薄板的屈曲资料
薄板的屈曲
115第六章 薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。
因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。
板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。
设板的最小宽度为b ，厚度为t 。
当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。
当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。
本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。
与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。
⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。
可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。
⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。
对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。
如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法培训资料
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y
xy
1 E 1 E
(
( 2 (1
x
y
E
)
y x xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u)z0 0 (v)z0 0
（9-3）
x
u x
、y
v y
将（a）x 2
2
y
w
2
)
y
Ez
1 2
2w (
y 2
2w x2
)
xy
Ez 1
2w () xy
（9-4）
（3）用w表示应力分量zx、zy 由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）： zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
2(1E2)[d42
(zd)1(z3
23
d3)]4w
8
6(1Ed3 2)(12dz)2(1dz)4w
（9-6）
3. 弹性曲面微分方程
（1）在薄板上边界，(z)zd q，q薄板单位面积内的横向荷载， 2
包括横向面力及体力。
（2）将（9-6）式代入上式，有：
Ed3 4wq 12(12)
（9-7）
其中:
D4w q
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
第五章 薄板的弯曲
第五章 薄板的弯曲薄板的概念：厚度t<<Min(B,L)()L B Min t 81~51<中厚板 ()L B Min t 81~51> 厚板()()L B Min t L B Min 81~511001~801<< 薄板()L B Min t 1001~801< 薄膜作用在其上的载荷分解为平行于板面和垂直于板面，当仅有平行于板面的力时，就是我们前面讲到的平面应力问题。
现在我们要解决的就是当有垂直于板面的载荷时（板受弯曲作用时），应该如何计算。
两者都有时，又应该如何考虑。
§5.1 薄板弯曲的基本方程一，基本概念1，中面：变形前平分板厚的平面。
2，挠度：中面上各点在垂直于中面上的位移w 。
3小挠度：通常w/t<1/5。
二，基本假定1，变形前垂直于中面上的直线，变形后仍为直线，且仍垂直于弯曲的中面。
该假定类似与材料力学中梁的平面假定。
它确保与中面平行的的各面之间不存在剪应变。
0==zy zx γγ 2，变形前后，板的厚度不变，即0=z ε。
板内各点的挠度值仅为x 、y 的函数，而与z 轴无关。
()y x w w ,=。
3，薄板中面内的各点没有平行于板面的位移()00==z u 、()00==z v ，只有z 方向的位移。
4，平行于中面的各层之间互不挤压。
0=z σ三，基本方程利用空间的三大方程和以上4个假定，我们可以推求出适用薄板的基本方程。
1，几何方程由假定○1，0=∂∂+∂∂=x w z u zx γ，0=∂∂+∂∂=ywz v zy γ，就有： x w z u ∂∂-=∂∂，ywz v ∂∂-=∂∂，积分可得： ()y x f xwzu ,1+∂∂-= ()y x f ywzv ,2+∂∂-=再由假定○3，()00==z u 、()00==z v ，就是中面上各点没有板面的位移，代入上式，可得()()0,,21==y x f y x f 所以x w zu ∂∂-=，ywz v ∂∂-=。
薄板屈曲1
x y
Ez 1 2 Ez 1 2
xy yx
Ez 2 w 1 xy
（5）
为了计算板中内力，取出板的单元体如图 2a 所示。微元体侧面上的应力的合力矩 就是板中的弯矩 M x 、 M y 和扭矩 M xy （图 2b）。分别按下列各式求得 M x 、 M y 和 M xy ：
图 2a
图 2b
Mx
t/2
t / 2
x zdz y zdz
t/2
My
t/2
t / 2
M xy M yx
t / 2
xy zdz
