【附20套高考模拟试题】2020届安徽省(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)五校
安徽省五校(怀远一中等)2020届高三联考语文试题及参考答案
怀远一中蒙城一中淮南一中颍上一中涡阳一中2020 届高三“五校”联考语文试题命题学校:涡阳一中考试时间：2019年12月7日注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题,9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
《红楼梦》虽是女性的悲剧，女性的颂歌，但全局最中心的人物，还是男性的贾宝玉。
他是中国封建社会末期的母腹中开始孕育的“新人”的胚胎。
他为女性唱颂歌，唱悲歌，都是他作为“新人”的表现。
所谓“新人”，就是有了“人的觉醒”的人。
但是贾宝玉的觉醒，不是看到了自己是个“人”，自感人的尊严，倒是看到自己是人当中的“渣滓浊沫”，自惭形秽。
这似乎很奇怪，其实也不奇怪,无非他还仅仅是“新人”的胚胎的缘故。
贾宝玉对女性的尊重，并不是来自理性的认识，而是来自直接的感受。
他对一切“峨冠博带”的“须眉男子”深恶痛绝，又在自己的家庭，自己的身边，长期接触到那么多的美丽聪明的青年女性，看到她们受到不应有的轻视,看到她们的地位是那样屈辱，命运是那样悲惨，对她们又爱又敬，为她们又悲又愤，回过来就更对“须眉男子”深恶痛绝。
他对女性的尊重，看来也许有过于美化的地方，其实那只是他所理想的最完美的“人”，穿着女装罢了。
他在穿着女装的“人”面前自惭形秽，就是以理想的完美的“人”的标准来要求自己。
实际上人类的“渣滓浊沫”并不是宝玉，而是贾琏、贾环、薛蟠之流，正因此，他们决不会自惭形秽，他们正自幸生为“须眉男子”，可以奴役女人，在女人面前自觉高她们一等。
贾宝玉对女性的尊重，实质上就是对“人”的尊重。
他理想着完美的“人”，但是现实中的男人他觉得太丑恶了，只有美丽的女性才比较能做他塑造“人”的完美形象的原型。
2020年安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中五校高考数学模拟试卷
2020年安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中五校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题四个选项中只有一项是符合题意的）1. 已知集合M={x|0≤x≤1}，N={x∈N|x2−2x−3<0}，则M∩N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.{1}D.{0,1}2. 设z=3+i1−2i，则|z|＝（）A.2B.√3C.√2D.13. 已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log1312，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a4. 已知(1−x)6＝a0+a1x+a2x2+……+a6x6，则|a0|+|a1|+|a2|+……+|a6|＝（）A.0B.64C.1D.325. 函数y＝−sin x|cos x|在[−π, π]上的图象大致是（）A.B.C.D.6. 中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种（）A.8B.9C.10D.117. 已知非零向量a→，b→满足|a→|=34|b→|，cos<a→，b→>=13，若(ma→+4b→)⊥b→，则实数m的值为（）A.9B.10C.11D.−168. 在如图所示的算法框图中，若输入的x=45，则输出结果为（）A.15B.25C.35D.459. 设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1＝b1>0，a9＝b9，则下列关系正确的是（）A.a5>b5B.a5<b5C.a5≥b5D.a5≤b510. 已知函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−1，(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象（）A.关于直线x=π3对称 B.关于直线x=π6对称C.关于点(−π6, −1)对称 D.关于点(π12, −1)对称11. 定义在[−2, 2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为−12，−16，1，43，则函数y=f(x)e x的单调递减区间是( )A.(−16, 43) B.(−12, 1) C.(−12, −16) D.(1, 2)12. 已知椭圆C的右焦点为F(1, 0)，点A在椭圆C上，且AF与x轴垂直，点B与点A关于原点O对称，直线BF与椭圆C的另一个交点为P，若PA⊥AB，则C的方程为（）A.x22+y2＝1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)＝ln(2x+1)，则f(x)在x＝0处的切线方程为________．数列{a n}为等比数列，且a1＝f(x−3)，a2＝3，a3＝f(x+1)，其中f(x)＝3⋅2x，则a nf(n)+f(n)a n的最小值为________．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别是F1，F2，M是C渐近线上一点，且|OF2|＝|OM|，|MF1|−|MF2|＝2√2a，则双曲线的离心率为________2√33．在三棱锥P−ABC中，AB＝BC＝CA=√3，PA＝1，PB＝2，二面角P−AB−C的平面角大小为π3，则此三棱锥的外接球表面积为________13π3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a⋅(2sin A+sin C)+c⋅(2sin C+sin A)＝2b⋅sin B．（1）求角B的大小；（2）若b=√3，且△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PCD，AD // BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．（1）证明：PO⊥平面ABCD．（2）若OB＝1，求点C到平面PAB的距离．在《新冠病毒肺炎诊疗标准（试行第七版）》中，出院标准为连续两次痰、鼻咽等呼吸道标本核酸检测为阴性，即对患者两次核酸检测结果均为阴性，才能出院．由于病毒的含量达到一定程度才能检测出来，在少数情况下，病毒携带者可能检测为阴性，也就是常说的“假阴性”．假定核酸检测对痊愈者检测结果一定为阴性，对病毒携带者检测结果为阳性的概率为45．（1）求一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率；（2）假设有5名患者经过治疗后，仍有2名病毒携带者，现对这5名患者逐一进行核酸检测，若第一次检测为阳性，则认为该患者为未康复，不再进行检测，继续治疗，若第一次检测为阴性，第二次检测为阳性，则认为该患者未康复，继续治疗，若连续两次检测为阴性则判断为符合出院标准，可以出院，设对5名患者共需要检测的次数为X，求X的分布列和数学期望．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于P，Q两点，|PQ|＝10．（1）求抛物线C的方程；（2）过点(3, 0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，已知M(−3, 0)，且以线段AM为直径的圆与直线x＝−3的另一个交点为N，试问在x轴上是否存在一定点，使得直线BN恒过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=cos xx，g(x)＝x sin x+cos x，（1）判断函数g(x)在区间(0, 2π)上的零点的个数；（2）记函数f(x)在区间(0, 2π)上的两个极值点分别为x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)<0．[选修4-4坐标系与参数方程]=√2+ρsinθ，直线l的极坐标方程为：ρ(cosθ−sinθ)=在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为：2√2−ρsinθ1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy．(1)求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；(2)求证：|MA|⋅|MB|＝|ME|⋅|MF|．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x−1|−2|x+3|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)若存在实数x，使不等式m2−3m−f(x)<0成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020年安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中五校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．每小题四个选项中只有一项是符合题意的）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，集合M={x|0≤x≤1}，N={x∈N|x2−2x−3<0}={x∈N|−1<x<3}={0, 1, 2}，∴M∩N={0, 1}．故选D.2.【答案】C【考点】复数的模【解析】利用复数模的运算性质即可得出．【解答】z=3+i1−2i ，则|z|=√32+1222=√2．3.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵0＝log31<a＝log3e<log33＝1，b＝ln3>ln e＝1，c＝log1312=log32<a＝log3e，∴b>a>c．4. 【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】令x＝−1求得a0−a1+a2−...+a6，再由|a0|+|a1|+|a2|+……+|a6|＝a0−a1+a2−...+a6求得结果．【解答】令x＝−1有a0−a1+a2−...+a6＝26＝64，又由题意可得|a0|+|a1|+|a2|+……+|a6|＝a0−a1+a2−...+a6＝64，5.【答案】B【考点】正弦函数的图象二倍角的三角函数【解析】根据函数y＝−sin x|cos x|在[−π, π]上是奇函数，排除选项A，D；再根据0≤x≤π时y＝−sin x|cos x|≤0，排除选项C．【解答】函数y＝−sin x|cos x|在[−π, π]上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当0≤x≤π时，sin x≥0，所以y＝−sin x|cos x|≤0，排除选项C．6.【答案】B【考点】计数原理的应用【解析】写出可能出现的胜负情况，进而得出积分情况，由此得解．【解答】打完3场比赛，可能出现的胜负情况为：三胜，二胜一平，二胜一负，一胜二平，一胜二负，一胜一平一负；三平，二平一负，一平二负；三负；对应的积分依次为：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9种积分情况．7.【答案】D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，求得实数m的值．【解答】∵已知非零向量a→，b→满足|a→|=34|b→|，cos<a→，b→>=13，若(ma→+4b→)⊥b→，∴ (ma →+4b →)⋅b →=ma →⋅b →+4b →2=m ⋅34|b →|⋅|b →|⋅13+4|b →|2=0，求得m ＝−16， 8.【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】根据程序框图功能，先进行模拟计算，得到x 的值具备周期性，利用周期性进行计算即可． 【解答】x =45，n ＝1，x =35，n ＝2，x =15，n ＝3，x =25，n ＝4，x =45，n ＝5， 故呈现出周期为4的特点，当n ＝2019时，输出结果与n ＝3相同，为x =15， 9.