3动态性能指标定义
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自动控制第三章s讲解
trtp ts
稳态误差
t
振荡系统定义为从零第一次上升到终值所需时间。
峰值时间tp：响应到达第一个峰值所需时间。 调节时间ts：到达并保持在终值 5％误差带内所需的最短时间 超调量%：最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差的百分比，即
% c(t p ) c() 100 %
c()
❖稳态性能：由稳态误差ess描述。
跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推 移而增长，直至无穷。因此一阶系统 不能跟踪加速度函数。
线性定常系统的特性
单位脉冲信号 r(t) (t) R(s) 1
单位阶跃信号 r(t) 1 单位斜坡信号 r(t) t
R(s) 1 s
R(s)
1 s2
单位加速度信号 r (t ) t 2 2 R(s) 1 s3
3.1 时间响应性能指标
3.1.1 典型输入信号
典型输入信号
单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位脉冲信号、 单位加速度信号、正弦信号。
对应的输出分别被称为 单位阶跃响应 、单位斜坡响应 、单位脉冲响应 、 单位加速度响应。
一．阶跃函数
r(t)
A
0 r(t) A
t0 t0
R(s) A s
o
t
A=1时称为单位阶跃函数, 其数学表达式为
k Ts+1
输入R(s)
1 s2
输出速度 dc(t) 1 et T
dt
位置误差随时间增
单
大,最后为常值T
位
斜
T
坡
响
应
0T
3.2.5 一阶系统的单位加速度响应
无零点的一阶系统 Φ(s) =
k Ts+1
自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
动态性能指标
动态性能指标生产工艺对控制系统动态性能的要求经折算和量化后可以表达为动态性能指标。
自动控制系统的动态性能指标包括对给定信号的跟随性能指标和对扰动输入信号的抗扰性能指标。
一、跟随性能指标在给定信号（或称参考输入信号）R(t)的作用下，系统输出量C(t)的变化情况可用跟随性能指标来描述。
当给定信号表示方式不同时，输出响应也不一样。
通常以输出量的初始值为零，给定信号阶跃变化下的过渡过程作为典型的跟随过程，这时的动态响应又称为阶跃响应。
一般希望在阶跃响应中输出量c(t)与其稳态值∞c 的偏差越小越好，达到∞c 的时间越快越好。
常用的阶跃响应跟随性能指标有上升时间，超调量和调节时间：1）上升时间r t在典型的阶跃响应跟随过程中，输出量从零起第一次上升到稳态值∞c 所经过的时间称为上升时间，它表示动态响应的快速性，见图2—2。
图2—22）超调量%σ在典型的阶跃响应跟随系统中，输出量超出稳态值的最大偏离量与稳态值之比，用百分数表示，叫做超调量：%100%max ⨯-=∞∞c c c σ （2—4）超调量反映系统的相对稳定性。
超调量越小，则相对稳定性越好，即动态响应比较平稳。
3）调节时间s t调节时间又称过渡过程时间，它衡量系统整个调节过程的快慢。
原则上它应该是从给定量阶跃变化起到输出量完全稳定下来为止的时间。
对于线性控制系统来说，理论上要到∞=t 才真正稳定，但是实际系统由于存在非线性等因素并不是这样。
因此，一般在阶跃响应曲线的稳态值附近，取()%2%5±±或的范围作为允许误差带，以响应曲线达到并不再超出该误差带所需的最短时间定义为调节时间，可见图2—2。
二、抗扰性能指标一般是以系统稳定运行中，突加负载的阶跃扰动后的动态过程作为典型的抗扰过程，并由此定义抗扰动态性能指标，可见图2—3。
常用的抗扰性能指标为动态降落和恢复时间：1）动态降落%max c ∆系统稳定运行时，突加一定数值的扰动（如额定负载扰动）后引起转速的最大降落值%max c ∆叫做动态降落，用输出量原稳态值1∞c 的百分数来表示。
运动控制考试复习题及答案(完整版)
运动控制考试复习题及答案(完整版)一、填空题1、控制系统的动态性能指标是指跟随指标和抗扰指标，而调速系统的动态指标通常以抗扰性能指标为主2、直流电机调速方法有变压调速、电枢串电阻调速和弱磁调速。
异步电动机调速方式常见有6种分别是：降压调速、差离合调速、转子串电阻调速、串级调速和双馈电动机调速、变级调速、变压变频调速。
其中转差率不变型有：变级调速、变压变频调速，只有变压变频应用最广，可以构成高动态性能的交流调速系统。
同步电动机按频率控制方式不同分为：他控式变频调速和自控式变频调速。
（变电阻调速：有级调速。
变转差率调速：无级调速。
调压调速：调节供电电压进行调速）按按转差功率可以怎么划分电动机:转差功率消耗型、转差功率不变型、转差功率馈送型3、对于异步电动机变压变频调速，在基频以下，希望维持气隙磁通不变，需按比例同时控制定子电压和定子频率，低频时还应当抬高电压以补偿阻抗压降，基频以下调速属于恒转矩调速；而基频以上，由于电压无法升高，只好仅提高定子频率而迫使磁通减弱，相当直流电动机弱磁升速情况，基频以上调速属于恒功率调速。
