直线的参数方程(1)ppt
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13级：第二讲(三)直线的参数方程(1)
12
e
O
x
思考2
是否可以根据t的值来确定向量的 M 0 M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
分析: 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0
又 sin 表示e 的纵坐标， e 的纵坐标都大于0 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 就总会向上。
3、抛物线y2=2px的参数方程
2p y 2px x t an2 由 y (为 数 参 ） t an y 2p x t an
2
x t 任一点与原点连线的斜率的倒数，即： y
4
1 若 t 令 , t (,0) (0,),则 t an x 2pt 2 t的几何意义：是抛 (t为 数 ) 参 y 2pt 物线上除顶点外的
k
7
y2 y1 x2 x1
Ax By C 0
tan
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的参数方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 把它变成y y0 ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos
求这条直线的方程.
M(x,y)
M0(x0,y0) 所以，该直线的参数方程为 e x x t cos
O
(cos ,sin )
x
10
练习1
x 3 t sin200 B （） 直 线 1 （t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （） 0 y t cos 20 0 0 0 0 A.20 B .70 C .110 D.160
e
O
x
思考2
是否可以根据t的值来确定向量的 M 0 M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 是有时向上有时向下呢？
分析: 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0
又 sin 表示e 的纵坐标， e 的纵坐标都大于0 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 就总会向上。
3、抛物线y2=2px的参数方程
2p y 2px x t an2 由 y (为 数 参 ） t an y 2p x t an
2
x t 任一点与原点连线的斜率的倒数，即： y
4
1 若 t 令 , t (,0) (0,),则 t an x 2pt 2 t的几何意义：是抛 (t为 数 ) 参 y 2pt 物线上除顶点外的
k
7
y2 y1 x2 x1
Ax By C 0
tan
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的参数方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 把它变成y y0 ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos
求这条直线的方程.
M(x,y)
M0(x0,y0) 所以，该直线的参数方程为 e x x t cos
O
(cos ,sin )
x
10
练习1
x 3 t sin200 B （） 直 线 1 （t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （） 0 y t cos 20 0 0 0 0 A.20 B .70 C .110 D.160
选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
演
练
参数方程为__________．
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
作 业
课
sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ 内
时 作 业
课 内
y＝3＋2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上，所以有
1＋
5 5
课 内
巩
t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几
B．(－3,4)
练
课
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2， 课
内
∴t＝±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t＝ 22时，对应点为(－3,4)，
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α＝π6，所以 sinα＝12，
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
返回
返回
[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方
程．
返回
[解]
3 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知， 直线的斜率为 ， 4
返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
返回
π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
在 α∈[0，π)内无解；
返回
3 x＝－1＋－ 2 －2t， 而化成 y＝2＋1－2t 2 3 cos α＝－ 2 ， 则 sin α＝1 2 5π 得 α＝ . 6
时，
5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6
返回
[例 2]
π 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ， 6
返回
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
返回
π 3．直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
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2020/4/11
Corporate Culture
1
一、创设情景 2020/4/11
Corporate Culture
2
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
2.根据直线的几何条件，你认为用哪些几何条 件来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
y y0 tan (x x0 )
2
1 2
t
（2）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参y 数）3的倾斜2角3是t（ t cos 200
B）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
2020/4/11
练习 Corporate Culture
11
3.直线x 3y 2 0的点角式参数方程为
_________ _x____2_ ___2_3_ t.
y 1t 2
x 3 1 t 2
4.已知直线L的参数方程
y
3
3t 2
（1）求当t=2时对应点的坐标
（2）求点M(2,3+31/2)所对应的t的值
和|MM0|.