【答案】 C【考点】等比数列的性质 基本不等式及其应用 等差数列的性质 【解析】利用等差数列与等比数列的性质可得：a 5=a 1+a 92，b 5=√b 1b 9=√a 1a 9，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】设等差数列{a n }公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1>0，a 9＝b 9， 则b 9＝b 1q 8>0，∴ a 9＝b 9>0． a 5=a 1+a 92，b 5=√b 1b 9=√a 1a 9，由基本不等式的性质可得：a 1+a 92≥√a 1a 9，∴ a 5≥b 5． 10.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论． 【解答】∵ 函数f(x)＝sin ωx +√3cos ωx −1＝2sin (ωx +π3)−1； ∴ T =2πω=π⇒ω＝2；∴ f(x)＝2sin (2x +π3)−1；∵ 当x =π3时，f(x)＝−1，不是最值，故A 错误，当x =π6时，f(x)=√3−1，不是最值，故B 错误， 故C 不成立；当x =−π6时，f(x)＝−1，故C 对；当x =π12时，f(x)＝1为最大值，故D 错误， 11.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】 要求函数y =f(x)e x的单调递减区间，结合选项，令y′<0，由函数f(x)与其导函数f′(x)的图象解求得答案．【解答】 解：∵ y =f(x)e x ， ∴ y′=f ′(x)−f(x)e x，令y′<0，得：f′(x)−f(x)<0，即f′(x)<f(x)， 由图可知，当−12<x <1时，f′(x)<f(x)， ∴ 函数y =f(x)e x的单调递减区间是(−12, 1)．故选B . 12. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】设A ，P 的坐标代入椭圆的方程可得y 12−y 02x12−x 02=−b 2a 2，由题意可得B 的坐标，进而求出直线PA ，PB 的斜率之积，再由椭圆可得A ，B 的坐标，进而求出直线PB 的斜率进而求出PA ，AB 的斜率可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程． 【解答】设A(x 1, y 1)，P(x 0, y 0)，则由题意可得B(−x 1, −y 1)，可得{x 12a2+y 12b 2=1x 02a 2+y 02b 2=1，所以可得y 12−y 02x 12−x 02=−b 2a2，所以k PB ⋅k PA =y 0+y 1x0+x 1⋅y 0−y 1x0−x 1=y 02−y 12x02−x 12=−b 2a 2，由题意且AF 与x 轴垂直，可得A(1, b 2a)，B(−1, −b 2a)，所以k PB ＝k BF =0−(−b 2a)1+1=b 22a，所以k PA =−2a，因为k AB ＝k OA =b 2a，又因为PA ⊥AB ，所以k AB ⋅k PA ＝−1，所以−2a ⋅b 2a=−1，所以a 2＝2b 2，而c ＝1，a 2＝b 2+c 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】y ＝2x 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到所求切线方程． 【解答】函数f(x)＝ln (2x +1)的导数为f′(x)=22x+1，可得切线的斜率为2，切点为(0, 0)， 则切线方程为y ＝2x ． 【答案】 2【考点】数列与函数的综合 【解析】由函数解析式结合a 1＝f(x −3, a 3＝f(x +1)求得a 1，a 3，由等比中项的概念列式求得x 的值，即可求得数列{a n }的通项公式，再由基本不等式可求得最小值． 【解答】∵ f(x)＝3⋅2x ，a 1＝f(x −3)＝3⋅2x−3，a 3＝f(x +1)＝3⋅2x+1，数列{a n }为等比数列，∴ a 22＝a 1a 3，即9＝9⋅22x−2，解得x ＝1， ∴ a 1＝，a 2＝3，a 3＝12， ∴ a n ＝3⋅4n−2，则a nf(n)+f(n)a n ≥2√a nf(n)⋅f(n)a n=2，当且仅当f(n)＝a n ，即n ＝4时取等号，则an f(n)+f(n)a n的最小值为2．【答案】2√33．【考点】双曲线的离心率 【解析】设M 的坐标，由题意可得F 1M ⊥F 2M ，进而可得F 1M →⋅F 2M →=(x 0+c, ba x 0)(x 0−c, ba x 0)＝0，解得M 的坐标，求出|MF 1|，|MF 2|的值再求|MF 1||MF 2|=√4c 4−4a 2c 2，由题意可得|MF 1||MF 2|，两式联立可得a ，c 的关系，进而求出离心率的值． 【解答】由|OF 2|＝|OM|=12|F 1F 2|＝c ，可得F 1M ⊥F 2M ，设M(x 0, bax 0)，F 1M →⋅F 2M →=(x 0+c, ba x 0)(x 0−c, ba x 0)＝0，可得x 02−c 2+b 2a 2x 02＝0，解得x 02＝a 2，即M(a, b)， |MF 1|=√(a +c)2+b 2=√2c 2+2ac ，|MF 2|=√(a −c)2+b 2=√2c 2−2ac ，所以|MF 1||MF 2|=√4c 4−4a 2c 2，①而||MF 1|−|MF 2|＝2√2a ，两边平方可得|MF 1|2|+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|＝(2√2a)2，而|MF 1|2+|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c)2，所以|MF 1||MF 2|＝4a 2−2c 2②，由①②可得(2a 2−c 2)2＝c 4−a 2c 2，可得4a 2＝3c 2，所以离心率e =ca =2√33， 【答案】13π3【考点】二面角的平面角及求法 【解析】由题意可得PA ⊥AB ，三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点E ，PB 中点F ，连接CE ，EF ，可得AB ⊥平面CEF ．则∠CEF 为二面角P −AB −C 的平面角等于π3，得到平面CEF ⊥平面PAB ，平面CEF ⊥平面ABC ，可知F 为△PAB 的外心，设G 为△ABC 的外心，分别过F 、G 作平面PAB 、ABC 的垂线，相交于O ，则O 为三棱锥P −ABC 的外接球的球心，由四点E 、F 、O 、G 四点共圆求得OE ，进一步求出三棱锥P −ABC 外接球的半径OA ，再由球的表面积公式求解． 【解答】如图，由PA ＝1，AB =√3，PB ＝2，得PA 2+AB 2＝PB 2，则PA ⊥AB ，三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点E ，PB 中点F ，连接CE ，EF ， 可得EF ⊥AB ，CE ⊥AB ，又EF ∩CE ＝E ，得AB ⊥平面CEF ． 则∠CEF 为二面角P −AB −C 的平面角等于π3，而AB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面ABC ，∴ 平面CEF⊥平面PAB ， 平面CEF ⊥平面ABC ，F 为△PAB 的外心，设G 为△ABC 的外心，分别过F 、G 作平面PAB 、ABC 的垂线，相交于O ， 则O 为三棱锥P −ABC 的外接球的球心． 四点E 、F 、O 、G 四点共圆，EF =12PA =12，EG =13CE =13√3−34=12，则△EFG 为等边三角形， ∴ OE =12sin π3=√33． 则三棱锥P −ABC 外接球的半径为OA =√OE 2+AE 2=√13+34=√1312． ∴ 此三棱锥的外接球表面积为4π×(√1312)2=13π3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【答案】因为a ⋅(2sin A +sin C)+c ⋅(2sin C +sin A)＝2b ⋅sin B ．所以由正弦定理可得：a ⋅(2a +c)+c ⋅(2c +a)＝2b ⋅b ⇒a 2+c 2−b 2＝−ac ；① 所以：cos B =a 2+c 2−b 22ac=−12；∵ 0<B <π； ∴ B =2π3；∵ △ABC 的面积为√34， ∴ 12ac sin B =12ac ×√32=√34⇒ac ＝1；∵ a 2+c 2−b 2＝−ac ⇒(a +c)2−b 2＝ac ⇒a +c ＝2； ∴ △ABC 的周长为：2+√3．【考点】 正弦定理 【解析】（1）先根据正弦定理结合余弦定理即可求得结论；（2）先根据面积公式求出ac ，再结合余弦定理求出a +c ，进而求得结论．【解答】因为a ⋅(2sin A +sin C)+c ⋅(2sin C +sin A)＝2b ⋅sin B ．所以由正弦定理可得：a ⋅(2a +c)+c ⋅(2c +a)＝2b ⋅b ⇒a 2+c 2−b 2＝−ac ；① 所以：cos B =a 2+c 2−b 22ac=−12；∵ 0<B <π； ∴ B =2π3；∵ △ABC 的面积为√34， ∴ 12ac sin B =12ac ×√32=√34⇒ac ＝1；∵ a 2+c 2−b 2＝−ac ⇒(a +c)2−b 2＝ac ⇒a +c ＝2； ∴ △ABC 的周长为：2+√3．【答案】证明：∵ AP ⊥平面PCD ，∴ AP ⊥CD ．∵ AD // BC ，BC =12AD ，∴ 四边形BCDE 为平行四边形， ∴ BE // CD ，∴ AP ⊥BE ．又∵ AB ⊥BC ，AB =BC =12AD ，且E 为AD 的中点，∴ 四边形ABCE 为正方形，∴ BE ⊥AC ．又AP ∩AC ＝A ，∴ BE ⊥平面APC ，则BE ⊥PO ．∵ AP ⊥平面PCD ，∴ AP ⊥PC ，又AC =√2AB =√2AP ， ∴ △PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点， ∴ PO ⊥AC 且AC ∩BE ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ． ∵ OB ＝1，∴ PA =PB =AB =√2． 设C 到平面PAB 的距离为d ， 由V C−PAB ＝V P−ABC ， 得13×√34×(√2)2×d =13×12×(√2)2×1，解得点C 到平面PAB 的距离为d =2√33．【考点】点、线、面间的距离计算 直线与平面垂直【解析】（1）推导出AP⊥CD．四边形BCDE为平行四边形，从而BE // CD，进而AP⊥BE．推导出四边形ABCE为正方形，从而BE⊥AC．进而BE⊥平面APC，则BE⊥PO．由AP⊥平面PCD，得AP⊥PC，推导出PO⊥AC，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）设C到平面PAB的距离为d，由V C−PAB＝V P−ABC，能求出点C到平面PAB的距离．【解答】证明：∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD．∵AD // BC，BC=12AD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE // CD，∴AP⊥BE．又∵AB⊥BC，AB=BC=12AD，且E为AD的中点，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC．又AP∩AC＝A，∴BE⊥平面APC，则BE⊥PO．∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥PC，又AC=√2AB=√2AP，∴△PAC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，∴PO⊥AC且AC∩BE＝O，∴PO⊥平面ABCD．∵OB＝1，∴PA=PB=AB=√2．设C到平面PAB的距离为d，由V C−PAB＝V P−ABC，得13×√34×(√2)2×d=13×12×(√2)2×1，解得点C到平面PAB的距离为d=2√33．【答案】一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率为：P＝(1−45)(1−45)=125．X的可能取值有8，9，10，且P(X＝8)=45×45=1625，P(X＝9)=45×15×2=825，P(X＝10)=15×15=125，∴X的分布列为：E(X)＝8×1625+9×825+10×125=425．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算；（2）计算X的可能取值对应的概率，得出分布列与数学期望．【解答】一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率为：P＝(1−45)(1−45)=125．