高中物理竞赛(电磁学)电磁感应：感生电动势和感生电场
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感生电动势
dB 0 dt
E涡
B t
5
9-3 感生电动势 B 线圈在磁场中不动 B
B 若 0， t 则Er 沿顺时针方向。
方 向 说 明
Er 的方向就是感生电动势 的方向。 一般地，感生电场或感生电动势的方 向直接用楞次定律判断。
B 若 0， t 则Er 沿逆时针方向。
E感 只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
B r R L
12
9-3
感生电动势
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。 作如图环路
B r d d 2 E dl ( B S ) ( B r ) l 涡 R L dt dt
Байду номын сангаас
rR
9-3
感生电动势
dB 2 R E d l 涡 L dt dB 2 E涡 2r R dt
B
S S
L
R
r
B t
R 2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
15
E涡
9-3
感生电动势
E涡
R 2 dB 2r d t
rR rR
6
B ε E感 dl dS L s t
9-3
感生电动势
上式表明感生电场的环流不等于0，说 明感生电场是有旋场。 感生电场的性质和稳恒电流的磁场的 性质十分相似。 如果说，电流是磁场的涡旋中心，那么 变化的磁场就是感生电场的涡旋中心。 感生电场的电力线类似于磁力线，是无 头无尾的闭合曲线，呈涡旋状，所以称之为 涡旋电场。 感生电场也是无源场。
d l E涡 dl dt
E涡
B t
5
9-3 感生电动势 B 线圈在磁场中不动 B
B 若 0， t 则Er 沿顺时针方向。
方 向 说 明
Er 的方向就是感生电动势 的方向。 一般地，感生电场或感生电动势的方 向直接用楞次定律判断。
B 若 0， t 则Er 沿逆时针方向。
E感 只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
B r R L
12
9-3
感生电动势
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。 作如图环路
B r d d 2 E dl ( B S ) ( B r ) l 涡 R L dt dt
Байду номын сангаас
rR
9-3
感生电动势
dB 2 R E d l 涡 L dt dB 2 E涡 2r R dt
B
S S
L
R
r
B t
R 2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
15
E涡
9-3
感生电动势
E涡
R 2 dB 2r d t
rR rR
6
B ε E感 dl dS L s t
9-3
感生电动势
上式表明感生电场的环流不等于0，说 明感生电场是有旋场。 感生电场的性质和稳恒电流的磁场的 性质十分相似。 如果说，电流是磁场的涡旋中心，那么 变化的磁场就是感生电场的涡旋中心。 感生电场的电力线类似于磁力线，是无 头无尾的闭合曲线，呈涡旋状，所以称之为 涡旋电场。 感生电场也是无源场。
d l E涡 dl dt
高二物理竞赛-感生电场与感生电动势课件
保守力场，做功与路 径无关
无源场
有源场
闭合曲线
电场线始于正1电2 荷， 止于负电荷（不闭合）
应用： 电子感应加速器
……. …….
B
……. …….
××××× ×××××
EK
××××× ×××××
环形真空室
………………………
……………………… O R 电子轨道
…………F……………
v
…B ……………………
I d l 0 问题：导体回路静止而只是磁场变化时，不存在洛仑兹力，其非静电力从何而来呢？
2π v ln d 应用： 电子感应加速器
4.4 106 V
I
A端高
v
dx
A
B
d
l
x
5
当现有的理论无 法解释一个现象 时就需要提出新 的理论。
没有大胆的 猜测就做不 出伟大的发 现
若此空间内有导体存在，导体内的自由电荷
i L Ei dl
Ei dl
B t
dS
思考：如何确定
方向：
Ei与- d B 遵从右手螺旋关系 dt
感生电场和静电场的对比
感生电场
静电场
都对电荷有 力的作用
由变化的磁场产生
dΦ
L Ek dl
dt
0
非保守力场，做功与路径
有关
由电荷产 生
L E静 dl 0
解 如图找微元dx, 求其产生的感应电动势
dΦ d 电场线始于正电荷，止于负电荷（不闭合）
B dS 问题：导体回路静止而只是磁场变化时，不存i在洛仑兹力，其非静电力从何而来呢？
dt dt 应用： 电子感应加速器
解 如图找微元dx, 求其产生的感应电动势
无源场
有源场
闭合曲线
电场线始于正1电2 荷， 止于负电荷（不闭合）
应用： 电子感应加速器
……. …….
B
……. …….
