1直线的方向向量与点向式方程

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三维空间中的直线方程表达式

三维空间中的直线方程表达式
在三维空间中，一条直线可以用参数方程或者点向式来表示。

其中，参数方程是指用一个参数表示直线上的所有点，而点向式则是指用一个起点和一个方向向量来表示直线。

参数方程可以用以下公式表示：
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
z = z_0 + ct
其中，(x_0, y_0, z_0)是直线上的某一点，而(a, b, c)则是直线的方向向量，t为参数。

点向式可以用以下公式表示：
r = a + tb
其中，a为直线的起点，b为直线的方向向量，而r为直线上的任一点，t为参数。

需要注意的是，当直线平行于坐标轴时，可以用一般式方程来表示：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，(A, B, C)为直线的方向向量的系数，而D则是常数项。

使用这些方程可以方便地求解三维空间中的直线问题，比如求直线与平面的交点、直线的距离等。

- 1 -。

直线方程的点向式

直线方程的点向式谢寒冬福建省晋江市毓英中学　3622511　直线方程的各种形式都可以统一为点向式设直线l 经过点P 0(x 0,y 0),v =(a ,b)为其一个方向向量(ab ≠0),P (x,y)是直线上的任意一点,则向量P 0P 与v 共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一实数t ,使P 0P =tv,即x =x 0+at ,y =y 0+bt.消去参数t 得直线方程为x -x 0a =y -y 0b 将其变形为b (x -x 0)=a (y -y 0).易证当ab=0时直线方程也是b(x -x 0)=a (y-y 0),我们称方程b (x -x 0)=a (y -y 0)为直线的点向式方程.1)经过点P 0(x 0,y 0)且斜率为k 的直线方程:斜率为k 的直线方向向量为(1,k ),代入点向式得直线方程为k (x-x 0)=(y -y 0).即为直线方程的点斜式.2)直线斜率为k,在y 轴的截距为b ,代入点向式得直线方程为k(x -0)=(y -b ),也就是直线方程的斜截式.3)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线方程:直线方向向量为(x 2-x 1,y 2-y 1),代入点向式得直线方程为(y 2-y 1)(x -x 1)=(x 2-x 1)(y -y 1),即为两点式.4)在x 轴的截距为a ,在y 轴的截距为b 的直线方程:直线方向向量为(0,b )-(a ,0)=(-a ,b ),代入点向式得直线方程为b(x -a)=-a(y -0),即为截距式.5)直线的一般形式A x +B y +C =0(B ≠0)可以化为点向式得直线方程A (x -0)=-By +CB,所以它的方向向量为(-B ,A).因为(-B ,A)·(A ,B )=,所以(,B )为它的法向量若B =,则直线点向式得直线方程为x +=(y ),它的方向向量为(0,A )=(-B ,A ).故对任一直线A x +B y+C =0,它的方向向量为(-B ,A ),它的法向量是(A ,B).2　利用直线的点向式方程和直线的法向量可以解决高二(上)教材中的几个教学难点2.1　点到直线距离公式的推导点到直线距离公式的推导历来都是中学数学的难点,怎么想到构造直角三角形使用面积法求解?(参见新课程人教版第二册(上))教师很难给学生讲清楚,对初学者不易突破.若用向量的有关知识来推导学生就比较容易理解和掌握.公式　已知点P 坐标(x 0,y 0),直线l 的方程是A x +By +C =0,P 到直线l 的距离是d ,则d =│A x 0+By 0+C │A 2+B 2.证明　设M (x,y )为直线A x +By +C =0上任一点,则有A x +B y =- C.向量P M =(x -x 0,y -y 0)在直线A x +B y+C =0的法向量n =(A ,B )上的射影为P M ·n │n │=A (x -x 0)+B (y -y 0)A 2+B 2=A x +By -(A x 0+B y 0)A 2+B 2=-C -A x 0-B y 0A 2+B 2,∴d =PM ·n│n │=|A x 0+B y 0+C |A 2+B 2.