X的可能取值有8，9，10，且P(X＝8)=45×45=1625，P(X＝9)=45×15×2=825，P(X＝10)=15×15=125，∴X的分布列为：E(X)＝8×1625+9×825+10×125=425．【答案】由抛物线的方程可得焦点F(p2, 0)，由题意设直线PQ的方程为：x=12y+p2，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，联立直线与抛物线的方程：{x=12y+p2y2=2px整理可得：y2−py−p2＝0，所以y1+y2＝p，x1+x2=12(y1+y2)+p=32p，由抛物线的性质可得|PQ|＝x1+x2+p=52p＝10，所以p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝8x；显然直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为x＝ty+3，A(x3, y3)，B(x4, y4)，联立直线AB与抛物线的方程可得：{x=ty+3y2=8x，整理可得y2−8ty−24＝0，y3+y4＝8t，y3y4＝−24，由题意可得MN⊥AN，所以N(−3, y3)，假设存在定点E(a, 0)满足条件，则B，N，E三点共线，所以k BN＝k NE，即y3−y4−3−x4=y3−0−3−a，整理可得3y3+ay3−3y4−ay4＝3y3+x4y3，即ay3−3y4−ay4＝(ty4+3)y3＝ty3y4+3y3，所以a(y3−y4)＝ty3y4+3(y3+y4)＝−24t+3⋅8t＝0，又y3≠y4，所以a＝0，即存在定点(0, 0)满足条件．【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的标准方程【解析】（1）设直线PQ 的方程与抛物线联立求出两根之和，又由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，假设存在E 点满足条件，由三点共线可得斜率相等，求出等式，将两根之和及两根之积代入可得定点的坐标为(0, 0)． 【解答】由抛物线的方程可得焦点F(p2, 0)，由题意设直线PQ 的方程为：x =12y +p2，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 联立直线与抛物线的方程：{x =12y +p2y 2=2px整理可得：y 2−py −p 2＝0，所以y 1+y 2＝p ，x 1+x 2=12(y 1+y 2)+p =32p ，由抛物线的性质可得|PQ|＝x 1+x 2+p =52p ＝10，所以p ＝4，所以抛物线的方程为：y 2＝8x ；显然直线AB 的斜率不为0，由题意设直线AB 的方程为x ＝ty +3，A(x 3, y 3)，B(x 4, y 4)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{x =ty +3y 2=8x ，整理可得y 2−8ty −24＝0，y 3+y 4＝8t ，y 3y 4＝−24，由题意可得MN ⊥AN ，所以N(−3, y 3)，假设存在定点E(a, 0)满足条件，则B ，N ，E 三点共线，所以k BN ＝k NE ，即y 3−y 4−3−x 4=y 3−0−3−a ，整理可得3y 3+ay 3−3y 4−ay 4＝3y 3+x 4y 3，即ay 3−3y 4−ay 4＝(ty 4+3)y 3＝ty 3y 4+3y 3，所以a(y 3−y 4)＝ty 3y 4+3(y 3+y 4)＝−24t +3⋅8t ＝0， 又y 3≠y 4，所以a ＝0，即存在定点(0, 0)满足条件．【答案】g′(x)＝x cos x ，x >0，当x ∈(0,12π)时，g′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(12π,32π)时，g′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(3π2,2π)时，g′(x)>0，函数单调递增，且g(0)＝1>0，g(12π)=12π>0，g(π)＝−1<0，g(3π2)=−3π2<0，g(2π)＝1>0，故函数g(x)在(0, 12π)，(π,3π2)上不存在零点，存在x 1∈[12π,π]，使得g(x)＝0，同理x 2∈[3π2,2π]使得g(x)＝0 综上，g(x)在区间(0, 2π)上的零点有2个， f ′(x)=−x sin x+cos xx 2，由（1）可得，g(x)＝x sin x +cos x 在区间(12π,π)，(3π2,2π)上存在零点，所以f(x)在(12π,π)，(3π2,2π)上存在极值点x 1<x 2，x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，同理在(nπ,(n +1)π)上存在极值点x n ，又因为y ＝sin x 在(12π,32π)上单调递减，则sin x 1>sin (x 2−π)＝−sin x 2， ∴ sin x 1+sin x 2>0，又因为x i sin x i +cos x i ＝0(i ＝1, 2)，即1x i=−tan x i ，又12π<x 1<π<3π2<x 2<2π，∴1x 1>1x 2即−tan x 1>−tan x 2，∴ tan x 1<tan x 2＝tan (x 2−π)，∵ x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，x 2−π∈(12π,π)， 由y ＝tan x 在(12π,π)上单调递增可得12π<x 1<x 2−π<π． ∴ f(x 1)+f(x 2)=cos x 1x 1+cos x 2x 2=−sin x 1−sin x 2再由y＝sin x在(12π,π)上单调递减，得sin x1>sin(x2−π)＝−sin x2，∴sin x1+sin x2>0，所以f(x1)+f(x2)<0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，然后再结合零点判定理即可求解；（2）结合极值存在的条件及正弦与正切函数的性质进行分析可证．【解答】g′(x)＝x cos x，x>0，当x∈(0,12π)时，g′(x)>0，函数单调递增，当x∈(12π,32π)时，g′(x)<0，函数单调递减，当x∈(3π2,2π)时，g′(x)>0，函数单调递增，且g(0)＝1>0，g(12π)=12π>0，g(π)＝−1<0，g(3π2)=−3π2<0，g(2π)＝1>0，故函数g(x)在(0, 12π)，(π,3π2)上不存在零点，存在x1∈[12π,π]，使得g(x)＝0，同理x2∈[3π2,2π]使得g(x)＝0综上，g(x)在区间(0, 2π)上的零点有2个，f′(x)=−x sin x+cos xx2，由（1）可得，g(x)＝x sin x+cos x在区间(12π,π)，(3π2,2π)上存在零点，所以f(x)在(12π,π)，(3π2,2π)上存在极值点x1<x2，x1∈(12π,π)，x2∈(3π2,2π)，同理在(nπ,(n+1)π)上存在极值点x n，又因为y＝sin x在(12π,32π)上单调递减，则sin x1>sin(x2−π)＝−sin x2，∴sin x1+sin x2>0，又因为x i sin x i+cos x i＝0(i＝1, 2)，即1x i=−tan x i，又12π<x1<π<3π2<x2<2π，∴1x1>1x2即−tan x1>−tan x2，∴tan x1<tan x2＝tan(x2−π)，∵x1∈(12π,π)，x2∈(3π2,2π)，x2−π∈(12π,π)，由y＝tan x在(12π,π)上单调递增可得12π<x1<x2−π<π．∴f(x1)+f(x2)=cos x1x1+cos x2x2=−sin x1−sin x2再由y＝sin x在(12π,π)上单调递减，得sin x1>sin(x2−π)＝−sin x2，∴sin x1+sin x2>0，所以f(x1)+f(x2)<0．[选修4-4坐标系与参数方程]【答案】(1)解：曲线C的极坐标方程为22−ρsinθ=√2+ρsinθ，转换为直角坐标方程为C:x2+2y2=2,x22+y2=1．直线l的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)=1转换为直角坐标方程为：y=x−1，联立C与l的方程得：3x2−4x=0，解得A(0,−1),B(43,13)．由于AB中点为M，∴M(23,−13)．(2)证明：由(1)利用两点间的距离公式的应用得：|MA|=|MB|=2√23，∴|MA|⋅|MB|=89．又设AB的垂直平分线EF:{x=23−√22t,y=−13+√22t,代入C的方程得：32t2−4√23t−43=0，∴|ME|⋅|MF|=|−4332|=89．∴|MA|⋅|MB|=|ME|⋅|MF|．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】(1)解：曲线C的极坐标方程为2√2−ρsinθ=√2+ρsinθ，转换为直角坐标方程为C:x2+2y2=2,x22+y2=1．直线l的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)=1转换为直角坐标方程为：y=x−1，联立C与l的方程得：3x2−4x=0，解得A(0,−1),B(43,13 )．由于AB中点为M，∴M(23,−13)．(2)证明：由(1)利用两点间的距离公式的应用得：|MA|=|MB|=2√23，∴|MA|⋅|MB|=89．又设AB的垂直平分线EF:{x=23−√22t,y=−13+√22t,代入C的方程得：32t2−4√23t−43=0，∴|ME|⋅|MF|=|−4332|=89．∴|MA|⋅|MB|=|ME|⋅|MF|．[选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)f(x)=|x−1|−2|x+3|={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1, x+7,x≤−3,当x≥1时，−x−7<1，解得x≥1；当−3<x<1时，−3x−5<1，解得−2<x<1；当x≤−3时，x+7<1，解得x<−6．综上得x<−6或x>−2．∴不等式的解集为(−∞, −6)∪(−2, +∞).(2)∵存在实数x，不等式m2−3m−f(x)<0成立，∴存在实数x，不等式m2−3m<f(x)成立．∴存在实数x，不等式m2−3m<[f(x)]max成立．又f(x)={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1, x+7,x≤−3,∴f(x)max=f(−3)=4，∴m2−3m<4，解得−1<m<4．∴m的范围是(−1, 4)．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得存在实数x，不等式m2−3m<[f(x)]max成立，由一次函数的单调性可得f(x)的最大值，结合二次不等式的解法可得所求范围．【解答】解：(1)f(x)=|x−1|−2|x+3|={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1,x+7,x≤−3,当x≥1时，−x−7<1，解得x≥1；当−3<x<1时，−3x−5<1，解得−2<x<1；当x≤−3时，x+7<1，解得x<−6．综上得x<−6或x>−2．∴不等式的解集为(−∞, −6)∪(−2, +∞).(2)∵存在实数x，不等式m2−3m−f(x)<0成立，∴存在实数x，不等式m2−3m<f(x)成立．∴存在实数x，不等式m2−3m<[f(x)]max成立．又f(x)={−x−7,x≥1,−3x−5,−3<x<1,x+7,x≤−3,∴f(x)max=f(−3)=4，∴m2−3m<4，解得−1<m<4．∴m的范围是(−1, 4)．第21页共22页◎第22页共22页。
安徽省怀远一中、蒙城一中等五校2020届高三联考数学(理)试题及参考答案