（3）若直线L与y轴交于点A，M0的
2020/4/11
四、课堂小结 Corporate Culture
12
本节课我们主要学习了直线的参数方程的推导及其简单应用， 学习后要把握以下几个知识点：
M0M (x, y)
又 M0M // e
(x0
,
y0
)
(x
y
x0
,
y
yL0
)
存在惟一实数t R，e
M α
uuuuuur r 使得 M0M te M0
o
x
2020/4/11
Corporate Culture
6
(x x0, y y0 ) t(cos,sin )
x x0 t cos, y y0 t sin
13
五、作业
P41习题2.3 1、(1), (2).
ar 3 ar
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
知识连接（2）
直线2020的/4/11方向向量C：orporate Culture
sinα＝n/1=n,cosα＝m/1=m α
Q（m,n）
∴e =(cosα, Sinα)
oe
x
二、新课讲授 2020/4/11
Corporate Culture
5
设直线l的倾斜角为，且过定点M0 (x0 , y0 ) ，
M (x, y)是l上一动点.
r
设e是r 直线l的单位方向向量，则
e (cos ,sin ) uuuuuur
即 x x0 t cos, y y0 t sin,
所以，经过点M0（x0,y0),且倾
斜角为α的直线 的参数l 方程为 y L
e
x y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数）
M0
M
α
O
x
直线的点角式参数方程 2020/4/11
Corporate Culture
7
经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
x y
x0 y0
t cos（t为参数） t sin
②
注：参数方程形式上的特点:
（1）在x=x0+tcosα中，t的系数是cosα,在 y=y0+tsinα，t的系数是sinα ； （2）0≤sinα ≤1，-1<cosα≤1；
（3）sin2α+cos2α=1.
直2020线/4/11参数方程Co中rpo参rat数e Ct的 ultu几re 何意义 y
L
9
uuuuuur r r
e
由M oM te及 e 1可得， uuuuuur r uuuuuur
M α
M oM t e M oM t M0
o
x
uuuuuur r
当M uuuouMuur与er同向时，t 0； 当M oM与e反向时，t 0；
L
e
y αM0
当M与M0重合时，t 0.
o X
t 表示参uu数uuutur对应r 的点M到定点M0的距离M.
当Muuu0uMuur与er同向时，t取正数； 当M0 M与e异向时，t取负数；
当点M 与M0重合时，t 0.
2020/4/11
三.随堂练习 Corporate Culture
10
(1)过点Mo(2,3)且倾斜角为2π/ 3的直线的
参数方程为___________.x
4
在直线上或与直线平行的向量叫直线的方向向量.
试求倾斜角为α的直线L的一个单位方向向量.
倾斜角α是刻画直线方向的一个量，直线的
向量也是表示直线方向的一个量.设想如果数方程呢？
设直线L的单位方向向量为e＝OQ ＝（ｍ，ｎ），那么∠QOX=α根据
y
L
三角函数的定义有
（1）直线的参数方程与普通方程 y y0 tan( x x0 )的联系； （2）直线的参数方程与向量知识的联系；
（3）参数t的几何意义；
（4）应用：用参数t表示点的坐标、直线上两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的长，与中点对应的参数t .
2020/4/11
Corporate Culture
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？
哪些是常量？
（2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
直线的点角式参数方程 2020/4/11
Corporate Culture
8
经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
3.根据确定直线的这个几何条件，你认为 应当怎样选择参数？
即已知直线L经过点M0（x0，y0）且倾斜角为 α，选择什么变数为参数求直线的参数程？
2020/4/11
C知orpo识rate连Cult接ure （1） r
实数λ与向量 a 的积：
a
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；
Corporate Culture
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一、创设情景 2020/4/11
Corporate Culture
2
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
2.根据直线的几何条件，你认为用哪些几何条 件来建立参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
y y0 tan (x x0 )
2
1 2
t
（2）直线
x y
3 t sin 20（0 t为参y 数）3的倾斜2角3是t（ t cos 200
B）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
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练习 Corporate Culture
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3.直线x 3y 2 0的点角式参数方程为
_________ _x____2_ ___2_3_ t.
y 1t 2
x 3 1 t 2
4.已知直线L的参数方程
y
3
3t 2
（1）求当t=2时对应点的坐标
（2）求点M(2,3+31/2)所对应的t的值
和|MM0|.
