《坐标系与参数方程》课件
选修4-4 极坐标系与参数方程
一、极坐标系与极坐标
1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。有序数对___________叫做点M 的极坐标，记为___________.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
3、若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4、极坐标与直角坐标的互化：_________________________ , ______________________
__________________________ ,_______________________
5、圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是________________；
在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程________________； 在极坐标系中，以 )2
,a (C π
(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是______________；
6、直线的极坐标方程
在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线（ ）
在极坐标系中，过点)0a )(b ,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是__________. 在极坐标系中，过点A(a,)b ，且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是________________
二、参数方程
1、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个
变数t 的函数???==),
t (g y ),
t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2、常见的参数方程与普通方程
（1）圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.
rsin b y ,
rcos a x 为参数θθθ???+=+=.
（2）椭圆1b y a x 22
22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数????
??==.
（3）抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,
2pt x 2
为参数?
??==.
（4）经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 即____________________的参数方程可表示为?
??+=+=.tsin y y ,
tcos x x o o αα（t 为参数）。
3、在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致.
三、基础训练：
1．在极坐标系中，过点)6,4(π
，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是________________
2．在极坐标系中，圆心在)4
A(1,π
，半径为1的圆的极坐标方程是___________________.
3. 极坐标方程θθρ4sin 2cos -=化为直角坐标方程是_______________________.
4. 在极坐标系中，极点到直线2
2
)4(sin =+πθρ的距离是____________.
5.在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ） A. B.
C.
D.
6.参数方程)(.cos2
1y ,
cos x 为参数θθθ???+==化为普通方程是_______________________.
7.椭圆)(.3sin y ,
5cos x 为参数θθθ?
??==的焦点坐标是_________________________.
8．双曲线)t (.
t 1t y ,t
1t x 为参数???
???
?-=+=的离心率是_________________________.
9、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33
R t t y t x ∈?
??-=+=参数，圆C 的参数方程为
[])20(2
sin 2cos 2πθθθ
，参数∈??
?+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .
10、在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是
四、大题训练
（一） 圆和直线的方程互化
1、（2015年全国1卷）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为4
π
θ=
，设32,C C M N 与交点为，求2C MN ?的面积
2、在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l
的参数方程为2x y t
?=-??=??t 为参数），
圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；
()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ?PB 的值．
3、已知在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为
3
x t y =-???=??（t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=. (I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围．
(二）圆与直线位置关系
1、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），
2
π
），圆C
的参数方程为
22cos,
2sin
x
y
θ
θ
=+
??
?
=
??
（θ为参数）
（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系。
2、圆C的极坐标方程为2cos
ρθ
=，直线l
的参数方程为
1
2
11
22
x
y t
?
=
??
?
?=+
??
（t为参数），点A的
极坐标为)
4
π
，设直线l与圆C交于点,P Q.
（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）求||||
AP AQ
?的值．
3、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y θ
θ???
＝＝（θ为参数），直线l 经
过定点P （2，3），倾斜角为
3
π
． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆的标准方程； （Ⅱ）设直线l 与圆相交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值．
（三）动点问题
1、（2014年全国卷2） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos 0，，2πρθθ??=∈????
（1）求C 的参数方程
（2）设D 点在曲线C 上，C 在点D 处的切线与直线l
：2+垂直，请确定D 点坐标
2、（2011年全国卷）直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,(2+2sin x y α
αα=??=?
为参数）
，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =r r
，P 点的轨迹为曲线2C （1）求2C 的方程
（2）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线=3
π
θ与1C 的异于极点的交
点为A ，与2C 异于极点的交点为B ，求AB
（四）圆锥曲线方程与取值范围
1、在直角坐标系中，曲线C 1
的参数方程为：2cos ,
,
x y αα=???=??（α为参数），以原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：cos ρθ=.求曲线C 2的直角坐标方程与曲线C 1的普通方程
2、（2012年全国卷）已知曲线1C 的参数方程为2cos ,(3sin x y ?
??=??=?为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是=2ρ，正方形ABCD
的顶点都在2C 上，且A,B,C,D 依次按逆时针次序排列，点A 的极坐标为23
π
（，）
（1） 求A,B,C,D 的直角坐标
（2） 设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围