线性代数题库[1]：化为行最简行矩阵
线性代数：4.2 用初等行变换解方程组
0
0
1 21
2
0 0 0 0 0
由此可知，r r 2 n 4，因此方程组有无穷多解。
继续对A作初等行变换，将其化为行最简形：
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2
A
0
0
1
21
2
0
0
121 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
对应的最简方程组是：
x1 x2 x3
补齐 写出通解
结束
x1 x2 x3 x4 0
例：
求解方程组
x1
x2
x3
3 x4
1
x1 x2 2x3 3x4 1 2
用其增广矩阵作初等行变换：
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
A
1
1
1 3
1
0
0
2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
1 1 1 1 0
42用初等行变换解方程组ax化为行最简形化为行阶梯形无解写出唯一解结束移项补齐写出通解化为最简方程化为阶梯方程求解方程组用其增广矩阵作初等行变换
§4.2 用初等行变换解方程组
方程组AX
化为阶梯方程
化为最简方程
增广矩阵A (A )
化为行阶梯形
是
否
r r?
化为行最简形
Байду номын сангаас
无解
否
是
r n?
移项
写出唯一解
t1 1 2 2t2
,
x4 t2
（“补齐”）
写成向量形式便是通解
x1 1 2 1 1
x2 x3
0 12
t1
1 0
线性代数习题册参考解答
第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）1347265；（2）321)1( -n n 。
【解】（1）62130000)1347265(=++++++=τ，偶排列；（2）2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。
当14,4+=k k n 时，2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时，4)(12(2)1(+=-k n n 排列。
■2、用行列式定义计算x x x xx f 111231112)(=中4x 和3x 的系数，并说明理由。
含4x 2；含有3x ，（4，4）的元素乘积项，而10=+，故3x 的系数为1-611612031102251611311061202251611301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D9300003003110225123242-=--=--r r r r 。
■4、求84443633224211124=D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===1201010*********12014,3,2==-=r r k k 。
■5、求x x m x D n -=111mD n n c c c nn-=+++ (21mm m x ni i c x c nk k k ---=∑=-=0101001)(1,,3,2111))((-=--=∑n ni i m m x 。
■6、求nn a a a D1001011110211=+，其中021≠n a a a 。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
线性代数 第二章第三节
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1
矩阵最简形的化简技巧和方法
矩阵最简形的化简技巧和方法
矩阵最简形是指矩阵的行最简形或列最简形，也称为阶梯形矩阵或简化行阶梯形
矩阵。化简矩阵可以通过以下步骤实现：
1. 从左到右逐列扫描矩阵，找到第一个非零元素所在的行。
2. 把这一行的第一个非零元素所在的列作为主元素，然后把主元素所在的行交
换到矩阵的最上面。
3. 对于主元素所在的行下面的每一行，将其主元素所在的列消为零，即将其主
元素所在的行乘以一个系数加到当前行上。
4. 重复执行步骤1-3，直到所有的列都被处理完毕。
5. 对于行最简形，将每一行的主元素所在的列右侧的所有元素都清零；对于列
最简形，将每一列的主元素所在的行下方的所有元素都清零。
6. 如果需要，可以通过交换行或列的顺序来进一步简化矩阵。
通过这些步骤，可以将任意矩阵化为最简形。
线性代数习题集
求 A2
A3
Ak
(2)设
A
0 0
1 0
0 1
求 Ak
7.
(1)设 A
3 1
13 ，求 A50 和 A51
(2)设 a
2 1
,
b
1 2
,
A
ab T , 求A100
3 4
8.(1)设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 (2)设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA
16.
设有线性方程组
1 0
1 2
2 1
x1 x2
1 3
，问取何值时
(1)有唯一解 (2)无0 解 0(3)有2无穷1多 x个3 解?5并在有无限多解时求其解.
17.取何值时
非齐次线性方程组
x1x1 xx22
x3 x3
1
(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷x1多个x2解 ?并x3 在有2 无限多解时求其解.