4、对于SPWM型逆变器，SPWM的含义为正弦波脉宽调制，以正弦波作为逆变器输出的期望波形，SPWM波调制时，调制波为频率和期望波相同的正弦波，载波为频率比期望波高得多的等腰三角波，SPWM型逆变器控制方式有同步调制、异步调制、混合调制。
SPWM型逆变器的输出的基波频率取决于正弦波。
SPWM控制技术包括单极性控制和双极性控制两种方式。
5、调速系统的稳定性能指标包括调速范围和静差率6、供变压调速使用的可控直流电源有：旋转交流机组（G-M系统）、静止式可控整流器（V-M系统）与直流斩波器（PWM-M系统）或脉宽调制变换器。
7、典型I型系统与典型II型系统相比,前者跟随性能好、超调小，但抗扰性能差。
典型I型系统和典型Ⅱ型系统在稳态误差和动态性能上有什么区别？答：稳态误差：对于典型I型系统，在阶跃输入下，稳态时是无差的；但在斜坡输入下则有恒值稳态误差，且与K值成反比；在加速度输入下稳态误差为∞。
自动控制原理第3章
arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
动态性能指标
1 1
2 1
-e ＝1 1 + Se过阻尼 ωn = -ωh(t)= 1 -(1+ωnt)0e-ω tn n 1,2= + h(t)= 1 1
t T1
T2 T1 T1 T2
t T2
j j 0 0 j
j
临界阻尼
0＜ ＜1 0＜ ＜1
2 j S1,2= - ωn ±j ωn√1- ＝0
2 、调节时间ts=？ 4、求导关系
4
r(t)= δ(t) 单
单 单 位 位 位 斜 脉 阶 坡 跃 冲 响 响 应 应 响
应 问
1 、3个图各如何求T？ 3 、r(t)=vt时，ess? =？
ωn2 二阶系统单位 Φ(s)= 2 s +2 ωns+ωn2 阶跃响应定性分析
2
＞1
j T T ω 2 ＝1 S1,2= - ωn ± n √ - 1 0
e
（0 ﹤
≤ 0.8） 由包络线求调节时间
6
k(t)=
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
- t e
T
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
1 k(0)= T K’(0)= 1 T2
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t h’(0)=1/T h(T)=0.632h(∞) T h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) h(4T)=0.982h(∞)
动态性能指标定义1
h(t)
A 超调量σ% = A 100% B
峰值时间tp p
B
上 升 时间trr
调节时间t 调节时间tss
t
2 1
-e ＝1 1 + Se过阻尼 ωn = -ωh(t)= 1 -(1+ωnt)0e-ω tn n 1,2= + h(t)= 1 1
t T1
T2 T1 T1 T2
t T2
j j 0 0 j
j
临界阻尼
0＜ ＜1 0＜ ＜1
2 j S1,2= - ωn ±j ωn√1- ＝0
2 、调节时间ts=？ 4、求导关系
4
r(t)= δ(t) 单
单 单 位 位 位 斜 脉 阶 坡 跃 冲 响 响 应 应 响
应 问
1 、3个图各如何求T？ 3 、r(t)=vt时，ess? =？
ωn2 二阶系统单位 Φ(s)= 2 s +2 ωns+ωn2 阶跃响应定性分析
2
＞1
j T T ω 2 ＝1 S1,2= - ωn ± n √ - 1 0
e
（0 ﹤
≤ 0.8） 由包络线求调节时间
6
k(t)=
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
- t e
T
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
1 k(0)= T K’(0)= 1 T2
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t h’(0)=1/T h(T)=0.632h(∞) T h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) h(4T)=0.982h(∞)
动态性能指标定义1
h(t)
A 超调量σ% = A 100% B
峰值时间tp p
B
上 升 时间trr
调节时间t 调节时间tss
t
自动控制原理
28
3.3 二阶系统的阶跃响应
输出量的时间函数：
xc (t ) 1 ent (1 nt ), t 0
xc (t ) L1 X c ( s) 1 e 1
nபைடு நூலகம்t
( s a)2 2 sa at L e cos t ( s a)2 2
sin d t cos d t 2 1