（3）若直线L与y轴交于点A，M0的
2020/4/11
四、课堂小结 Corporate Culture
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本节课我们主要学习了直线的参数方程的推导及其简单应用， 学习后要把握以下几个知识点：
M0M (x, y)
又 M0M // e
(x0
,
y0
)
(x
y
x0
,
y
yL0
)
存在惟一实数t R，e
M α
uuuuuur r 使得 M0M te M0
o
x
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Corporate Culture
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(x x0, y y0 ) t(cos,sin )
x x0 t cos, y y0 t sin
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五、作业
P41习题2.3 1、(1), (2).
ar 3 ar
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
知识连接（2）
直线2020的/4/11方向向量C：orporate Culture
sinα＝n/1=n,cosα＝m/1=m α
Q（m,n）
∴e =(cosα, Sinα)
oe
x
二、新课讲授 2020/4/11
Corporate Culture
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设直线l的倾斜角为，且过定点M0 (x0 , y0 ) ，
M (x, y)是l上一动点.
r
设e是r 直线l的单位方向向量，则
e (cos ,sin ) uuuuuur
即 x x0 t cos, y y0 t sin,
所以，经过点M0（x0,y0),且倾
斜角为α的直线 的参数l 方程为 y L
e
x y
x0 y0
t cos t sin
(t为参数）
M0
M
α
O
x
直线的点角式参数方程 2020/4/11
Corporate Culture
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经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
x y
x0 y0
t cos（t为参数） t sin
②
注：参数方程形式上的特点:
（1）在x=x0+tcosα中，t的系数是cosα,在 y=y0+tsinα，t的系数是sinα ； （2）0≤sinα ≤1，-1<cosα≤1；
（3）sin2α+cos2α=1.
直2020线/4/11参数方程Co中rpo参rat数e Ct的 ultu几re 何意义 y
L
9
uuuuuur r r
e
由M oM te及 e 1可得， uuuuuur r uuuuuur
M α
M oM t e M oM t M0
o
x
uuuuuur r
当M uuuouMuur与er同向时，t 0； 当M oM与e反向时，t 0；
L
e
y αM0
当M与M0重合时，t 0.
o X
t 表示参uu数uuutur对应r 的点M到定点M0的距离M.
当Muuu0uMuur与er同向时，t取正数； 当M0 M与e异向时，t取负数；
当点M 与M0重合时，t 0.
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三.随堂练习 Corporate Culture
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(1)过点Mo(2,3)且倾斜角为2π/ 3的直线的
参数方程为___________.x
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在直线上或与直线平行的向量叫直线的方向向量.
试求倾斜角为α的直线L的一个单位方向向量.
倾斜角α是刻画直线方向的一个量，直线的
向量也是表示直线方向的一个量.设想如果数方程呢？
设直线L的单位方向向量为e＝OQ ＝（ｍ，ｎ），那么∠QOX=α根据
y
L
三角函数的定义有
（1）直线的参数方程与普通方程 y y0 tan( x x0 )的联系； （2）直线的参数方程与向量知识的联系；
（3）参数t的几何意义；
（4）应用：用参数t表示点的坐标、直线上两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的长，与中点对应的参数t .
2020/4/11
Corporate Culture
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
注：（1）直线的参数方程中哪些是变量？
哪些是常量？
（2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
直线的点角式参数方程 2020/4/11
Corporate Culture
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经过点M（0 x0, y0 ),倾斜角为的直线l的参数方程为：
3.根据确定直线的这个几何条件，你认为 应当怎样选择参数？
即已知直线L经过点M0（x0，y0）且倾斜角为 α，选择什么变数为参数求直线的参数程？
2020/4/11
C知orpo识rate连Cult接ure （1） r
实数λ与向量 a 的积：
a
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；