34xx11
x2 x2
2 x3 3x3
7 x4 6x4
0 0
x1 2x2 5x3 5x4 0
(4)
3742xxxx1111
43xx22
53xx33
27xx44
0 0
121xx22x133x33 x4160x4
0
14.求解下列非齐次线性方程组:
(1)
34xx11
2x2 x3 x2 2x3
11. 设 J 是 元 素 全 为 1 的 n(>=2) 阶 方 阵 ， 证 明 E-J 是 可 逆 方 阵 ， 且
线性代数练习册附答案
- .. - 优质文档-第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==011y xx ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求3AB -2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m+ a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m+ a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).- .7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．. - 优质文档-8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .- .. - 优质文档-9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ，求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ，矩阵B 满足AB =A+2B ，求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵，且ABC =E ,则必有（ ）. (A) ACB =E ； (B) CBA =E ； (C) BAC =E ； (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,- .. - 优质文档-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； (C) P 1P 2A =B ； (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵，将A 的第１列与第４列交换得B ，再把B 的第2列与第3列交换得C ，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010100001010001P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000010010000012P ，则C -1=（ ）. (A) A -1P 1P 2； (B)P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（ ）.(A) A -E 不可逆 ； (B) A -2E 不可逆 ； (C) A -3E 可逆； (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3)，B =(1,1/2,1/3)，令C =A TB ，求.6. 证明：如果A k =O ，则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1，k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ，求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .- .. - 优质文档-9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X （021≠n a a a ），求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时，0010413≠xx x.3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).4. 证明：3232a cb a b a ac b a b a acb a=++++++.- ..- 优质文档-5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x（5）nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a ．7．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明： |A *|=|A |n-1，(n ≥2)．- .. - 优质文档-8. 设A ,B 都是三阶矩阵，A *为A 的伴随矩阵，且|A |=2，|B |=1，计算 |-2A *B -1|．9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ，利用公式求A -1.复习题二1．设A ,B 都是n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A *、B *，证明：(AB )*=B *A *．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ，求A -1．3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是31矩阵，设A =( A 1, A 2, B 1,)，B =( A 1, A 2, B 2)，|A |=2，|B |=3，求|A+2B |．- .. - 优质文档-4．设A ,B 都是n 阶方阵，试证：AB E EA B E -=． 第3章 向量空间习 题1. 设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．2. 设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T；(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T,β3=(0,0,2)T .4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.- .6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．8. 设有向量组α1, α2, α3,α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, α3,α4, α5的秩．. - 优质文档-9. 设矩阵A = (1,2,…,n ), B =(n ,n -1,…,1)，求秩R (A TB ).10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.- ..- 优质文档- 11. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ，若A 的秩R (A )=2，求参数t 的值.12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ，求A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明：如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n ．14. 已知向量空间3R 的两组基为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β， 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ，已知A 的秩为3，求k 的值.- .. - 优质文档-2．设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ，若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )＝(α1, …,αs )K ，其中K 为r s 矩阵, 试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )＝r .3．