参数方程的概念与圆的参数方程 课件(40张)
参数方程的概念及圆的参数方程 课件
类型三 圆的参数方程及应用
例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动 点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕 O作匀速圆周运动时， (1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所 表示的图形；
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2.
类型二 求曲线的参数方程
例2 如图，△ABP是等腰直角三角形动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 ①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x，y的值可以由参数惟一确定. (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐 标与参数的函数关系式，证明可以省略.
参数方程的概念及圆的参数方程
知识点一 参数方程的概念
思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上 点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.
梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某 个变数t(θ，φ，…)的函数xy＝ ＝fgtt，，①并且对于t的每一个允许值， 由方程组①所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上 ，那么方程①
就叫做这条曲线的 参数方程 ，t叫做 参数，相对于参数方程而言，
直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程 .
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理 意义或 几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数 方程可以与普通方程进行互化.
参数方程的概念、圆的参数方程
之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同 表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一
参数方程的表示与应用
x 1 2t， 【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参 2 y at ，
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分 别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意 义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一 点)位置时转过的角度.
【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变 量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因 而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系 并不一定是函数关系.
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指 明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线 也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间
圆的参数方程 课件
1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
参数方程：xy＝＝gftt， 化目标函数 φ(x，y)＝φ(t)的形式，然后用求函数最值的方法 求解．
2．注意化 F(x，y)＝0 为xy＝＝gftt， 要等价转化才能正确地求出最值，例如：(x－
则xy′′＝＝ccooss
θ＋sin θ，① θsin θ，②
①2－2×②，得 x′2－2y′＝1，即 x′2＝2y′＋12， ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 x2＝2y＋12的一部分|x|≤ 2，|y|≤12.
探究三 圆的参数方程的应用
[例 3] 已知点 P(x，y)是圆 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 上的动点，求： (1)x2＋y2 的最值； (2)x＋y 的最值． [解析] 由 x2＋y2－6x－4y＋12＝0， 得(x－3)2＋(y－2)2＝1，
3)2＋(y－2)2＝1(x≥3)⇔xy＝＝23＋＋scions
t， t
(－π2≤t≤π2)．
3．在直x＝3－ 的参数方程为
22t，
y＝ 5＋ 22t
(t 为参数)．在极坐标
系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)
中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；
即
x＝2＋5cos α， y＝1＋5sin α
(α∈R，α 为参数)．
怎样把普通方程化为参数方程 (1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式 sin2α＋cos2α ＝1. (2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同， 所表示的曲线也可能会有所不同．
圆的参数方程全面版
(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设 法点 M的坐标 (x,y)为 因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的 设坐 点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。
通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。
圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。
对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。
这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。
在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。
通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。
圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。
此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。
除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。
每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。
总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。
圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。
参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
（D）(1,0)
【解析】选C.由题意x=sinθ∈［-1,1］, y=cos2θ∈［-1,1］,故排除A. 由y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2,验证知C项正确.
3.若t＞0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是(
)
【解析】选B.由 x=1, t＞0，得方程表示射线，且只在第一象
三、解答题（共40分） 10.（12分）已知曲线C的参数方程是
x=1+2sin (θ 为参数， y=2-cos
0≤θ ＜2π ),试判断点A(1,3),B(0, 5 )是否在曲线C上.
2
【解析】
11.（14分）已知圆的极坐标方程为
2 -4 2cos(- )+6=0. 4
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.若点（-3， 3 ）在参数方程 x=6cos(θ 为参数)的曲线 -3
y=6sin
上，则θ =_______. 【解析】
答案：
8.把圆x2+y2+2x-4y+1=0化为参数方程为________. 【解析】圆x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程是 (x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2, 故参数方程为 x=-1+2cos (θ为参数).
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
三、解答题（共40分） 10.（12分）已知曲线C的参数方程是
x=1+2sin (θ 为参数， y=2-cos
0≤θ ＜2π ),试判断点A(1,3),B(0, 5 )是否在曲线C上.
2
【解析】
11.（14分）已知圆的极坐标方程为
2 -4 2cos(- )+6=0. 4
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
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• 2.求曲线参数方程的主要步骤: • 第一步，设点:画出轨迹草图.设M(x，y)为 轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据 几何条件选择点的位置，以利于发现变量 之间的关系.
• 第二步，选参:选择适当的参数.参数的选择 要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标 (x，y)与参数的关系比较明显，容易列出方 程.二是x，y的值可以由参数唯一确定.例如， 在研究运动问题时，通常选时间为参数;在 研究旋转问题时，通常选旋转角为参数. • 第三步，表示、结论:根据已知条件、图形 的几何性质、问题的物理意义等，建立点 的坐标与参数的函数关系式.证明可以省略.
• 【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程， 得x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心， a为半径的圆. • 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程 中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1 －a2＝0.
Hale Waihona Puke 想一想：本题不消参数怎么解？
• 【方法指导】(1)由极坐标方程与普通方程的 互化关系可得出半圆C的普通方程，从而写 出半圆C的参数方程，注意参数的取值范 围;(2)先设出D点坐标，然后由半圆C在点D 处的切线与直线l垂直，得出D点坐标.
• 1.曲线的参数方程的特点:曲线的参数方程 常常是方程组的形式，任意给定一个参数 的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任意一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值.在具体问题 中，如果要求相应曲线的参数方程，首先 就要注意参数的选取.
• 一般来说，选择参数时应注意考虑以下两 点:一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由 参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与x， y之间的相互关系比较明显，容易列出方程. 参数的选取应根据具体条件来考虑.可以是 时间，也可以是线段的长度、方位角、旋 转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动 点的坐标，等等.
第3课时 参数方程的概念 与圆的参数方程
• 已知P(x，y)是圆x2＋y2＝4上的任意一点，角 θ的终边在射线OP上，那么P的横坐标x、纵 坐标y与θ有什么关系?小组讨论，并写出它们 的关系式.
• 想一想:质点P(x，y)在平面直角坐标系上运 动，初始点在A(1，2)处，横坐标x按每秒增 加2个单位的速度，纵坐标y按每秒减少3个 单位的速度同时变化，试求质点P的运动轨 迹参数方程.在解答这个问题时，你把什么 当作参数?有什么具体的意义呢?
• 练一练:写出下列圆的参数方程.
• (1)x2＋y2＝9;(2)(x－1)2＋(y－2)2＝16.
No.1 middle school ，my love ！
• 【方法指导】判断点与曲线的位置关系， 只需将点的坐标代入曲线的参数方程.若方
程组有解，则说明点在曲线上;否则，点不
在曲线上.