参数方程的概念和圆的参数方程 ppt课件
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参数方程的概念及圆的参数方程 课件
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐 标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上 点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝ ＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值， 由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么方程①
就叫做这条曲线的 参数方程 ，t叫做 参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理 意义或 几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数 方程可以与普通方程进行互化.
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
高考数学复习课件圆、椭圆参数方程
方程_______
例2 如图, 圆O的半径为2, P是圆上的动点, Q(6,0)
上的定点, M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周运
求点M的轨迹的参数方程。 解：设点M的坐标是( x, y)，
y P M
xOP ,
则P(2cos , 2sin ),
o
x 2cos 6 cos 3,
2
y 2sin sin
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
练习：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（4 ），短
为（ 2 ）,焦点坐标是（
）,准线方
（
），离心率是（ ）。
• 例3.已知椭圆 x2 y2 1，点P(x,y)是椭圆上一
2.1.1参数方程的概念
一、参数方程的概念：
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g(t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组(2)所确定 M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条 参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简
设P(x,y)为圆上的任一点,P0OP ,则
x r cos
①
y r sin
P(x,y) r
对于θ的每一个允许值,由方程组①所确定的点P( 在圆O上.
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的 参数方程，θ是参数.
2. 圆的参数方程的一般形式
P(x,y)
圆的普通方程为(x x0)2 ( y y0)2 r2 y
（
练习：
圆的参数方程精选教学PPT课件
P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所 确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、 y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
参数方程优秀课件
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
直线和圆的参数方程 ppt课件
直线的参数方程
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
【基础知识梳理】
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
是多少 ?
【规律方法总结】 直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下
常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，
t2，则弦长 AB＝|t1－t2|； ②设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM＝
t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
【练习】
已知直 l:x线 y10与抛物线 yx2交于 A,B两点 ,求线A条 B的长和点
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
答案：6( 3＋1) 解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解 得 t＝－6( 3＋1)． 根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
所以，由 t 的几何意义可得点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离
为︱－175︱＝175.
探究
直线 xx0 tcos , y y0 tsin.
t为参数
与曲线y f x交于M1,M2两点,对应的
参数分别t1,为 t2.
1曲线的M弦1M2的长是多?少 2线段M1M2的中点 M对应的参t的 数值
曲线参数方程之意义和圆的参数方程ppt
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
x 2 cos 1 P(x, y)是曲线 y sin (α为参数)上任意一点,则
练习
( x 5)2 ( y 4)2 的最大值为( A )
A．36 B． 6 C．26 D．25
法一：直接代入（应用 辅助角公式）
A(2，7)； B(1/3, 2/3)
C(1/2, 1/2)
D(1，0)
x sin 2 3.下列在曲线 y cos sin (为参数) 3 1 1 ( , 2 ) ( , ) C (2, 3) A 2 B 4 2
上的点是 ( B ) D (1, 3)
3.已知曲线C的参数方程 且点M(5,4)在该曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:
x 1 t 2
4.已知动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨 迹参数方程。
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
5、由方程x y 4tx 2ty 5t 4 0( t为 参数 )所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
这个方程组无解，因此点M2不在曲线上
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习
x 1 t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 y 4t 3(t为参数）
A(1，4)； B (25/16, 0)
C(1, -3)
D(±25/16, 0)
x sin (为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( ) 2、方程 D y cos
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1， 轨迹是什么就很清楚了
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显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例题讲解
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t, y2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：(11的 )把 坐点 标M(方 0,程 1)组 代， 入 0 解 把 所点 以 21(在 M5,M曲 4)代 线入 C,上 得 方到 程 。 4 5{组 23t2 t1,即tt5236
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2 ,那么，圆心在点O(x , y )
0
0
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
其对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
概念讲解
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ) ,
y
g (t).
变式练习
曲线
x1t2
,(t为参数）
，与x轴的交点坐标是
y4t3
(B )
A、（1，4） C、 (1, 3)
B、(
2 1
5 6
,
0
)
D、( 2
2002年5月1日，中国第一座身高108 米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列， 居亚洲第一。
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
设Mx, y, Px0, y0
由中
点
坐标
公,有 式x
x0 2
y y0
6 ,则x0y0 2x2y6
2
因为 P在 点圆上x0， 2y0所 24以
y
刻 t 惟一确定，因此
可以取 t 为参数。
M(x,y)
如果在时刻t，点M转 过的角度是θ，坐标 是M(x,y)，那么 θ=ωt，设 OM r
r
o
M0 x
y
由三角函数定义，有
M(x,y)
r
o
M0 x
cost x ,
r
sin t y
r
即
x
y
r cos r sin
t,(t为参数) t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周 运动的时刻）
这个方程组 ,所无 以解 点 2不M在曲线C上。
(2)因为点3(M6,a)在曲线C上，所以
{ a
62t32t1解得t2,a
9,所以，a
9
技法归纳
x f (t),
判断点 x0,y0在不在参数方程
y
g (t).