说明　利用向量的射影求距离是高二下B 教材中主要方法,故在高二上适当渗透显得尤为重要.2.2　两条直线的夹角公式l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,夹角为α,若l 1和l 2的方向向量夹角为θ,则有co s α=cos │θ│=│(B ,)·(B ,)││(B ,)│·│(B ,)│52第27卷第1期专辑　2008年6月数学教学研究©0A .0A C A0-0-1A 1-2A 2-1A 1-2A 2=│A1A2+B1B2│A21+B21·A22+B22.2.3　直线平行与垂直的条件探究l1:A1+B1y+C1=0,其方向向量为v1=(-B1, A1).l2:A2x+B2y+C2=0,方向向量v2=(-B2,A2).(1)l1与l2平行或重合Ζv1=m v2,即B1=mB2A1=mA2消去m得A1B2=A2B1.也可以理解为: l1的方向向量v1=(-B1,A1)与l2的法向量n2= (A2,B2)垂直,所以v1·n2=0,即A1B2=A2B1.(2)l1⊥l2Ζv1·v2=0,即A1·A2+B1·B2= 0.利用直线的方向向量和法向量研究直线平行与垂直的问题可以不讨论直线斜率不存在的情况,从而降低了难度.例1　已知直线l1:x+(a-1)y+(a2-1)=0与直线l2:a x+2y+6=0,依下列条件分别求a的值:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.分析　若用直线的斜率求解学生经常忘了讨论直线斜率不存在的情况,从而导致问题解答不完整.若用直线方向向量和法向量求解就可避免这个问题.解　(1)∵l1∥l2　∴l1的方向向量与l2的法向量垂直,即(-a+1,1)·(a,2)=0,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经检验当a=2时l1与l2重合,所以l1∥l2时a=-1.(2)∵l1⊥l2,∴l1的法向量与l2的法向量垂直(或l1的方向向量与l2的方向向量垂直)即(1,a-1)·(a,2)=0,即a+2(a-1)=0,解得a=2 3 .2.4　求直线方程例2　三角形AB C中,A(4,1),B(7,5),C(-4, 7),求∠A的平分线所在的直线方程.解　A B=(3,4),其单位向量为n1=35,45.A C=(-8,6),其单位向量为n2=-45,35.故∠A的平分线的方向向量为n1+n2=-15,75.由直线方程的点向式得∠A的平分线方程为75(x-4)=-15(y-1),化简得7x+y-29=0.例3　(2003年江西、安徽高考试题)已知常数a >0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E,F,使得│P E│+│P F│为定值,若存在求出E,F坐标,若不存在说明理由.解　∵c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa),代入直线的点向式方程得直线O P的方程为a x=λy,直线A P的方程为-2λa(x-0)=y-a,∴由a x=λy-2λa x=y-a消去λ得P点坐标满足方程y(y-a)=-2a2λ2,整理得x218+y-a22a22=1.①∵a>0,∴(1)当a=22时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E,F;(2)当0<a<22时,方程①表示椭圆,焦点中E1212-a2,a2和F-1212-a2,a2为合乎题意的两定点.(3)当a>22时,方程①也表示椭圆,焦点中E0,12a+a2-12和F0,12a-a2-12为合乎题意的两定点.62数学教学研究第27卷第1期专辑　2008年6月©。

三维直线方程的五种形式

三维直线方程的五种形式在数学中，三维直线是指具有三个坐标轴上的点的集合。

三维直线也是建立立体几何体系的基础，因为绝大多数物体都是由直线和曲线组成的。

本文将详细介绍三维直线方程的五种形式。

形式一：点向式点向式是求解三维直线方程最简单的方法之一。

它利用一个点和一个方向向量来表示直线。

不妨设三维空间中的直线为L，点为P，方向向量为V，则点向式可以表示为：L: P + tV其中，t是一个实数。

通过改变t的值，可以获得L上的所有点。

如果只想求得直线上的一个点，则可以取t=0。

形式二：参数式参数式是我们在学习二维平面直线的时候就已经了解的一种方法。

具体来说，参数式是通过一组参数方程来表示直线上的所有点。

设直线 L 的参数方程为x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct则L可以表示为：L: (x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c其中，a、b、c均不为零。

