正态概率图是推断数据分集的较佳要领.·推断数据分集的另一种要领是使用拟合良佳性检定，比圆Shapiro-Wilk考验，Kolmogorov-Smirnov考验，大概者Lilliefors考验.闭于那些考验的简直形貌，没有正在本书籍的计划范畴，那些考验正在大普遍的统计硬件上皆能真止.背统计教家接洽怎么样采用精确的考验并阐明其截止.请参阅“假设考验”以明白那些考验战所得到的论断的普遍准则.·最佳的要领是使用统计硬件得到正态概率图并做拟合性考验.分离使用不妨对付数据战统计尺度有直瞅的明白，以此判决是可为正态.END。
《正态分布曲线》课件
使用Python绘制正态分布曲线
count, bins, ignored = plt.hist(data, 30, density=True)
plt.plot(bins, (1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(- (bins - mu)2 / (2 * sigma2)), linewidth=2, color='r')
密度等。正态分布曲线可以用来描述这些物理量的分布情况。
03
社会调查
在社会调查中，许多调查数据呈现正态分布特征，例如民意调查、市场
调查等。正态分布曲线可以用来描述这些调查数据的分布情况。
CHAPTER 05
正态分布曲线的扩展知识
正态分布的假设检验
假设检验基本原理
假设检验是统计学中用于判断样本数据是否符合某种假设的一种方法。在正态分布的情境 下，通常假设数据符合正态分布，然后通过检验统计量进行判断。
THANKS
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置信区间的应用
置信区间在统计学中有着广泛的应用，如回归分析、方差分析、实验设计等。在正态分布的情境下，我 们可以通过计算置信区间来评估样本数据的可靠性和稳定性。
正态分布与其他分布的比较
01 02 03
正态分布的优势
正态分布是一种非常重要的概率分布，其概率密度函数具 有许多优良的性质，如对称性、可加性等。此外，许多自 然现象和随机变量都呈现出近似正态分布的特性，因此正 态分布在统计学中具有广泛的应用。
《正态分布曲线》ppt 课件
CONTENTS 目录
• 正态分布曲线的定义 • 正态分布曲线的性质 • 正态分布曲线的绘制 • 正态分布曲线的应用 • 正态分布曲线的扩展知识
人工智能机器学习技术练习(习题卷8)
人工智能机器学习技术练习(习题卷8)第1部分：单项选择题，共62题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]基于二次准则函数的H-K算法较之于感知器算法的优点是()?A)计算量小B)可以判别问题是否线性可分C)其解完全适用于非线性可分的情况答案:B解析:2.[单选题]构建回归树的时间复杂度最重要的因素是()A)特征中类别的个数B)label列值域C)样本总量答案:A解析:3.[单选题]()是指为最小化总体风险,只需在每个样本上选择能使特定条件风险最小的类别标记。
A)支持向量机B)间隔最大化C)线性分类器D)贝叶斯判定准则答案:D解析:4.[单选题]下列选择 Logistic回归中的 One-Vs-All方法中,()是真实的。
A)我们需要在n类分类问题中适合n个模型B)我们需要适合n-1个模型来分类为n个类C)我们需要只适合1个模型来分类为n个类D)以上答案都不正确答案:A解析:如果存在n个类,那么n个单独的逻辑回归必须与之相适应,其中每个类的概率由剩余类的概率之和确定。
5.[单选题](__)不属于相关分析。
A)正相关B)负相关C)线性相关D)误差相关答案:D解析:6.[单选题]移动运营商对客户进行细分,设计套餐和营销活动可以使用下面哪种机器学习方法( )。
A)贝叶斯分类器B)关联方法C)聚类算法D)多层前馈网络7.[单选题]下面是三个散点图(A,B,C,从左到右)和和手绘的逻辑回归决策边界。
alt="" >上图中哪一个显示了决策边界过度拟合训练数据?A)AB)BC)CD)这些都没有答案:C解析:由于在图3中,决策边界不平滑,表明其过度拟合数据。
8.[单选题]半监督学习包括。
A)主动学习B)回归学习C)聚类学习D)直推学习答案:D解析:9.[单选题]在统计语言模型中,通常以概率的形式描述任意语句的可能性,利用最大相似度估计进行度量,对于一些低频词,无论如何扩大训练数据,出现的频度仍然很低,下列哪种方法可以解决这一问题()A)一元切分B)一元文法C)数据平滑D)N元文法答案:C解析:10.[单选题]将原始数据进行集成、变换、维度规约、数值规约是在以下哪个步骤的任务?A)频繁模式挖掘B)分类和预测C)数据预处理D)数据流挖掘答案:C11.[单选题]图像数据分析的常用方法不包括（ ）A)图像变换B)图像编码和压缩C)图像增强和复原D)图像数据采集答案:D解析:12.[单选题]下列关于数据的说法，不正确的是（）A)数据的类别有多种多样B)数据库中的一列代表一个特征C)一组数据平均值不会受异常值影响D)数据点之间的距离满足d_ij+d_jk≥d_ik答案:C解析:13.[单选题]关于ZooKeeper的说法不正确是()A)采用层次化的数据结构B)采用类似于LINUX命令进行数据访问C)具备临时节点和永久节点D)永久节点会随客户端会话的结束而结束其生命周期答案:D解析:14.[单选题]下面数据结构能够支持随机的插入和删除操作、并具有较好的性能的是A)链表和哈希表B)数组和链表C)哈希表和队列D)堆栈和双向队列答案:A解析:15.[单选题]下面关于数据科学与统计学的关系描述不正确的有(__)。