设有三个n 维向量组A ：α1, α2, α3；B ：α1, α2, α3, α4；C ：α1, α2, α3, α5．若A 组和C 组都线性无关，而B 组线性相关，证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关．4．设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明：A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基；(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵；(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标．第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？- .. - 优质文档-4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ，讨论当k 为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ，求此方程组的的通解．7 .求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x- .. - 优质文档-8.设有向量组A ：12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 问向量β能否由向量组A 线性表示？9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解，ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关．复习题四1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则a =.2．设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π：α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T ,α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T，问a , b 为何值时, （1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．4．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+004221x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A =(α1, α2, α3, α4)，其中α2,α3, α4线性无关，α1=2α2-α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求- .. - 优质文档-非齐次线性方程组Ax=β的通解．6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关，且向量组γβα,,线性相关．第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 3的一组正交基．2.设A , B 都是n 阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵．3. 设A 是n 阶正交矩阵，且|A |=-1，证明：-1是A 的一个特征值．4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E |．- ..- 优质文档- 6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似，求y x ,；并求一个正交矩阵P ，使P -1AP =Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004．8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值，证明：(1)λA 是A *的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A *的特征值．9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ，求矩阵A ．复习题五- .. - 优质文档- 1.设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是．2.已知3阶矩阵A , A -E , E +2A 都不可逆，则行列式|A +E |=．3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ，已知A 与B 相似，则a , b 满足．4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，A α1=0, A α2=2α1+, α2，则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，求x ．6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ，证明A 的特征值只能是1或2． 7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量．(1) 求参数a , b 及特征值λ； (2) 问A 能否相似对角化？说明理由．8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ，求φ(A )=A 10-5A 9． 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型．- .. - 优质文档- 3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为２，求a 的值．4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形．5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ，若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=，求a 的值．7. 判别下列二次型的正定性：（1）312123222122462x x x x x x x f ++---=（2）4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=- .. - 优质文档-8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a 的取值X 围．复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵，B =λE +A TA ，试证：λ>0时，矩阵B 为正定矩阵．2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ，求b a ，的值．4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，2）（A E B +=k ，其中k 为实数，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并讨论k 为何值时，B 为正定矩阵．测试题一一、计算题：1.计算行列式111131112+=n D n.- .. - 优质文档- 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ，计算T B A 3． 3．设A 、B 都是四阶正交矩阵，且0<B ，*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -．4．设三阶矩阵A 与B 相似，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ，计算行列式E B 22-．