高考数学一轮复习第九章解析几何考点规范练45椭圆文新人教B版

考点规范练45 椭圆
基础巩固
1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
2.(2017河南洛阳三模)已知集合M=,N=,M∩N=()
A.⌀
B.{(3,0),(0,2)}
C.[-2,2]
D.[-3,3]
3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()
A.a2>b2
B.
C.0<a<b
D.0<b<a
4.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切,则a的值为()
A. B.1
C.2
D.4
5.(2017广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
7.(2017湖北八校联考)设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y
轴上,则的值为.
8.
如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.
9.已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.
(1)求△ABF2的周长;
(2)若AF2⊥BF2,求△ABF2的面积.
10.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
能力提升
11.已知P是椭圆=1(0<b<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若||=8,则点P 到该椭圆左焦点的距离为()
A.6
B.4
C.2
D.
12.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
13.(2017安徽马鞍山一模)已知椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足
的点P,则椭圆的离心率的范围是.
14.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
高考预测
15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,P是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.
参考答案
考点规范练45椭圆1.A解析由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆方程为=1.
2.D解析集合M==[-3,3],N==R,则M∩N=[-3,3],故选D.
3.C解析由ax2+by2=1,得=1,因为焦点在x轴上,所以>0,所以0<a<b.
4.C解析圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,
则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0).
所以m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).
由题意知直线l的方程为x=-c,
又直线l与圆M相切,所以c=1,所以a2-3=1,所以a=2.
5.B解析∵F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,
∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.
设点P(x,y),由PF1⊥PF2,
得(x-c,y)·(x+c,y)=0,
化简得x2+y2=c2,联立方程组
整理,得x2=(2c2-a2)·≥0,
解得e≥,又0<e<1,∴≤e<1.故选B.
6.B解析设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),
则直线l的方程为=1,即bx+cy-bc=0,
短轴长为2b,由题意得×2b,与b2+c2=a2联立得a=2c,故e=.
7.解析由题意知a=3,b=.
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.
在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,
由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=,所以|PF1|=6-|PF2|=,所以.
8.解析由题意得B,C,F(c,0),所以.因为∠BFC=90°,所以=0.所以c2-=0.又a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以e=.
9.解(1)∵F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,
∴过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,连接AF2和BF2.
∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.
(2)设直线l的方程为x=my-1,
由得(m2+2)y2-2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-.
∵AF2⊥BF2,∴=0,
∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(my1-2)(my2-2)+y1y2
=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4
=-2m·+4==0.
∴m2=7.
∴△ABF2的面积S=·|F1F2|·.
10.(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
又c=,所以离心率e=.
(2)证明设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以直线PA的方程为y=(x-2).
令x=0,得y M=-,
从而|BM|=1-y M=1+.
直线PB的方程为y=x+1.
令y=0,得x N=-,
从而|AN|=2-x N=2+.
所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|B M|
=
=
==2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
11.C解析设椭圆右焦点为F2,取PF1的中点M,连接OM,=2,则|OM|=4,在△F1PF2中,OM 是中位线.
故PF2的长等于8,|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1|=2,故选C.
12.C解析因为椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所
以m2=,n2=,所以=c2,化为,所以e=.
13.解析∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足的点P,∴
||·||cos<>=,
4c2=-2||·||cos<>,
||+||=2a,
可得+2||·||=4a2,
∴4c2=4a2-2||·||-b2.
∴2||·||=3a2-3c2≤2,
当且仅当||=||时,等号成立.
可得,解得e≥.又0<e<1,∴e∈.
14.(1)解由题意有=1,解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为=1.
(2)证明设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).
将y=kx+b代入=1,
得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故x M=,y M=k·x M+b=.
于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
15.解(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知=0,得c2-c+=0, ①
又点P在椭圆C上,
可知=1,即a2=2.②
又b2+c2=a2=2, ③
①③联立解得,c=1,b2=1.
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消去y,
整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. (*)
因为方程(*)有且只有一个实根,又2k2+1>0,
所以Δ=0,得m2=2k2+1.
假设存在M1(λ1,0),M2(λ2,0)满足题设,则由
d1·d2=
=
=
=1对任意的实数k恒成立,
所以解得
当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.
综上,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.。