凸函数
凸函数和凸的
凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
凸函数
一、凹凸函数的代数定义容易理解，若函数 f（x）为凸函数，那么 -f（x）为凹函数。
所以，讨论清楚了凸函数，等价于讨论清楚了凹函数。
现在我们来讨论凸函数，现设一函数 f（x）。
在该函数定义域的凸区内任取两点x1、x2（x1<x2）。
设一点x=q1x1+q2x2(q1,q2>0 ，且q1+q2=1)那么易得，该点必包含于x1，x2之间。
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数; 在图形上看就是"开口向上" ,反过来,就是凸函数; 由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0; 由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0,凸函数就是:缓慢升高,快速降低; 凹函数就是:缓慢降低,快速升高.。
第三节 凸函数
d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）
2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
常见的凸函数
1 指数函数eax
2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤0
3 负对数函数- log x
4 负熵函数x log x
5 范数函数||x||p
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。
如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。
如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。
如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。
02-凸函数
02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。
函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。
仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。
⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。
如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。
那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。
解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。
上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
92. 什么是凸函数？如何判断？
92. 什么是凸函数？如何判断？92、什么是凸函数？如何判断？在数学的广袤世界里，凸函数是一个重要的概念，它在优化理论、经济学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
那么，究竟什么是凸函数呢？又该如何去判断一个函数是否为凸函数呢？简单来说，凸函数是一种具有特殊性质的函数。
想象一下，在函数的图像上，如果连接任意两点的线段都在这两点之间的函数曲线之上，那么这个函数就是凸函数。
更严谨地，对于定义在某个区间上的函数 f(x)，如果对于区间内任意的两个点 x₁和 x₂，以及介于 0 和 1 之间的任意实数λ ，都满足不等式f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) ，那么这个函数就是凸函数。
为了更直观地理解凸函数，我们来看几个具体的例子。
比如，最简单的凸函数之一是二次函数 f(x) ＝ x²。
在其图像上，很容易发现任意两点之间的线段都在曲线之上。
再比如，函数 f(x) ＝｜x| 也是凸函数。
那如何判断一个给定的函数是否为凸函数呢？这有多种方法。
一种常见的方法是通过函数的二阶导数来判断。
如果函数 f(x) 的二阶导数 f'＇（x) ≥ 0 在其定义域内恒成立，那么这个函数就是凸函数。
以函数 f(x) ＝ x²为例，它的一阶导数为 f'（x) ＝ 2x ，二阶导数为f'＇（x) ＝ 2 ，因为 2 恒大于 0 ，所以 f(x) ＝ x²是凸函数。
另一种方法是利用定义来直接判断。
对于给定的函数，选取定义域内的任意两点，计算出λx₁＋（1 λ)x₂对应的函数值，并与λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) 进行比较。
但这种方法在实际操作中往往比较繁琐，特别是对于复杂的函数。
还有一种方法是通过函数的性质来判断。
例如，如果一个函数是由多个凸函数相加组成的，那么这个函数也是凸函数。
凸函数在实际应用中有着重要的价值。
在优化问题中，凸函数的性质使得我们能够更容易地找到最优解。
第三节 凸函数
1
∇
2
1 0 f( x ) = 1
1 2
由于▽2f(x)的一阶顺序主子式为10，大于零，2阶 行列式为
10 1 1 2 20 1 19 0
表明▽2f(x)正定，故f(x)是严格凸函数。 b) 2 3
f (x) 3
2
8
▽2f(x)的奇数阶（一阶）顺序主子式分别为-2， 小于零；偶数阶主子式为 2 3 16 9 7 0 3 8
由已知条件有
f(x1)≥ f(x) + ▽f(x)T(x1-x)
f(x2)≥ f(x) + ▽f(x)T(x2-x)
所以
λ f(x1)≥ λ f(x) + λ ▽f(x)T(x1-x)
(1-λ) f(x2)≥ (1-λ) f(x) + (1-λ)▽f(x)T(x2-x)
两式相加，并进行整理，得
λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) + ▽f(x)T[λx1+(1-λ)x2 -x]
