第三章线性系统状态方程解
(完整word版)现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性01010（ 1） A10 1B( 2) A 0 0 1 ,B 011024311113 10 1 1（ 3） A0 10 1 0 3 0 , B00 ( 4) AB0 0 11 001211【解】：(1)11U c B AB 1 1, rankU c n 2 ，所以系统完全能控。
c 0 1 c(2)10 0 1 2U c B AB A 2B1 1 11 1 17前三列已经可使 rankU c n 3 ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算） 。
（3）A 为约旦标准型， 且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零， 所以系统不完全 能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征， 所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控 性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
1213 1223B AB A 2B A 3B2 3 U c1 1 12 13 1 11 12 31111rankU c 2 ，所以系统不完全能控。
3 1110 10 0 x0 3 0x 0 0ux0 01x 0u (1)0 0 12(2)61161101yxy10 0x1 10解】：1）311 已知 A 0 30,B0 001220 0 D CB CAB CA 2B 0 0 前两列已经使 rank D CBCAB110 1 0 00 ， C ，D1 1 0 0 031112CA B m2， 所以系统输出能控。
（2） 系统为能控标准型，所以状态完全能控。
又因输出矩阵 状态维数 n ，所以状态能控则输出必然能控。
C 满秩，且输出维数 m 小于1 0x0 01xx1 1 (1)2 43 ； (2) 1 x 0；011y1 1xyx12 12 1 0 4 0 0x0 20xx4 0x(3)；（4）0 030 1y0 1 1x y11 4x解】：1）已知 A01 00 242-3-3 判断下列系统的能观性。
线性离散系统状态方程的解
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k
Βιβλιοθήκη 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 1 0 1 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) x(0) 0.16 1 1 1
( k 1 , k0 ) G ( k ) ( k , k 0 ) ( k0 , k0 ) I
其解为
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
第三章-4-状态方程的解
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
第三章 线性系统的能控性与能观测性
。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2
~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
线性系统理论线性系统的运动分析
3.1 运动分析的含义
分析系统运动的目的:揭示系统状态运动规律和基本性质。
定量分析： 从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的 变化规律,，以为系统的实际运动过程做出估计.（一般 研究系统在外部激励作用下的响应）
定性分析： 对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的关键
t0 ,t
At
说明： 系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
系统状态转移矩阵只取决于系统矩阵A(t) ！！！
t,t0 I
t A d
t0
t
t0 A 1
A 1
t0
2
d 2d1
命题3.2.2
设 (t, t0 )为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，且系统
x&
A(t ) x
B(t )u,
x(t0 )
x0 ,
t
t0 ,
ta
y C(t)x D(t)u
★系统状态全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
3.3.1 线性时变系统的零输入响应
定理3.3.1（零输入响应求解）
1(t, t0 ) (t0 , t)
(3.2.9) (3.2.10)
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
4.导数性质
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
(3.2.11)
对任意t0和t,
d dt
1
t,
t0
d dt
第三章线性系统的运动分析
Chapter 3 Analysis of Linear System3.1 INTRODUCTION运动分析的数学实质：从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
(Solving the time-invariant state equation)3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION系统响应=系统的零输入响应+系统的零状态响应System response=a term consisting of the transition of the initial state +a term arising from the input vector零输入响应：自由运动，由系统矩阵决定，不受外输入影响。
零状态响应：强迫运动，响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
01!k k ∞−+=∑0k k b t ∞=+=∑2012Ab Ab t Ab t +=+++b k 0)b +Equating the coefficients of the equal powers of t, we obtain By substituting this assumed solution in to Equation (1)解的说明：1.零输入响应是状态空间中由初始状态经线性变换矩阵所导出的一个变换点。
2.自由运动3.自由运动的轨迹由唯一决定。
4.当自由运动轨迹趋于平衡状态时，则系统是渐近稳定的。