2
自动控制原理
第3章 自动控制系统的时域分析
第3章 自动控制系统的时域分析
系统的分析方法
时域、频域
时域分析的目的
不必准确地把微分方程解出来，而是 从微分方程判断出系统运动的主要特征— —从工程角度分析系统运动规律。
2
控制系统的性能指标
在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态 过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能 指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。 1.动态过程和动态性能 动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入 信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。
8
3.1 自动控制系统的时域指标
（2）斜坡函数
0，t 0 xr (t ) At，t 0
A=1时称为单位斜坡函数
1 X r ( s) 2 s
单位斜坡信号的拉氏变换
等速度函数
9
3.1 自动控制系统的时域指标
（3）抛物线函数
0，t 0 xr (t ) 2 At ，t 0
特征根的性质取决于阻尼比 的大小；二阶系统的时间 响应取决于 和 n 两个参数，按以下情况来研究二阶系 统的时间响应。
1 1
0 1
0
0
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h(t)= 1
j
j 0
j 0 j
ξ＝0 ＝
1
√1-ξ2
S1,2= ±jω e-ξωnt sin(ωdt+β) n
h(t)= 1 -cosωnt
0
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算
ωn ωn 取其解中的最小值 Φ(s)= s π - β 取其解中的最小值， 令h(t)=1取其解中的最小值， 得 tr= 2+2ξωns+ω2 n ω
j 0
附加极点对系统的影响
j 0 j 0 j
增加极点是削弱了阻尼 结论1： 还是增加了阻尼？ 结论 ： 还是增加了阻尼？ 结论2： 结论 ： 增加的极点越靠近原点 越怎样？ 越怎样？
0 j 0
高阶系统
主导极点 增加极点对 ξ有何影响？ 有何影响 有何影响？
σ %= 20.8% ts= 3.74s σ %= 19.1% ts= 3.89s Φ1(s) =
系统稳定的充分条件: 系统稳定的充分条件 充分条件 劳斯表第一列元素不变号!
s3 s2 s1 s0
3 5 4 6 7 2 7 -8 -8 2ε+8 7ε -8(2ε+8) -7ε2 7ε
1 2 1 ε 0
7
若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定 变号的次数为特征根在s右半平面的个数! 次数为特征根在 右半平面的个数 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
1 3 3 图
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T K’(0)=T T
T
h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) h(4T)=0.982h(∞) 2 时间t 时间 =
s
r(t)=at时 时
? ess=
4
系
二阶系统单位阶跃响应 定性分析
1 1
2 ωn Φ(s)= 2 s +2ξωns+ω2 n
tp
ts
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k(t)= T r(t)= δ(t) 单单 单
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取 画图时取k=1,T=0.5) 画图时取
- t e
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
位位 位 斜阶 k’(0)=1/T2 坡跃 响响 应应
√1-ξ2
sin( dt+β )
3.5
由包络线求调节时间
得 t s≈
ξωn
欠阻尼二阶系统的t 欠阻尼二阶系统的 s
项为± ， 取sin项为±1， 项为 则h(t)=1±e-ξωnt ±
取误差带为△ ± 取误差带为△=±0.05,则有e-ξωnt=0.05 则有 由此解出t 由此解出 s=
ln20/√1-ξ2
6 7
1 2 1 ε 0
劳
(6 4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8 特
ε
劳斯判据
必要条件 系统稳定的必要条件: 系统稳定的必要条件 s6 s5 特征方程各项系数 s4 均大于零! 均大于零
