2020届福建省百校高考临考冲刺数学理科试卷有答案(加精)

福建省百校下学期临考冲刺高三数学考试卷数 学理 科 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()23i z i -=+，则z =（ ） A ． 5 B ．5C ．10 D ．102.设全集{}55U x x =-<<，集合{}2450A x x x =--<，{}24B x x =-<<，则()U C A B =U （）A ．(]5,2--B ．[)4,5C ．()5,2--D ．()4,53.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位L L 的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位L L 的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为 ．1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log 643的运算结果可用算筹表示为（）A ．B ．C ．D ．4.若双曲线()2205y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =（ ） A ．120B ．110 C ．15 D ．145.设有下面四个命题，1:p 若13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则()314P X ≥=；2:p 若13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则()718P X ≥=；3:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的中间项为20-；4:p 621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的中间项为320x -；其中真命题为（）A ． 13,p pB ．14,p p C. 23,p p D ．24,p p6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ）π 1 2A ． 21542ππ+B ．2154ππ+ C. 21342ππ+ D ．2134ππ+ 7.已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（）3的最小正整数 B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数 3的最小正奇数 D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数 8.若()0,απ∈2cos 2αα+=，则tan 23απ⎛⎫-=⎪⎝⎭（） A ．-． 9.设,x y 满足约束条件120y ax y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若z x y =+的最大值为6，则y x a +的最大值为（）A ．23B ．2 C. 4 D ．5 10.若函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()cos 4g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭都在区间()(),0a b a b π<<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．6π B ．3πC. 2πD ．512π11.在正方体1111ABCD A B C D -中，3BE EA =u u u r u u u r ，以E 为球心，EC u u u r为半径的球与棱111,A D DD 分别交于,F G 两点，则二面角A FG E --的正切值为（）A ．22 B ．12C.12 D ．2212.设函数()()2124,12,1x x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在互不相等的4个实数1234,,,x x x x ，使得()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====，则a 的取值范围为（） A ．()6,12 B ．[]6,12 C. ()6,18 D ．[]6,18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在ABC ∆中，4,6AB AC ==，且16cos 1A =，则BC =．14.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为．15.在平行四边形ABCD 中，AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2DE EC =u u u r u u u r ，CF FB =u u u r u u u r ，且7AE AF ⋅=u u u r u u u r ，则平行四边形ABCD 的面积的最大值为．16. P 为椭圆22:12x C y +=上一动点，12,F F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，记动点Q 的轨迹为Ω，设点B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线2BF 与Ω交于,M N 两点， 则MN =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n a n -的前n 项和n S ．18. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，==PA AB AC ，平面//α平面PAB ，且α与棱,,PC AC BC 分别交于111,,P A B 三点．（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明； （2）过点，且与直线垂直；（3）若α将三棱锥P ABC -分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体111P A B C 的体积更小），D 为线段1B C 的中点，求直线1P D 与平面11PA B 所成角的正弦值．19. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量（单位：千克）整理得下表： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数51088775（1）若该超市一天购进A 水果150千克，记超市当天A 水果获得的利润为X （单位：元），求X 的分布列及其数学期望；（2）若该超市计划一天购进A 水果150千克或160千克，请以当天A 水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？20. 已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点且与此抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，8AB <，直线l 与抛物线24y x =-交于,M N 两点，且,M N 两点在y 轴的两侧． （1）证明：12y y 为定值； （2）求直线l 的斜率的取值范围；（3）已知函数()4324854f x x x x x =-+-在()0012x x x =<<处取得最小值m ，求线段MN 的中点P 到点()2,0D 的距离的最小值（用m 表示）21. 已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：124x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线M 的参数方程为2cos 1sin x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0r >），曲线N 的参数方程为515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，且0t ≠）． （1）以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线N 的参数方程； （2）若曲线M 与N 的两个交点为,A B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，求r 的值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x a x =---．