At e0x Ate 0=x若初始时间取为t 0≠0则0)(,)(0t t x e t x t t A ou ≥=−00)(x t x =01!k k ∞−+=∑+232322332323332)()2!3!F F I Ft t t F t A t A Ft AF t F t ++++++0+=0,1,2,))AtAt Ae A e A ++=+=利用性质+λ)neλ)n t0000i i λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦12)l J t J tJ t e e 0i i t t e e e λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为有表达式⎰⎰≥−+=+=−t A Att t A At t d t Bu e x e d Bu e x e t x 000)(00,)(,)()(ττττττ⎰≥+=−−t t t A t t A t t d Bu e x e t x 000)(0)(,)()(τττ对初始时刻t 0=0 情形有表达式注意：物理意义解的讨论:(1)卷积特征；(2)零初始响应的几何特征；(3)可达性；(4)任意时刻的表达式00≥,=)(),(+=t t x t x t Bu Ax x3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵State-Transition Matrix设连续时间线性时不变系统，状态方程为：as To verify this, note thatWe thus confirm that Equation (2) is the solution of Equation (1))2()0()()(x t t x Φ=where )(Φt is n n ⨯Matrix and is the unique solution of)0()0()0()0(x x x =Φ=Ate t =)(Φ)(=)0()(Φ=)0()(Φ=)(t Ax x t A x t t xI t A t =)0(Φ)(Φ=)(Φ )1(=Ax x and状态转移矩阵的形式为()()()0000,0000t t e t t t t e t t t t A At ≥=−Φ≠≥=Φ=−时，时，基于状态转移矩阵的系统响应表达式()()()()()()()()()⎰⎰−Φ+−Φ=≥−Φ=−Φ=tt t t ox ou d Bu t x t t t x t t d Bu t t x x t t t x 0000000ττττττ。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
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& x = Ax
２、状态转移矩阵的定义
齐次状态方程
& x = Ax
x(t ) = e At x(0)
称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： ），记为
有两种常见解法：（1 幂级数法；（2 拉氏变换法。 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。 ：（ ；（ 其解为 其中
& x(t ) = b1 + 2b2t + 3b3t 2 + LL + kbk t k 1 + LL = A(b0 + b1t + b2t 2 + LL + bk t k + LL)
b1 b2 b3 M b K = Ab 0 1 1 Ab 1 = A 2b0 = 2 2 1 1 Ab 2 = A 3b0 = 3 3! = 1 A K b0 k!
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
（２）拉氏变换解法
将
& x = Ax
两端取拉氏变换， 两端取拉氏变换，有
sx ( s ) x (0) = Ax ( s )
( sI A) x ( s ) = x (0)
x( s ) = ( sI A) 1 x(0)
x(t 2 ) = φ (t 2 t1 ) x(t1 ) = φ (t 2 t1 )φ (t1 t 0 ) x(t 0 ) ……(3)
比较（ ）、(3)式 比较（1）、(3)式，有 (3)
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φ (t 2 t 0 ) = φ (t 2 t1 )φ (t1 t 0 )
= ( I + At + 1 2 2 1 A t + L + A k t k + L) x (0) 2! k!
定义： 定义： 则
e
At
∞ 1 2 2 1 k k 1 = I + At + A t + L + A t + L = ∑ A k t k k! 2! K = 0 k!
x(t ) = e At x(0)
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
（5） x(t ) = φ (t t 0 ) x(t 0 ) 证明： 证明： x (t ) = φ (t ) x (0)
x(t 0 ) = φ (t 0 ) x(0) x (0) = φ 1 (t 0 ) x (t 0 ) ，代入上式 x(t ) = φ (t )φ 1 (t 0 ) x(t 0 ) = φ (t t 0 ) x(t 0 ) ∴
e t e 2t x(0) t 2t e + 2e
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§3-1线性连续定常齐次方程求解 二、状态转移矩阵 e 的性质
1 22 1 k k φ (t ) = e = I + At + A t + L + A t 2! k! （1） φ ( 0 ) = I
At
At
& （2） φ (t ) = Aφ (t ) = φ (t ) A
拉氏反变换， 拉氏反变换，有
x(t ) = L1 [( sI A) 1 ] x(0)
则
φ (t ) = e = L [( sI A) ]
At 1 1
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
0 1 & 3.1.1】 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为 x = x ，初始条件为 0 0 x(0) ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 试求状态转移矩阵和状态方程的解。
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故而有： 故而有：
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
且有 x(0) = b0 故
x (t ) = b0 + b1t + b2 t 2 + LL + bk t k + LL
1 2 2 1 k k = b0 + Ab0 t + A b0 t + L + A b0 t + L 2! k!