安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）命题单位： 审题单位：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，共150分，共4页。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是 A.{}1,1,4- B.{}1,0,4 C.{}1,2,4 D.{}2,1,4-2.复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为 A.iB. i -C.1D.1-3.《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为1.732≈≈） A.1.012米 B.1.768米 C.2.043米 D.2.945 米4.数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k = A.10 B.15 C.20 D.255.已知向量(),1λ=-a ，()1,3=-b ，若，则λ的值为（ ） A.3- B.2- C.0 D.16.曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为A.1B.3C.6D.87.已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1>q ”是“1012112+>S S S ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为9.已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系 A.两两平行B.两两异面C.两两垂直D.两两相交10.安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A.0.04y x =B. 1.0151xy =- C.tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()11log 310y x =-11.设函数()()21ln x f x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．则函数()f x 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.312.锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=． 则ABC ∆面积的取值范围是A.14,33⎛⎫⎪⎝⎭B. C.()1,2 D.3⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是 ．14.cos102cos20cos10-⋅= ．15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则b = ．16.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一 种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）， 如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底 边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的 表面积为 平方分米.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知221a b +=.（1）求证：1a b ab -≤-；（2）若0a b ⋅>，求()()33a b a b +⋅+的最小值.18.（12分）把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移6π个单位，向上平移12个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来1ω()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123PQ QR π==.（1）求()f x 解析式； （2）求m 的值.19.（12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==-，131144n n n a a b +-=+ ，111443n n n b b a +-=-. （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；（2）若22n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .20.（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，,E F 分别为AB 的三等分点FG ED BC ∥∥，BC AB ⊥，BC CD ⊥， 3 ,2AB BC ==，若沿着,FG ED 折叠使得点,A B 重合，如图2所示，连结,GC BD .（1）求证：平面GBD ⊥平面BCE ； （2）求二面角C GB D --的余弦值.21.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠. 求AM ．22.（12分）已知函数()1()cos 1()x f x ex ax a R +=++-∈.（1）若()f x 在()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当 1a =-时，若实数1212,()x x x x <满足12()()2f x f x +=，求证：120x x +<.安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考数学试题（理科）一、选择题二、填空题13.90； 14. 15.0或1-； 16.33π三、解答题17.【解析】（1）要证原不等式，即证： ()()221a b ab -≤-，只需证：()()22110a b --≤，∵221a b +=， ∴221,1a b ≤≤∴()()22110a b --≤，故原不等式成立. …………………………5分 （2）()()334334a b a b a ab a b b +⋅+=+++44a b ≥+()2221a b=+=…………………………10分18.【解析】（1）由题意可得()()1sin 062f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， T PQ QR π=+=，∵2T πω=，且0ω>，∴2ω=.()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. …………………………6分 （2）设()0,P x m ，0,3Q x m π⎛⎫+⎪⎝⎭，则0011sin 2sin 262362x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得02k x π=()k Z ∈，则1sin 62m k ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵0m >∴1m =. …………………………12分19.【解析】（1）由题意可知131144n n n a a b +-=+，111443n n n b b a +-=-，111a b +=，113a b -=， ∴()11313111144442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=++=+---+，即()1112n n n n a b a b ++=++，∴数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，故112n n n a b -+=，…………………………3分∵1131311124444n n nn n n n n a b a b b a a b ++骣琪=+-=-+琪桫----， ∴数列{}n n a b -是首项3、公差为2的等差数列，故21n n a b n -=+.…………………………6分 (2)由(1)可知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=+， ∴()()221212n n n n n n n n n c a b a b a b -+=-=-⋅+=，…………………………8分()0111113521222n n S n -=⨯+⨯+++⨯ ①①式两边同乘12，得()()1211111135212122222n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①－②得()0111111132122222n n nS n -⎛⎫=++++-+⨯ ⎪⎝⎭ ∴125102nn n S -+=-…………………………12分20.【解析】（1）取,BD BE 的中点分别为,O M ，连结,,GO OM MF .OM ED ∥且12OM DE =， 又∵GF ED ∥，且12GF ED =∴GF OM ∥且GF OM =∴四边形OMFG 是平行四边形，故GO FM ∥ ∵M 是EB 的中点，三角形BEF 为等边三角形， 故FM EB ⊥∵平面EFM ⊥平面BCDE∴FM ⊥平面BCDE ，因此GO ⊥平面BCDE 故平面GBD ⊥平面BCE …………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()0,1,2C ，()0,0,2D，1,12G ⎫⎪⎪⎝⎭，故()0,0,2BC =，31,12BG ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()0,1,2BD =-设平面CBG 的法向量为m (),,x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m BC m BG ，即2020z y z =⎧⎪-+=， 令1x =得m ()=，设平面DBG 的法向量为n (),,x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n BD n BG ，即2020y z y z -=⎧⎪-+=， 令1z =得n ()0,2,1=，cos ,m n=⋅⋅mn mn 5==∵二面角C GB D --的平面角是锐角，设为θ ∴cos θ=…………………………12分 21.【解析】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，得()222a b c ab +-=，即222a b c +=∴90C =； …………………………4分 （2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=- 由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM ABθθ=--， 即cos 2sin AB AM θθ⋅=…………………………8分在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=由正切定义：tan 2AC θ=在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，…………………………10分 ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==.…………………………12分22.【解析】（1）()1()sin 1x f x ex a +'=-+-由()f x 在()1,-+∞上单调递增， 故当1x >-时，()1sin 10x e x a +-+-≥恒成立即()1sin 1x a ex +≤-+设()()()1sin 11x g x ex x +=-+>-，()()1cos 1x g x e x +'=-+，∵1x >-，∴()11,cos 11x ex +>+≤∴()0g x '>，即()g x 在()1,-+∞上单调递增， 故()()11g x g >-=∴1a ≤；…………………………5分（2）当1a =-时，()()1cos 1x f x e x x +=+++，()()1sin 110x f x e x +'=-++>∴()f x 在R 上单调递增，又∵()11f -=且()()122f x f x +=， 故121x x <-<要证120x x +<，只需证21x x <-即证()()21f x f x <-，只需证()()112f x f x -<- 即证()()1120f x f x +--> 令()()()2h x f x f x =+--，()h x '()()()()11sin 11sin 11x x e x e x +-=-+++-+--112cos1sin x x e e x +-=--⋅令()112cos1sin x x x ee x ϕ+-=--⋅，()112cos1cos 22cos1cos 0x x x e e x e x ϕ+-'=+-⋅≥-⋅>∴()x ϕ在(),1-∞-上单调递增∴()()211sin 20x e ϕϕ<-=--<，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，∴()()()12120h x h f >-=--=，故原不等式成立. …………………12分。
安徽省怀远一中、蒙城一中等五校2020届高三联考数学(理)试题及参考答案
）
A. 0
B.
