《参数方程的概念》优秀PPT课件
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参数方程的概念及圆的参数方程 课件
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐 标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上 点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝ ＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值， 由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么方程①
就叫做这条曲线的 参数方程 ，t叫做 参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理 意义或 几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数 方程可以与普通方程进行互化.
高二数学选修4-42参数方程的概念优选课堂.ppt
7
选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
简易辅导
8
y
M(x,y)
r
o
M0 x
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9
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是
M (x, y)，那么＝t，设OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cost x ,sin t y 即{x r cost (t为参数)
r
r y r sin t
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12
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
简易辅导
13
例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
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选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
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18
由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
参数方程优秀课件
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
参数方程的概念优秀课件
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
2.1.1 参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
出参数的取值范围并标注出来．
[通一类] 2.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA＝2a， 射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线 交于 B 点，作 PQ⊥OA 交 OA 于 D，PB∥OA， 试求点 P 的轨迹的参数方程． 解： P(x， 设 y)是轨迹上任意一点， 取∠DOQ＝θ， PQ⊥OA， 由
t∈R
x＝2m＋1 和 y＝m
(m∈R) 都表示直线 x＝2y＋1.
[研一题]
x＝2t 的参数方程是 y＝3t2－1
[例 1]
已知曲线 C
(t 为参数)
(1)判断点 M1(0，－1)和 M2(4 a 的值．
[精讲详析]
本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关
系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
(1)把点
x＝2t， M1 的坐标代入参数方程 y＝3t2－1，
0＝2t 得 －1＝3t2－1
，∴t＝0.
即点 M1 在曲线 C 上． 把点
x＝2t， M2 的坐标代入参数方程 y＝3t2－1，
[读教材· 填要点] 1．参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某 个变数 t
x＝ft， 的函数 y＝gt，
①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程
组①所确定的点 M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么 方程组① 叫做 这条曲线的参数方程． 联系变量 x，y 的 2．普通方程 相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做 普通方程．
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜2)．
[悟一法] (1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系， 设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根 据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．
高中数学《参数方程》第一课时 课件
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos s in
3(为参数)
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t (t为参数) t
求它与曲线xy
2 c os 2 sin
(为参数)的交点。
解：参数方程xy
1 1
t (t为参数)的普通方程为 t
x y20
曲线xy
2 cos 2 s in
(为参数)的普通方程为x2
x 2 pt2
y
2 pt
圆锥曲线的参数方程
从三角换元看参数方程
换元依据： cos2 sin2 1
圆
心在
原点，
半径
为r的
圆的
参数
方 程 xy
r r
cos sin
(为参
数)
中心在
原点
的椭圆
的 参数 方 程 xy
a cos b sin
(为
参数)
换元依据： sec2 tan2 1
32
22
y
M(x,y)
r
o
M0 x
x y
x0 y0
r r
cos s in
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
2、指出参数方程xy
2cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
2
)
以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半 径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox,垂 足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半 径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程.
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
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1
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
y
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x，
500
垂 直 高 度 为 y， 所 以
x 100t,
(x,y)
y
500
1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0源自1 0 m 时 投 放 物 资 ，
D、 ( 2 5 , 0 ) ; 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos2
的一个点的坐标(是C )
A、(2,7)B、(1, 1)，C、(1, 1),D(1,0)
32
22
.
6
训练2：
已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上.
xy1at22.t,(t为参数,aR)
（1）求常数a;
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 . .
3
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
8
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
.
9
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值. 范围
4
例1:
已知曲线C的参数方程是
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
2
12t
参数方程求法:
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所. 求的曲线的方程
（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得: t
x 1 2
y=t2
代入第二个方程得:
y
(
x
1 .
)
2
,
(x1)24y为 所 求 7 .
2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
x3t,
y
2t2
(t为参数 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C 的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
.
5
训练1
1、曲线
x
1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B)
y 4t 3
A、（1，4）；B、( 2 5 16
, 0 );
C、(1, 3);
1
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
y
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x，
500
垂 直 高 度 为 y， 所 以
x 100t,
(x,y)
y
500
1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0源自1 0 m 时 投 放 物 资 ，
D、 ( 2 5 , 0 ) ; 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos2
的一个点的坐标(是C )
A、(2,7)B、(1, 1)，C、(1, 1),D(1,0)
32
22
.
6
训练2：
已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上.
xy1at22.t,(t为参数,aR)
（1）求常数a;
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 . .
3
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
8
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
.
9
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值. 范围
4
例1:
已知曲线C的参数方程是
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
2
12t
参数方程求法:
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所. 求的曲线的方程
（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得: t
x 1 2
y=t2
代入第二个方程得:
y
(
x
1 .
)
2
,
(x1)24y为 所 求 7 .
2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
x3t,
y
2t2
(t为参数 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C 的位置关系；
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
.
5
训练1
1、曲线
x
1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B)
y 4t 3
A、（1，4）；B、( 2 5 16
, 0 );
C、(1, 3);