××××× ×××××
EK
××××× ×××××
环形真空室
………………………
……………………… O R 电子轨道
…………F……………
v
…B ……………………
I d l 0 问题：导体回路静止而只是磁场变化时，不存在洛仑兹力，其非静电力从何而来呢？
2π v ln d 应用： 电子感应加速器
4.4 106 V
I
A端高
v
dx
A
B
d
l
x
5
当现有的理论无 法解释一个现象 时就需要提出新 的理论。
没有大胆的 猜测就做不 出伟大的发 现
若此空间内有导体存在，导体内的自由电荷
i L Ei dl
Ei dl
B t
dS
思考：如何确定
方向：
Ei与- d B 遵从右手螺旋关系 dt
感生电场和静电场的对比
感生电场
静电场
都对电荷有 力的作用
由变化的磁场产生
dΦ
L Ek dl
dt
0
非保守力场，做功与路径
有关
由电荷产 生
L E静 dl 0
解 如图找微元dx, 求其产生的感应电动势
dΦ d 电场线始于正电荷，止于负电荷（不闭合）
B dS 问题：导体回路静止而只是磁场变化时，不存i在洛仑兹力，其非静电力从何而来呢？
dt dt 应用： 电子感应加速器
解 如图找微元dx, 求其产生的感应电动势
2020年高中物理竞赛-电磁学篇C—17电磁感应：感生电动势和感生电场(共17张PPT)
。求当ad边距导线x时线框
中感应电动势的大小和方 向
x dv
c
第十七章 电磁感应
解：取线框回路的绕行方向为顺时针, 则
线框的法线方向为
距长直导线 r处取宽为dr的矩形小面元
d
B dS
0I
B dS
2 r 0 Il1
l1dr xl2 dr
I
a
l2
S
2 x r l1
b
0Il1 ln x l2 2 x
2020高中物理竞赛
电磁学篇C
第十七章 电磁感应
第十七章 电磁感应
§17-3 感生电动势和感生电场
一.感生电动势
麦克斯韦假设: 变化的磁
场在其周围空间总会产生
具有闭合电力线的感应电
场，这与空间中有无导体
或导体回路无关
N
----涡旋电场
第十七章 电磁感应
对回路L有 i L EK dl
又
M，电阻R=2，如图。调节可变电阻使
通过螺绕环的电流 I每秒
降低20A。求 线圈M 中
M
产生的感应电动势i和感
应电流Ii； 求2秒内通过 线圈M的感应电量qi
第十七章 电磁感应
解： 由安培环路定律
B 0rnI
M
通过线圈M的全磁通
N NBS
N0rnIS
i
d dt
N0 r nS
dI dt
代入数值可得 i 0.75V
第十七章 电磁感应
Ii
i
R
0.75 2
0.38A
2秒内通过线圈M的感应电量为
qi
t2 t1
I i dt
I i t
0.75C
第十七章 电磁感应
高二物理竞赛课件：感生电动势感生电场
解一：感生电场分布
E内
r 2
dB dt
E外
R2 2r
dB dt
b
B
r o
Rh r
E外
E内
a
c
dbl
dl
cl
感 ab bc E内 dl E外 dl
a
b
b
r 2
dBdl dt
cos
c
R2 2r
dBdl dt
cos
a
b
r2 h2 (l R )2 2
h 3 R cos h
2
E感 半径
B
E内
Oa Oc 0
o
E外
Oac Oa ac Oc ac a
R
h
E内
b
c
通过Oa c的磁通量:
Φm
B dS
S
B(SOab
S扇)
B( 3
3 π R2) 12
dΦ m
3
3 π R 2 dB
dt
12
dt
a () , c ( )
例. 在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半径为0.1m的小线 圈，在小线圈所围的面积内磁场近似均匀。设在小线圈 所包围的面积内交变磁场B=5.010-3sin100t(Wb)。求 小线圈中的感生电动势和感生电场强度。
(eddy electric field)
两种电场比较
静电场
感生电场
起源 性质
静止电荷
S
E静
dS
1
0
q内
L E静 dl 0
变化磁场
S
E感
dS
0
E dl
L 感
S
B t
dS