1
C.
2
D.
3
12. 锐角 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 sin A C 5
则 ABC 面积的取值范围是
b sin A uuur uuur ， BA BC
uuur uuur AB AC
2 2c ．
a
A.
14 ,
B.
33
3, 2 3
C.
1,2
D.
43 3,
A. 1
B.
3
C.
6
D.
8
7. 已知正项等比数列 an 的公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，则“ q 1 ”是“ S10 S12 2 S11 ”的 (
)
五校联考 理科数学 第 1 页（共 9 页）
A. 充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
8. 函数 f ( x)
∵ an+1 -
bn+1
=
3 an -
4
1 bn +1 4
骣琪琪桫34 bn
-
1 an -
4
1
= an - bn + 2 ，
∴数列 an bn 是首项 3、公差为 2 等差数列，
故 an bn 2n 1 . ………………………… 6 分
(2) 由 (1) 可知， an bn
1 2n
1
，
an
bn
2n 1，
22. （ 12 分）
已知函数 f ( x) ex 1 cos x 1 ax( a R) . （ 1）若 f (x) 在 1, 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 a 1 时，若实数 x1, x 2 (x1 x2 ) 满足 f (x1) f (x2) 2 ，求证： x1 x2 0 .
淮南一中 蒙城一中 颍上一中 怀远一中
淮南一中 蒙城一中 颍上一中 怀远一中2015届高三“四校”联考数学（文科）试题命题学校 颍上一中 考试时间 2015年5月2日试题说明：本试卷分第I 卷（客观题）和第II 卷（主观题）两部分，共150分，时间120分钟。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）1.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若复数z 满足29)52(=-z i ，则=z （ ）A. 25i -B. 25i +C. 25i --D. 25i -+ 2.抛物线24x y =的准线方程为（ ）A. 1-=yB. 161-=x C. 1-=x D. 161-=y 3.设集合A={}22(,)1x y x y +=,B= {}(,)1x y x =,则A ⋂B 子集的个数是（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 44.问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查.方法：Ⅰ、随机抽样法 Ⅱ、分层抽样法III 、系统抽样法.其中问题与方法配对较适宜的是( )A. ①Ⅰ，②ⅡB. ①III ，②ⅠC. ①Ⅱ，②IIID. ①III ，②Ⅱ 5.命题p ：“[)1)3(log ,,1020≥+∞∈x x 使得存在”，则命题p 的否定是（ ）A. [)0021,,(log 3)1x x ∈+∞<存在使得 B. [)0021,,(log 3)1x x ∈+∞≥存在使得C. [)21,,(log 3)1xx ∈+∞<任意都有D. [)21,,(log 3)1xx ∈+∞≥任意都有6.要得到2cos 2y x x =-的图像，只需将x y 2sin 2=的图像（ ）A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度7.已知等差数列{}n a 中，11=a ，70=n a )3(≥n .若{}n a 公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( )A ．3,23,69 B. 4,24,70 C. 4,23,70 D. 3,24,70 8.设y x 、满足约束条件⎩⎨⎧>-+≥-+07205y x y x ，则目标函数22y x z +=的最小值为（ ）A.549B.11C.225 D.13 9.已知矩形ABCD 中，22AB BC ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足0≥•的概率是（ ）A.44π- B. 4π C. 1616π- D. 16π10.设函数43, 0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0af x f x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A. ]1,0(B. [)1,+∞C. []0,1D. ()1,+∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）11. 函数12log (34)1y x =--的定义域是 ；12.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的取值集合为 ；13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值 为 ；14. 运行如右图的程序框图，若输出的y 随着输入的x 的增大而减 小，则a 的取值范围是 ；15.如图所示，在确定的四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD .(1)若AB ⊥CD ，则截面EFGH 与侧面ABC 垂直； (2)当截面四边形EFGH 面积取得最大值时，E 为AD 中点；(3)截面四边形EFGH 的周长有最小值；(4)若AB ⊥CD ，AC BD ⊥，则在四面体内 存在一点P 到四面体ABCD 六条棱的中点的距离相等.上述说法正确的是 ． 三、解答题：（本大题共6题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本题满分12分)已知函数2()sin()cos()()2sin 632xf x x xg x ππ=+-+=，． （I ）求函数()()y f x g x =+的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，A 为锐角，且角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若5a =，453)(=A f ,求ABC ∆面积的最大(第１2题图)(第１4题图)(第１5题图)值.17．(本题满分12分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（I ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数； （II ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（III ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率． 18．(本题满分12分)如图，在四棱锥A BCED -中，ABC ∆为正三角形， EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，M 为棱EA 的 中点，2CE BD =.（I ）求证：DM ∥平面ABC ；（II ）求证：平面BDM ⊥平面ECA ．19．(本题满分13分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =+，n N *∈.（I ）求1a 、2a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）设1(3)n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <.20．(本题满分13分)已知函数1()ln ,f x x ax a R x=-+∈. （I ）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 值； （II ）讨论函数()f x 在其定义域内的单调性； （III ）定义：若函数()h x 在区间D 上任意12,x x 都有1212()()()22x x h x h x h ++≤，则称函数 ()h x 是区间D 上的凹函数.设函数2()(),0g x x f x a '=>，其中)(x f '是)(x f 的导函数．根据上述定义．．．．，判断函数()g x 是否为其定义域内．．．．的凹函数，并说明理由. 21．(本题满分13分)设椭圆E : 22221x y a b+=0a b >>（）过22M e （，），(32),N e 两点，其中e 为椭圆的 离心率，O 为坐标原点.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）过椭圆右焦点F 的一条直线l 与椭圆交于,A B 两点，若AB OB OA =+，求弦AB 的长.(第１8题图)2015届高三“四校”联考数学（文科）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADBCCDBCAB11. 43(,]3212. {}2,3,5 13.4- 14. 131,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 15.②④ 三、解答题16、解：()sin cos+cos sincos cos+sin sin6633f x x x x x ππππ=-=3sin x()1g x =-cos x …………………3分（1）y=()()f x g x +=3sin x -cos x +1=2sin -+16x π⎛⎫⎪⎝⎭令322,()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得252233k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ 所以y=()()f x g x +的单调递减区间是252,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ ……6分（2）∵35(A)3sinA f ==∴15sinA = 又∵A 为锐角∴1cosA 4=又∵a=5， ∴2222251cosA 224b c a b c bc bc +-+-=== …8分 ∴221522b c bc bc +=+≥∴103bc ≤当且仅当 b=c=3103时,bc 取得最大值 ∴ΔABC 的面积最大值为1515sinA 2bc = ……………12分 17、解：（I ）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数20015.030==M …………………………………………… 3分（II ）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小.所以，乙校学生的成绩较好.…………………………………………7分（III ）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为:1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1,2）、（13）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6），总共有15个基本事件.其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A ,则A 包含9个基本事件，如下：（1,5）、（1,6）、（2,5）、（2,6）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6）. …………………10分所以，53159)(==A P …………………………………………………12分 18、解：（1）取AC 中点N ，连接MN,BN由于M 、N 分别是AE 、AC 的中点，∴MN //21EC ，又BD //21EC ∴ MN //BD 从而MNBD 为平行四边形∴ DM//BN,又,DM ABC BN ABC ⊄⊆面面N所以DM//面ABC ………………6分 (2) 由（1）及∆ ABC 为等边三角形，∴BN 丄AC ， 又BD 丄面ABC ∴BD 丄AC, BN ∩BD=B 从而AC ⊥面BDN ，即AC 丄面BDMN而AC 在平面AEC 内， ∴面EAC ⊥上面BDMN, 即面ECA 丄面BDM ………12分19、解：（1）当1n =时，11a =+，又10a >，则11a =.同理求得23a =， .…………………2分由1n a =+，2n ≥时，11n n S S -=-+，即)211n S --=，又0n a >10>1=，即1=，所以是以1为首项1为公差的的等差数列.n =，代入1n a =+得21n a n =-，n N *∈.…………………6分（2）由（1）知21n a n =-， 所以()()12122n b n n =<-+()()12121n n =-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,………9分则111111123352121n T n n ⎛⎫<-+-++- ⎪-+⎝⎭L 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 所以12n T <. …………………13分 20、解：（1）由题意211'()f x a x x=++ 又()f x 在 1x =处切线与x 轴平行从而2a =-……………………………………4分(2) 由222111'()ax x f x a x x x++=++= (0)x > ① 当0'()0a f x ≥>时，恒成立，此时()f x 在定义域∞（0,+)内单调递增……..6分 ② 当0a <时，令'()0f x > 得210ax x ++> 而方程210ax x ++=有二根③12x x ==120x x >> 从而()f x 在1(0,)x 上递增，1(,)x +∞上递减， ……..8分综上，0a ≥时，()f x 在∞（0,+)上递增；0a <时，()f x 在1(0,)x 上递增，1(,)x +∞上递减……………………9分 (3)由题意2()1(0),(0,)g x ax x a x =++>∈+∞…………………10 分 令任意12,(0,)x x ∈+∞ 则2121212()()1222x x x x x xg a +++=++ 22121122()()(1)(1)22g x g x ax x ax x ++++++=所以12()2x x g +-12()()2g x g x +=212()04a x x --≤……………12分 也即12()2x x g +≤12()()2g x g x + 故()g x 是其定义域内的凹函数………….13分'(1)20f a ∴=+=21、解：（1）⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1341442422222b a c b a c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13)(4424222b a b a b ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==8422a b 14822=+y x ………………..6分（2=，得OA OB ⊥u u u r u u u r………………..7分若直线l 斜率不存在时直线l 方程为2=x 此时A （2，2），B （2，2-）不满足OA OB ⊥u u u r u u u r………………..8分若直线l 斜率存在时不妨设直线l 方程为)2(-=x k y ，A ),(11y x ，B ),(22y x联立0888)12(148)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+⇒128812822212221k k x x k k x x 又∵124]4)(2[)2()2(2221212212211+-=++-=⇒⎩⎨⎧-=-=k k x x x x k y y x k y x k y ∴201284,002222121=∴=+-∴=+⇒=⋅k k k y y x x ………………..11分52124)(1212212=-++=x x x x k ………………..13分。