3.2.1.7背景值确定
3.2.1.7调查评价区地下水对照值的确定背景值指未受人类活动影响情况下，地下水中各种化学组分（或指标）的天然含量。
但是，目前地球上几乎找不到未受人类活动影响的地方。
因此，此处用相对未污染或污染轻微的时间或临近地区的水质实测值进行统计，求得的背景值实际上是污染相对较轻情况下的各种化学组分含量，作为对照值来评价污染状况。
唐山市丰润区北方现代物流城项目所在区域地下水中元素的对照值主要受地下水流经围岩和自然地理条件影响。
调查评价区浅层地下水主要接受大气降水入渗补给、地表水体的侧向和垂直渗漏补给、农田灌溉用水入渗补给及含水层间越流补给。
调查区地下水含水岩层均为第四系松散岩类孔隙水。
在调查区评价区内统计24个地下水质监测点共78组统计数据，在项目区上游、项目区、项目区下游分别布设。
1、异常值的剔除为获得较为真实的对照值，在确定物流城项目所在区域的对照值之前，要剔除异常值，尽量避免在污染的地区布点采样。
在剔除异常值之前，首先进行元素对照值一致性检验。
在此采用格拉布斯（Grubbs）检验法对统计单元内数据进行检验。
查Grubbs 数值表，取显著水平为α＝0.01时判断为异常值，对表明异常的数据予以剔除。
根据拉依达准则，从样本中剔除大于平均值加上2倍标准差和小于平均减去2倍标准差[Cx=X＿±2δ]的样品含量，然后再计算新的样本的平均值或标准差。
重复多次上述步骤，直到没有可被剔除的样品。
首先分析样品的合理性，即监测值是否超过地下水环境质量标准，超过地下水环境质量标准的元素可能已经受到污染，应予剔除不参与对照值的计算。
然后再用格拉布斯准则对数据进行检验剔除异常值。
2、概率分布类型的判定选用图示法（正态概率图Normal Probability plot，此处为分位数图和百分位数图）对各环境统计单元的各元素含量概率分布类型进行综合判定，并用夏皮洛－威尔克检验（Shapiro-Wilk）即W检验、柯尔莫哥洛夫－斯米尔诺夫（Kol-mogorov-Smirnov）法以及偏度、峰度法（置信度选取95%）进行校核。
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正态概率图(normal probability plot)
方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q)
概述
正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。
是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。
如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。
通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。
适用场合
·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时；
·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。
例如：
·确定一个样本图是否适用于该数据；
·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前；
·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。
实施步骤
通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。
下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。
1将数据从小到大排列，并从1～n标号。
2计算每个值的分位数。
i是序号：
分位数＝(i－0.5)/n
3找与每个分位数匹配的正态分布值。
把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。
然后在表的左边和顶部找到对应的z值。
4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。
数据值对应于y轴，正态分位
数z值对应于x轴。
将在平面图上得到n个点。
5画一条拟合大多数点的直线。
如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。
将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。
请参阅注意事项中的典型图形。