以式（5）表示的应力分量代入上式，因 w w( x, y ) ，不随 z 变化，积分后可得
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M y D y 2 x 2 M xy M yx D(1 ) 2w xy
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 p x m 2 2 2 4 0 D a2 a4 a 2b 2 b
7
即
D 2 px 2 b
mb n 2 a a mb
2
（f）
临界载荷应是使板发生微弯的最小载荷，因而设微弯时沿 y 方向的半波数 n 1 ，于是
Q x Q y x y dxdy
（g）
将式（f）和式（g）相加，化简后得平衡条件 z 0 为
5
Q x Q y 2w 2w 2w N x 2 2 N xy Ny 2 0 x y xy x y
由图 4b 所示微元体，对 x 轴的力矩平衡条件 M x 0 ，得
2
薄壁结构的挤压与屈曲行为分析
薄壁结构的挤压与屈曲行为分析薄壁结构在工程领域中具有广泛的应用。
它们通常由薄板材料制成，并用于建筑物、车辆和航空航天领域等许多不同的工程项目中。
了解薄壁结构的挤压与屈曲行为对于设计和优化这些结构的稳定性至关重要。
本文将对薄壁结构的挤压与屈曲行为进行分析，以探讨其在实际工程中的应用。
1. 引言薄壁结构是指在一侧或两侧的尺寸较小的结构，其厚度相对于其他尺寸来说较小。
它们通常由金属或塑料材料制成，因为这些材料具有较高的强度与刚度。
薄壁结构在结构设计中具有许多优点，如重量轻、自由成型、加工方便等。
2. 挤压行为分析薄壁结构在承受外力作用时，容易发生挤压变形。
挤压行为是指结构在受到外力压缩时，结构元素在横截面上发生弯曲和变形的现象。
挤压行为的分析可以通过应力-应变关系和弯曲刚度进行研究。
2.1 应力-应变关系薄壁结构在挤压过程中，内部产生的应力会引起结构发生应变。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线通常分为线性段和非线性段两个部分。
2.2 弯曲刚度弯曲刚度是指薄壁结构在挤压过程中的弯曲能力。
它与结构的几何形状、材料的弹性模量以及截面惯性矩等因素有关。
通过计算弯曲刚度可以评估薄壁结构在挤压中的变形程度和承载能力。
3. 屈曲行为分析薄壁结构在承受外力作用时，也容易发生屈曲现象。
屈曲是指结构在受到外力作用下，整体或局部失去稳定性并发生弯曲和变形的现象。
屈曲行为的分析可以通过屈曲载荷和屈曲模态进行研究。
3.1 屈曲载荷屈曲载荷是指薄壁结构在发生屈曲时所承受的最大载荷。
屈曲载荷与结构的几何形状、材料的强度和刚度等因素有关。
通过计算屈曲载荷可以评估薄壁结构的稳定性。
3.2 屈曲模态屈曲模态是指薄壁结构在屈曲时所呈现的弯曲形态。
根据结构的不同约束条件和载荷形式，可以出现不同的屈曲模态，如单面屈曲、双面屈曲、不等弯曲等。
通过分析屈曲模态可以预测薄壁结构的失稳形态。
4. 实际应用案例薄壁结构的挤压与屈曲行为分析在实际工程中具有重要的应用价值。
四边简支薄板纯剪切作用下板的屈曲形式
四边简支薄板纯剪切作用下板的屈曲形式在四边简支薄板纯剪切作用下，板的屈曲形式表现为中央出现有规则的剪切带，且随着剪切应力的增加，剪切带逐渐向周围扩展。
剪切带将板分为两个区域，一个区域为与剪切方向相反的拉伸区，另一个区域为与剪切方向相同的压缩区。
随着剪切应力的增加，剪切带会逐渐扩展并最终导致板的屈曲。
如需获取更多关于四边简支薄板纯剪切作用下板的屈曲形式的信息，建议咨询土木工程专家或查阅相关领域资料。
路用薄板结构屈曲、弯曲及振动问题的解析与数值分析
介绍数值模拟的基本原理、数值模型的建立及求 解方法。
数值模拟过程
详细描述模拟操作流程、参数设置及模拟结果。
数值模拟结果分析
根据模拟结果，对薄板结构的优化设计进行深入 分析，得出相关结论。
06
结论与展望
研究成果与结论
发现了路用薄板结构在屈曲、弯曲及振动问题中 的一些重要特性。 提出了针对这些问题的解析与数值分析方法。
薄板结构的基本定义与分类
01
根据材料和制造工艺对薄板结构进行定义和分类，包括金属薄
板、复合材料薄板等。
薄板结构弯曲的基本原理
02
介绍薄板结构弯曲的基本原理，包括弯曲变形、弯曲应力、弯
曲刚度等。
经典薄板弯曲理论
03
介绍经典薄板弯曲理论，如Mindlin板理论、Kirchhoff板理论
等。
薄板结构弯曲实验研究
3
薄板结构振动的稳定性
研究薄板结构在受到外部激励时的稳定性，以 及分岔和混沌现象。
薄板结构振动实验研究
实验设备和方法
介绍实验所用的测试设备和实验方法，包括激励方式、测量仪器、数据采集和处 理等。
实验结果和分析
通过实验测量薄板结构的振动响应，并对实验结果进行分析，验证理论模型的正 确性。
薄板结构振动数值模拟
研究内容与方法
研究内容
对路用薄板结构的屈曲、弯曲及振动问题进行深入研究，包括基本理论、解 析解和数值分析方法等。
研究方法
采用理论推导、数值模拟和实验验证相结合的方法，对路用薄板结构的屈曲 、弯曲及振动问题进行全面分析。
02
路用薄板结构屈曲分析
薄板结构屈曲基本理论
薄板结构屈曲定义
薄板结构的屈曲承载能力分析
薄板结构的屈曲承载能力分析薄板结构是指在一个平面内，一侧的长度远大于另一侧的结构。
它具有较高的刚度和承载能力，广泛应用于建筑、航空航天、交通运输等领域。
然而，在长时间使用或者遭受外力作用时，薄板结构可能发生屈曲，使其失去原来的刚度和承载能力。
因此，对薄板结构的屈曲承载能力进行分析和评估是非常重要的。