f(x2)＞ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
例3 设f(x)=x4，x属于（-∞，+∞），判断函数 的凸凹性。
解：任取两相异点x1，x2，则有
▽f(x1)= f'(x1)=4x13
f(x2)-[f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)]
=x24-x14-4x13(x2-x1)
=x24-2x12x22+x14+2x12x22-4x13x2+2x14
3、掌握凸函数的一阶与二阶判定方法。
第三节 凸函数
凸函数的定义
凸函数的性质
凸函数的判定
凸函数的判定条件
凸函数的判定条件在数学分析中，凸函数是一个非常重要的概念。
它具有很多优良的性质和应用，如优化、最小化、最大化等等。
因此，凸函数的研究是数学分析研究的一个重要方向。
本文将介绍凸函数的判定条件。
一、凸函数的定义在正式介绍凸函数的判定条件之前，先回顾一下凸函数的定义。
设$f$是定义在区间$I$上的实值函数，若对于$I$中的任意两个点$x_1$和$x_2$以及任意的$\lambda\in [0,1]$，都满足$$f(\lambda x_1+ (1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1) +(1-\lambda)f(x_2)$$则称函数$f$是$I$上的凸函数。
二、一阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有一阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f'$在$I$上单调不减。
也就是说，如果在$I$上$f''(x)\geq 0$，则$f$是$I$上的凸函数。
这个结论的证明可以使用割线法，即对$f$的两个点$x_1$和$x_2$，连结它们之间的割线。
由于$f$是凸函数，故割线上每一点的函数值都小于等于$f$在该点处的切线函数值。
利用切线的定义，即$f(x_2)-f(x_1) =f'(x_1)(x_2-x_1)+o(x_2-x_1)$，得到$f(x_2)-f(x_1)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)$，即$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq f'(x_1)$。
因此，如果$f'$在$I$上单调不减，则$f$是凸函数。
反之亦然。
三、二阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有二阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f''(x)\geq 0$。
这个结论的证明可以使用Taylor公式。
设$x_0$为$I$上的任意一点，则对于$x\ne x_0$，有$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(c)$$其中$c$在$x$和$x_0$之间。
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§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。
例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。
定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
证明：()():0,,ln f R f x x +∞→=的二阶导数为：()21''f x x=-，它是负的，所以这个函数是凹的，我们得到对于所有,X Y ,有111111ln ln ln ln p qX Y X Y X Y p q pq ⎛⎫=+≤+ ⎪⎝⎭， 所以1111pqX Y X Y p q≤+，利用这个结论，如果我们令p i X x =∑，qi Y y =∑则11111111111npq p pi inpqi iii i i p qx yx y x y X Y p X q Y p qX Y==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1111111()()nnnpq p qpqi i i i i i i x y X Y x y ===∴≤=∑∑∑则不等式即证得。
通过类比，序列()0n n a ≥满足112n n n a a a +-+≤，所有1n ≥，()n n a 叫做凸序列，如果()n n a -是凸序列，则()n n a 是凹序列。
同理，若序列其二阶导数0≥，则这个序列是凸的，若其二阶导数大于等于0，则序列是凹的，下面的例子解释了为什么把凸序列和凸函数放在一起研究的原因。
例1：已知()n n a 是有界凸序列，证明：()1lim 0n n n a a +→∞-=。
证明：一个定义在()0,+∞上的有界凸函数有水平渐进线，所以它的导数无限趋近于0，我们的问题是这个结论是离散的。
这个序列的一阶导数为：1(1)n n n b a a n +=-≥，由凸序列的性质可以写成11n n n n a a a a +--≥-，这就推出()n n b 是单调递增的，又()n n a 是有界的，所以()n n b 也是有界的，又()n n b 是单调的，由维尔斯特拉斯定理，单调有界必收敛，所以()n n b 必存在极限L ，如果0L >则n b 最终是正的，所以()n n a 是递增的，再有维定理，()n n a 必收敛于某个极限l ，则0L l l =-=，同理0,L <同样也会出现矛盾，所以只存在一种可能0L =。
下面是一些有关的问题。
425．令12,n x x x 是正实数，求实数a 使得12na x a x a x -+-+- 取得最小值。
426．已知a,b 大于0，x,c>1.证明 ：2()2cccab ab x x x+≥427．已知一个三角形，边长满足a b c ≥≥，对应角为A,B,C 。
证明：A bB cC a A c B a C b ++≥++.428．如果函数[]:,f a b R →是凸函数，则在(),a b 上连续。