物理 电磁学 第33讲 感生电动势及感生电场
器中磁场和感生电场的变化情况
只有在第 1 个 1/4 四分之一周期内 ，电子才受到感生电场的加速， 并且洛仑兹力的方向指向圆心。
在第1个1/4周期内，电子已在圆 形轨道上经历了回旋数十万圈的 持续加速，从而获得了足够高的 能量，并在第1个1/4周期结束时 被引出加速器至靶室。
1940 年，第 1 台电子感 应加速器将电子加速到 2.3MeV； 1942年，20MeV电子感 应加速器； 1945 年 ， 100MeV 电 子 感应加速器，能使电子 速度加速到0.999986c 应用：核物理、工业探 伤及医学等领域
A 6 MeV betatron (1942)
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
感应电场为非保守场、无源场、涡旋场
感生电场是以法拉第电磁感应定律为基础的， 源于法拉第电磁感应定律又高于法拉第电磁感 应定律。 感生电场环路定理的实质是变化的磁场产生电 场。
实际电场的环路定理和高斯定理 实际电场 E E静电 E感生 环路定理：
作正园柱面， E感生 dS 0
S
Er 0
Ez 0
R ˆ
ˆ z
作矩形回路， E感生 dl
L S
B dS t
ˆ E感生 E
r
取以轴上一点为园心，做半径为 r 的圆周环路 L，
2
L
B E感生 dl dS t S
B(t )
实际电场感生静电随时间变化的磁场激发非保守场涡旋场无电势概念无散场感生电场线是无头无尾的闭合曲线由静止电荷激发保守场有电势概念有源场发散场静电场线起自正电荷止于负电荷静电场感生电场空间均匀的磁场被限制在圆柱体内磁感强度方向平行柱轴如长直螺线管内部的场磁场随时间变化则感生电场具有柱对称分布
只有在第 1 个 1/4 四分之一周期内 ，电子才受到感生电场的加速， 并且洛仑兹力的方向指向圆心。
在第1个1/4周期内，电子已在圆 形轨道上经历了回旋数十万圈的 持续加速，从而获得了足够高的 能量，并在第1个1/4周期结束时 被引出加速器至靶室。
1940 年，第 1 台电子感 应加速器将电子加速到 2.3MeV； 1942年，20MeV电子感 应加速器； 1945 年 ， 100MeV 电 子 感应加速器，能使电子 速度加速到0.999986c 应用：核物理、工业探 伤及医学等领域
A 6 MeV betatron (1942)
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
感应电场为非保守场、无源场、涡旋场
感生电场是以法拉第电磁感应定律为基础的， 源于法拉第电磁感应定律又高于法拉第电磁感 应定律。 感生电场环路定理的实质是变化的磁场产生电 场。
实际电场的环路定理和高斯定理 实际电场 E E静电 E感生 环路定理：
作正园柱面， E感生 dS 0
S
Er 0
Ez 0
R ˆ
ˆ z
作矩形回路， E感生 dl
L S
B dS t
ˆ E感生 E
r
取以轴上一点为园心，做半径为 r 的圆周环路 L，
2
L
B E感生 dl dS t S
B(t )
实际电场感生静电随时间变化的磁场激发非保守场涡旋场无电势概念无散场感生电场线是无头无尾的闭合曲线由静止电荷激发保守场有电势概念有源场发散场静电场线起自正电荷止于负电荷静电场感生电场空间均匀的磁场被限制在圆柱体内磁感强度方向平行柱轴如长直螺线管内部的场磁场随时间变化则感生电场具有柱对称分布
2022-2023学年高二物理竞赛课件：感生电场与感生电动势
B
L
L E感 dl S dt dS
E感
2r
B t
SdS
R
••••
A) 0
S+
注意:
•
r
••
••
R
• • • L E感
E感 2r
• • dl
B t
B
S dt
dS
S
L
E感
r 2
B t
B 0 t
E感为负值
dS
B t
r2
B
t
E感线
A) 0 r R
性变化（di/dt=const），其内部磁感应强度也作
线性变化且dB/dt为已知。求管内外感生电场的分
布。
已知：
R, B C
R
t
求：
Ei (r) ?