可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。
示例
为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。
表5. 12中有按次序排好的20个
值，列上标明“过程数据”。
下一步将计算分位数。
如第一个值9，计算如下：
分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025
同理，第2个值，计算如下：
分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075
可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20
以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。
现在可以在正态分布概率表中查找z值。
z的前两
个阿拉伯数字在表的最左边一列，最后1个阿拉伯数
字在表的最顶端一行。
如第1个分位数＝0. 025，它位
于－1.9在行与0.06所在列的交叉处，故z＝－1.96。
用相同的方式找到每个分位数。
如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法
进行求解。
例如：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736
与0.1762之间。
0.1736对应的z值为－0.94，0.1762
对应的z值为－0.93，故
这两数的中间值为z＝－0.935。
现在，可以用过程数据和相应的z值作图。
图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。
注意：在图形的两端，点位于直线的上侧。
这属于典型的右偏态数据。
图表5.128显示了数据的直方图，可进行比较。
概率图( probability plot)
该方法可以用于检验任何数据的已知分布。
这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数，而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。
分位数-分位数图（quantile-quantile plot）
同理，任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。
计算每个分布的分位数。
一个数据集对应于x轴，另一个对应于y轴。
作一条45°的参照线。
如果这两个数据集来自同一分布，那么这些点就会靠近这条参照线。
注意事项
·绘制正态概率图有很多方法。
除了这里给定的程序以外，正态分布还可以用概率和百分数来表示。
实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。
·如果此时这些数据形成一条直线，那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距，标准差
就是直线斜率。
·对于正态概率图，图表5.129显示了一些常见的变形图形。
短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S型。
表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。
长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S型。
表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。
一个双峰分布也可能是这个形状。
右偏态分布：右偏态分布左边尾部短，右边尾部长。
因此，点所形成的图形与直线相比向上弯曲，或者说呈U型。
把正态分布左边截去，也会是这种形状。
左偏态分布：左偏态分布左边尾部长，右边尾部短。
因此，点所形成的图形与直线相比向下弯曲。
把正态分布右边截去，也会是这种形状。
·如果翻转正态概率图的数轴，那么弯曲的形状也跟着翻转。
比如，左偏态分布将是一个U型的曲线。
·记住过程应该在受控状态下对图形作出有效判断。
·尽管作直方图能马上知道数据的分布，但它却不是判断这些数据是否来自同一特定分布的好办法。
人眼不能很好地判别曲线，其他的分布也可能形成相似的形状。
并且，用服从正态分布的少量数据集作成的直方图可能看起来不是正态的。
因此，正态概率图是判断数据分布的较好方法。
·判断数据分布的另一种方法是使用拟合良好性检定，比如Shapiro-Wilk检验，Kolmogorov-Smirnov检验，或者Lilliefors检验。
关于这些检验的具体描述，不在本书的讨论范围，这些检验在大多数的统计软件上都能实现。
向统计学家咨询如何选择正确的检验并解释其结果。
请参阅“假设检验”以理解这些检验和所得到的结论的一般原则。
·最好的方法是使用统计软件得到正态概率图并作拟合性检验。
结合使用可以对数据和统计标准有直观的理解，以此判定是否为正态。
END。