表示的曲线
上，只需把点的坐标带入方程组，
方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。
参数方程的概念及 圆的参数方程
高二数学组 敖香
问题探究（一）
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速 度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
所以 2x622y24即 x32y21
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
分析：取 xOP
为参数，则圆O的参数 方程是
x y
22csoins（为参数）
y P
o
M Qx
yP
M
o
Qx
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针 匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某 游客现在点（其中点和转轴的连线与水平 面平行）。问：经过t秒，该游客的位置 在何处?
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位 置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕
点O转动的角速度为w.
显然，点M的位置由时
解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O, 以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。
y
物资出舱后，设在时刻t，水平位
500
移为x，垂直高度为y
o
x
y 500
y
x h
vt 1
2
gt
2
（g=9.8m/s2)
o
x
即y
x 100t 5001 gt2
2
救 援 物 资 落 地 时 ， 有 y 0 ,得t10.10s. 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
（1）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数) 0,2
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
(其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时， OM0转过的角度。)
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般 地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到 的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程， 它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数 参数时，要注明参数及参数的取值范围。
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3(为参数)
y sin
技法归纳
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例题讲解
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t, y2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：(11的 )把 坐点 标M(方 0,程 1)组 代， 入 0 解 把 所点 以 21(在 M5,M曲 4)代 线入 C,上 得 方到 程 。 4 5{组 23t2 t1,即tt5236
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2 ,那么，圆心在点O(x , y )
0
0
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
其对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
概念讲解
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ) ,
y
g (t).
变式练习
曲线
x1t2
,(t为参数）
，与x轴的交点坐标是
y4t3
(B )
A、（1，4） C、 (1, 3)
B、(
2 1
5 6
,
0
)
D、( 2
2002年5月1日，中国第一座身高108 米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列， 居亚洲第一。
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
设Mx, y, Px0, y0
由中
点
坐标
公,有 式x
x0 2
y y0
6 ,则x0y0 2x2y6
2
因为 P在 点圆上x0， 2y0所 24以
y
刻 t 惟一确定，因此
可以取 t 为参数。
M(x,y)
如果在时刻t，点M转 过的角度是θ，坐标 是M(x,y)，那么 θ=ωt，设 OM r
r
o
M0 x
y
由三角函数定义，有
M(x,y)
r
o
M0 x
cost x ,
r
sin t y
r
即
x
y
r cos r sin
t,(t为参数) t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。 其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周 运动的时刻）
这个方程组 ,所无 以解 点 2不M在曲线C上。
(2)因为点3(M6,a)在曲线C上，所以
{ a
62t32t1解得t2,a
9,所以，a
9
技法归纳
x f (t),
判断点 x0,y0在不在参数方程
y
g (t).
表示的曲线
上，只需把点的坐标带入方程组，
方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。
参数方程的概念及 圆的参数方程
高二数学组 敖香
问题探究（一）
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速 度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
所以 2x622y24即 x32y21
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
分析：取 xOP
为参数，则圆O的参数 方程是
x y
22csoins（为参数）
y P
o
M Qx
yP
M
o
Qx
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针 匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某 游客现在点（其中点和转轴的连线与水平 面平行）。问：经过t秒，该游客的位置 在何处?
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位 置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕
点O转动的角速度为w.
显然，点M的位置由时
解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O, 以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。
y
物资出舱后，设在时刻t，水平位
500
移为x，垂直高度为y
o
x
y 500
y
x h
vt 1
2
gt
2
（g=9.8m/s2)
o
x
即y
x 100t 5001 gt2
2
救 援 物 资 落 地 时 ， 有 y 0 ,得t10.10s. 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
（1）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数) 0,2
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
(其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时， OM0转过的角度。)
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般 地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到 的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程， 它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数 参数时，要注明参数及参数的取值范围。
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3(为参数)
y sin
技法归纳
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式