2020年1月安徽省淮南市普通高中2020届高三毕业班第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前安徽省淮南市普通高中2020届高三毕业班上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年1月注意事项：1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的信息.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效，在试题卷、草稿卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的）1.若集合{}|21A x x =-≤，|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =（ ） A. []1,2-B. (]2,3C. [)1,2D. [)1,3【答案】C【解析】【分析】先求出集合A ,集合B 中元素的范围,然后求交集即可. 详解】解：由已知{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤,{}||2B x y x x ⎧===<⎨⎩, [)1,2A B ∴⋂=,故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.2.已知R a ∈,i 为虚数单位,若复数1a i z i +=+是纯虚数,则a 的值为（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】()()()()()()111=1112a i i a a i a i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =-故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题．3.已知a ,b 都是实数,那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用对数函数单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数,由“lg lg a b >”有a b >成立,反之不成立,例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件.。
2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)高三联考数学(理)试题
2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是（ ） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4D ．{}2,1,4-【答案】A 【解析】由题选择A B 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】 依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性； 当0a =，B 选项正确； 当2a =，C 选项正确； 当2a =-，D 选项正确； 故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-， 所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-，若()1,3b =-r，3232a b a b -=+，则λ的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅的值解得未知数. 【详解】由题：3232a b a b -=+，所以223232a b a b -=+，化简得：0a b ⋅=，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积 【详解】由题：2222220((4))428x x x dx xdx x--===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积. 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项 【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S . 8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（ ） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定. 10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x <--=-=<， 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．()1,2D ．3⎫⎪⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，11223ABCSBC =⨯⨯∈⎭， 所以面积取值范围⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是____________． 【答案】90【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR 即,RP RQ 的最大值，由图便知. 【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ 的最大值即0,90RA RB =. 故答案为：90 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=____________．【答案】 【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅cos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅cos30=-=-故答案为： 【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。
【语文】安徽省五校2020届高三联考试题(解析版)
安徽省五校（怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）2020届高三联考语文试题一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
《红楼梦》虽是女性的悲剧，女性的颂歌，但全局最中心的人物，还是男性的贾宝玉。
他是中国封建社会末期的母腹中开始孕育的“新人”的胚胎。
他为女性唱颂歌，唱悲歌，都是他作为“新人”的表现。
所谓“新人”，就是有了“人的觉醒”的人。
但是贾宝玉的觉醒，不是看到了自己是个“人”，自感人的尊严，倒是看到自己是人当中的“渣滓浊沫”，自惭形秽。
这似乎很奇怪，其实也不奇怪,无非他还仅仅是“新人”的胚胎的缘故。
贾宝玉对女性的尊重，并不是来自理性的认识，而是来自直接的感受。
他对一切“峨冠博带”的“须眉男子”深恶痛绝，又在自己的家庭，自己的身边，长期接触到那么多的美丽聪明的青年女性，看到她们受到不应有的轻视,看到她们的地位是那样屈辱，命运是那样悲惨，对她们又爱又敬，为她们又悲又愤，回过来就更对“须眉男子”深恶痛绝。
他对女性的尊重，看来也许有过于美化的地方，其实那只是他所理想的最完美的“人”，穿着女装罢了。
他在穿着女装的“人”面前自惭形秽，就是以理想的完美的“人”的标准来要求自己。
实际上人类的“渣滓浊沫”并不是宝玉，而是贾琏、贾环、薛蟠之流，正因此，他们决不会自惭形秽，他们正自幸生为“须眉男子”，可以奴役女人，在女人面前自觉高她们一等。
贾宝玉对女性的尊重，实质上就是对“人”的尊重。
他理想着完美的“人”，但是现实中的男人他觉得太丑恶了，只有美丽的女性才比较能做他塑造“人”的完美形象的原型。
他唱的女性的颂歌，其实就是“人”的颂歌。
但是,他又眼见一幕又一幕的女性的悲剧，眼见这人世间仅有的美，逃不了毁灭的命运。
开始觉醒者寻到的光明总是微弱的。
贾宝玉所能寻到的一点光明是微弱的，他的心情是悲凉的，但是他这个艺术形象作为“新人”（尽管还只是胚胎）的力量却是强的。
这个艺术形象十分可爱。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届安徽省(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）五校高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ()A ．2018B ．2019C ．12 D ．22．设,x y 满足约束条件2103230360x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．310C ．313D ．53．若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[0,]π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的最小值为（ ） A ．23 B ．34 C ．43 D ．324．已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )A ．B ．C ．D ． 5．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） A ．310B ．1010C ．1010-D ．31010-6．函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A ．3B ．2105 C ．3D ．858．函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 取值范围为（ ）A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+9．若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<10．函数的零点所在的区间是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0]π，恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知n T 为数列212n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若101013n T >+恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数()2ln x f x a x x a=+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围是___．14．若函数()x xf x e e -=-，则不等式(21)(2)0f x f x ++->的解集为__．15．已知定义在()0,∞上的函数()f x 的导函数()f x '是连续不断的，若方程()0f x '=无解，且()0,x ∀∈+∞，()201512018f f x og x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =，()()41o 3,1o 3b f g c f g π==，则,,a b c的大小关系是______________.16．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有n mn ma a a +=，若数列{}n b 满足23log ()1n n b a =+，则数列21{}n n b b +的前n 项和n T 的取值范围是_______.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数2()ln (1)f x x a x =--.若0a >，求()x 的单调区间；证明：存在正实数M ，使得()0f M >.18．（12分）已知1MN =，3MP MN =u u u r u u u u r，当N ，M 分别在x 轴，y 轴上滑动时，点P 的轨迹记为E .求曲线E 的方程；设斜率为(0)k k ≠的直线MN 与E 交于P ，Q 两点，若PN MQ=，求k .19．（12分）已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60o 的二面角，点M 在线段AB 上．若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．20．（12分）如图，在四棱锥E-ABCD 中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD=DA=6，AB=2，DE=3.求棱锥C-ADE 的体积；求证：平面ACE ⊥平面CDE ；在线段DE 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BCE ？若存在，求出EFED 的值；若不存在，说明理由.21．（12分）已知,a b 为正实数，函数()|||2|f x x a x b =--+.求函数()f x 的最大值；若函数()f x 的最大值为1，求224a b +的最小值.22．（10分）随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过三小时． (Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 9．D 10．C11．B 12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．[),e +∞14．1(3，)+∞ 15．a c b >>.16．12[,)2115三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）见证明. 【解析】 【分析】（1）先求f′（x ），研究()'f x 的分子，根据二次函数的性质判断f′（x ）的符号得出f （x ）的单调性； （2）当0a ≤时，()210a x --≥，只需找一个x>1，使得lnx>0即可；当0a >时，由（1）知()()0f x f x ≤，只需证()00f x >即可，构造函数，通过导函数证明即可. 【详解】（1）()f x 定义域为()0,+∞，()2221'ax ax f x x--=-，248a a ∆=+.当0a >时，0∆>，()'f x有一个零点02a x a+=. 当()00,x x ∈时，()'0f x >，当()0,x x ∈+∞时，()'0f x <， 所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减.（2）当0a ≤时，存在正实数M e =，使得()()2110f M a e =-->. 当0a >时，0112x =>. 由（1）知()()()2000ln 1f x f x x a x ≤=--. 由()0'0f x =，得()00112a x x -=，所以()00011ln 22f x x x =+-. 设()11ln 22g x x x =+-，当1x >时，()221'02x g x x -=>， 所以()g x 在()1,+∞单调递增，所以()()10g x g >=,即()00f x >，存在正实数0M x =，使得()0f M >. 【点睛】本题考查了利用导数进行函数单调性的判断，考查了存在性问题与函数最值的转化，考查分类讨论思想，属于中档题．18．（1）22194x y +=（2）k ＝±23．【解析】 【分析】（1）设M(0，m)，N(n ，0)，P(x ，y)，列x,y 关于m,n 的表达式，利用m,n 的关系式，即可求解E 的方程；（2）设MN ：y ＝kx ＋m ，与椭圆联立求得MN 中点横坐标，利用MN 和PQ 的中点重合，列方程求解即可 【详解】（1）设M(0，m)，N(n ，0)，P(x ，y)， 由|MN|＝1得m 2＋n 2＝1．由MP u u u v ＝3MN u u u u v得(x ，y －m)＝3(n ，－m)， 从而x ＝3n ，y －m ＝－3m ， 所以n ＝x 3，m ＝－y2， 所以曲线E 的方程为22x y 194+=．（2）设MN ：y ＝kx ＋m ，所以n ＝－mk．① 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将MN 代入到E 的方程并整理，可得(4＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－36＝0， 所以x 1＋x 2＝2-18km49k+． 因为|PN|＝|MQ|，所以MN 和PQ 的中点重合，所以2-9km 49k +＝n2，②联立①②可得k 2＝49，故k ＝±23．【点睛】本题考查轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，准确计算是关键，是中档题 19．（1）证明见解析；（2）10,4±. 【解析】 【分析】（1）利用中位线不难得到O 的位置，连接DF 交CE 于N ，则//DO MN ，证得线面平行；（2）取AE 中点H ，以H 为原点建立空间坐标系，设AM t =，利用线面所成角去列方程，解得t 值，然后确定二面角M EC F --的两个面的法向量，利用公式求解即可． 【详解】（1）因为直线MF ⊂平面ABFE ， 故点O 在平面ABFE 内也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上（如图所示）因为AO BF P ，M 为AB 的中点，所以OAM MBF ∆≅∆，所以OM MF =，AO BF =，所以点O 在EA 的延长线上，且2AO = 连结DF 交EC 于N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是EC 的中点 连结MN ，因为MN 为DOF ∆的中位线，所以MN OD P ， 又因为MN ⊂平面EMC ，所以直线OD P 平面EMC .