B
R
••••••••••••••
R
••••••••••••••
解： A) 0 r R
作闭合环路L，则由感生电动势关系得：
2 t
R2 B
(0 r R)
(R r )
2r t
E感线
B
t
E感
B
r
R
E感
r B (0 r R)
B t
{2 t
E感 R2 B (R r )
2r t
例2）在上例中的螺线管中的横载面内，放置有 一直导线，求导线中的感应电动势。
Mdi感i LEh感oLErd感lddll2r已N解E知Bt感1M：）cNLo规M用,h2sh定,电iNBd感 tBtl分动d割l势h2求成L的：12EB许t正感 hdi多M方LlNdd向llBt求
感生电场与感生电动势
高二物理竞赛电磁感应电磁波课件(共40张PPT)
主要从事电学、磁学、磁光学、 电化学方面的研究，并在这些 领域取得了一系列重大发现。
他创造性地提出场的思想，是 电磁理论的创始人之一。
1831年发现电磁感应现象，后又 相继发现电解定律，物质的抗磁性 和顺磁性，以及光的偏振面在磁场 中的旋转。
产生
电流
磁场
电磁感应
1831 年法拉第
实验
闭合回路 m 变化
闭合回路中的感生电动势 i
dΦ L Ek dl dt
Φ
i
B
S
ds
L Ek
dl
L Ek
dl
dB S dt
d dt
ds
B ds
S
感生电场和静电场的对比
E静 和 Ek 均对电荷有力的作用.
静电场是保守场 L E静 dl 0
感生电场是非保守场
L
I 2π d
Il
若导线如左图放置, 根据对
称性可知 Φ 0
b2 b2
得
M 0
引入：电容器充电，储存电场能量
+ +dq _
We
1 2
QU
1 2
CU 2
E
电场能量密度
N
we
1
2
E2
电流激发磁场，也要供给能量，所以磁场具有能量。
k
当线圈中通有电流时，在其周围建立了磁场，所储存的磁能
等于建立磁场过程中，电源反抗自感电动势所做的功。
m dv B2l 2v
dt
R
N
Rl B F
v
M
则 v dv t B2l 2 dt o
v v0
0 mR
x
计算得棒的速率随时间变化的函数关系为
v
他创造性地提出场的思想，是 电磁理论的创始人之一。
1831年发现电磁感应现象，后又 相继发现电解定律，物质的抗磁性 和顺磁性，以及光的偏振面在磁场 中的旋转。
产生
电流
磁场
电磁感应
1831 年法拉第
实验
闭合回路 m 变化
闭合回路中的感生电动势 i
dΦ L Ek dl dt
Φ
i
B
S
ds
L Ek
dl
L Ek
dl
dB S dt
d dt
ds
B ds
S
感生电场和静电场的对比
E静 和 Ek 均对电荷有力的作用.
静电场是保守场 L E静 dl 0
感生电场是非保守场
L
I 2π d
Il
若导线如左图放置, 根据对
称性可知 Φ 0
b2 b2
得
M 0
引入：电容器充电，储存电场能量
+ +dq _
We
1 2
QU
1 2
CU 2
E
电场能量密度
N
we
1
2
E2
电流激发磁场，也要供给能量，所以磁场具有能量。
k
当线圈中通有电流时，在其周围建立了磁场，所储存的磁能
等于建立磁场过程中，电源反抗自感电动势所做的功。
m dv B2l 2v
dt
R
N
Rl B F
v
M
则 v dv t B2l 2 dt o
v v0
0 mR
x
计算得棒的速率随时间变化的函数关系为
v
6.4 感生电动势和感生电场
变化的磁场 B 适用。 （2）由法拉第电磁感应定律计算 d 闭合回路： 感
dt
E 感 d l 0 就最好。
非闭合回路： 做辅助线，如果对辅助线有
三
螺线管磁场变化引起的感生电场
P236
P236 例1：无限长螺线管的电流随时间作线性变
dB 化，其内部的 B 也随时间作线性变化，已知 的
C E感（径向）
C
B
D
C
A
D
管外无限远处:
E感 0
D A
D
C
E 感 dl 0
C B
E感径向 dl
E感径向 dl
ABCDA
E感 dl
B
A
C
B
D
A
B
A
E 感轴向 d l 0
故 E 感 的轴向分量为零。
数值，求无限长螺线管内外空间 E 感 分布。（默认 E 感 在趋于无限远时趋于零）
dt
解：无限长螺线管内外空间的磁场 管内磁场均匀，方向平行于轴线，大小为
B内 0 n I 管外： B 0
磁场的附近空间产生 E 感。
螺线管中的电流变化，磁场也随之变化，必在
当I作线性变化时，
E感
r dB 2 dt
2 dt E 感 方 向 ： 与 B的 变 化 相 反
E感 大 小 ：
r dB
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L同 向 ； dt
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L 反 向 。 dt n (B) 即计算结果 E 感 0 ε感 时， E 感 与 L 同向，
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B
r
t
B
l E涡dl cos 00
S
B dS cos 00 t
L R
E涡
2r
dB dt
r
2
r dB E涡 2 d t
方向：逆时针
讨论
r dB E涡 2 d t
负号表示
E涡
与
dB
dt 反号
B
t
B r
RL
(1)
B
则
dB d t 0 E涡 0
E涡与 L 积分方向切向同向
而柱体内
B
t
0
B
• dS
dB R2S tdt NhomakorabeaL
E涡
•
dl
dB dt
R2
E涡 2r
dB dt
R2