有正有负一定不稳定! 有正有负一定不稳定 缺项一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？ 稳定吗？ 稳定吗
ν=3 称为Ⅲ型系统 称为Ⅲ 因为系统稳定， 因为系统稳定，所以
总误差怎么求？ 总误差怎么求？
8
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
R(s) E(s)
G(s)H(s)
C(s)
r(t)=R1(t) ess= R
R(s)=R/s
1 E(s)=R(s) 1+G(s)H(s) 若系统稳定, 若系统稳定 则可用终值定理求e 则可用终值定理求 ss R(s) ess= lim s s→0 k GH 1+ ν 0 0 s
1.25 0.95
0
1
结论1：增加极点有何影响？ 结论 ：增加极点有何影响？
结论2：偶极子有何作用？ 结论 ：偶极子有何作用？
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
劳
7
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 3 5 4 6 7 2 7 -8 1 -8 2 2ε+8 7ε 3 -8(2ε+8) -7ε2 4 7ε 5
30 (s2+2s+5)(s+6)
5 Φ2(s) = 2 (s +2s+5)
偶极子
Φ1 = Φ2 =
20 (s+2)2+42
120 [(s+2)2+42](s+2)(s+3)
3.31[(s+2)2+4.52] Φ3 = [(s+2)2+42](s+2)(s+3) Φ4 = 6 (s+2)(s+3)
T T ξ＝1: ＝ ξ＞1: ＞ S1,2= -ξωn± ωn 2 - 1 ξ＞1 ＞ √ξ 0
2 1
j
jj 00 j
e h(t)= ξ＝1 1+ Te S1,2= -ξωn = -ωn ＝ + T
2
t T1
t T2
T1
1
1
T2
1
h(t)= 1 -(1+ωnt) e-ωnt 0
0＜ 1 ＝ 0＜＜ξ＜1: S1,2= -ξωn±j ωn ξ＝0: ＜ξ＜＜ ＜ √1-ξ2 0
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
劳 斯 表
s4+5s3+7s2+5s+6=0
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 1 5 6 1 6
特征 出现零行 零行 行 方程: 方程
s2+1=0
零行系
零, 零
: 2s1
劳斯表
系统
劳斯表出现零行 1 劳斯表 出现零行? 出现零行 一定不稳定 系统一定 系统一定不稳定
2 出现零行 3 ? ?
s1,2=
方程 : !!!
j
为s3,4= -2,-3
3 系统型别 21例题 误差定义
ssr s r 8 i =1 求图示系统的稳态误差e 求图示系统的稳态误差 ss 。 E(s) →0 设开环传递函数G(s)H(s)= 设开环传递函数 C(s) R(s) n -ν E(s) R(s) 令∏(Tjs+1) C(s) sν r(t)=0, G(s) H 一定 G(s) N(s) 注意： 注意：s → 0时，G0 0一定→1 时 j=1 R(s) C(s) 2 1 B(s) C(s) En(s)= -Cn(s) 0.2s+1 H(s) s(s+1) 此时的k为开环增益 此时的 为开环增益 2(0.2s+1) 1 E(s)=R(s)-C(s) 端定义： 输入端定义： 2 s(s+1)(0.2s+1)+4 s ν表示开环有 个极点在坐标原点 E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s) s 表示开环有ν个 -1(t) N(s) 其中 r(t)=t, n(t)= 1 C(s) R(s) essn=limsEn(s)= 2 G1(s) G2(s) ν=0 n(t)=0, 型系统 称为0型系统 称为 s→0 输出端定义： 解：端定义： 令 1 R(s) ˊν=1 R(s) H(s) -C(s) E(s)=C希-C实= 称为Ⅰ 总误差e =e 总误差 H(s) 2+ e E (s)= 称为Ⅰ型系统 -C(s)
1+ lim k s→0 sν r(t)=Rt R(s)=R/s2 R ess= k lim s ν s s→0 r(t)=Rt2/2 R(s)=R/s3 ess= R 2 k lim s sν s→0
取不同的ν 取不同的
R1(t)
0型 型 Ⅰ型 Ⅱ型
Rt
Rt2/2
R1(t)
Rt
Rt2/2
R 1+ k
j b -a 0 0
t
传递函数： 传递函数： Φ(s)=
A1s+B1 S2+b2
运动模态3 运动模态
K(t)=Asin(bt+α)
零极点分布图： 零极点分布图：
j b 0 0
t
运动模态4 运动模态
传递函数： 传递函数：
A1s+B1 Φ(s)= (S-a)2+b2
K(t)=Aeatsin(bt+α)
误差分析 k ∏(τis+1) (s)=H1 e =limsE G0 0
m
=
.