（2）由已知可得，EF AE ⊥，EF DE ⊥，所以EF ⊥平面ADE ，所以平面ABEF ⊥平面ODE ，取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0)E -，3)D ，(0,3)C ，(1,4,0)F -， 所以3)ED =u u u r ，(1,3)EC =u u u r，设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =u u u u r，设平面EMC 的法向量(,,)m x y z =u r ，则2000430x ty m EM m EC x y z ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩u u u u v v u u u v v ， 取2y =-，则x t =，3z =,3m t ⎛=- ⎝u r ，DE与平面EMC所成的角为60o2=，2=，所以2430t t-+=，解得1t=或3t=，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60o，取ED的中点Q，则QAu u u r为平面CEF的法向量，因为1,0,22Q⎛-⎝⎭，所以3,0,22QA⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r，,m t⎛=-⎝u r，设二面角M EC F--的大小为θ，所以|||cos|||||QA mQA mθ⋅===⋅u u u r u ru u u r u r因为当2t=时，cos0θ=，平面EMC⊥平面CDEF，所以当1t=时，θ为钝角，所以1cos4θ=-.当3t=时，θ为锐角，所以1cos4θ=.【点睛】此题考查了线面平行的证明，用空间向量解决线面所成角，二面角等，综合性较强，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度适中．20．(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)存在，13.【解析】【分析】（I）在Rt ADEV中，AE=12ADES AE DE=⋅V，由于CD⊥平面ADE，可得13C ADE ADEV CD SV-=⋅；（II）由CD⊥平面ADE，可得CD AE⊥，进而得到AE⊥平面CDE，即可证明平面ACE⊥平面CDE；（III）在线段DE上存在一点F，使AF P平面BCE，13EFED=．设F为线段DE上的一点，且13EFED=，过F作FM CDP交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD ABP．可得四边形ABMF是平行四边形，于是AF BMP，即可证明AF P平面BCE【详解】（I）在Rt△ADE中，AE==，因为CD⊥平面ADE，所以棱锥C-ADE的体积为11332C ADE ADEAE DEV S CD CD-∆⋅=⋅=⋅⋅=（II ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥.又因为AE DE ⊥，CD DE D ⋂=，所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE.（III ）在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF P 平面BCE . 解：设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =. 因为CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，所以//CD AB ，又因为3CD AB = 所以MF AB =，//FM AB ，所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM . 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE .点睛：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常见形式：1、利用三角形中位线得到线线平行；2、构造平行四边形；3、构造面面平行. 21．（1）2+a b （2）12【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得21a b +=，再根据基本不等式可得224a b +的最小值. 【详解】解：（1）因为()()()22f x x a x b a b ≤--+=+， 所以函数()f x 的最大值为2a b +. （2）由（1）可知，21a b +=， 因为22a 4b 4ab +≥，所以()()222222a 4b a 4b 4ab a 2b +≥++=+， 所以()()2222421a b a b +≥+=，即22142a b +≥， 且当122a b ==时取“=”，所以224a b +的最小值为12. 【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键. 22．（Ⅰ）516；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为1111428p =⨯=，都付4元的概率为2111248p =⨯=，都付6元的概率为31114416p =⨯=，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率．(Ⅱ)依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()E ξ．【详解】解：(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为1111428p =⨯=， 都付4元的概率为2111248p =⨯=，都付6元的概率为31114416p =⨯=，∴甲、乙两人所付租车费用相同的概率：1231115881616p p p p =++=++=．(Ⅱ)依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12，()148P ξ==，()111156442216P ξ==⨯+⨯=，()1111115844242416P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1111310442416P ξ==⨯+⨯=，()111124416P ξ==⨯=，ξ∴的分布列为：()155311546810128161616162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值 是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次 训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 成绩较为稳定（方差较小）的运动员 是 ▲ ．6．记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．甲 乙8 9 7 8 9 3 1 0 6 97 8 9 （第5题图）（第4题图）7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中， ∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则→BD ·→BE 的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ． 11．若将函数f(x)＝∣sin(ωx －π6)∣(ω＞0)的图象向左平移π9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数ω的最小值是 ▲ ．12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f(x)＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t]，都有f(x)∈[－a ，a]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ． （1）求角A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ， E 为PA 的中点． （1）求证：BE ∥平面PCD ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．（第16题图）PABCDE17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∈(0，π)．（1）当θ ＝2π3时，求点P 距地面的高度PQ ； （2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线 l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m ． （1）已知点(62，1)在椭圆C 上，求实数m 的值； （2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围； ②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ， 若AM → ＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ（第17题图）AMNBO PQθ19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g(x)＝lnx ． （1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；（2）直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N*， 都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p(p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k ．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．（第21A 题图）B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l '：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值； （2）求A 2．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4 cos θ 与直线l ：θ＝π4 (ρ∈R)交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝PA ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； （2）求二面角A －PD －C 的余弦值．PABCD23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n} (n ≥3，n ∈N*)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f(n)． （1）求f(3)，f(4)；（2）求f(n)（用含n 的式子表示）．数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．911．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从而sinB ＝2sinBcosA ． ………………………… 4分 因为sinB ≠0，所以cosA ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(2π3－B)＝sinB ＋sin 2π3cosB －cos 2π3sinB＝32sinB ＋32cosB ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为PA 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ． 所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分 因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分 （2）因为AB ＝PB ，E 为PA 的中点，所以PA ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以PA ⊥CF ． ………………………… 9分 因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以PA ⊥平面PCD ． ………………………… 12分 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ………………………… 14分 17．解：（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ ．从而，当θ ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π3＝75． 即点P 距地面的高度为75m ． ………………………… 4分 （2）（方法一）由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ ．又PQ ＝50－50cos θ ， 所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ5－5cos θ． ………………………… 6分从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝6－sin θ1－cos θ －6－5sin θ5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ ×6－5sin θ5－5cos θ ＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ． ………………………… 9分令g(θ )＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ，θ ∈(0，π)，PABCDEF（第16题图）则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)(23－18sin θ－5cos θ)2 ，θ ∈(0，π)．由g '(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ －1＝0，解得θ ＝ π2．………………………… 11分当θ ∈(0，π2)时，g '(θ )＞0，g(θ )为增函数；当θ ∈(π2，π)时，g '(θ )＜0，g(θ )为减函数，所以，当θ ＝ π2时，g(θ )有极大值，也为最大值．因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π2，从而当g(θ )＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值．即当θ ＝ π2时，∠MPN 取得最大值． ………………………… 14分（方法二）以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M(60，0)，N(300，0)． 设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0． 从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0y 0． ………………………… 6分从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ)＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ1＋tan ∠NPQ ⋅tan ∠MPQ ＝300－x 0y 0 － 60－x 0y 01＋300－x 0y 0 ×60－x 0y 0 ＝24y 010y 0－36x 0＋1800．由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)23－18sin θ－5cos θ ． ………………………… 9分（下同方法一）18．解：（1）设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m＝1， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分 （2）①设点T(x ，y)．由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2． ………………… 6分 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m ＝1， 得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2． 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分②（方法一）设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 则→AM ＝(x 0＋2，y 0)，→AP ＝(x 1＋2，y 1)．由→AM ＝λ→AP ， 得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝λ(x 1＋2)，y 0＝λy 1．从而⎩⎨⎧x 0＝λx 1＋2(λ－1)，y 0＝λy 1．………………………… 12分因为x 022＋y 02＝1，所以[λx 1＋2(λ－1)]22＋(λy 1)2＝1．