高中数学必修四第一章测试

第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·陕西延川县期中)半径为π cm ，中心角为120°的弧长为 ( ) A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π23cm 2．(2016·桂林全州学段考)如果sin(π＋A )＝－12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 等于( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．若点P (sin2，cos2)是角α终边上一点，则角α的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．右图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A.2 B.22C ．2＋2D ．225．给出下列各函数值：①sin100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④sin 7π10cosπtan17π9.其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④6．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π47．(2016·山西大同一中测试)若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到角α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 8．化简2sinαcosα－cosα1＋sin2α－sinα－cos2α等于( ) A ．tan α B.1tanα C ．－tan α D ．－1tanα9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c10．(2016·上海高考)设a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数x ，都有sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin(ax＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A ＞0，ω＞0)的最大值是4，最小值是0，该函数的图象与直线y ＝2的两个相邻交点之间的距离为π4，对任意的x ∈R ，满足f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12ω＋φ＋m ，且f (π)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则下列符合条件的函数的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6＋2C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋7π6＋212．(2016·山西榆社中学期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1； ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13； ⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x . 其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．sin(－120°)cos1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝__________.14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx－π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π6，2kπ＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．16．已知函数f (x )＝sinx ＋cosx ＋|sinx －cosx|2，则下列结论正确的是________．①f (x )是奇函数；②f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1；③f (x )是周期函数；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)化简错误!，其中角α的终边在第二象限．18．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示(ω>0)，试求它的表达式．19．(12分)(2016·山西大同一中期中)已知α是一个三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)用tan α表示1sin2α－cos2α并求其值．20．(12分)(2016·银川九中期中)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表) (2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；(3)说明此函数图象可由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．21．(12分)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx＋π3＋32＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为7π6.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝log a cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(其中a >0，且a ≠1)．(1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．详解答案1．D 120°＝2π3，∴弧长为2π23，故选D.2．A sin(π＋A )＝－12，∴sin A ＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝－12，故选A.3．D ∵2弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0. ∴点P 在第四象限，∴角α的终边在第四象限，故选D.4．A 易知A ＝2，由2πω＝8，得ω＝π4，∴f (x )＝2sin πx4，又由对称性知，原式＝f (1)＝2sin π4＝2，故选A.5．B ①sin100°>0；②cos(－100°)＝cos100°<0；③tan(－100°)＝－tan100°>0；④∵sin 7π10>0，cosπ＝－1，tan 17π9<0，∴sin 7π10cosπtan17π9>0.其中符号为负的是②，故选B. 6．A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，注意到当x ＝－π2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时y ＝－cos2x 取得最大值，因此直线x ＝－π2是该图象的一条对称轴，故选A .7．D 如图示，满足sin α<32的角α为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π，满足cos α>12的角α为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，所以符合条件的角α为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，故选D.8．B 原式＝错误!＝错误!＝错误! ＝1tanα.故选B. 9．D a ＝sin 5π7＝sin 2π7＜tan 2π7＝c .cos 2π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π7＝sin 3π14，∵3π14＜2π7，∴sin 3π14＜sin 2π7.故b ＜a ＜c . 10．B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5π3，(a ，b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋4π3，(a ，b )＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，4π3，因为b ∈[0,2π]，所以只有这两组．故选B.11．D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，m ＝2.由题可知周期T ＝π2，由T ＝2πω＝π2得ω＝4，于是函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2.又由题可知x ＝π12是函数的对称轴，故4×π12＋φ＝k π＋π2，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又因为f (π)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，验证选项A 、D ，可得选项D 正确．12．C 由图象可知，A ＝2，T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3×4＝π，∴ω＝2，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3故①正确；f (0)＝2sin π3＝3，故③不正确，故选C.13.1解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋12×12＝1. 14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由题可知，f (x )与g (x )的周期相同，∴T ＝2π2＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当0≤x ≤π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3. 15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：∵2k π－π6≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .∴－12≤cos x ≤1.∴f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.16．②③解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sinx ，sinx≥cosx，2cosx ，sinx<cosx ，∴f (x )的图象如图所示．依据图象可知②③正确． 17．解：原式＝ 错误!＝错误!＝错误!. ∵α是第二象限角， ∴sin α>0，cos α－sin α<0. 于是，原式＝sinα－cosαcosα－sinα＝－1.18．解：∵T 2＝5π6－π3＝π2，ω>0，∴T ＝π，ω＝2πT＝2.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， 令k ＝0，得φ＝π3.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，由A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0＋π3＝32得，A ＝3.∴所求表达式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.19．解：(1)已知α是一个三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0.由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝75.∴sin α＝45，cos α＝－35， ∴tan α＝－43.(2)1sin2α－cos2α＝sin2α＋cos2αsin2α－cos2α＝tan2α＋1tan2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－432－1＝257.∴1sin2α－cos2α＝257. 20．解：(1)列表x －π32π3 5π38π3 11π3x2＋π6 0 π2 π 3π2 2π y3633(2)周期T ＝4π，振幅A ＝3，初相φ＝π6，由x 2＋π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )即为对称轴方程；(3)①由y ＝sin x 的图象上各点向左平移φ＝π6个长度单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；②由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象； ③由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象；④由y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象上各点向上平移3个长度单位，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3的图象．21．解：(1)依题意知，2×7π6ω＋π3＝3π2⇒ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＋a ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，故－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，从而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上取最小值－12＋32＋a .因此－12＋32＋a ＝3，解得a ＝3＋12. 22．解：(1)由题意知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3>0，∴2k π－π2<2x －π3<2k π＋π2(k ∈Z )．即k π－π12<x <k π＋5π12(k ∈Z )．故定义域为⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z )．(2)由2k π≤2x －π3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z )．由2k π－π≤2x －π3≤2k π(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6(k ∈Z )．∴函数u ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎝ ⎛⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋π6(k ∈Z )上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋5π12(k ∈Z )上是减函数．∴当a >1时，f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋π6(k ∈Z )．单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋5π12(k ∈Z )． 当0<a <1时，f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋5π12(k ∈Z )，单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋π6(k ∈Z )．(3)∵f (x )的定义域不关于原点对称， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (4)∵f (x ＋π)＝log a cos 错误!＝log a cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )．∴函数f (x )的周期为T ＝π.。