提个(s) 3 ˊ称为Ⅱ ˊ R(s) ν=2 R(s) E(s) 型系统 C(s) 0.5s(s+1)(0.2s+1) . 1 1 称为Ⅱ En(s)=C希1 实= –Cn(s) -C G(s)H(s) 1 = H(s) 2 ∴ess= 8 + 2 = 5 s(s+1)(0.2s+1)+4 s r
动态性能指标定义1 动态性能指标定义
超调量σ% = 超调量 A 100% B
A
峰值时间t 峰值时间 p 上 升 时间t 时间 r
B
调节时间t 调节时间 s
动态性能指标定义2 动态性能指标定义
调节时间 ts 上升时间t 上升时间 r
动态性能指标定义3 动态性能指标定义
σ%= A 100% B
A
B
tr
零极点分布图： 零极点分布图：
j b 0 0 a
t
运动模态5 运动模态
传递函数： 传递函数： Φ(s)=
j
j 0
j 0 j
ξ＝0 ＝
1
√1-ξ2
S1,2= ±jω e-ξωnt sin(ωdt+β) n
h(t)= 1 -cosωnt
0
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算
ωn ωn 取其解中的最小值 Φ(s)= s π - β 取其解中的最小值， 令h(t)=1取其解中的最小值， 得 tr= 2+2ξωns+ω2 n ω
j 0
附加极点对系统的影响
j 0 j 0 j
增加极点是削弱了阻尼 结论1： 还是增加了阻尼？ 结论 ： 还是增加了阻尼？ 结论2： 结论 ： 增加的极点越靠近原点 越怎样？ 越怎样？
0 j 0
高阶系统
主导极点 增加极点对 ξ有何影响？ 有何影响 有何影响？
σ %= 20.8% ts= 3.74s σ %= 19.1% ts= 3.89s Φ1(s) =
系统稳定的充分条件: 系统稳定的充分条件 充分条件 劳斯表第一列元素不变号!
s3 s2 s1 s0
3 5 4 6 7 2 7 -8 -8 2ε+8 7ε -8(2ε+8) -7ε2 7ε
1 2 1 ε 0
7
若变号系统不稳定! 若变号系统不稳定 变号的次数为特征根在s右半平面的个数! 次数为特征根在 右半平面的个数 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
1 3 3 图
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T K’(0)=T T
T
h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) h(4T)=0.982h(∞) 2 时间t 时间 =
s
r(t)=at时 时
? ess=
4
系
二阶系统单位阶跃响应 定性分析
1 1
2 ωn Φ(s)= 2 s +2ξωns+ω2 n
tp
ts
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 Φ(s)=
k(t)= T r(t)= δ(t) 单单 单
1 T
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取 画图时取k=1,T=0.5) 画图时取
- t e
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
位位 位 斜阶 k’(0)=1/T2 坡跃 响响 应应
√1-ξ2
sin( dt+β )
3.5
由包络线求调节时间
得 t s≈
ξωn
欠阻尼二阶系统的t 欠阻尼二阶系统的 s
项为± ， 取sin项为±1， 项为 则h(t)=1±e-ξωnt ±
取误差带为△ ± 取误差带为△=±0.05,则有e-ξωnt=0.05 则有 由此解出t 由此解出 s=
ln20/√1-ξ2
6 7
1 2 1 ε 0
劳
(6 4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8 特
ε
劳斯判据
必要条件 系统稳定的必要条件: 系统稳定的必要条件 s6 s5 特征方程各项系数 s4 均大于零! 均大于零
有正有负一定不稳定! 有正有负一定不稳定 缺项一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？ 稳定吗？ 稳定吗
ν=3 称为Ⅲ型系统 称为Ⅲ 因为系统稳定， 因为系统稳定，所以
总误差怎么求？ 总误差怎么求？
8
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
R(s) E(s)
G(s)H(s)
C(s)
r(t)=R1(t) ess= R
R(s)=R/s
1 E(s)=R(s) 1+G(s)H(s) 若系统稳定, 若系统稳定 则可用终值定理求e 则可用终值定理求 ss R(s) ess= lim s s→0 k GH 1+ ν 0 0 s
1.25 0.95
0
1
结论1：增加极点有何影响？ 结论 ：增加极点有何影响？
结论2：偶极子有何作用？ 结论 ：偶极子有何作用？
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
劳
7
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 3 5 4 6 7 2 7 -8 1 -8 2 2ε+8 7ε 3 -8(2ε+8) -7ε2 4 7ε 5
30 (s2+2s+5)(s+6)
5 Φ2(s) = 2 (s +2s+5)
偶极子
Φ1 = Φ2 =
20 (s+2)2+42
120 [(s+2)2+42](s+2)(s+3)
3.31[(s+2)2+4.52] Φ3 = [(s+2)2+42](s+2)(s+3) Φ4 = 6 (s+2)(s+3)
T T ξ＝1: ＝ ξ＞1: ＞ S1,2= -ξωn± ωn 2 - 1 ξ＞1 ＞ √ξ 0
2 1
j
jj 00 j
e h(t)= ξ＝1 1+ Te S1,2= -ξωn = -ωn ＝ + T
2
t T1
t T2
T1
1
1
T2
1
h(t)= 1 -(1+ωnt) e-ωnt 0
0＜ 1 ＝ 0＜＜ξ＜1: S1,2= -ξωn±j ωn ξ＝0: ＜ξ＜＜ ＜ √1-ξ2 0
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
劳 斯 表
s4+5s3+7s2+5s+6=0
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 1 5 6 1 6
特征 出现零行 零行 行 方程: 方程
s2+1=0
零行系
零, 零
: 2s1
劳斯表
系统
劳斯表出现零行 1 劳斯表 出现零行? 出现零行 一定不稳定 系统一定 系统一定不稳定
2 出现零行 3 ? ?