R2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
L S
B
S
BB
r
t
RR
E涡
O
R
E涡
r
R2 dB
2r d t
r dB 2 dt
rR rR
例2 有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，
dB dt
Soabdo Soab Sobd
1 R 3 R 1 R2
2 2 26
( 3 R2 R2 ) dB
4 12 dt
方向 a c
2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S
S的法线方向应选得与曲线 L
的积分方向成右手螺旋关系
S
L
B 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 t
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
B
L E涡 • dl S t • dS
3）
E涡
与
B t
构成左旋关系。
B
E涡
t
B
t
E涡
感生电场电力线
S E涡 • dS 0
B
L E涡 • dl S t • dS
动生电动势
i
v
B
dl
磁场不变，闭合电路 特 的整体或局部在磁场 点 中运动导致回路中磁
通量的变化
原 因
非静 电力 来源
由于S的变化引起
回路中 m变化
洛仑兹力
i
感生电动势
E涡 • dl
S
B •
dS
t
闭合回路的任何部分 都不动，空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化
(2)
B
则
dB dt 0 E涡 0
E涡与 L 积分方向切向相反
rR
B
L S
B
? L E涡 •dl S t •dS
在圆柱体外，由于B=0
故
L上
B
t
0
L
E涡
•
dl
0
于是 L上 E感 0
S
BB RR
r
t
虽然 B t 在 L上每点为0，但在 S上则并非如此。
由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，
1 dB dl hL L 2 dt
r cos h
电动势的方向由C指向D
用法拉第电磁感应定理求解
C O E涡 • dl
D C E涡 • dl
O D E涡
• dl i
OCDO E涡 • dl
0 CD 0
??
CODC所围面积为： S 1 hL
磁通量
m
B
S
1
2
hLB
2
i
dm
由于 B的变化引起
回路中 m变化
感生电场力
3、感生电场的计算
B
L E涡 • dl S t • dS
例1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向如图。磁场的变化率
B
t
0
求： 圆柱内、外的 E涡分布。（18联赛模拟）
解： r R
B
l E涡 • dl S t • dS
dt
1 hL dB 2 dt
B
o t
B h
C D
L
讨论 CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路 由楞次定理知：感生电流的 方向是逆时针方向……..
o
B t
B
h
1
1
1 2
hL
dB dt
C D
矛盾？
2
S OCD
dB dt
2
S扇OC 2 D
dB dt
C
1 2
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
二、感生电动势和感生电场
S
1、感生电动势
N
由于磁场发生变化而
激发的电动势
G
电磁感应
动生电动势 非静电力 感生电动势 非静电力
洛仑兹力
?
2、 麦克斯韦假设：
变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，
称为涡旋电场或感生电场。记作
3
1
D
3 2
2
1
SOCD
dB dt
4 的方向逆时针D 4C
4
S扇OD 4C
dB dt
1 4
4
o
B t
B
1
C D
1和4 的大小不同，说明感生电场不是位场，
其作功与路径有关
练习 求杆两端的感应电动势的大小和方向（17联赛 模拟改编）
B
oR
B 0 t
d
a b
c
RR
Soabdo
已知：h、L、B t 0 方向如图.
求： CD （19联赛改编）
o
B t
B h
C D
L
解: i E涡 • dl
L
B
r dB E涡 2 dt
d E涡 • dl
r dB dl cos
o
B
h r
t
E涡
2 dt
h dB dl
C
D
l dl
2 dt
L
CD
h 2
dB dt
E
或
涡
E感
感生电动势 非静电力 感生电场力
由电动势的定义 i E涡 • dl
L
由法拉第电磁感应定律
i
d
dt
dl
d
dt
L
涡
•
d (
• dS )
S
B
dt
• dS
t
S
讨论
B
L E涡 • dl S t • dS
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，
即感生电场是由变化的磁场产生的。
dB
d t
B
E涡
E涡
静电场（库仑场）
感生电场（涡旋电场）
具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力
由静止电荷产生
E库 线是“有头有尾”的，
起于正电荷而终于负电荷
1
S E库 • dS 0 qi
L E库 • dl 0
由变化磁场产生
E感线是“无头无尾”的
是一组闭合曲线