参数式可以表示L上的所有点，但需要满足一个限制条件，即a、b、c不能同时为零。

形式三：标准式标准式是指利用两个点来表示直线的方程式。

设L过点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则L可以表示为：L: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z -z1)/(z2 - z1)标准式可以用来快速确定直线所在的位置。

然而，需要注意的是，标准式只有在点A和点B坐标都已知的情况下才适用。

形式四：一般式一般式是指将参数a、b、c以及点(x0,y0,z0)转换成系数A、B、C、D的式子。

具体来说，L的一般式可以表示成:Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D的计算公式如下：A = y1z2 - y2z1B = z1x2 - z2x1C = x1y2 - x2y1D = -A*x1 - B*y1 - C*z1利用一般式，可以将直线转换为平面，方便后续计算。

【初中数学】初中数学直线的方程公式

【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。

直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。

直线的方向向量与点向式方程

例2.求下列过点P,切一个方向向量为V的直线方程：（1）P(3，-2)，V=(0，2) (2)P(2，-1)，V=(3，0)
3X+Y-1=0
X=3
Y=-1
例3
求过点A（-2,1）和点B（1,3）.
2X-3Y+7=0
例 4：过直线2X-Y=0与X+Y-3=0的交点且平行于向量V=(7，3)的直线方程。例5:已知;ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,1),B(1,3),c(-3,-1),求BC边上中线所在的方程。
直线的方向向量与点向式方程
专业班用
知识回顾：

知识回顾Biblioteka 引例：思考：怎么样才能使母球所走路线是一条直线？击球点和击球方向
直线的方向向量
思考：已知一个点和一个非零的方向向量，是否确定唯一的一条直线？唯一
不唯一
是
直线的点向式方程

V2(x-x0)- v1(y-y0)=0 (1)
点向式方程
这样的两个方程是有直线上的一个点 P0(X0，Y0)和直线的一个方向向量V=(V1，V2)确定的，所以都叫做直线的点向式方程。
X=X0
2.若果V2=0，则直线方程是什么？
Y=Y0 注意：方程（1）也说成直线（1）
课堂巩固：
例1.求通过点A（1，-2）。且方向向量为 V=（-1,3）的直线方程。
3X-7Y+11=0
2X+3Y-1=0
小结：

直线点向式方程

直线点向式方程直线的点向式方程是数学中非常重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线在平面上的位置和方向。

在本文中，我们将详细讨论点向式方程，并给出一些实际问题的解题思路，希望能对读者有指导意义。

首先，我们来介绍一下什么是直线的点向式方程。

对于平面上的一条直线来说，我们可以通过选择其中一点为起点，并选择一个方向向量来定义它。

在点向式方程中，我们用向量的形式表示直线上的任意一点。

设直线上的一点为A，方向向量为v，则直线上的任意一点P 可以表示为P=A+tv，其中t为一个实数。

这就是直线的点向式方程。

了解了直线的点向式方程的定义后，我们可以来看一些实际问题的解题思路。

首先，我们考虑一个例子：已知直线上的两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线上与AB中点距离为2的点的坐标。