5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ，且A 的秩为2，求常数b a ,的值． 二、解答题：6．设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α，其中4321,,,t t t t 是各不相同的数，问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示？说明理由． 7．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．8．问k 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．9．已知四阶方阵A ＝（4321,,,αααα），其中321,,ααα线性无关，3243ααα-=，求方程组4321αααα+++=Ax 的通解．10．三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11．设2112ααβ+=，32223ααβ+=，13334ααβ+=，且321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关．12．设A 为实对称矩阵，且满足O E A A =--22，证明E A 2+为正定矩阵． 测试题二一、填空题:１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为；２、已知A 为三阶正交矩阵，且A ＜０，则*AA =；３、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ，若A 不可逆，则=x ；４、设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001，则6A =； ５、“若向量组321,,ααα线性无关，向量组432,,ααα线性相关，则4α一定能由32,αα线性表示”．该命题正确吗？ 。
[整理版]线性代数习题三答案
第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。
求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
线性代数习题
§2.3 向量组的秩前面我们讨论了一个向量组中向量之间的关系，有的线性相关有的线性无关，那么多个向量组之间存在什么关系呢？一、 向量组的等价定义1：设有两个向量组A ：12,,,r ααα ，B ：12,,,s βββ 。
如果A 中的每一个向量都能由B 向量组中的向量线性表示，则称A 能B 由线性表示。
如果向量组A 能由B 线性表示，B 也能由A 线性表示，则称向量组A 与向量组B 等价。
例如：11221231,2,βααβααβα=+=-=，则：向量组Ⅰ12{,}αα与Ⅱ123{,,}βββ等价。
事实上，向量组Ⅱ能由向量组Ⅰ线性表示，又容易得到1123212321110,0,3333αβββαβββ=++=-+这表明向量组Ⅰ也能由向量组Ⅱ线性表示。
即由定义知这两个向量组等价。
向量组之间的等价关系具有下述性质： (1) 反身性：A 组与A 组自身等价；(2) 对称性：若A 组与B 组等价，则B 组与A 组等价；(3) 传递性：若A 组与B 组等价，B 组与C 组等价，则A 组与C 组等价。
定义2：向量组的初等变换 如果对向量组A 作以下变换（1） 交换中两向量的次序 （2） 用非零数k 乘中的某个向量（3） 把中某个向量的k 倍加到另一个向量上去，我们称这三种变换为向量组的初等变换。
显然，经过初等变换后所得的向量组B 与原向量A 组等价。
即A 与B 能互相线性表示。
（读者自己说明）。
因为矩阵的初等行变换，也就是对矩阵的行向量实施的以上三种初等变换，行等价的矩阵，它们的行向量组等价。
同理，列等价的矩阵，它们的列向量组也等价。
引理：为A 为m ×n 矩阵，如果m<n ，则齐次线性方程组AX=0必有非零解。
该引理是说，当方程个数小于其未知量的个数时，该齐次线性方程必有非零解。
这是因为：用消元法把系数矩阵化为阶梯形，则阶梯形矩阵中所含非零行的个数r 当然不会大于的行数，又由已知m<n ，有r<n ，或n-r>0，故对应阶梯形方程组中与首非零元对应的个未知量，并给其它的n-r 个未知量任意一组不全为零的数，就可以得到方程组的一个非零解。
线性代数期末题库线性方程组的基础解系与通解
线性代数期末题库线性方程组的基础解系与通解线性代数期末题库——线性方程组的基础解系与通解1. 引言线性方程组是线性代数中的重要概念，它涉及到线性方程的解的求解。
本文将介绍线性方程组的基础解系与通解的概念，及其求解方法。
2. 线性方程组的定义线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程都是线性函数。
一般形式为:```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ```其中，a\_ij为系数，x\_j为未知数，b\_i为常数。
3. 基础解系与通解的定义对于线性方程组Ax=b，如果存在一个非零向量v，使得Av=0，则称v为该方程组的一个基础解系。
如果线性方程组Ax=b有解，且v为该方程组的一个基础解系，那么该方程组的解集可以表示为x=v+k_1v₁+k₂v₂+...+k_rv_r，其中k_1, k_2,..., k_r为任意常数。
4. 求解基础解系与通解的方法为了求解线性方程组的基础解系与通解，需要先将线性方程组转化为矩阵的形式。
即Ax=b → [A|b]。
然后，可以通过高斯消元法来对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵变为行最简形（简化行阶梯形或行阶梯形）。
在这个过程中，可以得到系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，通过这些秩的关系可以判断方程组是否有解。
如果方程组有解，可以继续进行高斯约当消元法，将系数矩阵转化为行最简形，然后找到自由变量的位置，即非主元列，将非主元列对应的所有基础解系求出。
最后，通过线性方程组的通解公式x=v+k₁v₁+k₂v₂+...+k_rv_r，求解方程组的通解。
5. 总结本文介绍了线性方程组的基础解系与通解的概念，以及求解方法。
通过理解和运用基础解系与通解的概念与方法，可以更好地解决线性方程组的求解问题。
线性方程组是线性代数的基础内容，在实际应用中有着广泛的应用，如经济学、物理学等领域。
行最简形矩阵和最简形矩阵
行最简形矩阵和最简形矩阵今天我们来聊一聊什么是“行最简形矩阵”和“最简形矩阵”，嗯，这些名字一听就有点复杂对吧？不过别着急，我会让你明白的。
矩阵这个东西啊，咱们可以理解成一个大表格，里面全是数字。
你可以把它想象成一堆堆排得整整齐齐的数字，就像咱们排队一样，每一行是一个队伍，每一列是另一个队伍。
矩阵在数学中可有可没，但要是真的遇到它了，可不能小看它，它可是解决很多问题的神器！好啦，咱们言归正传，什么是“行最简形矩阵”呢？行最简形矩阵，其实就是在矩阵中，想办法把每一行的数字整齐得像是穿了西装的绅士，咋看咋顺眼。
比如，矩阵里的某一行，它可能是有一些冗余的数字，或者是数字之间有些关系没搞清楚，那咱们就得把它给“简化”一下，剩下最核心的部分。
比如，咱们让每一行前面的第一个数字变成1，接着再按照一定的规则，把其他数字给消除掉。
听起来像是在做魔术对吧？不过这也就是一种技巧，把复杂的事情变得简单，重点突出来！再来说说“最简形矩阵”吧。
这个东西其实就是行最简形矩阵的升级版。
简单点说，最简形矩阵就是矩阵变成最简单的样子，不光是每行每列都整齐，而且不管你怎么看它，都能一眼看出矩阵的核心所在。
就好像你看一个人，眼神一瞥就知道他是不是有能力，穿衣打扮是不是有品位。
这种矩阵啊，不仅有序，而且其每一列也要保持某种规律，尤其是主对角线上的数字一定得是1，其他地方的数字尽量为0。
看得出，简单就是最牛的！那怎么才能做到最简呢？哈哈，这就得靠我们用一连串的技巧，逐步把矩阵里多余的东西给删掉。
让它像一杯清汤，既不油腻又特别清爽。
其实吧，行最简形和最简形矩阵说白了就是把矩阵里复杂的部分消除掉，让它看上去更简洁、更易懂。
你想象一下，就像是咱们整理房间，最开始可能一堆东西乱七八糟，地上全是衣服和杂物，搞得自己都不想进门。
可是，当你动手一通整理，把不需要的东西都丢掉，地板干干净净的，你一进门，哇！那种爽感简直不用说。
所以，矩阵也是，越简化，越有序，越能体现出数学的美。