即λ2(x 122＋y 12)＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2λ (λ－1)x 1＋3λ2－4λ＋1＝0．由题意知，λ≠1，故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－32．同理可得x 0＝－μ＋32． ………………………… 14分 因此λ－32＝－μ＋32， 所以λ＋μ＝6． ………………………… 16分 （方法二）设M(x 0，y 0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得(12(x 0＋2)2＋y 20)x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2＝0(*)． 因为x 022＋y 02＝1，所以（*）可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0． 因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3． ………………………… 14分 因为→AM ＝λ→AP ，BM →＝μBQ →， 所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋μ为定值6． ………………………… 16分 19．解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 2－x ＋t ＋lnx ，得h' (x)＝2x －1＋1x，x ＞0．因为2x ＋1x≥22x·1x＝22，所以h' (x)＞0， 从而函数h(x)是增函数． ………………………… 3分 （2）记直线l 分别切f(x)，g(x)的图象于点(x 1，x 12－x 1＋t)，(x 2，lnx 2)，由f'(x)＝2x －1，得l 的方程为y －(x 12－x 1＋t)＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 12＋t ． 由g'(x)＝1x ，得l 的方程为y －lnx 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2· x ＋lnx 2－1．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－1＝1x 2，－x 12＋t ＝lnx 2－1．(*) 消去x 1得lnx 2＋(1＋x 2)24x 22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分令F(x)＝lnx ＋(1＋x)24x 2－(t ＋1)，则F'(x)＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝(2x ＋1)(x －1)2x 3，x ＞0．由F'(x)＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x)＜0，当x ＞1时，F'(x)＞0， 所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F(x)min ＝F(1)＝－t ． ………………………… 9分 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分 当t ＞0时，F(1)＜0，由于F(e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分 令k(x)＝lnx ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x)＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx ＞1－1x ，从而lnx ＋(1＋x)24x 2－(t ＋1)＞(12x －12)2－t ． 所以F(12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．………………………… 16分20．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4． 所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4． 两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2． 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)， 从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*． 显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*． 显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ． 若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0． R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0． 这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ． 从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1．即对任意正整数k(1≤k ≤p)，c k ＝d k ． ………………………… 16分数学附加题 参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以∠ABD ＝∠AEB ．又因为∠BAD ＝∠EAB ，所以△BAD ∽△EAB ． 所以BD BE ＝ABAE． ………………………… 5分 同理，CD CE ＝AC AE.．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ． 因此BD BE ＝CDCE，即BE · CD ＝BD · CE ． ………………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l '上点M(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．………………………… 3分代入l '方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0， 即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0． 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2aa －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分 （2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⋅⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解： 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程 x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程 y ＝x ． ………………………… 4分由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2．所以A(0，0)，B(2，2)．从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ．………………………… 7分将其化为极坐标方程为：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．…………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y)＋(x －y)＋1(x －y)2＋2y ≥33(x －y)⨯(x －y)⨯1(x －y)2＋2y＝2y ＋3 ＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ． 又AD ⊥AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD ＝3．所以B(1，0，0)，D(0，3，0)，C(1，233，0)，P(0，0，2)．从而→BD ＝(－1，3，0)，→PC ＝(1，233，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为θ ，则cos θ ＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|→BD ⋅→PC∣→BD ∣⋅∣→PC ∣|＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738．即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分 （2）因为AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为 →AB ＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n ⊥→PC ，n ⊥ →PD ，→PC ＝(1，233，－2)，→PD ＝(0，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分 设二面角A －PD －C 的大小为ϕ，则cos ϕ＝cos ＜→AB ，n ＞＝→AB · n ∣→AB ∣×∣n ∣＝(1，0，0)·(2，23，3)1×5＝25．即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分23．解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2； ………………………… 2分（2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}， A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}， 它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f(n)＝(C 1k)3＝k 3；k ≥3时，f(n)＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分 ②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f(n)＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分 ③当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k ．k ＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13； k ＞3时，f(n)＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2； 从而 f(n)＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． 所以f(n)＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． …………………… 10分高考模拟数学试卷本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -2．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A B A =I ，则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4- B ．[ C ．[ D ．2[,0]3-5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c ②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直④已知数据12,,,L n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈L 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．36．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．8(4)π+ B ．8(8)π+ C ．16(4)π+ D ．16(8)π+7．已知向量AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为120︒，且1=u u u r AB ， 2=u u u r AC ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为A ．45B ．45-C ．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511Y D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,41 10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ．12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n =L ．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 ． 15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，57cos BAM ∠= , 3tan 2AMC ∠=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AM 的长为21，求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；（Ⅲ）若::5:6:1AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 18．(本小题满分12分)在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n bn a a a a n =∈L ．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+．（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nn c b a =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． OABCPM•①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N*n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ．（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e =L 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．数学试题 参考答案及评分说明 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -2．已知集合{}2|0=-<A x x x ,{}|=<B x x a ,若A B A =I ,则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是A ．3[,0]4- B ．33[,]-C ．[3,3]-D ．2[,0]3-5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c ②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内的无数条直线，则平面α与平面β垂直④已知数据12,,,L n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,+++>∈L n ax ax ax a a R 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8(4)π+B ．8(8)π+C ．16(4)π+D ．16(8)π+7．（文）已知向量()()1,23,2，==-r r a b ，若()()//3ka b a b +-r r r r ，则实数k 的值为A ．3B ．13C ．13- D ．3- 7．（理）已知向量AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为120︒，且1=u u u r AB ， 2=u u u r AC ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r ，则实数λ的值为 A ．45B ．45-C ．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是A ．4B ．5C ．6D ．7。