1 0 0 t 1 t = I + At = + 0 0 = 0 1 0 1
（２）状态方程的解
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1 t x(t ) = e x(0) = x(0) 0 1
At
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
，试求状态方程的解。 试求状态方程的解。 1 s 1 解： s 0 0 At sI A = x(t ) = e x(0) 2 3 = 2 s + 3 0 s
1
∴
证毕。 φ (t ) = P 1e At P. 证毕。
（10）两种常见的状态转移矩阵 10） ①设 A = diag[λ1 , λ 2 , L, λ n ] ，即A为对角阵，且具有互异元素。则 为对角阵，且具有互异元素。
e λ1t 0 O φ (t ) = O 0 e λn t
At ∴ φ (t ) = e
故而
2e t e 2t = L1 [(sI A) 1 ] = 2e t + 2e 2t
e t e 2t t 2t e + 2e
2e t e 2t x(t ) = e At x(0) = 2e t + 2e 2t
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& φ (0) = A
%Example 3.1.2: %MATLAB syms s t x; + LA=sym('[0,1;-2,-3]'); I=eye(2); L=inv(s*I-A) lap=ilaplace(L) x=lap*x
（3） φ (t1 ± t2 ) = φ (t1 )φ (±t2 ) = φ (±t2 )φ (t1 ) 证明： 证明： φ (t1 ± t2 ) = e
e
P 1 APt
1 1 1 1 2 2 = I + P APt + ( P AP ) t + L + ( P AP ) k t k + L 2! k!
1
1 1 1 1 2 2 = P P + P APt + ( P AP ) t + L + ( P AP ) k t k + L 2! k!
1 1
1 2 2 1 k k = P ( I + At + A t + L + A t + L) P = P 1e At P 2! k! k!
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
②设A为 m × m 约当阵
λ A=
λt e 0 φ (t ) = M M 0 te λt e λt M M 0
λ O O 1 λ m×m m× 1
1 2 λt t e 2! te λt M M 0 1 t m 1e λt (m 1)! 1 L t m 2 e λt (m 2)! M O M L e λt L
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则
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§3-1线性连续定常齐次方程求解
【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 3.1.3】
e At
2 e t e 2 t = 2e t + 2e 2 t
e t e 2 t e t + 2e 2 t
φ 1 (t ) 和A。 试求
（9）设φ (t )为
& x = Ax 的状态转移矩阵，引入非奇异变换 x = Px 的状态转移矩阵，
φ (t ) = P 1e At P
φ (t ) = e
P 1 APt
后的状态转移矩阵为： 后的状态转移矩阵为： 证明： 证明：将
P 1 APt
& x = Px 代入 x = Ax 中，有
& x = P 1 APx
解：（１）求状态转移矩阵 ：（１
1 2 2 1 k k φ (t ) = e = I + At + A t + L + A t + L 2! k! 0 0 0 1 2 3 n A = A = LL = A = 此题中： 此题中： A = , 0 0 0 0
At
所以
φ (t ) = e
At
解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知 ：（1 根据状态转移矩阵的性质4
2e t e 2t φ 1 (t ) = φ (t ) = 2e t + 2e 2t
（2）根据状态转移矩阵的性质2，可知 根据状态转移矩阵的性质2
e t e 2t 2t t e + 2e
2e t + 2e 2t & A = φ (0) = t 2e 4e 2t
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1 e t + 2e 2t 0 = t 2t t = 0 2 3 e 4e
证毕。 证毕。 （6） φ (t 2 t 0 ) = φ (t 2 t1 )φ (t1 t 0 ) 证明： 证明： x(t 2 ) = φ (t 2 t 0 ) x(t 0 ) …………………………(1) x(t1 ) = φ (t1 t 0 ) x(t 0 ) …………………………(2)
1 （4） φ (t ) = φ (t ),
A ( t1 ± t 2 )