（1）当2a =时，求不等式()01f x <≤的解集； （2）若()()20,,3x f x a ∀∈+∞≤-，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:CADAD 6-10:BDBCB 11、12：BC二、填空题13. 7 14. 2615. 216. 三、解答题17.解：（1）设等比数列}n 的公比为q，则62231q -===-，()1312n n -=-⨯， 故()22n n a n =+；（2）()2212,24n n n n n a n a n n +=+∴-=⋅+Q ，记()231222122nn n T n n +=+⋅++-⋅+⋅L ，()23122222122n n n T n n ++=+⋅++-⋅+⋅L()23122222222242124n n n n n n T n n n +++++∴-=+++-⋅=--⋅=-⋅-L()2124n n T n +∴=-⋅+；故()112444812143n n n n n S T n +++-+=+=-⋅+-．18.解：（1）作法：取BC的中点H，连接AH，则直线AH即为要求作的直线l．证明如下：,PA AB PA AC⊥⊥Q，且AB AC A=I，PA∴⊥平面ABC．Q平面//α平面PAB，且αI平面11PAC P A=，平面PAB I平面PAC PA=．11P A∴⊥平面ABC，11P A AH∴⊥．又AB AC=，H为BC的中点，则AH BC⊥，从而直线AH即为要求作的直线l．（2）αQ将三棱锥P ABC-分成体积之比为8:19的两部分，∴四面体111P A B C的体积与三棱锥P ABC-分成体积之比为8:27，又平面//α平面PAB，11123AC B C PCAC BC PC∴===．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，设3AB=，则()()()()()10,1,0,2,1,0,0,0,3,0,1,2,1,2,0A B P P D，()()()11112,0,0,0,1,3,1,1,2A B PA PD==-=-u u u u r u u u r u u u r,设平面11PA B的法向量为(),,n x y z=r，则111n A Bn PA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，即30xy z=⎧⎨-=⎩，令1z=，得()0,3,1n=r则115cos,30610PD n〈〉==⨯u u u u r r，直线1P D与平面11PA B15．19.解：（1）若A水果日需求量为140千克，则()()()1401510150140108680X=⨯---⨯-=元，且()56800.150P X===，若A水果日需求量不小于150千克，则()1501510750X=⨯-=元，且()75010.10.9P X==-=．故X的分布列为：6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元．（2）设该超市一天购进A 水果160千克，当天的利润为Y （单位：元） 则Y 的可能取值为1405202,1505102,1605⨯-⨯⨯-⨯⨯，即660,730,800，Y 的分布列为：6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=，因为772743>，所以该超市应购进160千克，若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得,X Y 的分布列分别为：0.7⨯， 所以该超市还是应购进160千克．20.解：（1）证明：由题意可得，直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2440ky y k --=，则1244k y y k -==-为定值；（2）由（1）知，121212244,22y y y y x x k k k++=+=+=+， 则121224248y y AB x x p k k+=++=+=+<，即21k >． 联立()241y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得：240x kx k -+-=，,M N Q 两点在y 轴的两侧，()22444160k k k k ∴∆=--=-+>，40,4k k -<<，故直线l 的斜率的取值范围为()(),11,4-∞-U ． （3）设()()()1122,,,,,P x y M x y N x y ，则12=,222x x kx k x +==，()()212122y k x y x x x x =-∴=-=-Q ．又()(),11,4k ∈-∞-U ，11,,2222k x ⎛⎫⎛⎫∴=∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ， 故点P 的轨迹方程为21122222y x x x x ⎛⎫=-<-<< ⎪⎝⎭或，而PD ===()4324854f x x x x x =-+-Q 在()0012x x x =<<处取得最小值m ，min PD ∴=21.解：（1）()1xf x ae '=+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：由()0f x =得1x x a e -=，设()1x x g x e -=，则()2xx g x e-'=． 由()0g x '<，得2x <；由()0g x '>，得2x >． 故()()2min 120g x g e ==-<的最小值． 当1x >时，()0g x <，当1x <时，()0g x >， 不妨设12x x <，则()()121,2,2,x x ∈∈+∞，124x x +>等价于214x x >-，142x ->Q 且()g x 在()2,+∞上单调递增，要证：124x x +>，只需证()()214g x g x >-，()()12g x g x a ==Q ，只需证()()114g x g x >-，即1111413x x x x e e--->， 即证()12411310x ex x --+-<；设()()()2431,1,2x h x e x x x -=-+-∈，则()()24251x h x ex -'=-+，令()()m x h x '=，则()()2442x m x ex -'=-，()()1,2,0x m x '∈∴<Q ，()m x ∴在()1,2上单调递减，即()h x '在()1,2上单调递减，()()20h x h ''∴>=，()h x ∴在()1,2上单调递增， ()()()1241120,310x h x h e x x -∴<=∴-+-<，从而124x x +>得证．22.解：（1）将515x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ，得()2200x y x -+=≠（未写0x ≠扣一分）， 由220x y y kx -+=⎧⎨=⎩得221221x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（k 为参数，且12k ≠）．（2）曲线M 的普通方程为()()22221x y r -+-=，将221221x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩代入()()22221x y r -+-=并整理得：()()2222164432170r k r k r -+-+-=； 因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为43，所以221741643r r -=-， 解得21r =，又0r >，1r ∴=，将1r =代入()()2222164432170r k r k r -+-+-=，得：21228160,0k k -+=∆>，故1r =． 23.解：（1）当2a =时，因为()()()21211f x x x x x =---≤---= 所以()1f x ≤的解集为R ，由()0f x >，得21x x ->-，则2221x x ->-，即224421x x x x -+>-+，解得32x <，故不等式()01f x <≤的解集为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）当()0,0,a x ≤∈+∞时，()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩，则()()2max 113f x f a a ==-≤-，又0a ≤，所以a ≤． 当[)01,1,a x <<∈+∞时，()2103f x a a =->>-，故01a <<不合题意，当()1,0a x ≥∈+∞时，()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立，则231a a -≥-，又1a ≥，所以2a ≥综上：a 的取值范围为[),2,⎛-∞+∞ ⎝⎦U ．。