1. 薄板结构的屈曲现象屈曲是指杆件在受到外力作用时，由于其自身的不稳定性而发生的形状变化。
对于薄板结构而言，由于其一侧长度远大于另一侧，产生的扭矩和弯曲力会使其在某一方向上发生屈曲。
当结构失去了原来的刚度和承载能力时，就会发生屈曲现象。
2. 薄板结构的屈曲挠度计算在进行薄板结构的屈曲承载能力分析时，首先需要计算其屈曲挠度。
常用的屈曲挠度计算公式如下：\[ \delta = \frac{{5 \times p \times L^4}}{{384 \times E \times I}} \]其中，\[ \delta \]表示屈曲挠度，\[ p \]表示作用在结构上的外力，\[ L \]表示结构的长度，\[ E \]表示结构的弹性模量，\[ I \]表示结构的截面惯性矩。
3. 薄板结构的屈曲承载能力薄板结构的屈曲承载能力是指结构在屈曲前可以承受的最大外力。
根据欧拉公式，可以计算薄板结构的屈曲临界载荷。
欧拉公式如下：\[ P_{cr} = \frac{{\pi^2 \times E \times I}}{{L^2}} \]其中，\[ P_{cr} \]表示屈曲临界载荷。
4. 影响薄板结构屈曲承载能力的因素薄板结构的屈曲承载能力受到多种因素的影响。
主要的因素包括结构的几何形状、材料的弹性模量、荷载的大小和方向等。
当结构的几何形状不规则、材料弹性模量较小、荷载过大或方向不合理时，薄板结构的屈曲承载能力会大大降低。
5. 提高薄板结构屈曲承载能力的方法为了提高薄板结构的屈曲承载能力，可以采取一些措施。
首先是合理选择材料，使用强度高、刚度大的材料制作结构。
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m 1 n 1
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：
A 0 11 系数行列式为零 0 A12 A 0 mn
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
单向非均匀受压板的弹性失稳
作用于板中面单位长度荷载为：
px 1t 1 0 y / b px1 1 0 y / b
由总势能公式有（ py pxy 0）：
2 2 2 2 2 w 2 w 2 w 2 D a b 1 a b w w w 2 2 2 1 2 2 dxdy 0 0 px dxdy 2 0 0 x y x y x y 2 x 带入w及px 4 2 2 2 px1ab 2 m 2 2 m n 2 Dab Amn 2 2 Amn 2 8 b 8 m1 n 1 a m 1 n 1 a
px ,cr k
2D
b2
2b 2 k 2 6 1 / 2 a
若取 0.3 ，则：
b2 k 0.425 2 a
均匀受压三边简支一边自由
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件。
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。 理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会
产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。 按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论
分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
4a 2 dp x 2 由 2 0 ，有： m dm 3b2
px ,cr 7.283
2D
b2
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数
对于单向均匀受 压的狭长板，用 横向加劲肋减小 对于很宽的薄 板，采用纵向加 劲肋减小宽度b
比值a/b从而提
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
2w 0 x 0 、 x a 时： w0 2 x 2w y 0 、 y b 时： w0 0 2 y m x n y 代入平衡方程有： w Amn sin sin a b m 1 n 1
4w 4w 4w 2w 2w 2w D 4 2 2 2 4 N x 2 2 N xy Ny 2 x y y x xy y x
Et 3 D 为板的抗弯刚度； 2 12 1
Nx、N y 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力； N xy 为板中面单位长度上的剪力。
瑞利-里兹法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由。 由 py pxy 0 ，有总势能为：
D 2 0
a 2 2 2 2 2 2 2 2 w w w 1 a b w w w 2 2 1 2 2 dxdy 0 0 px dxdy 2 0 x y x y x y 2 x b
V
1 2 0
a
b
0
w 2 w w w dxdy Nx 2 N xy Ny x y y x
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 假定挠曲面函数为：
高屈曲系数并无 明显效果； 如把加劲肋间距 取得小于2b又很 不经济。
是有效的。
加载边固定与加 载边简支对屈曲 系数的影响：当 a/b<2时提高幅 度很大。
屈曲系数 k 与 的关系