首先，我们可以计算出AB的中点坐标，即M((1+3)/2, (2+4)/2) = (2, 3)。

接下来，我们需要找到直线上距离M为2的点。

根据点向式方程，我们可以设这个点为P=M+2v，其中v为直线的方向向量。

由于我们已知直线上的两个点A和B，我们可以用B-A得到方向向量v=(3-1, 4-2)=(2, 2)。

将这些值代入即可求出P的坐标。

通过上面的例子，我们可以看到点向式方程在解决实际问题中非常有用。

它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向，并且可以快速计算出需要的坐标。

除了解决具体问题之外，点向式方程还有其他一些有意思的性质。

例如，设直线的点向式方程为P=A+tv，若两个不同的t值所对应的点P1和P2分别位于直线上，那么AP1和AP2的方向向量相等。

这个性质可以帮助我们推导出直线上的其他点。

综上所述，直线的点向式方程是数学中重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向。

在解决实际问题时，我们可以通过点向式方程计算出需要的坐标。

同时，点向式方程还具有一些有意思的性质，可以帮助我们更深入地理解直线的特性。

希望本文能够对读者有所指导和启发。

直线的法向量和点法式方程

精品课件
顾知
什么叫方向向量？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量通常用v表示
识y
回
o
x
精品课件
顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成概与一条直线垂平直行的非零向量叫做
这条直线的法方向向量通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
精品课件
业布置作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
精品课件
A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
精品课件
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究问垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l