s1,2=
方程 : !!!
j
为s3,4= -2,-3
3 系统型别 21例题 误差定义
ssr s r 8 i =1 求图示系统的稳态误差e 求图示系统的稳态误差 ss 。 E(s) →0 设开环传递函数G(s)H(s)= 设开环传递函数 C(s) R(s) n -ν E(s) R(s) 令∏(Tjs+1) C(s) sν r(t)=0, G(s) H 一定 G(s) N(s) 注意： 注意：s → 0时，G0 0一定→1 时 j=1 R(s) C(s) 2 1 B(s) C(s) En(s)= -Cn(s) 0.2s+1 H(s) s(s+1) 此时的k为开环增益 此时的 为开环增益 2(0.2s+1) 1 E(s)=R(s)-C(s) 端定义： 输入端定义： 2 s(s+1)(0.2s+1)+4 s ν表示开环有 个极点在坐标原点 E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s) s 表示开环有ν个 -1(t) N(s) 其中 r(t)=t, n(t)= 1 C(s) R(s) essn=limsEn(s)= 2 G1(s) G2(s) ν=0 n(t)=0, 型系统 称为0型系统 称为 s→0 输出端定义： 解：端定义： 令 1 R(s) ˊν=1 R(s) H(s) -C(s) E(s)=C希-C实= 称为Ⅰ 总误差e =e 总误差 H(s) 2+ e E (s)= 称为Ⅰ型系统 -C(s)
1+ lim k s→0 sν r(t)=Rt R(s)=R/s2 R ess= k lim s ν s s→0 r(t)=Rt2/2 R(s)=R/s3 ess= R 2 k lim s sν s→0
取不同的ν 取不同的
R1(t)
0型 型 Ⅰ型 Ⅱ型
Rt
Rt2/2
R1(t)
Rt
Rt2/2
R 1+ k
j b -a 0 0
t
传递函数： 传递函数： Φ(s)=
A1s+B1 S2+b2
运动模态3 运动模态
K(t)=Asin(bt+α)
零极点分布图： 零极点分布图：
j b 0 0
t
运动模态4 运动模态
传递函数： 传递函数：
A1s+B1 Φ(s)= (S-a)2+b2
K(t)=Aeatsin(bt+α)
误差分析 k ∏(τis+1) (s)=H1 e =limsE G0 0
m
=
.
提个(s) 3 ˊ称为Ⅱ ˊ R(s) ν=2 R(s) E(s) 型系统 C(s) 0.5s(s+1)(0.2s+1) . 1 1 称为Ⅱ En(s)=C希1 实= –Cn(s) -C G(s)H(s) 1 = H(s) 2 ∴ess= 8 + 2 = 5 s(s+1)(0.2s+1)+4 s r
动态性能指标定义1 动态性能指标定义
超调量σ% = 超调量 A 100% B
A
峰值时间t 峰值时间 p 上 升 时间t 时间 r
B
调节时间t 调节时间 s
动态性能指标定义2 动态性能指标定义
调节时间 ts 上升时间t 上升时间 r
动态性能指标定义3 动态性能指标定义
σ%= A 100% B
A
B
tr
零极点分布图： 零极点分布图：
j b 0 0 a
t
运动模态5 运动模态
传递函数： 传递函数： Φ(s)=