429．证明一个定义在凸环上的连续函数是凸的，当且仅当对于任何,x y D ∈，()()()22f x f y x yf ++≤。
430. 如果一个实数函数()f x 对所有实数,x y 满足()()()22f x f y x yf x y++≥+-，我们定义为严格函数，证明这样的严格函数不存在。
430. 已知：[]:,f a b R→是一个凸函数，证明：对于所有[],,,x y z a b ∈()()()332()()()222x y z f x f y f z f x y y z z x f f f ++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭+++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦432. 如果对于所有实数a ，正实数数列()n n b使得()nn n a b 是一个凸序列，,则()ln n n b 也是凸的。
433. 求最大常数C 满足对于3n ≥和每一个凸序列()1nk k a =，都有()22111n nk k k k a C n a ==⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∑一个闭区间上的凸函数其最大值是在其闭区间的端点处取得的，我们用罗马尼亚的蒂米什瓦拉数学公报上由V .Cartoge 和Lascu 先生提出的问题，来说明利用这个定理有效的处理问题。
例2：已知[],,,1,3a b c d ∈,证明：()222223()a b c d a b c d +++≥+++证明：将所求证的不等式左边的平方式展开，并且移项到右边，我们得到等价的不等式：()222222222220a b c d ab ac ad bc bd cd +++------≤现在我们发现左边的表达式对每一个变量来说都是凸函数，所以当,,,1a b c d =或者3时，左边的表达式能取到最大值。
如果,,,a b c d 中有k 个数取3，则有4k -个数取1，这里k 能取1，2，3或4，则原不等式为：223(94)(34)4(1)k k k k k +--+-=--，而24(1)0k --≤显然成立，等号成立的条件是 ,,,a b c d 中有1个取3，另外3个取1，不等式证毕。
下面是另外一些同类型的题目。
434. 已知,,αβγ是三个固定正数，[],a b 是一个给定的区间，求[],a b 中的三个数x,y,z 使得()222,,()()()E x y z x y y z z x αβγ=-+-+-取得最大值。
435. 已知0a b <<和0it ≥，证明对于任何[]12,,,n x x x a b ∈ ，()221114n n n i i i i i i i i a b t t x x x ab ===+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑436. 对于任何自然数2n ≥和任何1x ≤，()()112nnnx x ++-≤437. 证明：对于任何正实数a,b 下列不等式成立222}3a b c ++-≤438. 已知f 是R 上连续实函数，且对于任何x R ∈和h>0满足1()()2x hx h f x f y dy h+-≤⎰。
证明: ()a f 在闭区间上的最大值是其中的一个极值。
()bf 是凸函数。
凸（凹）函数的一个重要的性质就是琴生不等式。
琴生不等式：对于一个凸函数f ，已知12,,n x x x 是凸域中的点，且12,,0n x x x ≥ ，且121n λλλ++= ，则()11221122()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ++≤++ 。
若f 是非线性且12,,n x x x 不全相等，则不等式是严格成立的，如果是凹函数，则不等号相反。
证明：证明的方法是对1n -进行归纳，基本的方法是利用个凸函数的定义。
假设不等式对于1n -个点i x 和1n -个加权数是成立的，那我们考虑n 个点和加权数，已知121n λλλλ-=++ ，记1n λλ+=和1121n nnnλλλ-+++= ，利用基本定义和归纳猜想，可以推出：()111122112211n n n n n n n n x x x f x x x x f x λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112121()n n n n f x x x f x λλλλλλλλ--⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭()()112121()()n n n n f x f x f x f x λλλλλλλλ--⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭=()()112211()()n n n n f x f x f x f x λλλλ--++++ 即为所求。
对于凹函数，使不等号反向即可。
作为琴生不等式的应用，我们证明下列命题：推广的平均不等式：给定整数12,,n x x x 和加权数12,,n λλλ ，且12n λλλλ=++ ，则下面的不等式成立，112112211121n nn n n n n n x x x x x x x x λλλλλλλλ----+++≥++++ 。
证明：取()ln f x x =，利用凹函数和琴生不等式可得：()112121112211ln ln ln ln ln n n n n n n n n x x x x x x x x λλλλλλλλ----=+++()1122ln n n x x x λλλ≤++1121211122n n n n n n x x x x x x x λλλλλλλ--∴≤++当121n nλλλ====的时候，我们可以得到AM-GM 不等式。
439. 已知A,B,C是三角形的三个顶点，则sin sin sin 2A B C ++≥440. 已知i a 是非负数，1,2,i n = ，并且11nii a==∑，已知01i x <≤，证明sin sin sin A B C ++≥441. 证明对于任何正实数123,,a a a ，都有222333123123333444123123a a a a a a a a a a a a ++++≥++++。