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多媒体、实物投影仪、学案.
七、教学过程
教
学环
教学呈现
节
设计意图
创设情境兴趣导入：
尝
打台球时,用球杆击打母球,母球通常会沿一条直启发
试探
线运动.在击球过程中,母球所在位置和击球方向是
学生
索确定母球运动路线(直线)的两个要素,也就是说有一思考
个点和一个方向可以确定一条直线.
探索新知:
一个非零向量确定一个方向,那么一个点和一个非零
向量可确定一条直线吗？.
1. 直线的方向向量
如果非零向量与直线 L 平行，则称这个向量为直线 L 的
方向向量. 通常用 v 表示
v v 注意直线的方向向量不唯一,如果 v =( , )是直线的一 12
个方向向量.则 t v （t 0，t R）也是直线的一个方向向量。
问题探究:
y
• p0 (x0 , y 0 )
《直线的方向向量与点向式方程》教学设计
授课教师
专业、班级
授课类型
新授
课时
第课时
所在册
第二册
所在章节
第九章第 1.1 节
课题内容
直线的方向向量与点向式方程
一、教材及单元内容分析
1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。 2．本章内容分析：本章教材共分 4 单元：第 1 单元直线的方程.(第 1 节:直线的方向向量与点向式方程, 第 2 节:直线的斜率与点斜式方程,第 3 节:直线的法向量与点法式方程, 第 4 节:直线的一般式方程.)第 2 单元两条直线的位置关系.(第 1 节,两条直线的平行,第 2 节,两条直线的交点与垂直,)第 3 单元点到直线距离.第 4 单元圆的方程.(第 1 节,圆的标准方程,第 2 节,圆的一般方程.) 3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基础。直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质. 二、学情分析
-1-
五、教学方法及学习方法 1．教学方法：采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图
像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的点的集合．很自然
地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．引用实例联系生活，激发学生的学习兴趣。 2．学习方法学案导学、小组合作学习。六、教学用具
思
人文素养，帮助他们增强学习的信心。
-5-
x x0 Y Y 0 V1 V2
(2)
p x y 方程（1），（2）是有直线上的一个点 ( , )和直线的 0 00
引导理解学记忆生理解记忆公式
v v 一个方向向量 v =( , )确定，都叫直线的点向式方程。 12
V V x 当 =0， 0 时 x
1
2
0
V V y 当 0 1
业
（2）P ( 2，-1)
V =( 0 , -2 ).
3、求过点 A(3，4)和点 B（-4,3）的直线方程。
板
例1
书 1. 直线的方向向量
设 2. 直线的点向式方程
例2
计
板书
-4-
“情感”和“创造”是教学的本质。教师重视情感培养、
反态度转变和价值观教育，注重教学形式与学习内容的统一。
反
思
不仅要使学生感知教材的内容，记忆数学知识，掌握解题技能，还要加强情感性教学，激发学习动力，提高学生的
l
v v v =( , ) 12
o
x
-2-
教学法法
介了解绍质思考疑
思考
总结归纳归纳仔细分析
讲学生解讨论
得出结果
备注
p x y 如图：直线 l 经过点 ( , ), 且与非零向量
0
00
v v v =( , )平行, 求这条直线 l 的方程。 12
分
求直线方程。
解：直线 AB 的一个方向向量可取为
用
AB =(1，3)-(-2，1)=(3，2)
∵直线过点 A（-2,1），
析
培养学
根据直线的点向式方程，得
x 2 y 1 32
整理，得所求直线方程为 2x-3y+7=0
生的解
学生
题能力引板书
导过程
分
V x V y 思考：运用点向式方程; (x ) ( y ) 0
设直线 l 上任意一点 P( x , y)，则点 P 在直线上的充分
P v v P 必要条件是
0
// v =( , )； 12
P ∵ P 0 =( x-x0 , y-y0 ) ,
P 所以： P
0 与 v 平行的充要条件是
V
(x
2
x0)
V
(y
1
y) 0
0
(1)
V V : 当 1 2 0时,直线的点方向式方程是
(2)理解直线的点向式方程的推导过程.
能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程.
情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
培养学生观察和归纳的能力。
四、教学重点与难点【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程.. 【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程..
V =( 3 , -2 ).
（4）P (1，5)
V =( 0 , 1).
3、求过点 A(4，0)和点 B（-3,3）的直线方程。
念方法培养学引熟记
理清知识生独立导会用解决问题能力
直线的点向式方程：
V x V y （1）
行
(x ) (y ) 0
2
0
1
0
者驿（2）站
V V x Y x Y
0
0 （ 0
V1 V2
1
0）
2
及时反馈
观察
学生
点是否评理解
查找失误表扬优秀
1、求过点 P（2，-2），且一个方向向量为 v=（-1，0），的
直线方程。
课
后 2、求下列过点 P,且一个方向向量为V 的直线方程：
作
（1）P( 0, 2 ),
V =（ 1，-3 ）；
2
0
1
0
析
求直线方程。
1、已知：直线 l 过点 P（1，-2），且一个方向向量
为 v=（-1，0），求：这条直线的方程。
巩固概
达 2、求下列过点 P,且一个方向向量为V 的直线方程：
标
（1）P( 5, 2 ),
V =（ 10 ，3 ）；
测
（2）P ( 12，0)
V =( 3 , -2 ).
试
（3）P ( 0，0)
V =( 3 , 0 ).
式
领会
解：（1）由于给定的直线的方向向量平行于 y 轴，
所以过点（3，-2 ）的直线方程为 x=3;
引
致
(2 ) 由于给定的直线的方向向量平行于 x 轴，
所以过点 2，-1）的直线方程为 y=-1
领
例 3、求过点 A(-2，1)和点 B（1,3）的直线方程。
分析：知两点可求一个方向向量，再利用点向式方程即可
x x0 Y Y 0 。
以
V1 V2
例 2、求下列过点 P,且一个方向向量为V 的直线方程：
（1）P( 3, -2 ),
V =（ 0 ，2 ）；
运用知识强化练习
主动求解引领
规范
发挥学生
观察的主观能
讲
动性，体
解
现学生是
说思考课堂的主
明求解
人
书写格
-3-
（2）P ( 2，-1)
=0 时 y
2
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典例讲解
例 1 已知：直线 l 过点 P（1，-2），且一个方向向量
为V =（-1，3），
求：这条直线的方程。解：根据直线的点向式方程得：
x 1 y 2 1 3
整理，得所求直线的方程为 3x+y-1=0
学思考：当V =(-1，0) 时，直线方程如何求？
注意：当且仅当向量的纵横坐标都不为零时，才可采用该点向式方程：
学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。三、教学目标知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程.