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
单向非均匀受压板的弹性失稳
规定压应力为正值，拉应力 为负值，应力梯度为： 0 1 2 1 距离上边缘y处的应力为：
a b
由
m 1 dk 0 ，有 2 2 0 dm m m
N x ,cr ,min 4
m
kmin 4
2D
b2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
板件屈曲系数（四边简支）
m4 4 m2 n2 4 n4 4 N x m2 2 m x n y A 2 sin sin 0 mn 4 2 2 4 2 ab b D a a b m 1 n 1 a
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m4 4 m2 n 2 4 n4 4 N x m2 2 2 a 2 D m2 n2 2 2 2 4 2 0 或 Nx a4 ab b D a m2 a 2 b2
2
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
1 2D N x ,cr 2 m2 a 2 b2 b N x ,cr k 2E x ,cr 2 2 t 12 1 b / t
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
U V
2 2 2 2 2 2 2 D a b w w w w w U 2 2 2 1 2 2 dxdy 0 0 2 x y x y xy
2 2
2 a 2 D m2
a 2b 2 m 2 1 2D k 2 m2 a 2 b2 b
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
2 ab m2 1 b a m k 2 2 m m a b a mb m 2 2
薄板的屈曲
主要内容:
小挠度理论板的弹性曲面微分方程 能量法计算板的弹性失稳荷载 不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件 板稳定理论在钢结构设计中的应用
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类：
t / b 1/ 5 ~ 1/ 8 厚板：
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
1/ 80 ~ 1/100 t / b 1/ 5 ~ 1/ 8 薄板：
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
薄膜：t / b 1/ 80 ~ 1/100
受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
第6章 薄板的屈曲
板失稳的特点：
板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 点的弯矩 M x 、 M y 和扭矩 M xy以及板的挠度 w 都与此点的坐标有关。 板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，N y =Nxy 0 由
4w 4w 4w 2w 2w 2w D 4 2 2 2 4 N x 2 2 N xy Ny 2 x y y x xy y x 4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 Nx 2 0 x y y x x
板的屈曲方程
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
迦辽金法
算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。板的两加载边 简支，两非加载边固定。 板的平衡微分方程：
4w 4w 4w 2w L w D 4 2 2 2 4 px 2 0 x y y x x
力问题。 薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上
的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。
板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
1 1 0 y / b
0 0 为均匀受压； 0 2 为纯弯矩作用。
非均匀受压简支板
用里兹法求解屈曲荷载
假定符合简支边界条件的挠曲面函数为：
w Amn sin
m 1 n 1
m x n y sin a b
第6章 薄板的屈曲
不同面内荷载作用下板的弹性失稳
基本假定：
垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
zx 和 zy 远小于 x、 y 和 xy ，故可以忽略他们产生的 应力分量 z 、
正应变 z 、剪应变 zx 和 zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应
假定挠曲面函数为：
w Aii x, y
i 1 n
板的平衡微分方程为： L w y dxdy 0 1 0 0 a b 0 0 L w 2 x, y dxdy 0 积分 关于Ai的线性方程组 系数行列式为零 a b L w n x, y dxdy 0 0 0